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공리

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목차

1. 개요

공리(Axiom)는 '가치가 있다 간주되거나 그 자체로 명백하다'는 의미로, 에우클레이데스의 《원론》에서 처음 개념이 기술되었다. 19세기 비유클리드 기하학의 발견과 20세기 초 힐베르트 프로그램, 괴델의 불완전성 정리를 거치면서 공리에 대한 이해는 변화했다. 현대 수학에서 공리는 증명 없이 참으로 간주하는 명제가 아닌, 제약 조건의 집합으로 이해된다. 수리 논리학에서는 논리적 공리와 비논리적 공리로 구분되며, 비논리적 공리는 특정 이론의 가정을 나타낸다. 과학 분야에서도 뉴턴의 운동 법칙 등과 같은 기본 명제들을 '원리' 또는 '가정'으로 사용하며, 실험을 통해 반증될 수 있다.

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공리
정의
공리스스로 명백하다고 여겨지는 자명한 진리, 증명 없이 참으로 인정되는 명제
어원그리스어 "ἀξίωμα" (axioma)에서 유래, "타당한 것" 또는 "가치 있는 것"을 의미
철학적 의미논리학과 수학에서 기초적인 가정, 연역적 추론의 출발점
수학적 공리
유클리드 기하학 공리임의의 두 점을 연결하는 직선을 그을 수 있다.
임의의 선분을 무한히 연장할 수 있다.
임의의 점을 중심으로 하는 원을 그릴 수 있다.
모든 직각은 서로 같다.
"한 직선과 평행하지 않은 다른 직선이 만나는 각도의 합은 180도 미만이다." (평행선 공준)
집합론 공리"외연 공리": 원소가 같으면 두 집합은 같다.
"공집합 공리": 원소가 없는 집합이 존재한다.
"쌍 공리": 두 집합으로 이루어진 집합이 존재한다.
"합집합 공리": 집합들의 합집합이 존재한다.
"멱집합 공리": 집합의 모든 부분집합으로 이루어진 멱집합이 존재한다.
"무한 공리": 자연수 집합과 유사한 무한 집합이 존재한다.
"선택 공리": 비어 있지 않은 집합들의 모임에서 각 집합마다 원소를 하나씩 선택하여 새 집합을 만들 수 있다.
페아노 공리자연수의 성질을 규정하는 공리
논리학적 공리
동일률A는 A이다
모순율A는 A이면서 동시에 A가 아닐 수 없다.
배중률어떤 명제 A에 대해 A이거나 A가 아니다.
공리계
정의공리와 정의들의 모음
역할특정 수학적 이론을 연역적으로 전개하는 데 사용
예시유클리드 기하학
비유클리드 기하학
집합론
산술
공리의 역할
이론의 기초모든 수학적, 논리적 이론의 기반
논리적 추론공리를 바탕으로 다른 명제를 증명
자명성일반적으로 논쟁의 여지가 없는 자명한 명제로 간주
주의 사항
절대적 진리 아님공리는 상대적으로 받아들여지는 것, 절대적인 진리 아님
반박 불가능공리는 증명이나 반박의 대상이 아님
선택 가능다른 공리계를 선택하여 다른 이론을 전개 가능
참고
관련 개념정리, 가설, 명제, 공준
영어axiom, postulate

2. 역사

axiom|액시엄영어의 어원은 그리스어 ἀξίωμα|악시오마grc이며, '가치가 있다고 여겨지거나 그 자체로 명백하다'라는 의미를 가진다.[19] 이 단어의 개념이 기술된 현존하는 문서 중 가장 오래된 것은 기원전 300년경 그리스에서 쓰인 유클리드의 원론이다.

원론에는 5개의 공준[20]이 있었는데, 이들은 이후 공리로 인식되었다. 특히, 마지막 제5공준(평행선 공준)은 자명하지 않아, 다른 4개의 공리로부터 도출될 수 있는지에 대한 의문(평행선 문제)이 제기되었다.

19세기에는 가우스, 보야이, 로바체프스키 등에 의해 처음 4개의 공리는 만족하지만 평행선 공준은 만족하지 않는 비유클리드 기하학(쌍곡 기하학 등)이 구성되면서 평행선 문제는 부정적으로 해결되었다. 이는 상호 양립할 수 없는 전제에 기반한 다양한 수학 체계가 존재할 수 있음을 보여주었다.

20세기 초, 다비트 힐베르트를 중심으로 수학의 추상화 및 형식화가 추진되며 공리에 기반한 이론 전개가 강조되었다. 힐베르트 프로그램은 모순이 없고, 반드시 성립하는 명제가 모두 증명 가능한 공리계를 목표로 했다. 그러나 쿠르트 괴델의 괴델의 불완전성 정리에 의해 이러한 형식화에는 한계가 있음이 밝혀졌다.

2. 1. 고대 그리스

axiom|액시엄영어의 어원은 그리스어 ἀξίωμα|악시오마grc이며, '가치가 있다고 여겨지거나 그 자체로 명백하다'라는 의미를 가진다.[19] 공리 개념이 명확하게 기술된 현존하는 가장 오래된 문서는 기원전 300년경 그리스에서 쓰여진 유클리드의 원론이다.

원론에는 다음과 같은 5가지 공준[20]이 제시되어 있다.

# 두 점을 지나는 직선을 그릴 수 있다.

# 선분은 양쪽으로 무한히 연장할 수 있다.

# 한 점을 중심으로 하고 임의의 길이의 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.

# 모든 직각은 서로 같다.

# 한 직선이 두 직선과 만나고, 같은 쪽 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 이 두 직선은 무한히 연장했을 때, 두 직각보다 작은 각이 있는 쪽에서 만난다. ( 평행선 공준)

이후 이 공준들은 공리로 인식되었지만, 제5공준( 평행선 공준)은 다른 공준들만큼 자명하지 않아, 다른 4개의 공리로부터 도출될 수 있는 정리인지에 대한 의문이 제기되었다(평행선 문제).

19세기에 가우스, 보야이, 로바체프스키 등에 의해, 처음 네 개의 공리가 성립하고 평행선 공준이 성립하지 않는 기하학 체계(타원 기하학, 쌍곡 기하학)가 구성됨으로써 평행선 문제는 부정적으로 해결되었다. 평행선 공리를 가정하여 전개되는 유클리드 기하학에 대하여, 쌍곡 기하학처럼 처음 네 개의 공리는 만족하지만 평행선 공리만 만족하지 않는 기하학을 비유클리드 기하학이라고 한다. 비유클리드 기하학의 발견으로 상호 양립할 수 없는 전제에 기반한 다양한 수학 체계가 존재할 수 있다는 것이 인식되었다.

2. 2. 현대적 발전

axiom|액시엄영어의 어원은 ἀξίωμα|악시오마grc이며, '가치가 있다 간주되거나 그 자체로 명백하다'라는 의미를 가지고 있다.[19] 이 단어의 개념이 기술된 현존하는 문서 중 가장 오래된 것은, 기원전 300년 경에 그리스에서 쓰인 에우클레이데스의 원론이다.

19세기에 카를 프리드리히 가우스, 보여이 야노시, 니콜라이 로바쳅스키 등에 의해, 유클리드의 최초 4개 공리가 성립하면서 평행선 공준이 성립하지 않는 쌍곡기하학 체계가 구성되었다. 유클리드 기하학처럼 최초 4개 공리는 만족하지만 평행선 공준만 만족하지 않는 기하학을 비유클리드 기하학이라 부른다. 비유클리드 기하학의 발견으로, 서로 양립할 수 없는 전제에 기반한 여러 가지 수학 체계가 있을 수 있음이 인식되었다.

20세기 초, 다비트 힐베르트를 중심으로 수학의 추상화 및 형식화가 추진되며, 공리에 의거하여 이론을 전개하려는 입장이 강조되었다. 공리계에서 얻어야 할 타당성으로 모순이 유도되지 않는 것, 반드시 성립할 명제는 모두 증명이 가능할 것 등이 언급되었다.

힐베르트는 유한한 데이터에 의해 결정되며 타당성을 갖춘 공리계를 바탕으로 수학을 여러 영역으로 전개하는 데 힘썼다. 힐베르트의 생각은 펠릭스 하우스도르프의 위상 공간 이론, 니콜라 부르바키의 수학 재편성 등을 통해 20세기 수학에 큰 영향을 끼쳤다. 그러나 1931년 쿠르트 괴델이 제창한 괴델의 불완전성 정리에 의해 '보통의 수학'(자연수론) 형식화의 한계가 밝혀지며, 완전하고 모순이 없는 공리계로 형식화하는 것은 불가능함이 밝혀졌다.

지난 150년 동안 수학이 얻은 교훈 중 하나는 수학적 주장(공리, 가정, 명제, 정리)과 정의에서 의미를 제거하는 것이 유용하다는 점이다. 어떤 연구에서든 원시 개념 또는 정의되지 않은 용어나 개념의 필요성을 인정해야 한다. 이러한 추상화 또는 형식화는 수학적 지식을 더 일반화하고, 여러 가지 다른 의미를 가질 수 있게 하며, 따라서 여러 맥락에서 유용하게 만든다. 알레산드로 파도아, 마리오 피에리, 주세페 페아노는 이러한 운동의 선구자였다.

구조주의 수학은 더 나아가 어떤 특정한 응용도 염두에 두지 않고 이론과 공리를 개발한다(예: 체 이론, 군 이론, 위상, 벡터 공간). "공리"와 "가정"의 구분은 사라진다. 유클리드의 가정은 그것들이 풍부한 기하학적 사실로 이어진다고 말함으로써 유익하게 동기를 부여받는다. 그러나 유클리드의 다섯 번째 가정을 버림으로써 더 넓은 맥락에서 의미를 갖는 이론(예: 쌍곡 기하학)을 얻을 수 있다. 따라서 "선", "평행"과 같은 라벨을 더 큰 유연성으로 사용할 준비를 해야 한다. 쌍곡 기하학의 발전은 수학자들에게 가정을 순전히 형식적인 진술로 간주하고 경험에 기반한 사실로 간주하지 않는 것이 유용하다는 것을 가르쳐 주었다.

수학자들이 체 공리를 사용할 때, 그 의도는 더욱 추상적이다. 체 이론의 명제는 어떤 특정한 응용에도 관심이 없다. 수학자는 이제 완전한 추상화 속에서 작업한다. 체의 예는 많으며, 체 이론은 그것들 모두에 대해 정확한 지식을 제공한다.

현대 수학은 그 기초를 그 정도로 형식화하여 수학 이론을 수학적 대상으로 간주할 수 있으며, 수학 자체를 논리의 한 분야로 간주할 수 있다. 프레게, 러셀, 푸앵카레, 힐베르트, 괴델은 이러한 발전의 핵심 인물들이다.

현대적인 이해에 따르면, 공리 집합은 다른 형식적으로 진술된 주장이 따르는 형식적으로 진술된 주장의 모음이다. 특정 잘 정의된 규칙을 적용함으로써, 이 관점에서 논리는 단지 또 다른 형식 시스템이 된다. 공리 집합은 모순이 없어야 한다. 즉, 공리에서 모순을 도출하는 것은 불가능해야 한다. 공리 집합은 또한 중복되지 않아야 한다. 다시 말해, 다른 공리로부터 추론할 수 있는 주장은 공리로 간주될 필요가 없다.

초기 현대 논리학자들의 희망은 수학의 다양한 분야, 아마도 모든 수학을 일관된 기본 공리의 모음으로부터 도출할 수 있다는 것이었다. 형식주의 프로그램의 초기 성공은 힐베르트의 유클리드 기하학 형식화[11]였고, 그 공리의 일관성에 대한 관련 증명이었다.

더 넓은 맥락에서, 모든 수학을 칸토어의 집합론에 기초하려는 시도가 있었다. 여기서 러셀의 역설과 순진적 집합론의 유사한 반례의 출현은 그러한 시스템이 일관성이 없는 것으로 판명될 가능성을 제기했다.

형식주의 프로젝트는 괴델이 어떤 충분히 큰 공리 집합(예: 페아노 공리)에 대해 그 공리 집합과 독립적인 진실인 명제를 구성할 수 있다는 것을 보였을 때 좌절을 겪었다. 따름정리로서 괴델은 페아노 산술과 같은 이론의 일관성이 그 이론의 범위 내에서 증명할 수 없는 주장이라는 것을 증명했다.[12]

페아노 산술의 일관성을 믿는 것은 타당하다. 왜냐하면 그것은 자연수 시스템, 무한하지만 직관적으로 접근 가능한 형식 시스템에 의해 만족되기 때문이다. 그러나 현재로서는 집합론에 대한 현대 체르멜로-프렝켈 공리의 일관성을 증명하는 알려진 방법이 없다. 더욱이, 강제( 코헨)의 기술을 사용하여 연속체 가설(칸토어)이 체르멜로-프렝켈 공리와 독립적임을 보일 수 있다.[13] 따라서 이 매우 일반적인 공리 집합조차도 수학의 결정적인 기초로 간주될 수 없다.

3. 공리의 예

다음은 공리의 예시이다.


  • 명제 P가 성립한다면, 명제 "P 또는 Q"도 성립한다.
  • 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 지나는 직선을 그릴 수 있다(유클리드 기하학).
  • ''a''=''b'' 이라면, ''a''+''c'' = ''b''+''c''이다.
  • 어떤 자연수에 대해서도, 그 수의 "다음" 자연수(따름수)가 존재한다(페아노 공리).
  • 어떤 것도 포함하지 않는 집합(공집합)이 존재한다(공리적 집합론).
  • 집합 ''S''와 조건식 ''P''가 주어졌을 때, ''S''의 원소 중 조건 ''P''(''x'')를 만족하는 ''x''만으로 이루어진 집합을 만들 수 있다(공리적 집합론).

3. 1. 수학


  • 명제 P가 성립한다면, 명제 'P 또는 Q'도 성립한다.
  • 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다(유클리드 기하학).
  • 평행하지 않은 두 개의 서로 다른 직선은 단 한 점에서 만난다(유클리드 기하학).
  • ''a''=''b'' 이면, ''a''+''c'' = ''b''+''c''이다(유클리드 원론 참조).
  • 어떤 자연수에 대해서도, 그 수의 "다음" 자연수가 존재한다(페아노 공리).
  • 어떤 것도 포함하지 않는 집합(공집합)이 존재한다(공리적 집합론).
  • 집합 ''S''와 조건식 ''P''가 주어졌을 때, ''S''의 원소 중 조건 ''P''(''x'')를 만족하는 ''x''만으로 이루어진 집합을 만들 수 있다(공리적 집합론).
  • 모든 집합 ''x''에 대해, ''x'' ∈ ''U''인 그로텐디크 우주 ''U''가 존재한다(그로텐디크 우주).


공리에 기반하여 증명되는 명제를 정리라고 한다. 다음은 정리의 예시이다.

axiom|액시엄영어의 어원은 ἀξίωμα|악시오마grc이며, '가치가 있다고 간주되거나 그 자체로 명백하다'라는 의미를 가지고 있다. 이 단어의 개념이 기술된 현존하는 문서 중 가장 오래된 것은, 기원전 300년 경에 그리스에서 쓰인 에우클레이데스의 원론이다.

원론 제1권에는 다음 5개의 공리(또는 공준)가 열거되어 있다.

  • 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다.
  • 임의의 선분을 직선으로 연장할 수 있다.
  • 한 점을 중심으로 임의의 반경의 원을 그릴 수 있다.
  • 모든 직각은 서로 같다.
  • 임의의 직선이 두 직선과 교차할 때, 교차되는 각의 내각의 합이 두 직각(180도)보다 작을 때, 두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차한다. (평행선의 공리, 제5공리)


제5공리는 '평행선의 엇각은 같다', '한 직선의 바깥의 어떤 점을 지나면서 그 직선과 평행한 직선은 하나가 있다'라는 명제와 동치인 것으로 알려져 있으며, '평행선의 공리'라고도 불린다. 이 공리는 다른 네 공리와는 달리 자명하지 않아, 이 공리를 다른 네 공리에서 유도할 수 있는가를 둘러싸고 의문이 이어왔다. (평행선의 문제)

19세기에 접어들어, 카를 프리드리히 가우스, 보여이 야노시, 니콜라이 로바쳅스키 등에 의해, 유클리드의 최초의 4개의 공리가 성립하면서 제5공리가 성립하지 않는 기하학 체계(쌍곡기하학)가 구성되게 되었다. 제5공리를 가정으로 발전된 기하학(유클리드 기하학)에 대하여, 쌍곡기하학처럼 최초의 4개 공리는 만족하나 제5공리를 만족하지 않는 기하학을 비유클리드 기하학이라 부른다. 쌍곡기하학의 발견으로, 서로 양립하지 않는 전제에 근거하여 여러 가지 수학의 체계가 있을 수 있음이 인식되게 되었다.

20세기를 필두로, 다비트 힐베르트를 중심으로 수학의 추상화 및 형식화가 추진되며, 공리에 의거하여 이론을 전개하려는 입장이 강조되었다. 공리계에서 얻어야 할 타당성으로 모순이 유도되지 않을 것, 반드시 성립할 명제는 모두 증명이 가능할 것 등이 여기서 언급되었다.

힐베르트는 유한의 데이터에 의해 결정되며 타당성을 갖춘 공리계를 바탕으로 수학을 여러 영역의 전개에 힘썼다. 힐베르트의 생각은 펠릭스 하우스도르프의 위상 공간 이론, 니콜라 부르바키의 수학의 재편성 등을 통해 20세기 수학에 큰 영향을 끼쳤다. 그러나 1931년 쿠르트 괴델이 제창한 괴델의 불완전성 정리에 의해 '보통의 수학'(자연수론)의 형식화의 한계가 밝혀지며, 완전하고 모순이 없는 공리계로 형식화하는 것은 불가능함이 밝혀졌다.

연역적 방법, 즉 건전한 논증(삼단논법, 추론규칙)을 적용하여 전제(기존 지식)로부터 결론(새로운 지식)을 도출하는 방법은 고대 그리스인들에 의해 개발되었으며, 현대 수학의 핵심 원리가 되었다. 토톨로지를 제외하고, 아무것도 가정하지 않으면 아무것도 추론할 수 없다. 따라서 공리와 공준은 주어진 연역적 지식의 기본적인 가정이다. 이들은 증명 없이 받아들여진다. 다른 모든 주장(수학의 경우 정리)은 이러한 기본적인 가정을 이용하여 증명되어야 한다. 그러나 수학적 지식에 대한 해석은 고대부터 현대까지 변화해 왔으며, 결과적으로 "공리"와 "공준"이라는 용어는 오늘날 수학자들에게 아리스토텔레스와 유클리드에게 의미했던 것과는 약간 다른 의미를 갖는다.[6]

고대 그리스인들은 기하학을 여러 과학 중 하나로 여겼으며, 기하학의 정리를 과학적 사실과 동등하게 여겼다. 따라서 그들은 오류를 피하고 지식을 구조화하고 전달하는 수단으로 연역적 방법을 개발하고 사용했다. 아리스토텔레스의 후설분석론은 고전적인 견해를 명확하게 보여주는 논문이다.[9]

고전적인 용어에서 "공리"는 많은 과학 분야에 공통적인 자명한 가정을 의미했다. 좋은 예로 다음과 같은 주장이 있다.

> 같은 것에서 같은 양을 빼면 같은 양이 남는다.

다양한 과학의 기초에는 증명 없이 받아들여지는 특정 추가 가설이 놓여 있다. 이러한 가설은 "공준"이라고 불렸다. 공리는 많은 과학에 공통적이었지만, 각 과학의 공준은 달랐다. 그 타당성은 실제 경험을 통해 확립되어야 했다. 아리스토텔레스는 학습자가 공준의 진실성에 대해 의심하는 경우 과학의 내용을 성공적으로 전달할 수 없다고 경고한다.[10]

고전적인 접근 방식은 유클리드의 ''원론''에 잘 설명되어 있다. 여기에는 공준 목록(우리의 경험에서 얻은 상식적인 기하학적 사실)과 "공통 개념"(매우 기본적이고 자명한 주장) 목록이 제시되어 있다.

  • 공준

:* 어떤 점에서 다른 어떤 점까지 직선을 그을 수 있다.

:* 선분을 양쪽 방향으로 연속적으로 연장할 수 있다.

:* 어떤 중심과 어떤 반지름으로 원을 그릴 수 있다.

:* 모든 직각은 서로 같다.

:* (평행선 공준) 두 직선 위에 떨어지는 한 직선이 같은 쪽의 내각의 합이 두 직각보다 작게 만들면, 두 직선은 무한히 연장될 때, 두 직각보다 작은 각이 있는 쪽에서 교차한다.

  • 공통 개념:

:* 같은 것과 같은 것은 서로 같다.

:* 같은 것에 같은 것을 더하면 전체도 같다.

:* 같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지도 같다.

:* 서로 일치하는 것은 서로 같다.

:* 전체는 부분보다 크다.

지난 150년 동안 수학이 얻은 교훈 중 하나는 수학적 주장(공리, 가정, 명제, 정리)과 정의에서 의미를 제거하는 것이 유용하다는 점이다. 어떤 연구에서든 원시 개념 또는 정의되지 않은 용어나 개념의 필요성을 인정해야 한다. 이러한 추상화 또는 형식화는 수학적 지식을 더 일반화하고, 여러 가지 다른 의미를 가질 수 있게 하며, 따라서 여러 맥락에서 유용하게 만든다. 알레산드로 파도아, 마리오 피에리, 그리고 주세페 페아노는 이러한 운동의 선구자였다.

구조주의 수학은 더 나아가 어떤 특정한 응용도 염두에 두지 않고 이론과 공리를 개발한다(예: 체 이론, 군 이론, 위상, 벡터 공간). "공리"와 "가정"의 구분은 사라진다. 유클리드의 가정은 그것들이 풍부한 기하학적 사실로 이어진다고 말함으로써 유익하게 동기를 부여받는다. 이러한 복잡한 사실들의 진실성은 기본적인 가설의 수용에 달려 있다. 그러나 유클리드의 다섯 번째 가정을 버림으로써 더 넓은 맥락에서 의미를 갖는 이론을 얻을 수 있다(예: 쌍곡 기하학). 따라서 "선"과 "평행"과 같은 라벨을 더 큰 유연성으로 사용할 준비를 해야 한다. 쌍곡 기하학의 발전은 수학자들에게 가정을 순전히 형식적인 진술로 간주하고 경험에 기반한 사실로 간주하지 않는 것이 유용하다는 것을 가르쳐 주었다.

수학자들이 체 공리를 사용할 때, 그 의도는 더욱 추상적이다. 체 이론의 명제는 어떤 특정한 응용에도 관심이 없다. 수학자는 이제 완전한 추상화 속에서 작업한다. 체의 예는 많다. 체 이론은 그것들 모두에 대해 정확한 지식을 제공한다.

체 이론의 공리가 "증명 없이 참으로 간주되는 명제"라고 말하는 것은 정확하지 않다. 오히려 체 공리는 제약 조건의 집합이다. 주어진 덧셈과 곱셈 시스템이 이러한 제약 조건을 만족한다면, 이 시스템에 대한 많은 추가 정보를 즉시 알 수 있는 위치에 있게 된다.

현대 수학은 그 기초를 그 정도로 형식화하여 수학 이론을 수학적 대상으로 간주할 수 있으며, 수학 자체를 논리의 한 분야로 간주할 수 있다. 프레게, 러셀, 푸앵카레, 힐베르트, 그리고 괴델은 이러한 발전의 핵심 인물들이다.

현대 수학에서 얻은 또 다른 교훈은 주장되는 증명을 숨겨진 가정에 대해 주의 깊게 조사하는 것이다.

현대적인 이해에 따르면, 공리 집합은 다른 형식적으로 진술된 주장이 따르는 형식적으로 진술된 주장의 모음이다 – 특정 잘 정의된 규칙을 적용함으로써. 이 관점에서 논리는 단지 또 다른 형식 시스템이 된다. 공리 집합은 모순이 없어야 한다; 공리에서 모순을 도출하는 것은 불가능해야 한다. 공리 집합은 또한 중복되지 않아야 한다; 다른 공리로부터 추론할 수 있는 주장은 공리로 간주될 필요가 없다.

초기 현대 논리학자들의 희망은 수학의 다양한 분야, 아마도 모든 수학을 일관된 기본 공리의 모음으로부터 도출할 수 있다는 것이었다. 형식주의 프로그램의 초기 성공은 힐베르트의 유클리드 기하학의 형식화[11]였고, 그 공리의 일관성에 대한 관련 증명이었다.

더 넓은 맥락에서, 모든 수학을 칸토어의 집합론에 기초하려는 시도가 있었다. 여기서 러셀의 역설과 순진적 집합론의 유사한 반례의 출현은 그러한 시스템이 일관성이 없는 것으로 판명될 가능성을 제기했다.

형식주의 프로젝트는 괴델이 어떤 충분히 큰 공리 집합(예: 페아노 공리)에 대해 그 공리 집합과 독립적인 진실인 명제를 구성할 수 있다는 것을 보였을 때 좌절을 겪었다. 따름정리로서 괴델은 페아노 산술과 같은 이론의 일관성이 그 이론의 범위 내에서 증명할 수 없는 주장이라는 것을 증명했다.[12]

페아노 산술의 일관성을 믿는 것은 타당하다. 왜냐하면 그것은 자연수 시스템, 무한하지만 직관적으로 접근 가능한 형식 시스템에 의해 만족되기 때문이다. 그러나 현재로서는 집합론에 대한 현대 체르멜로-프렝켈 공리의 일관성을 증명하는 알려진 방법이 없다. 더욱이, 강제( 코헨)의 기술을 사용하여 연속체 가설(칸토어)이 체르멜로-프렝켈 공리와 독립적임을 보일 수 있다.[13] 따라서 이 매우 일반적인 공리 집합조차도 수학의 결정적인 기초로 간주될 수 없다.

3. 2. 논리학


  • 명제 P가 성립한다면, 명제 'P 또는 Q'도 성립한다.
  • 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다. (유클리드 기하학)
  • a=b 이면, a+c = b+c이다.
  • 어떤 자연수에 대해서도, 그 수의 '다음' 자연수(따름수)가 존재한다. (페아노의 공리)
  • 어떤 것도 포함하지 않는 집합(공집합)이 존재한다. (공리적 집합론)
  • 집합 S와 조건식 P가 주어졌을 때, S의 원소 중에서, 조건 P(x)를 만족하는 x만으로 구성된 집합을 만들 수 있다. (공리적 집합론)


한편, 공리를 근거로 하여 증명되는 명제는 정리이다.

예) 삼각형의 내각의 합은 180도이다. (유클리드 기하학)

수학 논리학에서 공식(Formula (mathematical logic))은 형식 언어 내에서 참(true)으로 평가되는 명제이다. 즉, 모든 값 할당(Assignment (mathematical logic))에 의해 만족되는 공식이다. 일반적으로 모든 항진 명제를 증명하기에 충분한 최소한의 항진 명제 집합을 논리적 공리(logical axioms)로 사용한다. 술어 논리의 경우, 엄밀한 의미에서 항진 명제가 아닌 논리적 진리를 증명하기 위해서는 그보다 더 많은 논리적 공리가 필요하다.

4. 수리 논리학

수리 논리학에서는 공리를 '논리적 공리'와 '비논리적 공리' 두 가지로 구분한다. 이는 고대의 "공리"와 "가정" 구분과 유사하다.

비논리적 공리는 특정 이론에서 가정 역할을 하는 공식이다. 자연수와 정수처럼 서로 다른 구조에 대한 추론에는 같은 논리적 공리가 포함될 수 있다. 비논리적 공리는 특정 구조(또는 군과 같은 구조의 집합)에 대해 특별한 것을 포착하는 것을 목표로 하므로, 논리적 공리와 달리 ''항진명제''가 아니다. 비논리적 공리의 다른 이름은 ''가정''이다.[16]

거의 모든 현대 수학 이론은 주어진 비논리적 공리 집합에서 시작하며, 원칙적으로 모든 이론을 이러한 방식으로 공리화하고 논리 공식의 언어까지 형식화할 수 있다고 생각되었다.

비논리적 공리는 수학적 담론에서 단순히 ''공리''라고 불리는 경우가 많다. 이것이 어떤 절대적인 의미에서 참이라고 주장하는 것은 아니다. 예를 들어, 어떤 군에서는 군 연산이 교환법칙을 따르며, 이를 주장하기 위해 추가적인 공리를 도입할 수 있지만, 이 공리가 없더라도 (보다 일반적인) 군 이론을 잘 발전시킬 수 있으며, 비교환적 군 연구를 위한 공리로 그 부정을 취할 수도 있다.

4. 1. 논리적 공리


  • 명제 P가 성립한다면, 명제 'P 또는 Q'도 성립한다.
  • a=b 이면, a+c = b+c이다.
  • 술어 논리의 경우, 엄밀한 의미에서 항진 명제가 아닌 논리적 진리를 증명하기 위해서는 그보다 더 많은 논리적 공리가 필요하다.

4. 2. 비논리적 공리

'''비논리적 공리'''는 특정 이론에서 가정 역할을 하는 공식이다. 예를 들어, 자연수와 정수처럼 서로 다른 두 구조에 대한 추론에는 같은 논리적 공리가 포함될 수 있다. 비논리적 공리는 특정 구조(또는 군과 같은 구조의 집합)에 대해 특별한 것을 포착하는 것을 목표로 한다. 따라서 비논리적 공리는 논리적 공리와 달리 ''항진명제''가 아니다. 비논리적 공리의 다른 이름은 ''가정''이다.[16]

거의 모든 현대 수학 이론은 주어진 비논리적 공리 집합에서 시작한다. 비논리적 공리는 수학적 담론에서 단순히 ''공리''라고 불리는 경우가 많다. 이것은 그것들이 어떤 절대적인 의미에서 참이라고 주장하는 것을 의미하지 않는다. 예를 들어, 어떤 군에서는 군 연산이 교환법칙을 따르며, 추가적인 공리를 도입하여 이를 주장할 수 있지만, 이 공리가 없더라도 (보다 일반적인) 군 이론을 잘 발전시킬 수 있으며, 비교환적 군 연구를 위한 공리로 그 부정을 취할 수도 있다.

다음은 몇 가지 공리의 예시이다.

  • 명제 P가 성립한다면, 명제 "P 또는 Q"도 성립한다.
  • 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 지나는 직선을 그릴 수 있다(유클리드 기하학).
  • 평행하지 않은 두 개의 서로 다른 직선은 단 한 점에서 만난다(유클리드 기하학).
  • ''a''=''b'' 이라면, ''a''+''c'' = ''b''+''c''이다(유클리드 원론 참조).
  • 어떤 자연수에 대해서도, 그 수의 "다음" 자연수가 존재한다(페아노 공리).
  • 어떤 것도 포함하지 않는 집합(공집합)이 존재한다(공리적 집합론).
  • 집합 ''S''와 조건식 ''P''가 주어졌을 때, ''S''의 원소 중 조건 ''P''(''x'')를 만족하는 ''x''만으로 이루어진 집합을 만들 수 있다(공리적 집합론).
  • 모든 집합 ''x''에 대해, ''x'' ∈ ''U''인 그로텐디크 우주 ''U''가 존재한다(그로텐디크 우주).


공리에 기반하여 증명되는 명제를 정리라고 한다. 다음은 정리의 예시이다.

5. 공리의 필요성

거의 모든 현대 수학 이론은 주어진 비논리적 공리 집합에서 시작하며, 원칙적으로 모든 이론을 이러한 방식으로 공리화하고 논리 공식의 맨 바닥 언어까지 형식화할 수 있다고 생각되었다.[16] 비논리적 공리는 수학적 담론에서 단순히 ''공리''로 불리는 경우가 많다. 이것은 그것들이 어떤 절대적인 의미에서 참이라고 주장하는 것을 의미하지 않는다. 예를 들어, 어떤 군에서는 군 연산이 교환법칙을 따르며, 추가적인 공리를 도입하여 이를 주장할 수 있지만, 이 공리가 없더라도 (보다 일반적인) 군 이론을 잘 발전시킬 수 있으며, 비교환적 군 연구를 위한 공리로 그 부정을 취할 수도 있다.

일반적으로 "수학은 모든 것을 증명하는 학문이다"라는 생각은 잘못된 것이다. A가 B로부터 증명되고, B는 C로부터 증명되고, C는 D로부터 증명되는 식으로 원인을 거슬러 올라가다 보면 무한히 거슬러 올라갈 수는 없다. 인간은 유한한 시간만 살 수 있기 때문에, 무한히 긴 증명을 모두 읽을 수 없기 때문이다.(유한주의) 이 때문에 어딘가에서 거슬러 올라가는 것을 포기하고, 몇 가지 명제를 무비판적으로 받아들여야 한다. 이 무비판적으로 받아들이는 명제가 "공리"이다.

6. 공리의 형식성

지난 150년 동안 수학은 수학적 주장(공리, 가정, 명제, 정리)과 정의에서 의미를 제거하는 것이 유용하다는 교훈을 얻었다. 모든 연구에서는 원시 개념처럼 정의되지 않은 용어나 개념이 필요하다. 이러한 추상화 또는 형식화는 수학적 지식을 더 일반화하고, 여러 가지 의미를 가질 수 있게 하여, 다양한 맥락에서 유용하게 만든다. 알레산드로 파도아, 마리오 피에리, 주세페 페아노는 이러한 운동의 선구자였다.

구조주의 수학은 더 나아가 특정 응용을 고려하지 않고 이론과 공리를 개발한다(예: 체 이론, 군 이론, 위상, 벡터 공간). "공리"와 "가정"의 구분은 사라진다. 유클리드의 가정은 풍부한 기하학적 사실을 이끌어낸다는 점에서 유익하다. 그러나 유클리드의 다섯 번째 가정을 버리면 더 넓은 맥락에서 의미를 갖는 이론(예: 쌍곡 기하학)을 얻을 수 있다. 쌍곡 기하학의 발전은 수학자들에게 가정을 순전히 형식적인 진술로 간주하고 경험에 기반한 사실로 간주하지 않는 것이 유용하다는 것을 가르쳐 주었다.

수학자들이 체 공리를 사용할 때, 그 의도는 더욱 추상적이다. 체 이론의 명제는 어떤 특정한 응용에도 관심이 없다. 수학자는 이제 완전한 추상화 속에서 작업한다. 체의 예는 많고, 체 이론은 그것들 모두에 대해 정확한 지식을 제공한다. 체 이론의 공리가 "증명 없이 참으로 간주되는 명제"라고 말하는 것은 정확하지 않다. 오히려 체 공리는 제약 조건의 집합이다. 덧셈과 곱셈 시스템이 이러한 제약 조건을 만족한다면, 이 시스템에 대한 많은 추가 정보를 즉시 알 수 있다.

현대 수학은 그 기초를 형식화하여 수학 이론을 수학적 대상으로 간주할 수 있으며, 수학 자체를 논리의 한 분야로 간주할 수 있다. 프레게, 러셀, 푸앵카레, 힐베르트, 괴델은 이러한 발전의 핵심 인물들이다. 현대 수학은 주장되는 증명을 숨겨진 가정에 대해 주의 깊게 조사해야 한다는 교훈을 얻었다.

현대적인 이해에 따르면, 공리 집합은 다른 형식적으로 진술된 주장이 따르는 형식적으로 진술된 주장의 모음이다. 이 관점에서 논리는 단지 또 다른 형식 시스템이 된다. 공리 집합은 모순이 없어야 한다. 즉, 공리에서 모순을 도출하는 것은 불가능해야 한다. 공리 집합은 또한 중복되지 않아야 한다. 즉, 다른 공리로부터 추론할 수 있는 주장은 공리로 간주될 필요가 없다.

초기 현대 논리학자들의 희망은 수학의 다양한 분야, 아마도 모든 수학을 일관된 기본 공리의 모음으로부터 도출할 수 있다는 것이었다. 형식주의 프로그램의 초기 성공은 힐베르트의 유클리드 기하학의 형식화[11]와 그 공리의 일관성에 대한 증명이었다. 더 넓은 맥락에서, 모든 수학을 칸토어의 집합론에 기초하려는 시도가 있었다. 여기서 러셀의 역설과 순진적 집합론의 유사한 반례의 출현은 그러한 시스템이 일관성이 없는 것으로 판명될 가능성을 제기했다.

형식주의 프로젝트는 괴델이 어떤 충분히 큰 공리 집합(예: 페아노 공리)에 대해 그 공리 집합과 독립적인 진실인 명제를 구성할 수 있다는 것을 보였을 때 좌절을 겪었다. 따름정리로서 괴델은 페아노 산술과 같은 이론의 일관성이 그 이론의 범위 내에서 증명할 수 없는 주장이라는 것을 증명했다.[12] 페아노 산술의 일관성을 믿는 것은 타당하다. 왜냐하면 그것은 자연수 시스템, 무한하지만 직관적으로 접근 가능한 형식 시스템에 의해 만족되기 때문이다. 그러나 현재로서는 집합론에 대한 현대 체르멜로-프렝켈 공리의 일관성을 증명하는 알려진 방법이 없다. 더욱이, 강제( 코헨)의 기술을 사용하여 연속체 가설(칸토어)이 체르멜로-프렝켈 공리와 독립적임을 보일 수 있다.[13] 따라서 이 매우 일반적인 공리 집합조차도 수학의 결정적인 기초로 간주될 수 없다.

초기 수학자들은 공리적 기하학을 물리적 공간의 모델로 간주하여, 궁극적으로 그러한 모델은 하나만 존재할 수 있다고 생각했다. 대안적인 수학 체계가 존재할 수 있다는 생각은 19세기 수학자들에게 매우 혼란스러운 것이었고, 불 대수와 같은 체계를 개발한 사람들은 전통적인 산술로부터 그것들을 유도하기 위해 많은 노력을 기울였다. 갈루아는 그의 요절 직전에 이러한 노력들이 대부분 헛수고였음을 보였다. 궁극적으로, 대수 체계 간의 추상적인 유사성이 세부 사항보다 더 중요하게 여겨졌고, 현대 대수학이 탄생했다. 현대적인 관점에서 공리는, 그것들이 모순된 것으로 알려져 있지 않은 한, 어떤 공식의 집합이 될 수 있다.

6. 1. 맥주잔 사고방식

공리에 기반한 수학 공식화는 기술의 공식화를 촉진했고, 더 나아가 수학을 사물의 내재적 의미와는 분리된 형식적인 기호 조작으로 보는 사고방식을 이끌었다. 일부 논리학자나 수학자들은 공리란 임의로 선택된 논리식일 뿐이며, 그 논리식으로부터 단순한 기호 조작으로 얻어지는 논리식이 정리라는 입장을 취하기도 한다. 이러한 생각에 따르면, 유클리드 기하학에서의 점, 직선, 평면은 추상적인 기호 조작의 대상일 뿐이며, 현실 세계의 어떠한 사물을 나타내는 것도 아니다.

이러한 입장에서 "점", "직선", "평면"이라는 단어의 선택은 전적으로 임의적이며, 다른 용어를 선택하더라도 그들 사이에 유클리드 기하학의 관계성을 가정한다면 완전히 동일한 체계를 얻을 수 있다.

이러한 "공리는 논리식에 불과하다"는 생각은 종종 비꼬는 의미로 "맥주잔 사고방식"이라고 불린다. 예를 들어 "두 직선은 한 점에서 교차한다"라는 명제는 "두 개의 책상은 한 개의 맥주잔에서 교차한다"라는 의미 없는 명제가 되지만, 만족하는 논리식은 치환 전과 동일하므로 문제 삼지 않는다. 이는 마치 "2(x+y)=2x+2y"라는 명제의 "x"와 "y"를 "u"와 "v"로 치환하여 "2(u+v)=2u+2v"로 해도 수식으로서는 차이가 없는 것과 비슷하다.

맥주잔 사고방식에서 문제가 되는 단어·기호 선택의 임의성은 이미 19세기 논리학자들 사이에서 문제가 되고 있었고, 그 논의의 일단은 루이스 캐럴의 『거울 나라의 앨리스』에도 반영되어 있다. 『앨리스』의 등장인물 험티 덤티는 마음대로 새로운 단어를 만들거나, 기존의 단어를 다른 의미로 사용하여 주인공 앨리스를 혼란스럽게 한다. 즉, 험티 덤티는 영어가 아닌 "험티 덤티어"를 만들어 그것을 사용하는 것이다.

7. 공리의 직관적, 역사적 타당성

axiom|액시엄영어의 어원은 ἀξίωμα|악시오마grc이며, '가치가 있다고 간주되거나 그 자체로 명백하다'라는 의미를 가지고 있다. 이 단어의 개념이 기술된 현존하는 문서 중 가장 오래된 것은 기원전 300년경 그리스에서 쓰인 에우클레이데스의 원론이다.

원론 제1권에는 다음 5개의 공리(또는 공준)가 열거되어 있다.


  • 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다.
  • 임의의 선분을 직선으로 연장할 수 있다.
  • 한 점을 중심으로 임의의 반경의 원을 그릴 수 있다.
  • 모든 직각은 서로 같다.
  • 임의의 직선이 두 직선과 교차할 때, 교차되는 각의 내각의 합이 두 직각(180도)보다 작을 때, 두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차한다. (평행선의 공리, 제5공리)


제5공리는 '평행선의 엇각은 같다', '한 직선의 바깥의 어떤 점을 지나면서 그 직선과 평행한 직선은 하나가 있다'라는 명제와 동치인 것으로 알려져 있으며, '평행선의 공리'라고도 불린다. 이 공리는 다른 네 공리와는 달리 자명하지 않아, 이 공리를 다른 네 공리에서 유도할 수 있는가를 둘러싸고 의문이 이어왔다. (평행선의 문제)

19세기에 카를 프리드리히 가우스, 보여이 야노시, 니콜라이 로바쳅스키 등에 의해 유클리드의 최초 4개 공리가 성립하면서 제5공리가 성립하지 않는 쌍곡기하학 체계가 구성되었다. 최초의 4개 공리는 만족하나 제5공리를 만족하지 않는 기하학을 비유클리드 기하학이라 부른다. 쌍곡기하학의 발견으로, 서로 양립하지 않는 전제에 근거하여 여러 가지 수학 체계가 있을 수 있음이 인식되었다.

20세기를 필두로 다비트 힐베르트를 중심으로 수학의 추상화 및 형식화가 추진되며, 공리에 의거하여 이론을 전개하려는 입장이 강조되었다. 공리계에서 얻어야 할 타당성으로 모순이 유도되지 않을 것, 반드시 성립할 명제는 모두 증명이 가능할 것 등이 여기서 언급되었다.

힐베르트의 생각은 펠릭스 하우스도르프의 위상 공간 이론, 니콜라 부르바키의 수학 재편성 등을 통해 20세기 수학에 큰 영향을 끼쳤다. 그러나 1931년 쿠르트 괴델이 제창한 괴델의 불완전성 정리에 의해 '보통의 수학'(자연수론)의 형식화의 한계가 밝혀지며, 완전하고 모순이 없는 공리계로 형식화하는 것은 불가능함이 밝혀졌다.

공리계는 기호로 쓰인 논리식의 집합이므로, 이론적으로는 현실 세계의 관찰에 기반하지 않는 비현실적인 공리계를 바탕으로 전혀 무의미한 수학 이론 체계를 구성하는 것도 가능하다. 하지만 많은 수학자들은 현실 세계의 관찰에 기반한 공리계를 연구 대상으로 삼고 있다.

하지만 어떤 공리계가 "직관적·역사적 타당성이 있는" 것인가에 대해서는 모든 수학자의 의견이 일치하는 것은 아니다.

7. 1. 직관주의 논리와 배중률

직관주의 논리에서는 배중률을 인정하지 않는다. 배중률이란 임의의 명제 A에 대해 A 자신 또는 A의 부정 중 하나가 성립한다는 요구로, 하나의 모델 안에서 명제의 참과 거짓은 확정적이라는 입장의 추론 규칙이다. 일반적인 수학에서는 배중률을 인정하지만, 직관주의 논리의 입장에 선 연구자들은 명제의 참과 거짓에 대해 실제로 증명할 수 있는 절차가 주어지는 것을 요구한다.

7. 2. 선택 공리

직관주의 논리에서는 배중률을 인정하지 않는다. 배중률이란 임의의 명제 A에 대해 A 자신 또는 A의 부정 중 하나가 성립한다는 요구로, 하나의 모델 안에서 명제의 참과 거짓은 확정적이라는 입장의 추론 규칙이다. 일반적인 수학에서는 배중률을 인정하지만, 직관주의 논리 입장에서는 명제의 참과 거짓에 대해 실제로 증명할 수 있는 절차가 주어지는 것을 요구한다.

마찬가지로 타당성이 문제가 되는 유형의 공리로는 집합론의 선택 공리와 같이 무한을 다루는 것이 있다. 이것은 "무한 개의 (비어 있지 않은) 집합의 열에서 하나씩 원소를 선택할 수 있다"는 취지의 공리이다. 선택 공리는 (집합론의 다른 공리가 모순되지 않는 한) 모순을 낳지 않고(괴델), 또한 선택 공리의 부정에서도 모순이 낳아지지 않는다는(코헨) 것이 알려져 있다.

선택 공리를 인정함으로써 다양한 강력한 정리(귀납적 순서 집합에서의 최대 원소의 존재, 벡터 공간의 기저의 존재, 대수적 폐포의 존재, 순종군 위의 불변 함수의 존재 등)를 증명할 수 있다. 한편, 선택 공리를 인정하면 언뜻 직관에 반하고 역리적인 것 같은 정리(바나흐-타르스키 역설, 비가측 집합의 존재)가 성립하게 된다. 대부분의 수학자는 선택 공리를 인정한 수학 체계를 연구하지만, 주로 수학기초론 연구에서 선택 공리를 인정하지 않는 수학의 가능성을 추구하는 수학자들도 있다.

8. 다른 과학 분야에서의 공리 (가정)

고대 그리스인들은 기하학을 여러 과학 중 하나로 여겼으며, 기하학의 정리를 과학적 사실과 동등하게 생각했다.[9] 그들은 오류를 피하고 지식을 구조화하며 전달하기 위해 연역적 방법을 사용했다. 아리스토텔레스의 후설분석론은 이러한 고전적 관점을 잘 보여준다.[9]

고전적인 용어에서 "공리"는 여러 과학 분야에 공통적인 자명한 가정을 의미했다. 예를 들어, "같은 것에서 같은 양을 빼면 같은 양이 남는다"와 같은 주장이 있다.

다양한 과학의 기초에는 증명 없이 받아들여지는 추가적인 가설들이 있는데, 이를 "공준"이라고 불렀다. 공리는 여러 과학에 공통적이었지만, 공준은 각 과학마다 달랐다. 아리스토텔레스는 학습자가 공준의 진실성에 대해 의심하면 과학 내용을 제대로 전달할 수 없다고 경고했다.[10]

유클리드의 ''원론''에는 공준(경험에서 얻은 상식적인 기하학적 사실)과 "공통 개념"(기본적이고 자명한 주장) 목록이 제시되어 있다.


  • 공준

# 어떤 점에서 다른 어떤 점까지 직선을 그을 수 있다.

# 선분을 양쪽 방향으로 연장할 수 있다.

# 어떤 중심과 반지름으로 원을 그릴 수 있다.

# 모든 직각은 서로 같다.

# (평행선 공준) 두 직선 위에 한 직선이 떨어져 같은 쪽 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선은 무한히 연장될 때 두 직각보다 작은 각이 있는 쪽에서 교차한다.

  • 공통 개념:

# 같은 것과 같은 것은 서로 같다.

# 같은 것에 같은 것을 더하면 전체도 같다.

# 같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지도 같다.

# 서로 일치하는 것은 서로 같다.

# 전체는 부분보다 크다.

실험 과학은 수학이나 논리와 달리 일반적인 기본 명제들을 가지며, 이를 통해 연역적 추론으로 속성을 예측하는 명제들을 표현한다. 이러한 명제는 일반적이거나 특정 실험에 특화될 수 있다. 예를 들어 고전 역학의 뉴턴의 운동 법칙, 전자기학의 맥스웰 방정식, 일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식, 유전학의 멘델의 법칙, 다윈의 자연 선택 법칙 등이 있다. 이러한 기본 명제들은 보통 ''원리'' 또는 ''가정''이라고 불린다.

수학에서의 공리와 실험 과학에서의 가정 역할은 다르다. 수학에서는 공리를 "증명"하거나 "반증"하지 않는다. 수학적 공리는 개념적 영역을 고정하는 규칙을 제공하며, 그 안에서 정리는 논리적으로 따른다. 반면, 실험 과학에서 가정은 실험 결과와 일치하거나 일치하지 않는 결과를 유추할 수 있게 한다. 가정이 실험적 예측을 유추할 수 없다면, 과학적 개념적 틀은 보완되거나 더 정확하게 만들어져야 한다. 가정이 실험 결과를 예측할 수 있다면, 실험과의 비교를 통해 이론을 반증할 수 있다. 이론은 반증되지 않는 한 유효하다.

수학적 공리와 과학적 가정 사이의 전환은, 특히 물리학에서, 모호할 때가 있다. 알베르트 아인슈타인이 특수 상대성 이론을 처음 도입했을 때, 불변량이 유클리드 길이 l이 아니라 민코프스키 시공간 간격 s가 되고, 일반 상대성 이론에서는 평평한 민코프스키 기하학이 곡선 다양체의 슈도리만 기하학으로 대체되었다.

양자 물리학에서는 두 가지 가정 집합이 공존해 왔는데, 이는 반증의 좋은 예이다. '코펜하겐 학파'는 작동적 접근 방식을 개발했는데, 이는 반증 가능하며 정확한 예측을 생성해 왔다. 그러나 질문에 대한 답을 허용하지 않는 불만족스러운 측면이 있었다. 알베르트 아인슈타인, 에르빈 슈뢰딩거, 데이비드 봄은 다른 '숨은 변수' 접근 방식을 개발하여 얽힘과 같은 현상에 대한 결정론적 설명을 제공하려 했다. 1964년 존 벨은 코펜하겐과 숨은 변수의 경우에 서로 다른 실험 결과(벨 부등식)로 이어질 예측을 유도했다. 1980년대 초 알랭 아스페의 실험 결과, 간단한 숨은 변수 접근 방식은 배제되었다. 그러나 양자 물리학의 개념적 틀이 완성되었다고 볼 수는 없는데, 여전히 미해결 문제가 존재하기 때문이다.

참조

[1] 서적 Oxford English Dictionary 2012-04-28
[2] 서적 New Oxford American Dictionary https://www.oxfordre[...] Oxford University Press 2015
[3] 서적 Oxford English Dictionary Online 2012-04-28
[4] 서적 Oxford English Dictionary Online 2012-04-28
[5] 논문 Believing the Axioms, I 1988-06
[6] 웹사이트 Axiom — Powszechna Encyklopedia Filozofii http://www.ptta.pl/p[...]
[7] 서적 Breakthroughs in Mathematics New American Library 1963
[8] 서적 The Thirteen Books of Euclid's Elements Dover 1956
[9] 웹사이트 Aristotle Biography, Works, Quotes, Philosophy, Ethics, & Facts Britannica https://www.britanni[...] 2024-10-08
[10] 서적 Metaphysics Bk IV, Chapter 3, 1005b Random House 1941
[11] 위키 Hilbert's axioms
[12] 백과사전 Gödel's Incompleteness Theorems https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2018
[13] 백과사전 The Continuum Hypothesis https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2019
[14] 서적 6. Other Axiomatizations of Ch. 1
[15] 서적 3. First-Order Theories of Ch. 2
[16] 서적 3. First-Order Theories: Proper Axioms of Ch. 2
[17] 서적 5. The Fixed Point Theorem. Gödel's Incompleteness Theorem of Ch. 2
[18] 서적 確率論及統計論 http://ebsa.ism.ac.j[...]
[19] 서적 ギリシア人の数学 講談社学術文庫 1990
[20] 서적 유클리드 원론


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