벡터곱

3. 성질

벡터곱 '''a''' × '''b'''는 두 벡터 '''a'''와 '''b''' 모두에 수직인 새로운 벡터이다. 이 벡터의 크기는 '''a'''와 '''b'''를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이와 같으며, 이는 두 벡터 사이 각도의 사인 값과 관련된다.^[1]

대수적으로 벡터곱은 연산 순서를 바꾸면 부호가 반대가 되는 반대칭성을 가진다 ('''a''' × '''b''' = -'''b''' × '''a'''). 따라서 교환법칙은 성립하지 않는다. 또한, 벡터 덧셈에 대한 분배법칙과 스칼라 곱셈과의 호환성 등 여러 선형적인 성질을 만족한다. 하지만 결합 법칙은 성립하지 않으며, 대신 야코비 항등식이라는 특별한 관계를 만족시킨다.

이러한 성질들은 벡터곱을 기하학적 계산뿐만 아니라 물리학에서의 회전 운동, 전자기학 등 다양한 분야에서 유용하게 활용되게 한다. 벡터곱의 구체적인 기하학적 의미와 대수적 성질은 아래 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

3. 1. 기하학적 의미

3. 2. 대수적 성질

• 반대칭성 (Anticommutativity): 벡터곱은 연산 순서를 바꾸면 부호가 반대가 된다. 따라서 교환법칙은 성립하지 않는다.^[1]

• 이 성질 때문에 벡터 자기 자신과의 벡터곱은 항상 영벡터이다.

• 스칼라 곱셈과의 호환성 (Compatibility with scalar multiplication): 스칼라 곱셈은 벡터곱 연산 밖으로 나올 수 있다. 즉, 스칼라곱에 대해 선형성을 갖는다.

• 벡터 덧셈에 대한 분배법칙 (Distributivity over addition): 벡터 덧셈에 대해 벡터곱을 분배할 수 있다.

• 스칼라 삼중곱 (Scalar triple product): 세 벡터의 스칼라 삼중곱은 세 벡터를 행 또는 열벡터로 하는 행렬의 행렬식과 같다. 벡터의 순서를 순환시켜도 그 값은 같다.

• 스칼라 삼중곱의 절댓값 $V\; =\; |\backslash mathbf\{a\}\; \backslash cdot\; (\backslash mathbf\{b\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{c\})|$는 세 벡터 '''a''', '''b''', '''c'''가 이루는 평행육면체의 부피와 같다.

• 벡터 삼중곱 (Vector triple product) 또는 라그랑주 공식 (Lagrange's formula): 벡터 삼중곱은 다음과 같이 두 스칼라곱 항의 차로 표현할 수 있다. 이 공식은 물리학 등에서 벡터 계산을 단순화하는 데 유용하게 사용된다.

• 이 공식은 흔히 "BAC-CAB 규칙"으로 기억된다.
• 벡터곱은 결합 법칙이 성립하지 않으므로, 일반적으로 $\backslash mathbf\{a\}\; \backslash times\; (\backslash mathbf\{b\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{c\})\; \backslash neq\; (\backslash mathbf\{a\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{b\})\; \backslash times\; \backslash mathbf\{c\}$이다.

• 야코비 항등식 (Jacobi identity): 벡터곱은 결합 법칙을 만족하지 않는 대신, 야코비 항등식을 만족한다.

• 벡터곱의 크기와 라그랑주 항등식 (Lagrange's identity): 벡터곱의 크기(노름)의 제곱은 각 벡터 크기의 제곱의 곱에서 두 벡터의 스칼라곱의 제곱을 뺀 값과 같다. 이는 라그랑주 항등식의 한 형태이다.

• $\backslash mathbf\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{b\}\; =\; \backslash |\backslash mathbf\{a\}\backslash |\; \backslash |\backslash mathbf\{b\}\backslash |\; \backslash cos\; \backslash theta$ 관계를 이용하고 $\backslash sin^2\; \backslash theta\; +\; \backslash cos^2\; \backslash theta\; =\; 1$임을 생각하면, 벡터곱의 크기는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

• 수직성 (Orthogonality): 벡터곱의 결과 벡터 '''a''' × '''b'''는 정의상 원래의 두 벡터 '''a'''와 '''b''' 모두에 수직이다. 즉, 스칼라곱이 0이다.

• 두 벡터의 평행성 확인: 영벡터가 아닌 두 벡터 '''a'''와 '''b'''에 대해, 벡터곱이 영벡터인 것은 두 벡터가 서로 평행하거나 반대 방향으로 평행한 것과 동치이다. (즉, $\backslash theta\; =\; 0^\backslash circ$ 또는 $\backslash theta\; =\; 180^\backslash circ$ 인 경우)

• 소거 법칙의 미성립: 벡터곱에서는 일반적으로 소거 법칙이 성립하지 않는다. 즉, '''a''' × '''b''' = '''a''' × '''c''' 이고 '''a''' ≠ '''0''' 이더라도 반드시 '''b''' = '''c''' 인 것은 아니다. 이는 다음 식에서 볼 수 있듯이,

• 하지만 만약 '''a''' × '''b''' = '''a''' × '''c''' 와 '''a''' ⋅ '''b''' = '''a''' ⋅ '''c''' 가 모두 성립하고 '''a''' ≠ '''0''' 이라면, ('''b''' − '''c''')는 '''a'''에 평행하면서 동시에 수직일 수 없으므로 ('''b''' − '''c''') = '''0''', 즉 '''b''' = '''c''' 이다.

• 리 대수 (Lie algebra) 구조: 벡터 덧셈과 벡터곱 연산을 갖춘 3차원 유클리드 공간 '''R'''³는 위에서 언급된 분배성, 스칼라 곱에 대한 선형성, 반대칭성, 야코비 항등식을 모두 만족하므로 리 대수 구조를 이룬다. 이 리 대수는 3차원 회전군 SO(3)에 대응하는 리 대수 $\backslash mathfrak\{so\}(3)$와 동형이며, 파울리 행렬과 관련된 리 대수 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$와도 동형이다.

4. 계산

3차원 공간에서 두 벡터 '''a'''와 '''b'''의 벡터곱 '''a''' × '''b'''는 두 벡터 '''a''', '''b''' 모두에 수직인 벡터이다. 그 방향은 오른손 법칙을 따르며, 크기는 두 벡터를 변으로 하는 평행사변형의 넓이와 같다.^[1] 벡터곱의 크기는 다음과 같이 수식으로 표현할 수 있다.

:$\backslash left\backslash |\; \backslash mathbf\{a\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{b\}\; \backslash right\backslash |\; =\; \backslash left\backslash |\; \backslash mathbf\{a\}\; \backslash right\backslash |\; \backslash left\backslash |\; \backslash mathbf\{b\}\; \backslash right\backslash |\; \backslash left|\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash right|$

여기서 ''θ''는 '''a'''와 '''b''' 사이의 각도이다. 이처럼 벡터곱의 크기는 두 벡터 사이 각도의 사인 값에 따라 달라지므로, 벡터곱은 두 벡터가 얼마나 수직인지를 나타내는 척도로 볼 수 있다. 이는 두 벡터가 얼마나 평행한지를 나타내는 점곱과 대비된다. 예를 들어, 두 단위 벡터가 수직이면 벡터곱의 크기는 1이고 점곱은 0이며, 반대로 두 단위 벡터가 평행하면 벡터곱의 크기는 0이고 점곱은 1이다.

벡터곱은 스칼라 삼중곱을 통해 세 벡터 '''a''', '''b''', '''c'''가 이루는 평행육면체의 부피 ''V''를 계산하는 데 사용될 수 있다 (그림 2 참조).

:$V\; =\; |\backslash mathbf\{a\}\; \backslash cdot\; (\backslash mathbf\{b\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{c\})|$

스칼라 삼중곱의 값은 음수가 될 수 있으므로, 부피는 절댓값으로 구한다. 스칼라 삼중곱은 순환적인 성질을 가져 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:$\backslash mathbf\{a\}\backslash cdot(\backslash mathbf\{b\}\backslash times\; \backslash mathbf\{c\})=\; \backslash mathbf\{b\}\backslash cdot(\backslash mathbf\{c\}\backslash times\; \backslash mathbf\{a\})=\; \backslash mathbf\{c\}\backslash cdot(\backslash mathbf\{a\}\backslash times\; \backslash mathbf\{b\})$

벡터곱을 계산하는 구체적인 방법에는 벡터의 좌표 성분을 이용하는 방법, 행렬식을 이용하는 방법, 왜곡 대칭 행렬을 이용하는 방법 등이 있으며, 이는 하위 섹션에서 자세히 다룬다. 성분 계산을 돕기 위한 기억술도 존재한다(그림 참조).

• 곱셈 기호 사용: $\backslash boldsymbol\{a\}\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{b\}$
• 대괄호 사용: $[\backslash boldsymbol\{a\},\; \backslash boldsymbol\{b\}]$

4. 1. 좌표 표기법

4. 2. 행렬 표기법

표준 기저 벡터 '''e'''_i에 대해 ('''e'''_i, '''e'''_j) = ''δ''_i,j (크로네커 델타)이고, 벡터 '''a'''의 성분 ''a''_i = ('''e'''_i, '''a''')일 때, 벡터 '''a'''를 다음과 같은 열 벡터로 나타낼 수 있다.

: $\backslash boldsymbol\{a\}\; \backslash doteq\; \backslash begin\{pmatrix\}\; a\_1\; \backslash \backslash \; a\_2\; \backslash \backslash \; a\_3\; \backslash end\{pmatrix\}$

벡터 '''a''', '''b'''의 벡터곱 ['''a''', '''b''']의 각 성분은 다음과 같이 행렬식으로 표현할 수 있다.

:

:

:

따라서 벡터곱은 다음과 같은 열 벡터가 된다.

: $[\backslash boldsymbol\{a\},\backslash boldsymbol\{b\}]\; \backslash doteq\; \backslash begin\{pmatrix\}\; a\_2\; b\_3\; -a\_3\; b\_2\; \backslash \backslash \; a\_3\; b\_1\; -a\_1\; b\_3\; \backslash \backslash \; a\_1\; b\_2\; -a\_2\; b\_1\; \backslash end\{pmatrix\}$

이것을 형식적으로 다음과 같이 표현하기도 한다.

:

레비-치비타 기호 ''ε''_ijk 를 사용하면 벡터곱의 i번째 성분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $[\backslash boldsymbol\{a\},\; \backslash boldsymbol\{b\}]\_i=\backslash sum\_\{j,k\}\backslash epsilon\_\{ijk\}\; a\_j\; b\_k$

4. 3. 레비-치비타 텐서 사용

5. 응용

벡터곱은 다양한 분야에서 응용된다. 벡터 미분 연산인 회전 (∇×)의 정의에 등장하며, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로런츠 힘의 공식이나 돌림힘과 각운동량의 정의에도 사용된다.

5. 1. 계산 기하학

5. 2. 각운동량 및 토크

5. 3. 강체

5. 4. 로런츠 힘

5. 5. 기타

6. 고차원에서의 벡터곱

3차원 공간의 벡터곱은 사원수의 곱셈 구조를 이용하여 정의할 수 있듯이, 7차원 벡터 공간의 벡터곱은 팔원수를 이용하여 정의할 수 있다. 이러한 특정 차원 외에 벡터곱을 더 높은 차원으로 일반화하는 방법은 여러 가지가 있다.

한 가지 방법은 행렬식을 이용하는 것이다. ''n''차원 벡터 공간에서 ''n'' - 1개의 벡터 $\backslash boldsymbol\{a\}\_1,\; \backslash ldots,\; \backslash boldsymbol\{a\}\_\{n-1\}$가 주어졌을 때, 이 벡터들의 벡터곱은 또 다른 벡터 $\backslash boldsymbol\{v\}$와의 내적을 통해 다음과 같이 정의되는 ''n'' - 1 항 연산으로 볼 수 있다.

: $(\backslash boldsymbol\{v\},\; [\backslash boldsymbol\{a\}\_1,\; \backslash ldots,\; \backslash boldsymbol\{a\}\_\{n-1\}])\; =\; \backslash det\; \backslash langle\; \backslash boldsymbol\{v\},\; \backslash boldsymbol\{a\}\_1,\; \backslash ldots,\; \backslash boldsymbol\{a\}\_\{n-1\}\; \backslash rangle$

여기서 $[\backslash boldsymbol\{a\}\_1,\; \backslash ldots,\; \backslash boldsymbol\{a\}\_\{n-1\}]$가 일반화된 벡터곱을 나타낸다. 완전 반대칭 텐서 $\backslash epsilon$를 사용하면 이 벡터곱의 ''i''번째 성분은 다음과 같이 표현된다.

: $[\backslash boldsymbol\{a\}\_1,\; \backslash ldots,\; \backslash boldsymbol\{a\}\_\{n-1\}]\_i\; =\; \backslash sum\_\{j\_1,\backslash ldots,j\_\{n-1\}\}\backslash epsilon\_\{i,j\_1,\backslash ldots,j\_\{n-1\}\}\; a\_1^\{j\_1\}\; \backslash cdots\; a\_\{n-1\}^\{j\_\{n-1\}\}$

이 정의에 따르면, 각 차원에서의 벡터곱은 다음과 같은 형태를 가진다.

• 1차원: 벡터곱은 상수 1이 된다. (0항 연산)
• 2차원: 벡터 1개에 대한 단항 연산으로 정의된다. 벡터 $\backslash boldsymbol\{a\}\; =\; (a\_1,\; a\_2)$의 벡터곱은 다음과 같다.

• 3차원: 벡터 2개에 대한 이항 연산으로, 우리가 일반적으로 아는 벡터곱과 일치한다.
• 4차원: 벡터 3개에 대한 삼항 연산으로 정의된다. 벡터 $\backslash boldsymbol\{a\},\; \backslash boldsymbol\{b\},\; \backslash boldsymbol\{c\}$의 벡터곱은 다음과 같다.

6. 1. 리 대수

6. 2. 사원수와 팔원수

• a_1 b_3 + a_3 b_1 - a_4 b_6 + a_5 b_7 + a_6 b_4 - a_7 b_5 \\

• a_1 b_4 - a_2 b_7 + a_3 b_6 + a_4 b_1 - a_6 b_3 + a_7 b_2 \\

• a_1 b_6 + a_2 b_5 - a_3 b_4 + a_4 b_3 - a_5 b_2 + a_6 b_1

• 겹선형(bilinear)이다:

• 반가환성(anti-commutative)을 만족한다:

• 벡터곱의 결과는 원래 두 벡터 '''x'''와 '''y''' 모두에 수직이다:

• 야코비 항등식이 성립한다:

• 벡터곱의 크기 제곱은 다음과 같은 관계를 만족한다:

• 0차원 벡터곱: $()\; \backslash times\; ()\; =\; ()$ (자명한 경우)
• 1차원 벡터곱: $(a\_1)\; \backslash times\; (b\_1)\; =\; (0)$ (항상 영벡터)

6. 3. 외적 (쐐기곱)

6. 4. 교환자 곱

6. 5. 다중선형대수

• $n-1$개의 벡터를 입력받아 1개의 벡터를 출력하는 $(1,n-1)$-텐서. 즉, $(n-1)$항 벡터 값 곱.
• 2개의 벡터를 입력받아 랭크 $n-2$의 교대 텐서를 출력하는 $(n-2,2)$-텐서. 즉, 랭크 $n-2$ 텐서 값을 갖는 이항 곱. 다른 $k$에 대해 $(k,n-k)$-텐서를 정의하는 것도 가능하다.

• $v\_i$ 벡터들로 정의되는 초평면에 수직이다.
• 크기는 $v\_i$ 벡터들로 정의되는 평행다면체의 부피와 같으며, 이는 $v\_i$ 벡터들의 그램 행렬식으로 계산할 수 있다.
• 벡터 $v\_1,\backslash dots,v\_n$이 양의 방향을 가지도록 방향이 결정된다.

7. 좌표계의 방향성

벡터곱 $\backslash mathbf\{a\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{b\}$의 정의에서 $\backslash hat\{\backslash mathbf\; n\}$은 $\backslash mathbf\{a\}$와 $\backslash mathbf\{b\}$에 공통으로 수직인 단위벡터를 의미한다. 그런데 주어진 두 벡터 $\backslash mathbf\{a\}$와 $\backslash mathbf\{b\}$에 공통으로 수직인 방향은 두 개가 존재한다. 만약 $\backslash mathbf\{\backslash hat\; n\}$이 수직이라면, 그 반대 방향인 $-\backslash hat\{\backslash mathbf\; n\}$도 수직이기 때문이다.

어떤 방향을 벡터곱의 결과로 선택할지는 사용하는 벡터 공간의 '''방향'''(orientation|오리엔테이션^영어)에 따라 결정된다. 일반적으로 사용되는 오른손 좌표계에서는 세 벡터 $\backslash mathbf\{a,\; b,\; a\; \backslash times\; b\}$가 오른손 법칙을 만족하도록 $\backslash mathbf\{a\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{b\}$의 방향을 정의한다. 반면, 왼손좌표계에서는 같은 세 벡터가 왼손 법칙을 따르도록 방향을 정의한다.

이처럼 벡터곱의 결과는 사용하는 좌표계의 방향성에 따라 달라지므로, 두 참 벡터(극 벡터)의 벡터곱은 참 벡터가 아닌 유사벡터(pseudovector) 또는 축벡터(axial vector)라고 불리는 특별한 종류의 벡터이다. 유사벡터는 거울상 변환(좌표계의 방향을 바꾸는 변환) 시 참 벡터와 다르게 변환되는 벡터이다.

물리학 법칙을 방정식으로 표현할 때는 오른손 좌표계와 왼손좌표계 중 어떤 것을 선택하든 동일한 물리적 현상을 설명해야 한다. 따라서 방정식을 세울 때 각 항의 벡터 유형(참 벡터 또는 유사벡터)을 일관성 있게 유지하는 것이 중요하다. 예를 들어 방정식의 한쪽이 두 극 벡터의 벡터곱(결과는 유사벡터)이라면, 등식의 일관성을 위해 다른 쪽 역시 유사벡터여야 한다.

일반적으로 벡터곱 연산에서 극 벡터와 유사벡터는 다음과 같은 관계를 가진다.

• 극 벡터 × 극 벡터 = 유사벡터
• 유사벡터 × 유사벡터 = 유사벡터
• 극 벡터 × 유사벡터 = 극 벡터
• 유사벡터 × 극 벡터 = 극 벡터

8. 역사

참조

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_[30] 서적 Elements of vector analysis : arranged for the use of students in physics https://archive.org/[...] New Haven : Printed by Tuttle, Morehouse & Taylor 1884
_[31] 문서 since A × B is read as "A cross B"