자기 동형 사상

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 범주론적 정의
- 2.2. 대수 구조에서의 정의
3. 자기 동형군
4. 예
5. 내부 및 외부 자기 동형 사상
- 5.1. 군의 내부 자기 동형 사상
- 5.2. 외부 자기 동형 사상
6. 역사
참조

1. 개요

자기 동형 사상은 범주에서 자기 사상인 동형 사상이다. 즉, 대상 X의 자기 사상 f: X → X가 자기 동형 사상이라는 것은 f ∘ g = g ∘ f = idX를 만족하는 사상 g: X → X가 존재한다는 것을 의미한다. 자기 동형 사상은 대수 구조, 특히 군, 환, 벡터 공간 등에서 전단사 준동형 사상으로 나타난다. 자기 동형 사상은 사상 합성에 대해 군을 이루며, 이를 자기 동형군이라고 한다. 자기 동형군은 자기 사상 모노이드의 가역원들로 구성된 부분 모노이드이다. 자기 동형 사상은 내부 자기 동형 사상과 외부 자기 동형 사상으로 분류될 수 있다.

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자기 동형 사상
자기 동형 사상 개요
정의	어떤 대상에서 자기 자신으로의 동형 사상
의미	대상의 구조를 보존하는 자기 사상
예시	대칭군 정수 환
군론에서의 자기 동형 사상
자기 동형 사상 군	주어진 군의 모든 자기 동형 사상들의 군
내부 자기 동형 사상	군 원소에 의한 켤레 작용으로 정의되는 자기 동형 사상
외부 자기 동형 사상	내부 자기 동형 사상이 아닌 자기 동형 사상
환론에서의 자기 동형 사상
정의	환의 구조를 보존하는 자기 동형 사상 (덧셈, 곱셈 보존)
예시	복소수체의 켤레 복소수 사상
선형대수학에서의 자기 동형 사상
정의	벡터 공간의 구조를 보존하는 자기 동형 사상 (선형성 보존)
다른 이름	가역 선형 변환
그래프 이론에서의 자기 동형 사상
정의	그래프의 구조를 보존하는 자기 동형 사상 (정점 간의 인접 관계 보존)
중요성	그래프의 대칭성을 연구하는 데 사용

2. 정의

범주론적 관점에서 자기 동형 사상은 역 사상을 갖는 자기 사상(Endomorphism)이다. 대수 구조에서는 전단사(bijective) 준동형 사상(Homomorphism)으로 정의된다. 자기 동형 사상의 정확한 정의는 "수학적 대상"의 종류나, 그 대상 위의 "동형 사상"의 정의에 따라 달라진다.

항등 사상은 자명한 자기 동형 사상(trivial automorphism)이라고 불리기도 한다. 항등 사상이 아닌 다른 자기 동형 사상은 비자명한 자기 동형 사상(nontrivial automorphisms)이라고 불린다.

2. 1. 범주론적 정의

범주

\mathcal C

에서 대상

X

의 자기 동형 사상은 자기 사상이면서 동형 사상인 사상

f: X \to X

이다. 즉,

f\circ g=g\circ f=\operatorname{id}_X

를 만족하는 사상

g : X \to X

가 존재한다. 범주론에서 사상은 함수일 필요도 없고, 대상은 집합일 필요도 없다.

2. 2. 대수 구조에서의 정의

군, 환, 또는 벡터 공간과 같은 대수 구조에서, 자기 동형 사상은 객체를 자기 자신으로 사상하는 전단사 준동형 사상이다. 준동형 사상의 정의는 대수 구조의 유형에 따라 다르다. (예를 들어, 군 준동형 사상, 환 준동형 사상, 선형 연산자를 참조.)

3. 자기 동형군

국소적으로 작은 범주 $\mathcal C$ 에서 대상 $X$ 의 자기 동형 사상들은 사상의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이 군에서, 항등원은 항등 사상이며, 역원은 역사상이다. 이를 '''자기 동형군'''(自己同型群, automorphism group^영어)이라고 하고, $\operatorname{Aut}(X)$ 로 쓴다. 즉, 자기 동형군 $\operatorname{Aut}(X)$ 는 $X$ 의 자기 사상 모노이드 $\operatorname{End}(X)$ 의 가역원들로 구성된 부분 모노이드이다.

대상 $X$ 의 자기 동형 사상은 함수 합성을 통해 군을 형성하며, 이를 $X$ 의 ''자기 동형 사상군''이라고 한다. 범주 $C$ 내의 대상 $X$ 의 자기 동형 사상군은 종종 $Aut_C(X)$ 로 표기하거나, 범주가 문맥상 명확할 경우 단순히 $Aut(X)$ 로 표기한다.

대상 $X$ 의 자기 동형 전체가 집합을 이룰 경우, 이 집합은 사상의 합성 아래에서 군을 이룬다. 이 군을 $X$ 의 '''자기 동형군'''이라고 부른다. 이것이 군을 이루는 것은 다음으로부터 쉽게 확인할 수 있다.

닫힘: 2개의 자기 준동형 사상의 합성은 다시 자기 준동형 사상이 된다.
결합 법칙: 사상의 합성은 '''항상''' 결합적이다.
항등원: 대상에서 자신으로의 항등 사상은 항등원이 된다.
역원: 정의에 따라, 모든 동형 사상은 역 사상을 가진다. 그 역 사상도 동형 사상이며, 또한 자기 준동형 사상이므로, 그것은 자기 동형 사상이 된다.

4. 예

자기 동형 사상의 예시는 다음과 같다:

주어진 부호수의 대수 구조와 그 준동형의 구체적 범주(또는 그 충만한 부분 범주)에서, 자기 동형 사상은 단순히 전단사 함수인 자기 준동형이다.
모노이드 $M$ 을 하나의 대상 $\bullet$ 을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 동형군 $\operatorname{Aut}(\bullet)$ 은 $M$ 의 가역원들의 군이다.
$\{m\in M\colon\exists n\in M\colon mn=nm=1\}$
특히, 만약 $M$ 이 군이라면, $\operatorname{Aut}(\bullet)\cong M$ 이다.
정수의 덧셈군 $\mathbb Z$ 는 유일한 비항등 자기 동형 사상 $1\mapsto-1$ 을 갖는다. 그러나 환으로서의 $\mathbb Z$ 는 항등 자기 동형 사상만 갖는다. 덧셈 역원을 취하는 함수는 모든 아벨 군의 자기 동형 사상이지만, 환이나 체에서는 일반적으로 (표수가 2가 아닌 경우) 자기 동형 사상이 아니다.
체(와 환 준동형)의 범주에서, 체 자기 동형 사상은 전사 자기 환 준동형이며, 이는 자동적으로 전단사 함수가 된다. 유리수체 $\mathbb Q$ 와 실수체 $\mathbb R$ 의 경우 항등이 아닌 자기 동형은 존재하지 않는다. $\mathbb R$ 의 일부 부분체는 비항등 자기 동형을 갖는다. 예를 들어, $a+b\sqrt 2\mapsto a-b\sqrt 2$ ( $a,b\in\mathbb Q$ )는 이차 수체 $\mathbb Q(\sqrt 2)$ 의 자기 동형이다. 그러나 이러한 부분체의 자기 동형은 $\mathbb R$ 에서 제곱근이 있는 수의 성질을 유지할 수 없기 때문에 $\mathbb R$ 전체로 확장되지는 않는다.
p-진수의 체 '''Q'''_p는 비자명한 자기 동형을 갖지 않는다.
집합론에서 집합 ''X''의 임의의 순열은 자기 동형 사상이다. ''X''의 자기 동형 사상군은 ''X''에 대한 대칭군이라고도 불린다.
초등 산수에서 덧셈 하에서 정수 집합 '''Z'''는 유일한 비자명 자기 동형 사상, 즉 부정을 가진다. 그러나, 링으로 간주하면 자명 자기 동형 사상만 갖는다. 일반적으로 부정은 모든 아벨 군 위의 자기 동형이 되지만, 환이나 체에서는 그렇지 않다.
관계성의 자기 동형에 대해서는, 자기 동형을 보존하는 관계를 참조.
순서 이론에 대해서는, 순서 자기 동형을 참조.

4. 1. 집합

집합의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 함수(순열)이며, 집합

S

의 자기 동형군은 대칭군

\operatorname{Sym}(S)

이다.

4. 2. 군

군의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 군 준동형이다. 이는 구조가 변경되지 않은 상태로 유지되는 군 원소의 순열이라고 할 수 있다. 모든 군

G

에 대해 상이 내부 자기 동형군

\operatorname{Inn}(G)

이고 핵이 중심

\operatorname Z(G)

인 자연스러운 군 준동형

G\to\operatorname{Aut}(G)

가 존재한다.^[9] 따라서

G

의 중심이 자명군이면,

G

는 자신의 자기동형군의 부분군으로 여길 수 있다. 이 경우 자기 동형군

\operatorname{Aut}(G)

의 중심 역시 자명하므로, 위 과정을 반복하여 자기 동형탑을 만들 수 있다. 자명한 중심을 갖는 유한군의 자기 동형탑은 무한히 커지지 않음을 보일 수 있다.

4. 3. 환

환의 자기 동형 사상은 전단사 함수인 자기 환 준동형이다.

정수환

\mathbb Z

는 항등 자기 동형 사상만 갖는다. 덧셈 역원을 취하는 함수는 모든 아벨 군의 자기 동형 사상이지만, 환에서는 일반적으로 (표수가 2가 아닌 경우) 자기 동형 사상이 아니다.^[9]

유리수체

\mathbb Q

는 항등 사상 외에는 다른 자기 동형 사상을 갖지 않는다. 자기 동형 사상은 덧셈 항등원 0과 곱셈 항등원 1을 고정해야 하기 때문이다. 유한 개의 1의 합은 고정되어야 하며, 이러한 합의 덧셈 역원(즉, 자기 동형 사상은 모든 정수를 고정한다)도 고정되어야 한다. 마지막으로, 모든 유리수는 두 정수의 몫이므로, 모든 유리수는 모든 자기 동형 사상에 의해 고정되어야 한다.

실수체

\mathbb R

는 항등 사상 외에는 다른 자기 동형 사상을 갖지 않는다. 모든 자기 동형 사상에 의해 유리수는 고정되어야 한다. 자기 동형 사상은

x 가 \exists z\mid y-x=z^2, 와 동등하고 후자의 속성이 모든 자기 동형 사상에 의해 보존되기 때문에 부등식을 보존해야 한다. 마지막으로 모든 실수는 일련의 유리수의 최소 상계이므로 고정되어야 한다.

복소수체

\mathbb C

의 자기 동형 사상은 체의 확대

\mathbb C/\mathbb Q

의 자기 동형 사상과 동치이다.

\mathbb R

을

\mathbb R

로 보내는

\mathbb C

의 자기 동형 사상은 항등 함수와 켤레 복소수 밖에 없으며, 이 둘은 유일한

\mathbb C

의 연속 자기 동형 사상이기도 하다. 선택 공리를 가정하면,

\mathbb C

의 임의의 부분체의 임의의 자기 동형 사상은

\mathbb C

의 자기 동형 사상으로 확장될 수 있으며, 또한 자기 동형들의 집합의 크기는

2^{2^{\aleph_0}}

이다.^[10]^[11]

사원수

\mathbb H

의 환 자기 동형 사상은 스콜렘-뇌터 정리에 의해 내부 자기 동형 사상이 된다. 즉, 자기 동형 사상은 어떤 원소

b

에 대해

a\mapsto bab^{-1}

형식을 갖는다.^[12] 사원수의 자기동형군은 3차원 공간에서의 회전군인 SO(3)와 동형이다.

팔원수

\mathbb O

의 자기동형군은 예외적 리 군 G₂이다.

4. 4. 벡터 공간

벡터 공간에서의 자기 동형 사상은 전단사인 자기 선형 변환이며, 벡터 공간

V

의 자기 동형군은 일반선형군

\operatorname{GL}(V;K)

이다.

4. 5. 체의 확대

체의 확대

L/K

에서 자기 동형 사상은

K

-대수 동형

L\to L

이다.

L/K

가 대수적 확대일 때, 모든

K

-대수 단사 준동형

L\to L

은 자동적으로 전사 함수가 되는

K

-대수 동형이다.^[13]

체의 확대, 특히 갈루아 확대의 자기 동형 사상은 갈루아 이론의 주요 연구 대상이자 시작점이다. 갈루아 확대

L/K

에서

K

를 각 원소마다 고정하는

L

의 모든 자기 동형 사상의 부분군을 이 확대의 갈루아 군이라고 부른다.

4. 6. 그래프

그래프 이론에서 그래프의 자기 동형 사상은 변과 비변을 보존하는 꼭짓점의 순열이다. 특히 두 꼭짓점이 변으로 연결되어 있으면, 순열 하에서 그 이미지도 마찬가지이다.^[1]

4. 7. 기하학

기하학에서 자기 동형 사상은 공간의 운동이라고 할 수 있다. 몇몇 특수한 상황에서 사용되는 용어는 다음과 같다.

거리 공간과 등거리변환의 범주에서, 자기 동형 사상은 전사 자기 등거리변환이다. 이는 자동으로 전단사 함수가 되며, 역함수 역시 등거리변환이다. 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 의 거리 공간으로서의 자기 동형군은 유클리드 군 $\operatorname{IO}(n)$ 이다.
리만 곡면(과 정칙 함수)의 범주에서, 자기 동형 사상은 자기 쌍정칙 함수(등각 사상)이다. 예를 들어, 리만 구의 자기 동형 사상은 뫼비우스 변환이다.
매끄러운 다양체(와 매끄러운 함수)의 범주에서, 매끄러운 다양체 $M$ 의 자기 동형 사상은 자신으로의 미분 동형 사상이며, 그 자기동형군은 흔히 $\operatorname{Diff}(M)$ 으로 표기한다.
위상 공간(과 연속 함수)의 범주에서, 위상 공간의 자기 동형 사상은 자신으로의 위상 동형 사상이다. 이때 전단사 연속 함수는 위상 동형 사상이 되기 위한 충분 조건이 아니다.

5. 내부 및 외부 자기 동형 사상

군, 환, 리 대수와 같은 일부 범주에서는 자기 동형 사상을 내부 자기 동형 사상과 외부 자기 동형 사상으로 분류할 수 있다.

단위원을 갖는 환 또는 대수에서 가역원 ''a''에 대해서도 내부 자기 동형 사상이 같은 방식으로 정의된다. 리 대수의 경우 정의가 약간 다르다.

5. 1. 군의 내부 자기 동형 사상

군의 경우, 내부 자기 동형 사상은 군 원소에 의해 만들어지는 켤레이다. 군

G

의 각 원소

a

에 대해

a

에 의한 켤레

\varphi_a: G \to G

는

\varphi_a(g) = aga^{-1}

으로 주어지는 연산이다. (

a^{-1}ga

를 사용할 수도 있다.)

a

에 의한 켤레는 군 자기 동형 사상임을 쉽게 확인할 수 있다. Goursat의 보조정리에 따르면, 내부 자기 동형 사상은

\operatorname{Aut}(G)

의 정규 부분군을 형성하며,

\operatorname{Inn}(G)

으로 표기한다.

5. 2. 외부 자기 동형 사상

내부 자기 동형 사상이 아닌 자기 동형 사상을 외부 자기 동형 사상이라고 한다. 몫군

\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)

은

\operatorname{Out}(G)

으로 표기한다. 비자명한 원소는 외부 자기 동형 사상을 포함하는 잉여류이다.

6. 역사

최초의 군 자기 동형 사상(단순히 점의 자기동형군이 아닌 군의 자기 동형) 중 하나는 1856년 아일랜드 수학자 윌리엄 로언 해밀턴이 그의 정이십면체 대수(아이코시안 미적분)에서 발견한 2차 자기 동형 사상이다.^[14] μ^영어는 항등원의 새로운 5제곱근이고, 이전의 5제곱근 λ^영어과 완전한 상호 관계(perfect reciprocity)로 연결되어 있다고 설명했다.

참조

_[1] 서적 Mathematical foundations of computational engineering Springer
_[2] 저널 Automorphisms of the Complex Numbers http://www.maa.org/s[...] 1966-05
_[3] 간행물 Clifford Algebras and Spinors Cambridge University Press
_[4] 저널 Memorandum respecting a new System of Roots of Unity http://www.maths.tcd[...]
_[5] 서적 Mathematical foundations of computational engineering https://books.google[...] Springer
_[6] 저널 Automorphisms of the Complex Numbers http://www.maa.org/s[...] 1966-05
_[7] 간행물 Clifford Algebras and Spinors Cambridge University Press
_[8] 저널 Memorandum respecting a new System of Roots of Unity http://www.maths.tcd[...]
_[9] 서적 Mathematical foundations of computational engineering
_[10] 저널 Automorphisms of the Complex Numbers http://www.maa.org/s[...] 2022-04-16
_[11] 간행물 Clifford Algebras and Spinors Cambridge University Press
_[12] 인용 Handbook of algebra
_[13] 서적
_[14] 저널 Memorandum respecting a new System of Roots of Unity http://www.maths.tcd[...]

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