초월함수

3. 역사

초월 함수인 사인과 코사인은 고대 그리스(히파르코스)와 인도(자야 및 코티-자야)에서 물리적 측정을 통해 표로 만들어졌다. 프톨레마이오스의 현의 표에 대해 올라프 페더슨은 다음과 같이 언급했다.

명시적인 개념으로서의 연속성에 대한 수학적 개념은 프톨레마이오스에게 알려지지 않았다. 그는 종속 변수의 값을 독립 변수의 값에 대응시키는 것이 선형 보간법의 간단한 과정을 통해 가능하다는 암묵적인 추정을 함으로써, 실제로 이러한 함수들을 연속적으로 다루었다.^[4]

4. 종류

초월함수는 크게 초등 초월함수와 그 외의 특수 함수들로 나눌 수 있다.

초등 초월함수는 대수 함수가 아닌 기본적인 해석 함수들로, 로그 함수, 지수 함수, 삼각 함수, 쌍곡선 함수 및 이들의 역함수 등이 여기에 속한다. 이 함수들에 대한 자세한 설명은 아래 문단에서 다룬다.

초등 초월함수 외에도 다양한 형태의 초월함수가 존재한다. 예를 들어, 변수가 밑과 지수에 모두 나타나는 함수 $f(x)\; =\; x^x$, 지수에 무리수가 포함된 함수 $f(x)\; =\; x^\backslash pi$ 등이 있으며, 정수론이나 통계학 등에서 중요하게 사용되는 감마 함수(팩토리얼 함수의 해석적 확장) 역시 대표적인 초월함수이다.^[13]

해석학에서는 미분이나 적분 연산을 통해 새로운 초월함수가 정의되기도 한다. 예를 들어, 역수 함수 $1/x$의 부정 적분으로 자연로그 함수가 정의되는 것처럼, 특정 함수의 부정 적분 과정에서 초월 함수가 나타나는 경우가 많다. 어떤 조건에서 이러한 초월 함수가 생성되는지는 미분 대수와 같은 분야에서 연구된다.^[13]

4. 1. 초등 초월함수

• 로그 함수: $f(x)\; =\; \backslash log\_c\; x$ 형태의 함수이다. 특히 밑 ''c''가 자연로그의 밑 ''e''인 경우 자연로그 $f(x)\; =\; \backslash log\_e\; x\; =\; \backslash ln\; x$가 대표적인 초등 초월함수이다.^[13] 그레고리 드 생-뱅상은 1647년 직사각형 쌍곡선 $xy\; =\; 1$ 아래의 면적을 구하는 과정에서 로그 함수의 성질을 발견했으며, 이는 쌍곡선 로그 함수로 알려졌다. 레온하르트 오일러는 1748년 이를 지수 함수와 연결시켰다.
• 지수 함수: $f(x)\; =\; c^x$ 형태의 함수이다. 밑 ''c''가 자연로그의 밑 ''e''인 경우 $f(x)\; =\; e^x$ (또는 $\backslash exp(x)$)가 가장 중요하게 다뤄지는 초등 초월함수이다. 레온하르트 오일러는 지수 함수를 무한 급수 $\backslash sum\_\{k=0\}\; ^\{\backslash infty\}\; x^k\; /\; k!$ (여기서 $k!$는 ''k''의 팩토리얼)와 동일시했다.
• 삼각 함수: 사인($\backslash sin\; x$), 코사인($\backslash cos\; x$), 탄젠트($\backslash tan\; x$) 등이 대표적이다. 이 함수들은 고대 그리스(히파르코스)와 인도(자야 및 코티-자야)에서 물리적 측정값을 바탕으로 표로 만들어졌다. 프톨레마이오스의 현의 표 역시 이러한 초기 형태 중 하나이다. 올라프 페더슨은 "명시적인 개념으로서의 연속성에 대한 수학적 개념은 프톨레마이오스에게 알려지지 않았다. 그는 종속 변수의 값을 독립 변수의 값에 대응시키는 것이 선형 보간법의 간단한 과정을 통해 가능하다는 암묵적인 추정을 함으로써, 실제로 이러한 함수들을 연속적으로 다루었다."^[4]고 설명했다. 오일러는 오일러 공식을 통해 삼각 함수를 지수 함수와 연결시켰다.
• 쌍곡선 함수: 쌍곡 사인($\backslash sinh\; x$), 쌍곡 코사인($\backslash cosh\; x$), 쌍곡 탄젠트($\backslash tanh\; x$) 등이 있다. 오일러는 지수 함수의 무한 급수에서 짝수 항과 홀수 항을 분리하여 각각 $\backslash cosh\; x$와 $\backslash sinh\; x$를 정의했으며, 이를 통해 $e^x\; =\; \backslash cosh\; x\; +\; \backslash sinh\; x$ 관계를 밝혔다.
• 역삼각 함수: 아크사인($\backslash sin^\{-1\}\; x$), 아크코사인($\backslash cos^\{-1\}\; x$), 아크탄젠트($\backslash tan^\{-1\}\; x$) 등 삼각 함수의 역함수이다.
• 역쌍곡선 함수: $\backslash sinh^\{-1\}\; x$, $\backslash cosh^\{-1\}\; x$, $\backslash tanh^\{-1\}\; x$ 등 쌍곡선 함수의 역함수이다.

5. 대수 함수와의 관계

해석 함수 중에서 초월함수가 아닌 것은 대수함수이다. 대수 함수란 다항식을 계수로 하는 대수 방정식의 해로 나타낼 수 있는 함수를 말한다.^[3] 간단한 예시로는 유리 함수와 제곱근 함수가 있다. 하지만 일반적으로 대수 함수는 기초 함수들의 유한한 식으로 정의하기 어렵다.^[17] 예를 들어, $f(x)^5+f(x)=x$라는 방정식을 만족하는 함수 $f(x)$는 대수 함수이지만, 사칙연산과 거듭제곱근만으로는 간단히 표현할 수 없다.

많은 대수함수의 부정적분은 초월함수가 된다. 대표적인 예로, 대수함수인 $f(x)=\backslash frac\{1\}\{x\}$의 부정적분은 초월함수인 자연로그 $\backslash ln(x)\; +\; C$이다.

미분 대수는 적분과 같은 연산을 통해 기존 함수들과 대수적으로 독립적인 새로운 함수, 특히 초월함수가 어떻게 만들어지는지를 연구하는 분야이다. 예를 들어, 삼각 함수를 포함하는 식의 적분 등을 다룬다.

6. 초월적인 초월함수

수학과 물리학에서 자주 접하는 특수 함수를 포함한 많은 초월함수는 대수 미분 방정식의 해이다. 그러나 감마 함수나 리만 제타 함수와 같이 대수 미분 방정식의 해가 아닌 초월함수도 존재하는데, 이를 초월적인 초월함수 또는 하이퍼 초월함수라고 부른다.^[5]

7. 예외 집합

대수함수 $f(z)$에 대해, $\backslash alpha$가 대수적 수이면 $f(\backslash alpha)$ 역시 대수적 수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 모든 대수적 수 $\backslash alpha$에 대해 $f(\backslash alpha)$가 대수적인 값을 가지는 초월 전해석 함수 $f(z)$가 존재할 수 있다.^[6]

주어진 초월함수 $f$에 대해, 함수값 $f(\backslash alpha)$가 대수적 수가 되도록 하는 대수적 수 $\backslash alpha$의 집합을 해당 함수의 예외 집합이라고 부른다.^[7][8] 공식적으로 예외 집합 $\backslash mathcal\{E\}(f)$는 다음과 같이 정의된다.

: $\backslash mathcal\{E\}(f)=\backslash left\; \backslash \{\backslash alpha\backslash in\backslash overline\{\backslash mathbf\{Q\}\}\backslash ,:\backslash ,f(\backslash alpha)\backslash in\backslash overline\{\backslash mathbf\{Q\}\}\; \backslash right\; \backslash \}.$

여기서 $\backslash overline\{\backslash mathbf\{Q\}\}$는 대수적 수 전체의 집합을 나타낸다.

많은 경우 예외 집합은 상당히 작다. 예를 들어, 지수 함수 $\backslash exp(z)\; =\; e^z$의 경우, 1882년 페르디난트 폰 린데만은 예외 집합이 $\backslash mathcal\{E\}(\backslash exp)\; =\; \backslash \{0\backslash \}$ 뿐임을 증명했다. 이 결과는 중요한 의미를 갖는데, $\backslash exp(1)\; =\; e$가 초월수임을 직접적으로 보여준다. 또한, 오일러의 등식에 따라 $\backslash exp(i\backslash pi)\; =\; -1$은 대수적 수이지만, 예외 집합의 정의에 의해 $i\backslash pi$는 $0$이 아니므로 대수적 수일 수 없다. $i$ (허수 단위)는 대수적이므로, 이는 π가 초월수임을 의미한다.

일반적으로 함수의 예외 집합을 찾는 것은 어려운 문제이지만, 몇몇 함수에 대해서는 예외 집합이 계산되었다. 예외 집합을 계산할 수 있다면 초월수론의 중요한 결과를 얻을 수 있는 경우가 많다. 알려진 예외 집합의 예는 다음과 같다.

• 클라인의 j-불변량 $j$:
• : $\backslash mathcal\{E\}(j)\; =\; \backslash left\backslash \{\backslash alpha\backslash in\backslash mathcal\{H\}\backslash ,:\backslash ,[\backslash mathbf\{Q\}(\backslash alpha):\; \backslash mathbf\{Q\}]\; =\; 2\; \backslash right\backslash \},$
• : 여기서 $\backslash mathcal\{H\}$는 상반평면을 나타내고, $[\backslash mathbf\{Q\}(\backslash alpha):\; \backslash mathbf\{Q\}]$는 대수적 수체 $\backslash mathbf\{Q\}(\backslash alpha)$의 체 확대의 차수를 의미한다. 이 결과는 테오도어 슈나이더에 의해 증명되었다.^[9]

• 밑이 2인 지수 함수 $2^x$:
• : $\backslash mathcal\{E\}(2^x)=\backslash mathbf\{Q\}$ (여기서 $\backslash mathbf\{Q\}$는 유리수의 집합)
• : 이것은 겔폰트-슈나이더 정리의 따름정리이다. 겔폰트-슈나이더 정리는 $\backslash alpha\; \backslash neq\; 0,\; 1$인 대수적 수이고 $\backslash beta$가 대수적인 무리수일 때, $\backslash alpha^\backslash beta$는 초월수라는 것을 말한다. 따라서 함수 $2^x$는 $0$ 또는 $1$이 아닌 임의의 대수적 수 $c$에 대해 $c^x$로 대체될 수 있으며, 그 예외 집합은 여전히 $\backslash mathbf\{Q\}$이다. 또한 다음 결과를 얻을 수 있다:
• : $\backslash mathcal\{E\}(x^x)\; =\; \backslash mathcal\{E\}\backslash left(x^\{\backslash frac\{1\}\{x\}\}\backslash right)=\backslash mathbf\{Q\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}.$

• 섀뉴얼의 추측이 참이라면, 함수 $e^\{e^x\}$의 예외 집합은 공집합, 즉 $\backslash mathcal\{E\}\backslash left(e^\{e^x\}\backslash right)=\backslash emptyset$일 것으로 예상된다.

• 섀뉴얼의 추측을 가정하지 않고도 예외 집합이 공집합인 함수로는 $f(x)\; =\; \backslash exp(1\; +\; \backslash pi\; x)$가 알려져 있다.

8. 차원 분석

차원 분석에서는 다양한 단위를 가진 물리량을 조합하여 계산을 수행한다.^[3] 이때 초월함수는 그 인자(함수에 입력되는 값)가 무차원량(단위가 없는 값)일 때만 수학적으로나 물리적으로 의미를 가진다는 특징이 있다.^[1][2][3] 만약 단위(차원)를 가진 값을 초월함수의 인자로 사용하면, 그 결과는 의미를 부여하기 어려운 값이 된다.^[1][2][3]

이러한 성질 때문에 초월함수는 계산 과정에서 발생할 수 있는 차원 오류를 쉽게 발견하도록 돕는 역할을 하기도 한다.^[1][2] 예를 들어, 로그 함수에 길이 단위인 '미터'를 포함한 값을 넣어 `log(10 미터)`와 같이 사용하는 것은 불가능하다.^[1][3] 로그의 성질을 이용하여 `log(10) + log(미터)` 와 같이 분리하려고 시도할 수도 있지만, '미터'라는 차원 자체에 로그와 같은 비대수적인 연산을 적용하는 것은 여전히 의미 없는 결과를 만들어낸다.^[1][2]

하지만 `log(10 미터 / 5 미터)`처럼 같은 단위끼리 나누어 단위가 사라진 무차원량(이 경우 2)을 인자로 사용하거나, `log(3) × 미터`와 같이 로그 계산의 결과(무차원량)에 단위를 곱하는 형태는 가능하다.^[1][2]

참조

_[1] 서적 Functions of a Complex Variable H. Holt 1915
_[2] 서적 Encyclopedia of Mathematics https://books.google[...] 1993
_[3] 서적 Diophantine approximation on linear algebraic groups https://books.google[...] Springer 2000
_[4] 서적 Survey of the Almagest Odense University Press 1974
_[5] 학술지 A Survey of Transcendentally Transcendental Functions 1989-11
_[6] 학술지 Transcendental entire functions mapping every algebraic number field into itself 1968
_[7] arXiv Some transcendental functions that yield transcendental values for every algebraic entry 2010
_[8] 학술지 Exceptional sets of hypergeometric series 2003
_[9] 학술지 Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale 1937
_[10] 학술지 Auxiliary functions in transcendental number theory 2009
_[11] 학술지 An algebraically conservative, transcendental function 1998
_[12] 서적 Diophantine approximation on linear algebraic groups Springer 2000
_[13] 간행물 Algebraic Solutions of Linear Differential Equations: An Arithmetic Approach https://doi.org/10.1[...] Bull. AMS 2024-10
_[14] 서적 Functions of a Complex Variable https://books.google[...] 1915
_[15] 서적 Encyclopedia of Mathematics https://books.google[...] 1993
_[16] 서적 Diophantine approximation on linear algebraic groups Springer 2000
_[17] 문서 cf. Abel–Ruffini 정리
_[18] 문서 http://journals.camb[...]
_[19] arXiv Some transcendental functions that yield transcendental values for every algebraic entry 2010
_[20] 학술지 Exceptional sets of hypergeometric series 2003
_[21] 학술지 Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale 1937
_[22] 학술지 Auxiliary functions in transcendental number theory 2009
_[23] 간행물 An algebraically conservative, transcendental function Paris VII preprints 1998