벡터 미적분학

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1. 개요

벡터 미적분학은 스칼라장과 벡터장을 다루는 미적분학의 한 분야이다. 기본 개념으로 스칼라장, 벡터장, 유사벡터장, 유사스칼라장이 있으며, 벡터 덧셈, 스칼라 곱셈, 내적, 외적 등의 벡터 대수를 사용한다. 미분 연산자로는 기울기(grad), 발산(div), 회전(curl), 라플라시안 등이 있으며, 그린 정리, 발산 정리, 스토크스 정리와 같은 적분 정리가 존재한다. 선형 근사, 최적화, 공학 및 물리학 등 다양한 분야에 응용되며, 3차원 다양체 및 고차원 공간으로 일반화될 수 있다. 19세기 벡터 개념이 등장한 이후 윌러드 깁스에 의해 체계화되었으며, 오늘날 물리학과 수학 교육에서 널리 사용된다.

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벡터 미적분학 - 벡터장
벡터장은 유클리드 공간이나 미분다양체의 각 점에 벡터를 대응시키는 사상으로, 유클리드 공간에서는 벡터값 함수로 표현되고 미분다양체에서는 접다발의 단면이나 도함수로 정의되며, 물리학, 기상, 유체역학, 전자기학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 응용된다.
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벡터 미적분학
개요
학문 분야	수학, 물리학, 공학
연구 분야	벡터장, 스칼라장, 선적분, 면적분, 발산정리, 스토크스 정리
주요 개념	벡터, 미분, 적분, 구배, 발산, 회전
역사
주요 인물	윌러드 기브스, 올리버 해비사이드
벡터 연산
스칼라곱	스칼라곱
벡터곱	벡터곱
삼중곱	삼중곱
미분 연산자
기울기	기울기
발산	발산
회전	회전
라플라스 연산자	라플라스 연산자
적분 정리
발산 정리	발산 정리
스토크스 정리	스토크스 정리
그린 정리	그린 정리
응용
물리학	전자기학, 유체역학, 중력장
공학	전기공학, 기계공학, 항공우주공학

2. 기본 개념

벡터 미적분학에서 다루는 기본적인 대상은 스칼라장과 벡터장이다.

스칼라장은 공간의 모든 점에 스칼라 값을 할당하는 것이다. 3차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^3$ 상의 스칼라장은 $\mathbb{R}^3$ 상의 각 점에 대하여 실수를 대응시키는 사상을 말한다.

벡터장은 공간의 각 점에 벡터를 할당하는 것이다.^[2] 3차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^3$ 상의 벡터장은 $\mathbb{R}^3$ 상의 각 점에 대하여 그 점을 시점으로 하는 3차원 벡터를 대응시키는 사상이다. 특별한 언급이 없는 한, 이 사상이 점에 관하여 매끄러운 경우를 생각한다. 즉, $\mathbb{R}^3$ 의 좌표를 사용하여

: $\mathbf{X}(P)=(X_{1}(x_1,x_2,x_3),X_{2}(x_1,x_2,x_3),X_{3}(x_1,x_2,x_3))$

로 나타냈을 때, 각 $X_{i}(x_1,x_2,x_3)$ 가 임의 회 미분 가능한 경우를 생각한다.

벡터장의 표기법으로

\mathbf{X}(P)

대신

:

\mathbf{X}_P

와 같이

P

를 아래 첨자로 쓰는 경우도 많다. 그러나 이 아래 첨자 표기법은 성분 표기 시에 번거로워지므로, 여기서는

\mathbf{X}(P)

와

\mathbf{X}_{P}

두 가지 표기법을 혼용한다.

2. 1. 스칼라장

공간의 모든 점에 스칼라 값을 할당한다. 스칼라는 물리량을 나타내는 수학적 숫자이다. 응용 분야에서 스칼라장의 예로는 공간 전체의 온도 분포, 유체 내의 압력 분포, 그리고 힉스장과 같은 스핀-0 양자장 등이 있다.

2. 2. 벡터장

벡터장은 공간의 각 점에 벡터를 대응시킨 것이다.^[9]^[2] 예를 들어 평면에서의 벡터장은 평면의 각 점에 주어진 크기와 방향을 가진 화살표들의 모음으로 시각화할 수 있다. 벡터장은 종종 공간 내에서 유체의 속도와 방향이나 자기력 및 중력과 같은 힘의 세기와 방향 등을 나타낼 때 자주 사용하며, 선을 따라 이동할 때의 일을 계산하는 등에 응용된다.

벡터장의 예로는 '''전기장''', '''자기장''', '''중력장''' 등이 있다. 또한 유체 위의 각 점에 그 점에서의 입자 속도 벡터를 대응시켜 '''속도장'''을 정의할 수도 있다.

2. 3. 유사벡터장과 유사스칼라장 (벡터장 및 스칼라장과의 차이점)

더욱 심화된 설명에서는 유사벡터장과 유사스칼라장을 추가적으로 구분하는데, 이들은 벡터장과 스칼라장과 동일하지만, 방향을 반전시키는 변환에 대해 부호가 바뀐다는 차이점이 있다. 예를 들어, 벡터장의 컬은 유사벡터장이며, 벡터장을 반사시키면 컬은 반대 방향을 가리킨다. 이러한 구분은 아래에 설명된 기하 대수학에서 명확히 설명되고 자세히 다루어진다.

3. 벡터 대수

벡터 미적분학에서 사용되는 기본적인 대수적 연산은 '벡터 대수'라고 하며, 벡터 공간에서 정의되어 벡터장에 적용된다.^[10] 벡터 대수는 기본 연산과 삼중곱으로 구성된다.

3. 1. 기본 연산

벡터 미적분학에서 벡터에 대한 기본적인 대수 연산은 다음과 같다.^[10]

벡터 미적분학의 기본 연산
연산	표기	설명
벡터 덧셈	$\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2$	두 벡터를 더하여 새로운 벡터를 얻는다.
스칼라 곱셈	$a \mathbf{v}$	스칼라와 벡터를 곱하여 새로운 벡터를 얻는다.
내적(스칼라곱)	$\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2$	두 벡터를 곱하여 스칼라를 얻는다.
외적(벡터곱)	$\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2$	3차원 공간에서 두 벡터를 곱하여 새로운 (유사)벡터를 얻는다. (3차원 및 7차원에서만 정의)

3. 2. 삼중곱

삼중곱
연산	설명
스칼라 삼중곱	두 벡터의 벡터곱과 나머지 벡터를 스칼라곱한다.
벡터 삼중곱	두 벡터의 벡터곱과 나머지 벡터를 벡터곱한다.

^[10]

4. 연산자 및 정리

벡터 미적분학의 핵심은 미분 연산자와 적분 정리이다.^[11]

유클리드 공간상의 곡선 C가 $\mathbf{x}(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))$ , $u∈['a','b']$ 로 매개변수 표시되어 있고, 벡터장 '''X'''가 주어졌을 때, 다음 적분을 생각해보자.

: $\int_a^b \mathbf{X}(\mathbf{x}(u))\cdot {\operatorname{d}\mathbf{x}\over\operatorname{d}u}(u)\operatorname{d}u$

여기서 "・"는 내적이다.

위 적분은 벡터장 '''X'''와 곡선 C에만 의존하며, C의 매개변수화 방법에는 의존하지 않는다. 따라서 이 적분을 다음과 같이 표기한다.

: $\int_C \mathbf{X}\cdot\operatorname{d}\mathbf{x}$

이를 벡터장 '''X'''의 곡선 C를 따라가는 '''선적분'''이라고 한다. 여기서

: $\operatorname{d}\mathbf{x}=(\operatorname{d}x_1, \operatorname{d}x_2, \operatorname{d}x_3)$

이다. 성분으로 나타내면, 선적분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\int_C X_1\operatorname{d}x_1+ X_2\operatorname{d}x_2+ X_3\operatorname{d}x_3$

C의 시작점과 종점이 일치할 때 (즉, C가 폐곡선일 때)는 아래와 같이 표기한다.

: $\oint_C \mathbf{X}\cdot\operatorname{d}\mathbf{x}$

4. 1. 미분 연산자

벡터 미적분학은 스칼라장이나 벡터장에서 정의된 다양한 미분 연산자들을 다루며, 주로 델 연산자(

\nabla

)로 나타낸다.^[11]

벡터 미적분학의 미분 연산자
연산	표기	설명	영역/범위
경도	$\operatorname{grad}(f)=\nabla f$	스칼라장의 변화율과 방향을 측정한다.	스칼라장을 벡터장으로 매핑한다.
발산	$\operatorname{div}(\mathbf{F})=\nabla\cdot\mathbf{F}$	벡터장의 주어진 점에서 소스 또는 싱크의 스칼라 값을 측정한다.	벡터장을 스칼라장으로 매핑한다.
회전	$\operatorname{curl}(\mathbf{F})=\nabla\times\mathbf{F}$	$\mathbb R^3$ 에서 벡터장의 한 점을 중심으로 회전하려는 경향을 측정한다.	벡터장을 (유사)벡터장으로 매핑한다.
$f$ 는 스칼라장을 나타내고, $\mathbf{F}$ 는 벡터장을 나타낸다.

미분 연산자 ∇ ( $\nabla$ )는 다음과 같이 정의된다.

: $\nabla=\left({\partial \over\partial x_1}, {\partial \over\partial x_2}, {\partial \over\partial x_3}\right)$

이를 이용하여 경도, 회전, 발산을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\operatorname{grad}F=\nabla F$

: $\operatorname{rot}\mathbf{X}=\nabla\times \mathbf{X}$

: $\operatorname{div}\mathbf{X}=\nabla\cdot\mathbf{X}$

4. 2. 적분 정리

미적분학의 기본 정리를 고차원으로 일반화한 정리들이다.

벡터 미적분학의 적분 정리
정리	식	설명
기울기 정리 (선적분의 기본정리)	$\ L = L[p\to q]$ 일 때 $\int_{L \subset \mathbb R^n}\!\!\! \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r} \ =\ \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right)\$	보존벡터장에서 곡선 L의 선적분은 곡선의 양 끝점 p와 q의 변화량과 같다.
발산 정리	$\underbrace{ \int \!\cdots\! \int_{V \subset \mathbb R^n} }_n (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV$	벡터장에서 n차원 물체 V의 발산함수의 적분값은 V의 n-1차원 폐곡면을 통과하는 선속과 같다.
회전 정리 (켈빈-스토크스 정리)	$\iint_{\Sigma\,\subset\mathbb R^3} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{\Sigma} \ =\ \oint_{\!\!\!\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$	$\mathbb{R}^3$ 내의 곡면 Σ에서 벡터장의 회전의 적분값은 곡면을 둘러싼 폐곡선의 선적분과 같다.
$\varphi$ 는 스칼라장, $\mathbf{F}$ 는 벡터장

2차원에서의 발산 정리와 회전 정리는 그린 정리가 된다.

그린 정리
연산	식	설명
그린 정리	$\iint_{A\,\subset\mathbb R^2} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) dA \ =\ \oint_{\partial A} \left ( L\, dx + M\, dy \right )$	$\mathbb R^2$ 내의 영역 A에서 벡터장의 발산(또는 회전)의 적분은 영역을 감싸는 폐곡선의 선속(또는 선적분)과 같다.
발산일 때 $\mathbf{F} = (M, -L)$ , 회전일 때 $\mathbf{F} = (L, M, 0)$ . $L$ 과 $M$ 은 $(x, y)$ 에 대한 함수.

5. 응용

벡터 미적분학은 여러 분야에 응용된다.

선형 근사는 복잡한 함수를 간단한 선형 함수로 근사하는 데 사용된다. 최적화 문제에서는 함수의 극값을 찾기 위해 편미분과 기울기를 이용하며, 임계점에서 극값을 가질 가능성이 높다. 페르마의 정리에 따르면, 미분 가능한 함수의 모든 국소 최대 및 최소값은 임계점에서 발생한다.

질량중심, 장이론, 운동학, 맥스웰 방정식 등 다양한 분야에서 응용된다. 벡터장의 예로는 전기장, 자기장, 중력장 등이 있다.

5. 1. 선형 근사

선형 근사는 복잡한 함수를 그와 거의 비슷한 선형 함수로 근사하기 위해 사용한다. 실수 함수 f(x, y)^영어가 주어졌을 때 (a, b)^영어 주변의 (x, y)^영어에 대한 함수 f(x, y)^영어는 아래와 같이 근사된다.

:

f(x,y)\ \approx\ f(a,b)+\tfrac{\partial f}{\partial x} (a,b)\,(x-a)+\tfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,(y-b).

식의 우변은 함수

z = f(x, y)

의 (a, b)^영어에서의 접평면의 방정식이다.

5. 2. 최적화

여러 실변수 함수에 대해, 모든 편미분이 0이거나 기울기가 0인 점을 '''임계점'''이라고 한다. 임계값은 임계점에서 함수의 값이다.

함수가 매끄러운 함수이거나, 적어도 두 번 연속적으로 미분 가능하다면, 임계점은 극대점, 극소점 또는 안장점일 수 있다. 서로 다른 경우는 2차 도함수의 헤세 행렬의 고유값을 고려하여 구분할 수 있다.

페르마의 정리에 따르면, 미분 가능한 함수의 모든 국소 최대 및 최소값은 임계점에서 발생한다. 따라서, 국소 최대값과 최소값을 찾기 위해 이론적으로는 기울기의 영점과 이 영점에서 헤세 행렬의 고유값을 계산하는 것으로 충분하다.

5. 3. 공학 및 물리학

질량중심, 장이론, 운동학, 맥스웰 방정식 등 다양한 분야에서 응용된다. 벡터장의 예로는 '''전기장''', '''자기장''', '''중력장''' 등이 있다. 또한 유체 위의 각 점에 그 점에서의 입자 속도 벡터를 대응시켜 '''속도장'''을 정의할 수도 있다.

6. 일반화

벡터 미적분학은 처음에 유클리드 3차원 공간 $\mathbb{R}^3$ 에 대해 정의되었지만, 3-다양체와 고차원 공간으로도 일반화될 수 있다. 유클리드 3차원 공간은 단순한 3차원 실수 벡터 공간 이상의 추가적인 구조, 즉 내적(점곱)을 통해 정의되는 노름(길이)과 각도, 그리고 방향성(좌수 및 우수)을 갖는다. 이러한 구조는 부피 형식과 외적을 생성한다.

기울기와 발산은 내적만 필요로 하지만, 회전과 외적은 좌표계의 손의 방향도 고려해야 한다.

비퇴화 형식을 가정하면, 모든 차원에서 스칼라 함수의 grad는 벡터 필드이고, 벡터 필드의 div는 스칼라 함수이지만, 벡터 필드의 curl이 벡터 필드인 것은 3 또는 7차원^[4]뿐이며, 외적을 정의할 수 있는 것은 3 또는 7차원뿐이다. grad와 div의 일반화와 curl을 일반화하는 방법은 Curl § Generalizations에서 자세히 설명되어 있다.

벡터 미적분학의 일반화에는 기하 대수와 미분 형식이 있다. 기하 대수는 -벡터 필드를, 미분 형식은 미분 형식(-코벡터 필드)을 사용한다.

6. 1. 다른 3차원 다양체

벡터 미적분학은 내적(또는 더 일반적으로 대칭적인 비퇴화 형식)과 방향성을 가진 다른 3차원 실수 벡터 공간에서도 정의될 수 있다. 이는 유클리드 공간으로의 동형 사상보다 적은 데이터인데, 좌표계(참조 프레임)가 필요하지 않기 때문이다. 벡터 미적분학이 회전(특수 직교군 SO(3))에 대해 불변하다는 사실이 이를 반영한다.

더 일반적으로, 벡터 미적분학은 모든 3차원 방향 리만 다양체, 또는 더 일반적으로 유사 리만 다양체에서 정의될 수 있다. 이 구조는 단순히 각 점에서의 접선 공간이 내적(더 일반적으로, 대칭적인 비퇴화 형식)과 방향성을 갖는다는 것을 의미하거나, 더 전반적으로 대칭적인 비퇴화 계량 텐서와 방향성이 있다는 것을 의미한다. 벡터 미적분학이 각 점에서의 접선 벡터를 사용하여 정의되기 때문에 이것이 가능하다.

6. 2. 고차원

미분 기하학의 기기를 사용하면 벡터 미적분학을 더 일반적인 형태로 쉽게 이해할 수 있다. 기울기(Grad)와 발산(div)은 기울기 정리, 발산 정리, 라플라시안(조화 해석)과 마찬가지로 다른 차원으로 즉시 일반화되지만, 회전(curl)과 외적은 직접적으로 일반화되지 않는다.^[4]

일반적인 관점에서 3차원 벡터 미적분학의 다양한 필드는 -벡터 필드로 통일적으로 간주된다. 스칼라 필드는 0-벡터 필드, 벡터 필드는 1-벡터 필드, 의사 벡터 필드는 2-벡터 필드, 의사 스칼라 필드는 3-벡터 필드이다. 고차원에서는 추가적인 유형의 필드가 존재한다.

벡터 미적분학은 두 가지 중요한 대안적 일반화를 가진다.

'''기하 대수''': 벡터 필드 대신 -벡터 필드를 사용한다. 3차원 이하에서는 모든 -벡터 필드를 스칼라 함수 또는 벡터 필드로 식별할 수 있지만, 고차원에서는 그렇지 않다.
'''미분 형식''': 벡터 필드 또는 -벡터 필드 대신 미분 형식(-코벡터 필드)을 사용하며, 미분 기하학, 기하학적 위상 수학, 조화 해석에서 널리 사용되며, 호지 이론을 생성한다.

7. 역사

현대 학교 교육에서는 고전역학 도입부터 벡터를 사용한 물리 교육이 이루어지고, 수학에서도 기하 벡터, 선형대수학, 벡터 해석과 같은 벡터의 개념을 일반적으로 가르치고 있다. 그러나 벡터는 고전역학과 동시에 탄생한 것이 아니라, 19세기에 물리 법칙 등을 표현하기 위해 탄생했으며^[7], 20세기에 들어 고차원 벡터장으로까지 일반화되었다.

벡터가 탄생하기 전까지는 직교 좌표계를 사용한 해석기하학이나 윌리엄 로언 해밀턴이 고안한 사원수를 사용한 표기법이 주류였다. 역학, 전자기학의 교육, 연구에서도 해석기하학적인 다변수 미적분학을 사용한 역학이나 사원수 표기의 전자기학이 일반적이었다.^[7] 여담으로, 벡터를 다루는 수학 이론인 선형대수도 등장 시기는 거의 같지만, 완성이 늦어져 교육에 본격적으로 도입된 것은 20세기 후반, 수학 교육의 현대화가 거론되기 시작했을 무렵이다. 20세기 전반에는 물리학에서 벡터가 도입되었고, 행렬식이 먼저 학습되었으며^[8], 행렬을 사용하여 양자역학을 정식화한 베르너 하이젠베르크도 선형대수를 배우지 않았다. 일본에서도 메이지 초기의 물리 교육에서는 사원수에 기초한 전자기학이 학습되었다는 것은 유명하다.

벡터를 처음으로 교육에 도입한 것은 윌러드 깁스로 알려져 있다. 1880년대 예일 대학교 강의에서 기호는 현대와 다르지만, 외적, 내적 및 벡터 해석의 개념 등이 당시 사용되었으나, 영국의 사원수 저서도 있는 물리학자 피터 개스리 테이트의 평판은 매우 좋지 않았다고 한다.^[7] 오늘날 사용되는 기호와 전문 용어의 대부분은 1901년에 출판된 깁스와 Edwin Bidwell Wilson|에드윈 윌슨^영어의 공저 『벡터 해석』에 의해 확립되었다.

깁스 이후의 물리학 교육에서는 벡터가 사원수를 추진했던 해밀턴이나 테이트가 있던 영국에서 오히려 활발하게 사용되었고, 물리학에서의 상식적인 개념이 되었다.^[7] (영국의 올리버 헤비사이드의 존재가 영향을 미친 것으로 보인다.) 20세기에 들어서면서 스핀 각운동량 등의 개념도 사원수와 매우 유사하며, 해밀턴에게 선견지명이 있었던 것이 아니냐는 평가도 나온다.^[7]

참조

_[1] 서적 Advanced engineering mathematics John Wiley 2011
_[2] 서적 Vector Analysis Versus Vector Calculus https://books.google[...] Springer
_[3] 웹사이트 Differential Operators http://192.168.1.121[...] 2020-09-17
_[4] 간행물 "The curl in seven dimensional space and its applications" 1999
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 서적 物理講義講談社 1975
_[8] 서적 線型代数学序説現代数学社 2002
_[9] 서적 Vector Analysis Versus Vector Calculus https://books.google[...] Springer
_[10] 웹인용 Comprehensive List of Algebra Symbols https://mathvault.ca[...] 2020-03-25
_[11] 웹인용 List of Calculus and Analysis Symbols https://mathvault.ca[...] 2020-05-11

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