3차원

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1. 개요

3차원은 유클리드 기하학에서 17세기에 데카르트 좌표를 사용하여 설명되기 시작했으며, 19세기에 윌리엄 로완 해밀턴의 사원수 개발과 함께 기하학이 발전했다. 3차원 공간은 자명하지 않은 매듭이 가능하고, 외적을 정의할 수 있으며, 행성이 닫힌 궤도를 가질 수 있는 유일한 차원이다. 3차원 공간은 다양한 좌표계로 표현되며, 선형대수학에서는 독립의 개념이 중요하다. 또한 미적분학적 관점에서 기울기, 발산, 회전 등의 개념이 적용되며, 선적분, 면적분, 체적분과 같은 적분 방법이 사용된다. 3차원은 위상수학적 특징과 유한 기하학 연구에도 활용된다.

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3차원
개요
3차원 벡터장
차원	3
좌표계
직교 좌표계	(x, y, z)
원통 좌표계	(ρ, φ, z)
구면 좌표계	(ρ, φ, θ)
정의
유형	유클리드 공간
차원	3
속성	길이, 면적, 부피 측정 가능
속성
기하학	유클리드 기하학
대칭성	병진 회전 반사
응용
물리학	물리적 공간 모델
컴퓨터 과학	3차원 컴퓨터 그래픽스
관련 개념
하위 공간	평면 직선
일반화	n차원 유클리드 공간

2. 역사

3차원 공간에 대한 연구는 고대부터 시작되어 여러 수학자들에 의해 발전되어 왔다.

유클리드 기하학에서는 3차원 기하학을 다루었으며, 평행육면체, 피라미드, 각기둥, 구, 팔면체, 이십면체, 십이면체를 포함한 입체 도형에 대한 개념을 발전시켰다.^[1]

17세기에는 르네 데카르트와 피에르 드 페르마가 해석 기하학을 통해 3차원 공간을 데카르트 좌표로 설명했다.^[1]

19세기에는 윌리엄 로완 해밀턴이 사원수를 개발하여 3차원 공간 기하학을 발전시켰고, 스칼라와 벡터라는 용어를 처음으로 만들었다.^[1] 조시아 윌라드 기브스는 내적과 외적을 식별하고 현대적인 표기법을 도입했으며, 헤르만 그라스만과 주세페 페아노는 추상적인 벡터 공간 형식주의를 발전시켰다.^[1]

2. 1. 유클리드 기하학

유클리드 기하학의 11권에서 13권까지는 3차원 기하학을 다루었다. 11권에서는 선과 평면의 직교성 및 평행성에 대한 개념을 발전시키고, 평행육면체, 피라미드, 각기둥, 구, 팔면체, 이십면체, 십이면체를 포함한 입체를 정의한다. 12권에서는 입체의 닮음에 대한 개념을 발전시킨다. 13권에서는 구 안에 있는 다섯 개의 정규 플라톤 다면체의 작도를 설명한다.^[1]

17세기에, 3차원 공간은 르네 데카르트가 저서 『라 지오메트리』에서, 피에르 드 페르마가 페르마 생전에 출판되지 않은 원고 『Ad locos planos et solidos isagoge』(평면 및 입체 자취에 대한 소개)에서 개발한 해석 기하학의 출현과 함께 데카르트 좌표를 사용하여 설명되었다. 그러나 페르마의 연구만이 3차원 공간을 다루었다.^[1]

19세기에, 3차원 공간 기하학의 발전은 윌리엄 로완 해밀턴의 사원수 개발과 함께 이루어졌다. 스칼라와 벡터라는 용어를 처음으로 만든 사람은 해밀턴이었고, 이 용어들은 처음으로 사원수에 대한 그의 기하학적 틀 내에서 정의되었다. 3차원 공간은 스칼라 성분이 0인 사원수

q = a + ui + vj + wk

로 표현될 수 있었다. 즉,

a = 0

이었다. 해밀턴이 명시적으로 연구하지는 않았지만, 이것은 간접적으로 사원수 요소

i,j,k

에 의해 주어진 기저, 그리고 두 벡터 사원수의 곱의 스칼라 부분과 벡터 부분(의 음수)에 해당하는 내적과 외적에 대한 개념을 도입했다.^[1]

조시아 윌라드 기브스에 이르러서야 이 두 곱이 자체적으로 식별되었고, 기브스의 강의를 바탕으로 에드윈 비드웰 윌슨이 쓴 1901년 교과서 『벡터 해석』에서도 발견된, 그의 강의 노트에서 내적과 외적에 대한 현대적인 표기법이 도입되었다.^[1]

또한 19세기에는 헤르만 그라스만과 주세페 페아노의 연구와 함께 추상적인 벡터 공간 형식주의의 발전이 이루어졌으며, 페아노는 벡터 공간을 대수적 구조로 정의하는 현대적인 정의를 처음으로 제시했다.^[1]

2. 2. 해석 기하학의 발전

17세기에, 3차원 공간은 르네 데카르트가 저서 《라 지오메트리》에서, 피에르 드 페르마가 생전에 출판되지 않은 원고 《Ad locos planos et solidos isagoge》(평면 및 입체 자취에 대한 소개)에서 개발한 해석 기하학의 출현과 함께 데카르트 좌표를 사용하여 설명되었다.^[1] 그러나 페르마의 연구만이 3차원 공간을 다루었다.

19세기에, 3차원 공간 기하학의 발전은 윌리엄 로완 해밀턴의 사원수 개발과 함께 이루어졌다.^[1] 스칼라와 벡터라는 용어를 처음으로 만든 사람은 해밀턴이었고, 이 용어들은 사원수에 대한 그의 기하학적 틀 내에서 처음 정의되었다.^[1] 3차원 공간은 스칼라 성분이 0인 사원수

q = a + ui + vj + wk

로 표현될 수 있었다(이때,

a = 0

).^[1] 해밀턴이 명시적으로 연구하지는 않았지만, 이것은 간접적으로 사원수 요소

i,j,k

에 의해 주어진 기저, 그리고 두 벡터 사원수의 곱의 스칼라 부분과 벡터 부분(의 음수)에 해당하는 내적과 외적에 대한 개념을 도입했다.^[1]

조시아 윌라드 기브스에 이르러서야 이 두 곱이 자체적으로 식별되었고, 에드윈 비드웰 윌슨이 1901년에 쓴 교과서 《벡터 해석》에서 내적과 외적에 대한 현대적인 표기법이 도입되었다.^[1] (해당 교과서는 기브스의 강의 노트를 바탕으로 쓰여졌다.)

또한 19세기에는 헤르만 그라스만과 주세페 페아노의 연구와 함께 추상적인 벡터 공간 형식주의의 발전이 이루어졌으며, 페아노는 벡터 공간을 대수적 구조로 정의하는 현대적인 정의를 처음으로 제시했다.^[1]

2. 3. 벡터 공간과 선형대수학

17세기에, 3차원 공간은 르네 데카르트가 저서 『라 지오메트리』에서, 피에르 드 페르마가 페르마 생전에 출판되지 않은 원고 『Ad locos planos et solidos isagoge』(평면 및 입체 자취에 대한 소개)에서 개발한 해석 기하학의 출현과 함께 데카르트 좌표를 사용하여 설명되었다. 그러나 페르마의 연구만이 3차원 공간을 다루었다.

19세기에, 3차원 공간 기하학의 발전은 윌리엄 로완 해밀턴의 사원수 개발과 함께 이루어졌다. 사실, 스칼라와 벡터라는 용어를 처음으로 만든 사람은 해밀턴이었고, 이 용어들은 처음으로 사원수에 대한 그의 기하학적 틀 내에서 정의되었다. 3차원 공간은 스칼라 성분이 0인 사원수

q = a + ui + vj + wk

로 표현될 수 있었다. 즉,

a = 0

이었다. 해밀턴이 명시적으로 연구하지는 않았지만, 이것은 간접적으로 사원수 요소

i,j,k

에 의해 주어진 기저, 그리고 두 벡터 사원수의 곱의 스칼라 부분과 벡터 부분(의 음수)에 해당하는 내적과 외적에 대한 개념을 도입했다.

조시아 윌라드 기브스에 이르러서야 이 두 곱이 자체적으로 식별되었고, 기브스의 강의를 바탕으로 에드윈 비드웰 윌슨이 쓴 1901년 교과서 『벡터 해석』에서도 발견된, 그의 강의 노트에서 내적과 외적에 대한 현대적인 표기법이 도입되었다.

또한 19세기에는 헤르만 그라스만과 주세페 페아노의 연구와 함께 추상적인 벡터 공간 형식주의의 발전이 이루어졌으며, 페아노는 벡터 공간을 대수적 구조로 정의하는 현대적인 정의를 처음으로 제시했다.

선형대수학에서 3차원 공간을 바라보는 또 다른 방법이 있는데, 여기서는 독립이라는 개념이 매우 중요하다. 공간은 3차원을 가지는데, 그 이유는 상자의 길이는 너비나 폭과 독립적이기 때문이다. 선형대수학의 전문 용어로 표현하자면, 공간은 3차원인데, 그 이유는 공간의 모든 점이 세 개의 독립적인 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있기 때문이다.

3. 기하학적 특징

해석 기하학에서 3차원 공간은 세 개의 좌표축을 사용하여 모든 점을 설명할 수 있다. 일반적으로 ''x'', ''y'', ''z''로 표시되는 세 좌표축은 서로 수직이며, 원점에서 교차한다. 이 축을 기준으로 3차원 공간의 모든 점은 세 개의 실수 순서쌍으로 나타낼 수 있으며, 각 숫자는 해당 점이 다른 두 축으로 결정된 평면으로부터 떨어진 거리를 나타낸다.^[4]

예를 들어, 물리적 공간에서 특정 영역을 점으로 간주하고 데카르트 좌표를 사용하여 ''x'', ''y'', ''z''의 세 실수 조합으로 공간상의 점을 나타낼 수 있다. 이에 대응하여 물체는 "폭", "깊이", "높이"와 같은 세 가지 크기 지표를 가질 수 있다.

3차원 공간에서 점의 위치를 설명하는 방법에는 직교 좌표계 외에도 원통 좌표계, 구면 좌표계 등 다양한 방법이 존재한다.

3. 1. 좌표계

3차원의 좌표는 직교 좌표계, 원통 좌표계, 구면좌표계로 나타낸다.

수학에서 해석 기하학(데카르트 기하학이라고도 함)은 세 개의 좌표를 사용하여 3차원 공간의 모든 점을 설명한다. 세 개의 좌표축이 주어지며, 각 축은 교차하는 점인 원점에서 다른 두 축에 수직이다. 일반적으로 ''x'', ''y'', ''z''로 표시된다. 이 축을 기준으로 3차원 공간의 모든 점의 위치는 세 개의 실수 순서쌍으로 주어지며, 각 숫자는 다른 두 축으로 결정된 평면에서 해당 점까지의 거리를 나타낸다. 이 거리는 주어진 축을 따라 측정된 원점으로부터의 거리를 의미한다.^[4]

3차원 공간에서 점의 위치를 설명하는 다른 방법으로는 원통 좌표와 구면 좌표가 있지만, 가능한 방법은 무한히 많다. 자세한 내용은 유클리드 공간을 참조한다.

예를 들어, 물리적인 공간을 생각할 때 공간의 특정 영역을 점으로 간주하고, 데카르트 좌표를 사용하여 ''x'', ''y'', ''z''의 세 실수 조합으로 공간상의 점을 나타낼 수 있다. 이에 대응하여 물체는 "폭", "깊이", "높이"와 같은 세 가지 크기의 지표를 가질 수 있다. 이 예에서는 요소가 실숫값을 가지며 연속적으로 변화할 수 있지만, 일반적으로 예를 들어 유한 기하학처럼 이산적인 값이나 유한 개의 값만 가질 수 있는 것을 요소로 생각하는 경우가 있다.

3. 1. 1. 직교 좌표계

3차원의 좌표는 직교 좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계로 나타낸다.

수학에서 해석 기하학(데카르트 기하학이라고도 함)은 세 개의 좌표를 사용하여 3차원 공간의 모든 점을 설명한다. 세 개의 좌표축이 주어지며, 각 축은 교차하는 점인 원점에서 다른 두 축에 수직이다. 일반적으로 ''x'', ''y'', ''z''로 표시된다. 이 축을 기준으로 3차원 공간의 모든 점의 위치는 세 개의 실수 순서쌍으로 주어지며, 각 숫자는 다른 두 축으로 결정된 평면에서 해당 점까지의 거리를 나타낸다. 이 거리는 주어진 축을 따라 측정된 원점으로부터의 거리를 의미한다.^[4]

3차원 공간에서 점의 위치를 설명하는 다른 방법으로는 원통 좌표와 구면 좌표가 있지만, 가능한 방법은 무한히 많다.

예를 들어, 물리적인 공간을 생각할 때 공간의 특정 영역을 점으로 간주하고, 데카르트 좌표를 사용하여 ''x'', ''y'', ''z''의 세 실수 조합으로 공간상의 점을 나타낼 수 있다.

3. 1. 2. 원통 좌표계

3차원 공간에서 점의 위치를 설명하는 방법 중 하나는 원통 좌표계이다.

3. 1. 3. 구면 좌표계

수학에서, 3차원 공간의 점을 나타내기 위해 구면 좌표계를 사용한다.

3. 2. 도형

3차원 폴리토프는 다면체라고 하며, 3차원 초구는 구이다. 3차원에는 5개의 볼록 플라톤 다면체와 4개의 비볼록 케플러-푸앵소 다면체를 포함하여 9개의 정규 다면체가 있다.

평면 곡선을 평면 내 고정된 선을 축으로 회전시켜 생성된 표면을 회전면이라고 한다. 이때 평면 곡선을 표면의 ''모선''이라고 하며, 축에 수직인 평면으로 회전면을 잘라 만든 단면은 원이 된다. 모선이 축과 만나면 원뿔이, 평행하면 원기둥이 된다.

원뿔 곡선과 유사하게, 데카르트 좌표가 2차 일반 방정식을 만족하는 점들의 집합을 이차 곡면이라고 한다. 비퇴화 이차 곡면에는 타원체, 일엽 쌍곡면, 이엽 쌍곡면, 타원뿔, 타원 포물면, 쌍곡 포물면의 여섯 가지 유형이 있다.

3. 2. 1. 선과 평면

두 개의 서로 다른 점은 항상 선(직선)을 결정한다. 세 개의 서로 다른 점은 공선점이거나 고유한 평면을 결정한다. 반면에 네 개의 서로 다른 점은 공선점, 공면점이거나 전체 공간을 결정할 수 있다.

두 개의 서로 다른 선은 서로 교차하거나, 평행하거나, 엇갈린 위치에 있을 수 있다. 두 개의 평행선 또는 두 개의 교차하는 선은 고유한 평면에 놓이므로, 엇갈린 위치의 직선은 만나지 않고 공통 평면에도 놓이지 않는 선이다.

두 개의 서로 다른 평면은 공통 선에서 만나거나 평행(즉, 만나지 않음)할 수 있다. 세 개의 서로 다른 평면은, 어떤 쌍도 서로 평행하지 않은 경우, 공통 선에서 만나거나, 고유한 공통점에서 만나거나, 공통점을 갖지 않을 수 있다. 마지막 경우, 각 평면 쌍의 교차선 세 개는 서로 평행하다.

선은 주어진 평면에 놓이거나, 고유한 점에서 해당 평면과 교차하거나, 평면에 평행할 수 있다. 마지막 경우, 주어진 선과 평행한 선이 평면 안에 존재한다.

초평면은 전체 공간의 차원보다 1차원 적은 부분 공간이다. 3차원 공간의 초평면은 2차원 부분 공간, 즉 평면이다. 데카르트 좌표계로 표현하면, 초평면의 점들은 단일 선형 방정식을 만족하므로, 이 3차원 공간의 평면은 선형 방정식으로 설명된다. 선은 두 개의 독립적인 선형 방정식으로 설명될 수 있는데, 각 방정식은 이 선을 공통 교차선으로 갖는 평면을 나타낸다.

바리뇽 정리에 따르면

\mathbb{R}^{3}

의 사변형의 중점은 평행사변형을 형성하며, 따라서 공면점이다.

3. 2. 2. 다면체

3차원의 폴리토프는 다면체라고 한다. 3차원의 초구는 구다.

3차원에는 9개의 정규 다면체가 있는데, 5개의 볼록 플라톤 다면체와 4개의 비볼록 케플러-푸앵소 다면체가 있다.

3차원의 정규 다면체
분류	플라톤 다면체					케플러-푸앵소 다면체
대칭	T_d	O_h		I_h
콕서터 군	A₃, [3,3]	B₃, [4,3]		H₃, [5,3]
차수	24	48		120
정다면체	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}	{3,5/2}

3. 2. 3. 구

3차원 공간에서의 구(2차원 객체이므로 '''2-구'''라고도 함)는 3차원 공간에서 중심점으로부터 고정된 거리에 있는 모든 점들의 집합으로 구성된다. 구로 둘러싸인 입체는 공(더 정확히는 '''3-공''')이라고 한다.

공의 부피는 다음과 같다.

:

V = \frac{4}{3}\pi r^{3},

그리고 구의 표면적은 다음과 같다.

:

A = 4\pi r^2.

또 다른 유형의 구는 4-공에서 발생하는데, 이 4-공의 3차원 표면은 '''3-구'''이다. 이는 유클리드 공간의 원점으로부터 등거리에 있는 점들을 의미한다. 점의 좌표가 이라면 는 원점에 중심을 둔 단위 3-구 위의 해당 점들을 특징짓는다.

3. 2. 4. 회전면

평면 곡선을 평면 내의 고정된 선을 축으로 회전시켜 생성된 표면을 회전면이라고 한다. 평면 곡선은 표면의 ''모선''이라고 한다. 표면을 축에 수직(직교)인 평면으로 교차시켜 만든 표면의 단면은 원이다.

모선이 선인 경우 단순한 예가 발생한다. 모선이 축선과 교차하는 경우 회전면은 교차점인 꼭짓점(정점)을 가진 직원뿔 원뿔이다. 그러나 모선과 축이 평행하면 회전면은 원형 원기둥이다.

3. 2. 5. 이차 곡면

원뿔 곡선과 유사하게, 데카르트 좌표가 2차 일반 방정식, 즉

Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Fxy + Gyz + Hxz + Jx + Ky + Lz + M = 0,

을 만족하는 점들의 집합을 이차 곡면이라고 한다. 여기서 A^영어, B^영어, C^영어, F^영어, G^영어, H^영어, J^영어, K^영어, L^영어, M^영어은 실수이고, A^영어, B^영어, C^영어, F^영어, G^영어, H^영어가 모두 0은 아니다.^[5]

비퇴화 이차 곡면에는 여섯 가지 유형이 있다.

# 타원체

# 일엽 쌍곡면

# 이엽 쌍곡면

# 타원뿔

# 타원 포물면

# 쌍곡 포물면

퇴화 이차 곡면은 공집합, 단일 점, 단일 선, 단일 평면, 평면 쌍 또는 이차 기둥(평면 π^영어에 있는 비퇴화 원뿔 곡선과 π^영어에 수직인 원뿔 곡선을 통과하는 모든 선으로 구성된 표면)이다.^[5] 타원뿔은 때때로 퇴화 이차 곡면으로 간주되기도 한다.

일엽 쌍곡면과 쌍곡 포물면은 모두 선면으로, 직선족으로 구성될 수 있다. 실제로 각각 두 개의 생성선족을 가지며, 각 족의 구성원은 서로 소이고 각 족의 구성원은 한 가지 예외를 제외하고 다른 족의 모든 구성원과 교차한다.^[6] 각 족을 규칙선이라고 한다.

4. 선형대수학적 관점

선형대수학에서 3차원 공간을 바라보는 또 다른 방법이 있는데, 여기서는 독립이라는 개념이 매우 중요하다. 공간은 3차원을 가지는데, 그 이유는 상자의 길이는 너비나 폭과 독립적이기 때문이다. 선형대수학의 전문 용어로 표현하자면, 공간은 3차원인데, 그 이유는 공간의 모든 점이 세 개의 독립적인 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있기 때문이다.

4. 1. 내적, 외적

벡터는 화살표로 묘사될 수 있으며, 벡터의 크기는 그 길이이고, 방향은 화살표가 가리키는 방향이다.

\mathbb{R}^{3}

의 벡터는 실수의 순서쌍으로 표현될 수 있으며, 이 숫자들을 벡터의 '''성분'''이라고 한다.

두 벡터

\mathbf{A} = [A_1, A_2, A_3]

와

\mathbf{B} = [B_1, B_2, B_3]

의 내적은 다음과 같이 정의된다.^[7]

:

\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = A_1B_1 + A_2B_2 + A_3B_3 = \sum_{i=1}^3 A_i B_i.

벡터

\mathbf{A}

의 크기는

\|\mathbf{A}\|

로 표시된다. 벡터

\mathbf{A}

와 자기 자신의 내적은

:

\mathbf{A}\cdot\mathbf{A} = \|\mathbf{A}\|^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2,

이며, 이는

:

\|\mathbf{A}\| = \sqrt{\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2},

벡터의 유클리드 길이 공식을 제공한다.

벡터의 성분을 참조하지 않고, 두 개의 0이 아닌 유클리드 벡터

\mathbf{A}

와

\mathbf{B}

의 내적은 다음과 같이 주어진다.^[8]

:

\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = \|\mathbf{A}\|\,\|\mathbf{B}\|\cos\theta,

여기서

\theta

는

\mathbf{A}

와

\mathbf{B}

사이의 각도이다.

외적 또는 벡터곱은 3차원 유클리드 공간의 두 벡터에 대한 이항 연산이며, 기호 ×로 표시된다. 벡터 '''A'''와 '''B'''의 외적 '''A''' × '''B'''는 두 벡터 모두에 수직이므로 두 벡터를 포함하는 평면에 수직인 벡터이다. 수학, 물리학, 공학에서 많은 응용 분야를 가지고 있다.

함수 언어로 외적은 함수

\times: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3

이다.

외적의 성분은

\mathbf{A}\times\mathbf{B} = [A_2 B_3 - B_2 A_3, A_3 B_1 - B_3 A_1, A_1 B_2 - B_1 A_2]

이며, 아인슈타인 합 규약을 사용하여 성분으로

(\mathbf{A}\times\mathbf{B})_i = \varepsilon_{ijk} A_j B_k

로 쓸 수도 있으며, 여기서

\varepsilon_{ijk}

는 레비-치비타 기호이다.

\mathbf{A}\times \mathbf{B} = -\mathbf{B}\times \mathbf{A}

라는 속성을 가진다.

\mathbf{A}

와

\mathbf{B}

사이의 각도

\theta

와 외적의 크기는 다음 항등식으로 관련된다.

:

\left\|\mathbf{A}\times \mathbf{B}\right\| = \left\|\mathbf{A}\right\| \cdot \left\|\mathbf{B}\right\| \cdot \left|\sin\theta\right|.

이 공간과 곱은 체 위의 대수를 형성하며, 이는 교환 법칙도 결합 법칙도 성립하지 않지만 외적이 리 괄호인 리 대수이다. 구체적으로, 곱과 함께하는 공간

(\mathbb{R}^3,\times)

은 3차원 회전의 리 대수와 동형이며,

\mathfrak{so}(3)

로 표시된다. 리 대수의 공리를 만족시키기 위해 외적은 결합 법칙 대신 야코비 항등식을 만족시킨다. 임의의 세 벡터

\mathbf{A}, \mathbf{B}

및

\mathbf{C}

에 대해

:

\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) + \mathbf{B}\times(\mathbf{C}\times\mathbf{A}) + \mathbf{C}\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = 0

n

차원에서

n-1

개의 벡터를 곱하여 모든 벡터에 수직인 벡터를 생성할 수 있다. 그러나 곱이 벡터 결과를 갖는 비자명 이항 곱으로 제한된 경우, 3차원과 7차원에서만 존재한다.^[9]

벡터의 외적을 정의할 수 있다. 즉, 회전이 벡터로 표시되는 유일한 차원이다.

5. 미적분학적 관점

3차원 공간은 벡터 미적분학에서 중요한 연구 대상이다. 벡터 미적분학은 3차원 공간에서의 함수와 벡터장의 변화를 다루는 수학 분야이다.

5. 1. 기울기, 발산, 회전

직교 좌표계에서 (미분 가능한) 함수

f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}

의 기울기는 다음과 같다.

:

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} +\frac{\partial f}{\partial y}  \mathbf{j} +\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}

인덱스 표기법으로는 다음과 같이 표기한다.

(\nabla f)_i = \partial_i f.

(미분 가능한) 벡터장 '''F''' = ''U'' '''i''' + ''V'' '''j''' + ''W'' '''k'''의 발산, 즉 함수

\mathbf{F}:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3

는 다음과 같은 스칼라 값 함수와 같다.

:

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}.

아인슈타인 표기법을 사용한 인덱스 표기법으로는 다음과 같다.

\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial_i F_i.

데카르트 좌표로 전개하면 (원통 좌표계 및 구면 좌표계의 델 연산자 참조) 컬 ∇ × '''F'''는 '''F'''가 [''F''_x, ''F''_y, ''F''_z]로 구성된 경우 다음과 같다.

:

\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\  \\{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\\\  F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}

여기서 '''i''', '''j''', '''k'''는 각각 ''x''축, ''y''축, ''z''축의 단위 벡터이다.^[11] 이는 다음과 같이 전개된다.

:

\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}  - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}.

아인슈타인 표기법을 사용한 인덱스 표기법으로는 다음과 같다.

(\nabla \times \mathbf{F})_i = \epsilon_{ijk}\partial_j F_k,

여기서

\epsilon_{ijk}

는 완전 반대칭 기호인 레비-치비타 기호이다.

5. 2. 선적분, 면적분, 체적분

어떤 스칼라장 ''f'' : ''U'' ⊆ '''R'''^''n'' → '''R'''에 대해, 조각적 매끄러운 곡선 ''C'' ⊂ ''U''를 따라가는 선적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int\limits_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.

여기서 '''r''': [a, b] → ''C''는 곡선 ''C''의 임의의 전단사 매개변수화로, '''r'''(''a'')와 '''r'''(''b'')는 ''C''의 끝점을 나타내고

a < b

이다.

벡터장 '''F''' : ''U'' ⊆ '''R'''^''n'' → '''R'''^''n''에 대해, 조각적으로 매끄러운 곡선 ''C'' ⊂ ''U''를 따라 '''r''' 방향으로의 선적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int\limits_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

여기서 ·는 내적을 나타내며, '''r''': [a, b] → ''C''는 '''r'''(''a'')와 '''r'''(''b'')가 ''C''의 끝점을 나타내는 곡선의 전단사 매개변수화이다.

면적분은 다중 적분을 곡면에 대한 적분으로 일반화한 것이다. 이는 선적분의 이중 적분에 해당하는 것으로 생각할 수 있다. 면적분에 대한 명시적 공식을 찾기 위해, 우리는 관심 있는 곡면 ''S''를 좌표계로 매개변수화해야 하며, 예를 들어 구면 좌표계와 같은 ''S'' 위의 곡선 좌표 시스템을 고려한다. 그러한 매개변수를 '''x'''(''s'', ''t'')라고 하면, 여기서 (''s'', ''t'')는 평면의 어떤 영역 ''T''에서 변화한다. 그러면 면적분은 다음과 같다.

:

\iint_{S} f \,\mathrm dS= \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \left\|{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right\| \mathrm ds\, \mathrm dt

여기서 우변의 막대 사이의 표현은 '''x'''(''s'', ''t'')의 편미분의 외적의 크기이며, 표면 부피 요소로 알려져 있다. ''S''에 대한 벡터장 '''v'''가 주어지면, 즉 ''S''의 각 '''x'''에 벡터 '''v'''('''x''')를 할당하는 함수, 면적분은 스칼라장의 면적분의 정의에 따라 성분별로 정의될 수 있으며, 결과는 벡터이다.

체적분은 ''3차원 영역'' 또는 영역에 대한 적분이다.

피적분 함수가 자명(단위)할 때, 체적분은 단순히 영역의 부피이다.^[12]^[13]

이는 또한

f(x,y,z)

라는 함수의 '''R'''³의 영역 ''D'' 내의 삼중 적분을 의미할 수 있으며, 일반적으로 다음과 같이 작성된다.

:

\iiint\limits_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.

5. 3. 기본 정리

선적분 기본 정리는 경사장 내의 선적분은 곡선의 종점에서 원래의 스칼라장을 평가하여 계산할 수 있다고 말한다.

:

\varphi : U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

이라고 하자. 그러면

:

\varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_{\gamma[\mathbf{p},\,\mathbf{q}]} \nabla\varphi(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}.

스토크스 정리는 유클리드 3차원 공간에서 표면 Σ에 대한 벡터장 F의 회전의 표면 적분을 벡터장의 경계 ∂Σ에 대한 선 적분과 관련시킨다.

:

\iint_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}.

발산 정리는 V^영어가

\mathbb{R}^n

의 부분 집합(n = 3인 경우, V^영어는 3차원 공간의 부피를 나타냄)이며 콤팩트하고 조각별로 매끄러운 경계 S^영어 (∂V 로도 표시됨)를 가질때, F^영어가 V^영어의 근방에서 정의된 연속적으로 미분 가능한 벡터장이라면 다음과 같다.^[14]

왼쪽은 부피 V^영어에 대한 부피 적분이고, 오른쪽은 부피 V^영어의 경계에 대한 면적분이다. 닫힌 다양체 ∂V^영어는 일반적으로 외부를 향하는 법선으로 방향이 지정된 V^영어의 경계이며, n^영어은 경계 ∂V^영어의 외부를 향하는 단위 법선 벡터장이다. (dS^영어는 ndS^영어의 약어로 사용될 수 있다.)

6. 위상수학적 특징

3차원 공간은 다른 차원 수의 공간과 구별되는 여러 가지 위상적 성질을 가지고 있다. 예를 들어, 끈으로 매듭을 만들려면 최소한 세 개의 차원이 필요하다.^[15]

7. 유한 기하학

유한 기하학을 통해 여러 차원 개념을 시험할 수 있다. 가장 간단한 예는 2차원 부분 공간으로 파노 평면을 갖는 PG(3,2)이다. 이는 유한체를 사용하여 사영 기하학을 연구하는 갈루아 기하학의 한 예이다. 따라서 모든 갈루아체 GF(''q'')에 대해 3차원 사영 공간 PG(3,''q'')이 존재한다. 예를 들어, PG(3,''q'')의 세 꼬인선은 정확히 하나의 정규선에 포함된다.^[16]

참조

_[1] 웹사이트 Euclidean space - Encyclopedia of Mathematics https://encyclopedia[...] 2020-08-12
_[2] 웹사이트 Details for IEV number 113-01-02: "space" https://www.electrop[...] 2023-11-07
_[3] 웹사이트 Euclidean space {{!}} geometry https://www.britanni[...] 2020-08-12
_[4] 서적 Calculus : Single and Multivariable John wiley 2013
_[5] 문헌
_[6] 문헌
_[7] 문헌
_[8] 문헌
_[9] 논문 Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces
_[10] 문헌
_[11] 문서
_[12] 웹사이트 IEC 60050 — Details for IEV number 102-04-40: "volume" https://www.electrop[...] 2023-09-19
_[13] 웹사이트 IEC 60050 — Details for IEV number 102-04-39: "three-dimensional domain" https://www.electrop[...] 2023-09-19
_[14] 서적 Vector Analysis McGraw Hill
_[15] 서적 Knots and Links Publish or Perish
_[16] 서적 Projective Geometry Cambridge University Press

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