측지선

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1. 개요

측지선은 로비어 공간이나 매끄러운 다양체에서 국소적으로 거리를 최소화하는 곡선이다. 측지선은 대역적 측지선과 국소 측지선으로 구분되며, 대역적 측지선은 임의의 두 점 사이의 거리를 속력과 시간 간격의 곱으로 나타내는 곡선이고, 국소 측지선은 특정 구간 내에서 대역적 측지선과 동일한 성질을 갖는 곡선이다. 측지선은 길이 공간, 리만 다양체, 일반 상대성 이론 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 일반 상대성 이론에서는 시공간의 시험 입자 궤적을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

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측지선
개요
정의	곡면 또는 리만 다양체 상의 최단 경로
관련 분야	미분기하학, 일반 상대성 이론
특징
어원	'땅을 나누다'라는 뜻의 그리스어 "γεωδαισία"에서 유래
설명	유클리드 공간에서 직선의 개념을 일반화한 것
일반 상대성 이론	중력장 내에서 입자가 따르는 경로
수학적 정의
측지선의 방정식	'Γ'는 크리스토펠 기호
설명	측지선은 곡선 상의 각 점에서 곡선의 접선 벡터가 평행하게 이동하는 곡선이다.
예시
구면	구면에서의 측지선은 대원이다.
평면	평면에서의 측지선은 직선이다.
응용
지도 제작	지구 표면의 두 지점 간 최단 거리 계산
내비게이션	선박이나 항공기의 최적 경로 설정
일반 상대성 이론	빛의 경로 예측

2. 정의

주어진 공간에서 두 점을 연결하는 곡선 중 특정 조건을 만족시키는 곡선을 측지선이라고 한다. 측지선은 크게 로비어 공간에서의 측지선과 다양체에서의 측지선으로 나눌 수 있다.

로비어 공간에서는 주어진 함수에 대해 특정 조건을 만족하는 상수가 존재하면 대역적 측지선((global geodesic^영어)), 특정 조건을 만족하는 닫힌 근방이 존재하면 국소 측지선((local geodesic^영어))이라고 정의한다.

다양체에서는 매끄러운 곡선이 측지선 방정식을 만족시키면 에너지 측지선이라고 정의한다. 측지선 방정식은 접벡터가 측지선을 따라 이동할 때 평행을 유지한다는 것을 의미한다. 준 리만 다양체에서는 곡선의 길이나 에너지 범함수를 정의하여, 이 범함수의 오일러-라그랑주 방정식이 측지선 방정식과 같음을 보일 수 있다.

측지선은 일반적으로 두 점 사이의 "가장 짧은 곡선"과 동일하지 않지만, 두 개념은 밀접하게 관련되어 있다. 측지선은 국소적으로만 가장 짧은 거리이며 "일정한 속도"로 매개변수화된다는 차이점이 있다.

2. 1. 로비어 공간의 측지선

로비어 공간

(X,d)

과 닫힌구간

[a,b]\subseteq\mathbb R

가 주어졌다고 하자.

함수

\gamma\colon[a,b]\to X

에 대하여, 다음 조건이 성립하게 하는 상수

v\in[0,\infty)

가 존재한다면,

\gamma

를 '''(대역적) 측지선'''((大域的)測地線, (global) geodesic^영어)이라고 한다.^[13]^[14]

:

\forall s,t\in[a,b]\colon s\le t\implies d(\gamma(s),\gamma(t))=v(t-s)

이는 항상 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는

v(b-a)

이다.

v

를 측지선

\gamma

의 '''속력'''(速力, speed^영어)이라고 한다.

닫힌구간

[a,b]\subseteq\mathbb R

위에 정의된 함수

\gamma\colon[a,b]\to X

가 다음 조건을 만족시킨다면, '''국소 측지선'''(局所測地線, local geodesic^영어)이라고 한다.^[13]^[14]

:임의의

t\in [a,b]

에 대하여, 제한

\gamma\restriction[c,d]

가 대역적 측지선이 되는 닫힌 근방

[a,b]\supseteq[c,d]\ni t

가 존재한다.

사실

[a,b]

가 콤팩트 공간이므로, 위 조건은 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수

v\in[0,\infty)

및 양의 실수

\epsilon\in\mathbb R^+

의 존재와 동치이다.

:

\forall s,t\in[a,b]\colon 0\le t-s<\epsilon \implies d(\gamma(s),\gamma(t))=v(t-s)

이 역시 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 역시

v(b-a)

이다.

로비어 공간

(X,d)

에 대하여, 다음 조건들을 정의한다.

임의의 두 $x,y\in X$ 에 대하여, $\gamma(a)=x$ 이자 $\gamma(b)=y$ 인 대역적 측지선 $\gamma\colon[a,b]\to X$ 가 존재한다면, $(X,d)$ 를 '''측지선 로비어 공간'''(測地線Lawvere空間, geodesic Lawvere space^영어)이라고 한다.^[13]
임의의 두 $x,y\in X$ 에 대하여, $\gamma(0)=x$ 이자 $\gamma(1)=y$ 인 대역적 측지선 $\gamma\colon[0,1]\to X$ 가 유일하게 존재한다면, $(X,d)$ 를 '''유일 측지선 로비어 공간'''(唯一測地線Lawvere空間, uniquely geodesic Lawvere space^영어)이라고 한다.^[13]

모든 측지선 로비어 공간은 길이 로비어 공간이다.

측지 기하학에서 측지선은 어디에서나 국소적으로 거리를 최소화하는 곡선이다. 더 정확히 말하면, 실수의 구간 ''I''에서 거리 공간 ''M''으로의 곡선

\gamma\colon I\to M

은 임의의

t\in I

에 대해 ''t''의 ''I''에서의 근방 ''J''가 존재하고 임의의

t_1,t_2\in J

에 대해 다음이 성립하는 상수

v\ge 0

가 존재할 때 '''측지선'''이다.

:

d(\gamma(t_1),\gamma(t_2)) = v \left| t_1 - t_2 \right| .

이는 리만 다양체에 대한 측지선의 개념을 일반화한 것이다. 그러나 측지 기하학에서는 고려되는 측지선이 종종 자연 매개변수화를 갖추고 있다. 즉, 위 등식에서

v=1

이고

:

d(\gamma(t_1),\gamma(t_2)) = \left| t_1 - t_2 \right| .

마지막 등식이 모든

t_1,t_2\in I

에 대해 만족한다면, 측지선을 '''최소 측지선''' 또는 '''최단 경로'''라고 한다.

일반적으로 거리 공간은 상수 곡선을 제외하고는 측지선을 갖지 않을 수 있다. 반대로, 길이 거리 공간의 임의의 두 점은 정정 곡선들의 최소화 수열로 연결되지만, 이 최소화 수열이 측지선으로 수렴할 필요는 없다.

2. 2. 다양체의 측지선

매끄러운 다양체

M

위에 아핀 접속

\nabla

가 주어졌을 때, '''에너지 측지선'''은 다음 조건을 만족하는 매끄러운 곡선

\gamma\colon[a,b]\to M

이다. 우선,

\gamma

의 상을 포함하는 임의의 열린집합

U

위에, 다음 조건을 만족시키는 임의의 벡터장을 선택한다.

:

X\in\Gamma^\infty(U,\mathrm TU)

:

\forall t\in[a,b]\colon \dot\gamma(t)=X_{\gamma(t)}

그러면,

X

는 다음 조건을 만족시켜야 하며, 이를 '''측지선 방정식'''이라고 한다.

:

\forall t\in[a,b]\colon(\nabla_XX)_{\gamma(t)}=0\in{\mathrm T}_{\gamma(t)}M

측지선 방정식은 대략 접벡터가 측지선을 따라 이동할 때 평행을 유지한다는 것을 의미한다.^[12]

이 조건이 성립하는지 여부는

X

의 선택에 의존하지 않는다. 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다.

:

\ddot\gamma^k+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k\dot\gamma^i\dot\gamma^j=0

여기서

\Gamma_{ij}^k

는

\nabla

의 크리스토펠 기호이다.

준 리만 다양체

(M,g)

위의 매끄러운 함수

\gamma\colon[a,b]\to M

에 대하여, 다음과 같은 두 범함수를 정의할 수 있다.

:

\operatorname{length}(\gamma)=\int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}\;\mathrm dt

:

\operatorname{energy}(\gamma)=\frac12\int_a^b g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\;\mathrm dt

이 둘은

\gamma

에 대한 작용을 이루며, 이 둘에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 정의할 수 있다.

\operatorname{length}(\gamma)

는 곡선의 길이이며,

\operatorname{energy}(\gamma)

는 단위 질량의 입자의 (비상대론적) 운동 에너지이다. 길이 범함수는 매개 변수의 변환에 대하여 불변이지만, 에너지 범함수의 경우 그렇지 않다.

임의의 준 리만 다양체에서, 에너지 범함수

\operatorname{energy}

의 오일러-라그랑주 방정식은 측지선 방정식과 같다.

리만 다양체

(M,g)

는 매끄러운 다양체이며, 항상 길이 공간을 이룬다. 이에 따라, 측지선의 개념과 다양체 측지선의 개념을 동시에 적용할 수 있다. 리만 다양체 위의 에너지 측지선

\gamma\colon[a,b]\to M

의 경우,

\gamma\circ f

가 국소 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수

[a',b']\to [a,b]

가 존재한다. 반대로, 매끄러운 국소 측지선

\gamma\colon[a,b]\to M

의 경우,

\gamma

가 에너지 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수

[a',b']\to M

이 존재한다.

3. 성질

임의의 매끄러운 다양체 및 아핀 접속 $(M,\nabla)$ 에 대하여, 그 위의 에너지 측지선은 매개 변수의 아핀 변환에 의존하지 않는다.

측지 기하학에서 측지선은 어디에서나 국소적으로 거리를 최소화하는 곡선이다.^[1] 더 정확히 말하면, 실수의 구간 ''I''에서 거리 공간 ''M''으로의 곡선 은 임의의 $t \in I$ 에 대해 ''t''의 ''I''에서의 근방 ''J''가 존재하고 임의의 $t_1, t_2 \in J$ 에 대해 다음이 성립하는 상수 $v \ge 0$ 가 존재할 때 '''측지선'''이다.

: $d(\gamma(t_1),\gamma(t_2)) = v \left| t_1 - t_2 \right| .$

이는 리만 다양체에 대한 측지선의 개념을 일반화한 것이다. 그러나 측지 기하학에서는 고려되는 측지선이 종종 자연 매개변수화를 갖추고 있다. 즉, 위 등식에서 ''v'' = 1이고

: $d(\gamma(t_1),\gamma(t_2)) = \left| t_1 - t_2 \right| .$

마지막 등식이 모든 $t_1, t_2 \in I$ 에 대해 만족한다면, 측지선을 '''최소 측지선''' 또는 '''최단 경로'''라고 한다.

종종 다양체가 아닌 측지 거리 공간의 일반적인 예로는 거리 그래프, (국소적으로 콤팩트한) 거리 다면체 복합체, 무한 차원 전 힐베르트 공간, 그리고 실수 트리가 있다.^[1]

매끄러운 다양체(Differentiable manifold) ''M'' 위의 측지선(geodesic)은 아핀 접속(affine connection) ∇을 갖고, 곡선 γ(''t'')를 따라 평행이동(parallel transport)이 곡선의 접선 벡터를 보존하는 곡선으로 정의된다. 따라서, 곡선을 따라 각 지점에서 다음과 같다.

: $\nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma= 0$

여기서 $\dot\gamma$ 는 $t$ 에 대한 도함수이다. 더 정확하게는, $\dot\gamma$ 의 공변도함수(covariant derivative)를 정의하기 위해서는 먼저 $\dot\gamma$ 를 열린 집합(open set)에서 연속적으로 미분 가능한 벡터장(vector field)으로 확장해야 한다.

''M'' 위의 국소 좌표(local coordinates)를 사용하여, 우리는 측지선 방정식(geodesic equation)을 (합 규약(summation convention)을 사용하여) 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\frac{d^2\gamma^\lambda }{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu }\frac{d\gamma^\mu }{dt}\frac{d\gamma^\nu }{dt} = 0\ ,$

여기서 $\gamma^\mu = x^\mu \circ \gamma (t)$ 는 곡선 γ(''t'')의 좌표이고 $\Gamma^{\lambda }_{\mu \nu }$ 는 연결 ∇의 크리스토펠 기호(Christoffel symbol)이다. 이것은 좌표에 대한 상미분 방정식(ordinary differential equation)이다. 초기 위치와 초기 속도가 주어지면 유일한 해를 갖는다. 따라서, 고전역학(classical mechanics)의 관점에서, 측지선은 다양체에서 자유 입자(free particle)의 궤적(trajectory)으로 생각할 수 있다. 방정식 $\nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma= 0$ 는 곡선의 가속도 벡터(acceleration vector)가 표면 방향으로 성분을 갖지 않음을 의미한다. 따라서 운동은 표면의 굽힘에 의해 완전히 결정된다. 이것은 또한 일반 상대성 이론(general relativity)의 개념으로, 입자는 측지선을 따라 움직이고 굽힘은 중력에 의해 발생한다.

'''측지선 흐름'''은 다음과 같이 정의되는 다양체 ''M''의 접다발 ''TM''에 대한 국소 '''R'''-작용이다.

: $G^t(V)=\dot\gamma_V(t)$

여기서 ''t'' ∈ '''R''', ''V'' ∈ ''TM''이고 $\gamma_V$ 는 초기 데이터 $\dot\gamma_V(0)=V$ 를 갖는 측지선을 나타낸다. 따라서, '' $G^t(V)=\exp(tV)$ ''는 벡터 ''tV''의 지수 사상이다. 측지선 흐름의 닫힌 궤도는 ''M'' 위의 닫힌 측지선에 해당한다.

(유사-)리만 다양체에서 측지선 흐름은 여접다발 위의 해밀토니안 흐름과 동일시된다. 해밀토니안은 (유사-)리만 계량의 역함수로 주어지며, 표준 1-형식에 대해 평가된다. 특히, 흐름은 (유사-)리만 계량 $g$ 를 보존한다. 즉,

: $g(G^t(V),G^t(V))=g(V,V). \,$

특히, ''V''가 단위 벡터일 때, $\gamma_V$ 는 일정한 속도를 유지하므로 측지선 흐름은 단위 접다발에 접한다. 리우빌의 정리는 단위 접다발 위의 운동학적 측도의 불변성을 의미한다.

3. 1. 기초적 성질

로비어 공간

(X,d)

와 임의의 양의 실수

C\in\mathbb R^+

가 주어졌을 때,

(X,Cd)

역시 로비어 공간을 이룬다. 이 경우,

(X,Cd)

의 (국소) 측지선은 다음과 같다.

임의의 함수 $\gamma\colon[a,b]\to X$ 에 대하여, $\gamma$ 가 측지선인 것은 $\gamma'\colon[Ca,Cb]\to(X,Cd)$ , $t\mapsto \gamma(t/c)$ 가 측지선인 것과 동치이다.
임의의 함수 $\gamma\colon[a,b]\to X$ 에 대하여, $\gamma$ 가 국소 측지선인 것은 $\gamma'\colon[Ca,Cb]\to(X,Cd)$ , $t\mapsto \gamma(t/c)$ 가 국소 측지선인 것과 동치이다.

마찬가지로, 반대 로비어 공간

X^{\operatorname{op}}=(X,d^{\operatorname{op}})

위의 측지선은 다음과 같다.

임의의 함수 $\gamma\colon[a,b]\to X$ 에 대하여, $b>a$ 일 때, $\gamma$ 가 측지선인 것은 $\gamma'\colon[a,b]\to X^{\operatorname{op}}$ , $t\mapsto \gamma(b-(t-a)/(a-b))$ 가 측지선인 것과 동치이다.
임의의 함수 $\gamma\colon[a,b]\to X$ 에 대하여, $b>a$ 일 때, $\gamma$ 가 국소 측지선인 것은 $\gamma'\colon[a,b]\to X^{\operatorname{op}}$ , $t\mapsto \gamma(b-(t-a)/(a-b))$ 가 국소 측지선인 것과 동치이다.

3. 2. 위상수학적 성질

확장 유사 거리 공간에서 측지선은 (상수

v

에 대하여 성립하는) 립시츠 연속 함수이며, 특히 균등 연속 함수이자 연속 함수이다.

일반적인 로비어 공간의 경우 측지선이 (열린 공 위상에서) 연속 함수일 필요는 없다. 그러나 닫힌구간

[a,b]

위에 다음과 같은 기저를 갖는 조르겐프라이 위상을 부여할 때, 측지선

[a,b]\to X

는

X

의 열린 공 위상에 대하여 연속 함수이다. (조르겐프라이 위상은 표준적 위상보다 더 섬세한 위상이다.)

:

\{[c,d)\cap[a,b]\colon c,d\in\mathbb R\}\colon

3. 3. 길이 공간

길이 거리 공간에서 측지선은 두 점을 잇는 최단의 길이를 갖는 곡선으로, 속력 1의 측지선과 동치이다. 즉, 길이 공간에서 측지선은 최단 경로와 밀접하게 관련되어 있다. 일반적으로 측지선은 두 점 사이의 "가장 짧은 곡선"과 동일하지 않지만, 두 개념은 밀접하게 관련되어 있다. 측지선은 국소적으로만 가장 짧은 거리이며 "일정한 속도"로 매개변수화된다는 차이가 있다.

일반적으로 거리 공간은 상수 곡선을 제외하고는 측지선을 갖지 않을 수 있다.^[1] 반대로, 길이 거리 공간의 임의의 두 점은 정정 곡선들의 최소화 수열로 연결되지만, 이 최소화 수열이 측지선으로 수렴할 필요는 없다.^[1] Hopf-Rinow 정리(거리 공간 버전)은 길이 공간이 자동적으로 측지 공간이 되는 상황을 제공한다.^[1]

3. 4. 리만 다양체

준 리만 다양체

(M,g)

위의 매끄러운 함수

:

\gamma\colon[a,b]\to M

에 대하여, 다음과 같은 두 범함수를 정의할 수 있다.

:

\operatorname{length}(\gamma)=\int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}\;\mathrm dt

:

\operatorname{energy}(\gamma)=\frac12\int_a^b g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\;\mathrm dt

이 둘은

\gamma

에 대한 작용을 이루며, 이 둘에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 정의할 수 있다.

임의의 준 리만 다양체에서, 에너지 범함수

\operatorname{energy}

의 오일러-라그랑주 방정식은 측지선 방정식과 같다.

리만 다양체

(M,g)

는 매끄러운 다양체이며, 항상 길이 로비어 공간을 이룬다. 이에 따라, 측지선의 개념과 다양체 측지선의 개념을 동시에 적용할 수 있다. 리만 다양체 위의 에너지 측지선

:

\gamma\colon[a,b]\to M

의 경우,

\gamma\circ f

가 국소 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수

[a',b']\to [a,b]

가 존재한다. 반대로, 매끄러운 국소 측지선

\gamma\colon[a,b]\to M

의 경우,

\gamma\colon g

가 에너지 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수

[a',b']\to M

이 존재한다.

두 점 사이의 국소적으로 가장 짧은 경로는 곡선의 길이에 대한 방정식을 사용하여 정의할 수 있으며, 변분법을 사용하여 지점 사이의 이 길이를 최소화함으로써 구할 수 있다. 최단 경로를 "일정한 속도" 1로 매개변수화된 곡선의 집합으로 제한하는 것이 더 간단하다. 즉, 곡선을 따라 ''f''(''s'')에서 ''f''(''t'')까지의 거리는 |''s''−''t''|와 같다. 마찬가지로, 곡선의 에너지라고 하는 다른 양을 사용할 수 있으며, 에너지를 최소화하면 측지선에 대한 동일한 방정식이 도출된다. 직관적으로, 두 점 사이에 늘어뜨린 고무줄은 폭을 수축시키고 그렇게 함으로써 에너지를 최소화한다는 점에 주목하여 두 번째 공식을 이해할 수 있다. 고무줄의 결과적인 모양이 측지선이다.

두 점 사이의 여러 다른 곡선이 거리를 최소화할 수 있는데, 구의 지름의 양 끝에 있는 두 점의 경우가 그 예이다. 이러한 경우, 이러한 곡선 중 어느 것이든 측지선이다.

측지선의 연속적인 부분은 다시 측지선이다.

일반적으로 측지선은 두 점 사이의 "가장 짧은 곡선"과 동일하지 않지만, 두 개념은 밀접하게 관련되어 있다. 차이점은 측지선은 점 사이에서 국소적으로만 가장 짧은 거리이며 "일정한 속도"로 매개변수화된다는 것이다. 구면 위의 두 점 사이의 대원을 "긴 경로"로 가는 것은 측지선이지만 두 점 사이의 최단 경로는 아니다. 실수선의 단위 구간에서 자기 자신으로의 사상

t \to t^2

는 0과 1 사이의 최단 경로를 제공하지만, 해당 점의 운동 속도가 일정하지 않기 때문에 측지선이 아니다.

리만 다양체(Riemannian manifold) ''M''에서 메트릭 텐서(metric tensor) ''g''를 갖는 연속적으로 미분 가능한 곡선 γ : [''a'',''b''] → ''M''의 길이 ''L''은 다음과 같이 정의된다.

:

L(\gamma)=\int_a^b \sqrt{  g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)) }\,dt.

''M''의 두 점 ''p''와 ''q'' 사이의 거리 ''d''(''p'', ''q'')는 γ(''a'') = ''p''이고 γ(''b'') = ''q''인 모든 연속적이고 조각별로 연속적으로 미분 가능한 곡선 γ : [''a'',''b''] → ''M''에 대해 길이의 하한(infimum)으로 정의된다. 리만 기하학에서 모든 측지선(geodesic)은 국소적으로 거리를 최소화하는 경로이지만, 그 역은 참이 아니다. 사실, 국소적으로 거리를 최소화하고 호 길이에 비례하여 매개변수화된 경로만이 측지선이다. 리만 다양체에서 측지선을 정의하는 또 다른 동등한 방법은 다음 작용(action)(물리학에서의 작용) 또는 에너지 함수(energy functional)의 최솟값으로 정의하는 것이다.

:

E(\gamma)=\frac{1}{2}\int_a^b g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\,dt.

''E''의 모든 최솟값은 ''L''의 최솟값이기도 하지만, ''L''은 더 큰 집합이다.

조각별

C^1

곡선의 경우, 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)에 의해 다음이 성립한다.

:

L(\gamma)^2 \le 2(b-a)E(\gamma)

등식은

g(\gamma',\gamma')

가 거의 모든 곳에서 상수일 때만 성립한다. 경로는 일정한 속도로 이동해야 한다.

E(\gamma)

의 최소화 함수는 아핀 매개변수화되는 것으로 판명되므로

L(\gamma)

도 최소화한다.

함수 ''E''에 대한 오일러-라그랑주 방정식(Euler–Lagrange equation)은 국소 좌표에서 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{d^2x^\lambda }{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu }\frac{dx^\mu }{dt}\frac{dx^\nu }{dt} = 0,

여기서

\Gamma^\lambda_{\mu\nu}

는 메트릭의 크리스토펠 기호(Christoffel symbol)이다. 이것은 측지선 방정식이다.

변분법의 고전적인 기법을 적용하여 에너지 함수 ''E''를 조사할 수 있다. 에너지의 일차 변분은 국소 좌표계에서 다음과 같이 정의된다.

:

\delta E(\gamma)(\varphi) = \left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0} E(\gamma + t\varphi).

임계점의 일차 변분은 바로 측지선이다. 이차 변분은 다음과 같이 정의된다.

:

\delta^2 E(\gamma)(\varphi,\psi) = \left.\frac{\partial^2}{\partial s \, \partial t} \right|_{s=t=0} E(\gamma + t\varphi + s\psi).

적절한 의미에서, 측지선 γ를 따라 이차 변분의 영점은 야코비 장을 따라 발생한다. 따라서 야코비 장은 측지선을 통한 변분으로 간주된다.

고전역학의 변분 기법을 적용하여 측지선을 해밀턴 흐름으로 볼 수도 있다. 이들은 관련된 해밀턴 방정식의 해이며, (유사-)리만 계량을 해밀토니안으로 취한다.

계량 텐서

g_{ij}

를 갖는 리만 다양체 위의 미분 가능한 곡선

x(t)_{}^{}

의 한 점

x(t_1)

에서 다른 점

x(t_2)

까지의 길이 S는 다음 적분으로 주어진다.

:

S \left( = \int_{s_1}^{s_2}\mathrm{d}s = \int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\mathrm{d} t\right)= \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{g_{ij} \frac{\mathrm{d} x^i}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} x^j}{\mathrm{d} t} } \mathrm{d} t = \int_{t_1}^{t_2} F(x, \dot{x}) \mathrm{d} t

이 변분

\delta S

에 대해

\delta S = 0

이 되는 곡선

x(t)

를 그 리만 다양체의 '''측지선'''이라고 한다. 이 곡선

x(t)

에 대해

\delta S = 0

이 되기 위한 필요충분조건은 곡선

x(t)

가 오일러-라그랑주 방정식

:

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial F }{\partial \dot{x}^a}\right) - \frac{\partial F}{\partial x^a} = 0

　단,

F = \sqrt{g_{ij} \dot{x}^i \dot{x}^j }

을 만족하는 것이다.

:

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial F }{\partial \dot{x}^a}\right) - \frac{\partial F}{\partial x^a}= \frac{g_{ai} \ddot{x}^i}{ \dot{s} } + \frac{ \frac{\partial g_{ai}}{\partial x^j} \dot{x}^i \dot{x}^j }{ \dot{s} } - \frac{g_{ai} \dot{x}^i \ddot{s}}{ \left( \dot{s} \right)^2  }  - \frac{1}{2} \frac{\frac{\partial g_{i j}}{\partial x^a} \dot{x}^i \dot{x}^j }{ \dot{s} }= 0

정리하면,

:

g_{ai} \left( \ddot{x}^i  - \dot{x}^i \frac{ \ddot{s} }{ \dot{s} } \right) + \frac{\partial g_{ai}}{\partial x^j} \dot{x}^i \dot{x}^j - \frac{1}{2} \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^a} \dot{x}^i \dot{x}^j= 0

이 된다. 위 식에

g^{k a}

를 곱하고 a에 대해 합을 취하면,

:

\delta_{i}^{k} \left( \ddot{x}^i - \dot{x}^i \frac{ \ddot{s} }{ \dot{s} } \right)  + \frac{1}{2} g^{k a}\left( \frac{\partial g_{a i}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{a j}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^a} \right) \dot{x}^i \dot{x}^j=\ddot{x}^k  - \dot{x}^k \frac{ \ddot{s} }{ \dot{s}  } + \frac{1}{2} g^{k a}\left( \frac{\partial g_{a i}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{a j}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^a} \right) \dot{x}^i \dot{x}^j= 0

이 되지만, 여기서 호장 s를 매개변수의 일차 함수로 바꾸면

\ddot{s} = 0

이 된다. 특히 매개변수 t를 호장 s로 바꾸면 더욱 간단해져서,

:

\frac{\mathrm{d}^2 x^k}{\mathrm{d} s^2} + \frac{1}{2} g^{k a}\left( \frac{\partial g_{a i}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{a j}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^a} \right) \frac{\mathrm{d} x^i}{\mathrm{d} s}  \frac{\mathrm{d} x^j}{\mathrm{d} s}  = 0

을 얻는다.^[12] 마지막으로 크리스토펠 기호

:

\left\{ { {k}\atop{i j} } \right\} = \frac{1}{2} g^{k a}\left( \frac{\partial g_{a i}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{a j}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^a} \right)

로 바꾸면, 위 식은,

:

\frac{\mathrm{d}^2 x^k}{\mathrm{d} s^2} + \left\{ { {k}\atop{i j} } \right\} \frac{\mathrm{d} x^i}{\mathrm{d} s}  \frac{\mathrm{d} x^j}{\mathrm{d} s}  = 0

으로 표현된다. 이것을 '''측지선 방정식'''(geodesic equation)이라고 한다.

s

는

x(s)

의 시점으로부터의 길이를 나타내는 호장 매개변수이다. 예를 들어, 3차원 공간이 평탄하다면,

g_{\mu\nu}^{}={\rm diag}(1,1,1)

이고, 연결은 모두 0이 되므로, 측지선 방정식은 단순히

:

\frac{d^2x^{i}}{d s^2}=0

이 된다. 즉,

x^{i}

는

s

의 1차식이며, 일반적인 직선의 방정식을 나타낸다.

이 방정식은 최단 측지선이 만족해야 하는 성질에 의해 유도된다.

미분 방정식은 국소적인 정보를 주는 것이므로, 대역적인 곡선의 길이 등을 나타내는 것이 아니며, 따라서 이 방정식으로 정의되는 측지선이 반드시 최단 측지선이 되는 것은 아니라는 점에 유의해야 한다.

4. 방정식

측지선은 주어진 공간의 기하학적 구조를 반영하는 미분 방정식으로 표현된다. 매끄러운 다양체 $M$ 위의 아핀 접속 $\nabla$ 가 주어졌을 때, 에너지 측지선은 다음 조건을 만족시키는 매끄러운 곡선 $\gamma\colon[a,b]\to M$ 이다.

$\gamma$ 의 상을 포함하는 임의의 열린집합 $U\supseteq\gamma([a,b])$ 위에, 다음 조건을 만족시키는 임의의 벡터장 $X$ 를 고른다.

: $X\in\Gamma^\infty(U,\mathrm TU)$

: $\forall t\in[a,b]\colon \dot\gamma(t)=X_{\gamma(t)}$

그러면 $X$ 는 다음 조건을 만족시켜야 하며, 이를 '''측지선 방정식'''이라고 한다.

: $\forall t\in[a,b]\colon(\nabla_XX)_{\gamma(t)}=0\in{\mathrm T}_{\gamma(t)}M$

이 조건은 국소 좌표계로 다음과 같이 표현된다.

: $\ddot\gamma^k+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k\dot\gamma^i\dot\gamma^j=0$

여기서 $\Gamma_{ij}^k$ 는 $\nabla$ 의 크리스토펠 기호이다. 측지선 방정식은 접벡터가 측지선을 따라 이동할 때 평행을 유지한다는 것을 의미한다.

매끄러운 다양체 ''M'' 위의 측지선은 아핀 연결 ∇을 갖고, 곡선 γ(''t'')를 따라 평행이동이 곡선의 접선 벡터를 보존하는 곡선으로 정의되며, 곡선을 따라 각 지점에서 다음과 같다.

: $\nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma= 0$

여기서 $\dot\gamma$ 는 $t$ 에 대한 도함수이다.

''M'' 위의 국소 좌표를 사용하여, 측지선 방정식을 (합 규약을 사용하여) 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\frac{d^2\gamma^\lambda }{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu }\frac{d\gamma^\mu }{dt}\frac{d\gamma^\nu }{dt} = 0\ ,$

여기서 $\gamma^\mu = x^\mu \circ \gamma (t)$ 는 곡선 γ(''t'')의 좌표이고 $\Gamma^{\lambda }_{\mu \nu }$ 는 연결 ∇의 크리스토펠 기호이다.

이는 고전역학 관점에서, 측지선은 다양체에서 자유 입자의 궤적으로 생각할 수 있다. 방정식 $\nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma= 0$ 는 곡선의 가속도 벡터가 표면 방향으로 성분을 갖지 않음을 의미한다.

4. 1. 리만 다양체의 측지선 방정식

Riemannian manifold^영어에서 측지선 방정식은 크리스토펠 기호를 사용하여 표현된다.

준 리만 다양체

(M,g)

위의 매끄러운 함수

:

\gamma\colon[a,b]\to M

에 대하여, 다음과 같은 두 범함수를 정의할 수 있다.^[12]

:

\operatorname{length}(\gamma)=\int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}\;\mathrm dt

:

\operatorname{energy}(\gamma)=\frac12\int_a^b g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\;\mathrm dt

이 둘은

\gamma

에 대한 작용을 이루며, 이 둘에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 정의할 수 있다.

\operatorname{length}(\gamma)

는 곡선의 길이이며,

\operatorname{energy}(\gamma)

는 단위 질량의 입자의 (비(非)상대론적) 운동 에너지이다.

임의의 준 리만 다양체에서, 에너지 범함수

\operatorname{energy}

의 오일러-라그랑주 방정식은 측지선 방정식과 같다.

에너지 범함수는 다음과 같은 라그랑지언의 적분이다.

:

\mathcal L(x,v)=\frac12g_{ij}v^iv^j

오일러-라그랑주 방정식은 다음에

\dot v_i\mapsto\ddot\gamma^i(t)

,

v^i\mapsto\dot\gamma^i(t)

,

x^i\mapsto \gamma(t)

를 대입하여 얻는다. 이를 재정리하면 다음과 같다.

:

\ddot\gamma^k = \frac12\dot\gamma^i\dot\gamma^j g^{kl} \left(\partial_l g_{ij} - \partial_ig_{jl}-\partial_jg_{il}\right)=-\dot\gamma^i\dot\gamma^j\Gamma^k_{ij}

리만 다양체

(M,g)

에서, 측지선 방정식은 다음과 같다.

:

\ddot\gamma^k+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k\dot\gamma^i\dot\gamma^j=0

여기서

\Gamma_{ij}^k

는

\nabla

의 크리스토펠 기호이다.^[12]

계량 텐서

g_{ij}

를 갖는 리만 다양체 위의 미분 가능한 곡선

x(t)

의 한 점

x(t_1)

에서 다른 점

x(t_2)

까지의 길이 S는 다음 적분으로 주어진다.

:

S = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{g_{ij} \frac{\mathrm{d} x^i}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} x^j}{\mathrm{d} t} } \mathrm{d} t = \int_{t_1}^{t_2} F(x, \dot{x}) \mathrm{d} t

이 변분

\delta S

에 대해

\delta S = 0

이 되는 곡선

x(t)

를 그 리만 다양체의 '''측지선'''이라고 한다. 이 곡선

x(t)

에 대해

\delta S = 0

이 되기 위한 필요충분조건은 곡선

x(t)

가 오일러-라그랑주 방정식

:

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial F }{\partial \dot{x}^a}\right) - \frac{\partial F}{\partial x^a} = 0

　(

F = \sqrt{g_{ij} \dot{x}^i \dot{x}^j }

)

을 만족하는 것이다.

매개변수 t를 호장 s로 바꾸면, 크리스토펠 기호를 이용해 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.^[12]

:

\frac{\mathrm{d}^2 x^k}{\mathrm{d} s^2} + \left\{ { {k}\atop{i j} } \right\} \frac{\mathrm{d} x^i}{\mathrm{d} s}  \frac{\mathrm{d} x^j}{\mathrm{d} s}  = 0

4. 2. 일반 상대성 이론과의 관계

일반 상대성 이론에서 시공간은 4차원 유사 리만 다양체로 기술된다. 시공간 상의 시험 입자(시공간에 대한 중력적인 반작용을 주지 않는 가상적인 질점으로, 전하나 스핀 등의 성질은 일반적으로 갖지 않는다고 생각한다)나 빛의 경로는 측지선으로 기술된다. 이른바 자유 낙하하는 물체의 궤적은 측지선으로 나타낸다고 생각하는 것이다. 예를 들어, 지상에서 공을 던졌을 때 그리는 포물선도 4차원 시공간에서 그 궤적을 파악하면 측지선이다.

일반 상대성이론에서 측지선은 시공간의 인과 구조를 정의할 때 중요한 역할을 한다. 블랙홀의 정의나 특이점 정리, 그 외 수학적인 시공간 공식화에 없어서는 안 될 도구이다.

5. 예시

임의의 로비어 공간 또는 매끄러운 다양체 $X$ 위의 상수 곡선은 자명하게 측지선을 이룬다.

유클리드 공간을 리만 다양체로 여겼을 때, (직교좌표계에서) 크리스토펠 기호는 0이다.

: $\Gamma^k_{ij}=0$

따라서 측지선 방정식은 단순히 가속도가 0인 것이 된다.

: $\ddot\gamma=0$

만약 곤충이 표면에 놓여 있고 계속해서 "앞으로" 걷는다면, 정의에 따라 측지선을 따라가게 된다.

타원체상의 측지선은 구 위에서보다 더 복잡한 방식으로 작용한다. 특히, 일반적으로 폐곡선이 아니다(그림 참조).

thumb

5. 1. 이산 공간과 비이산 공간

기수

\kappa

에 대하여, 크기

\kappa

의 집합

X

위에 유사 거리 함수

:

d(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\\infty&x\ne y\end{cases}\qquad\forall x,y\in X

를 부여하면 이산 공간이 된다. 이산 공간의 경우, 측지선은 상수 곡선 밖에 없다.

크기

\kappa

의 집합

X

위에 로비어 공간 구조

:

d(x,y)=0\qquad\forall x,y\in X

를 주면 비이산 공간이 된다. 비이산 공간의 경우, 임의의 곡선

:

\gamma\colon[a,b]\to X

은 측지선이다.

5. 2. 노름 공간

노름 공간

(V,\|\|)

에서 거리 함수를

:

d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|

로 정의하면, 이 공간은 유일 측지선 공간이 된다. 이 공간에서 임의의 서로 다른 두 벡터

u,v\in V

사이의 측지선은 다음과 같은 선분 형태를 가진다.^[1]

:

\gamma\colon[0,\|u-v\|]\to V

:

\gamma\colon t\mapsto u+\frac t{\|v-u\|}(v-u)\qquad(u\ne v)

특히, 유클리드 공간의 거리는 위와 같이 노름으로 주어지므로, 유클리드 공간의 측지선은 선분이다.^[1]

5. 3. 초구

초구 위의 측지선은 '''대원'''이다.

가장 친숙한 예는 유클리드 기하학의 직선이다. 구에서는 측지선의 이미지가 대원이다. 구 위의 점 ''A''에서 점 ''B''로 가는 최단 경로는 ''A''와 ''B''를 지나는 대원의 더 짧은 호에 의해 주어진다. ''A''와 ''B''가 대척점이라면, 그들 사이에는 무한히 많은 최단 경로가 존재한다.^[1]

'''측지 삼각형'''은 주어진 곡면 위의 세 점을 각각 잇는 측지선으로 이루어진다. 구면에서는 측지선이 대원 호가 되어 구면 삼각형을 형성한다.^[2]

5. 4. 직선 위의 리만 계량

실수선

\mathbb R

위에 다음과 같은 리만 계량을 줄 수 있다.

:

d(x,x')=\int_x^{x'}\sqrt{g(y)}\,\mathrm dy\qquad(x\le x')

:

g\colon\mathbb R\to\mathbb R^+

이 경우 크리스토펠 기호는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\Gamma(x)=\frac1{2g(x)}\dot g(x)=\frac12\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(g(x))

이에 따른 측지선 방정식은 다음과 같다.

:

\ddot\gamma(t)+\Gamma(\gamma(t))\dot\gamma(t)^2=0

이는 2차 상미분 방정식이며, 위치 및 속도에 의존하는 힘

:

F=-\Gamma(\gamma(t))\dot\gamma^2

의 영향을 받는 입자의 운동으로 해석할 수 있다.

예를 들어, 크리스토펠 기호가 상수인 경우, 즉

:

g(x)=g_0\exp(2\Gamma x)

인 경우, 측지선 방정식은

:

\ddot\gamma(t)+\Gamma \dot\gamma(t)^2=0

이며, 그 해는 다음과 같다.

:

\dot\gamma(t)=\left(v_0+\Gamma t\right)^{-1}

:

\gamma(t)=\Gamma^{-1}\ln|v_0+\Gamma t|+x_0

6. 역사와 어원

‘측지선’이라는 용어는 지구상의 두 점 사이의 최단 경로(대원의 일부)^[15] 따위를 연구하는 측지학에서 온 것이다. 한국어의 경우, 대한수학회 용어집에서는 "측지선",^[16] 한국물리학회 용어집에서는 "지름길"을 쓴다.^[17] 측지선은 헤아릴 측(測), 땅 지(地), 줄 선(線) 자를 쓴다.^[18]

1697년, 요한 베르누이(Johann Bernoulli)는 곡면 위의 두 점을 그 곡면 위에서 잇는 가장 짧은 길이의 문제를 고려하여, 이러한 길이가 가장 짧은 곡선을 그 곡면 위의 '''측지선'''(geodesic)이라고 불렀다.^[10]

7. 응용

측지선은 기하학적 성질을 가지면서도 최단 경로라는 일반적인 개념 덕분에 여러 과학 분야와 다른 분야에서 널리 사용된다.

최적 수송: 측도 공간에서 측지선 경로를 찾는 문제로 이해할 수 있다.
정보 기하학: 쿨백-라이블러 발산과 같은 발산은 리만 계량과 유사한 역할을 하며, 연결과 측지선에 대한 유추를 가능하게 한다.
고전역학: 궤적은 해밀턴-야코비 방정식에 따라 에너지를 최소화하는데, 이는 측지선과 유사한 개념으로 볼 수 있다. 특수한 경우에는 두 개념이 실제로 일치한다.
신경계 연구: 신경계가 근육 운동을 최적화하는 방법에 대한 연구는 신체의 구성 공간에 노력을 측정하는 리만 계량을 부여함으로써 접근할 수 있으며, 따라서 이 문제는 측지학의 관점에서 설명될 수 있다.^[5]
측지 거리: 뉴런에서 신호 전파 경로의 길이를 측정하는 데 사용된다.^[6]
거대 분자: 단백질 접힘 연구에서 중요한 역할을 한다.^[7]

7. 1. 물리학

일반 상대성 이론에서, 시공간은 준 리만 다양체를 이룬다. 이 경우, 시험 입자(에너지와 운동량이 매우 작아, 시공간에 거의 영향을 끼치지 않는 입자)는 시공간의 측지선을 따라 움직인다.

상대성 이론은 시공간을 로렌츠 다양체로 모델링하는데, 여기서 빛은 로렌츠 측지선을 따른다.

일반 상대성이론에서는 시공간을 4차원 유사 리만 다양체로 기술한다. 시공간 상의 시험 입자(시공간에 대한 중력적인 반작용을 주지 않는 가상적인 질점. 전하나 스핀 등의 성질은 일반적으로 갖지 않는다고 생각한다)나 빛의 경로는 측지선으로 기술된다. 자유 낙하하고 있는 물체의 궤적은 측지선으로 나타낸다. 예를 들어, 지상에서 공을 던졌을 때 그리는 포물선도 4차원 시공간에서 그 궤적을 파악하면 측지선이다. 일반 상대성이론에서 측지선은 시공간의 인과 구조를 정의할 때 중요한 역할을 한다. 블랙홀의 정의나 특이점 정리, 그 외 수학적인 시공간의 공식화에는 없어서는 안 될 도구이다.

7. 2. 측지학 및 지리 정보 시스템 (GIS)

측지선은 다음 항목의 계산에 사용된다.

측지선 골조
측지 돔과 같은 측지 구조물
지구상 또는 지구 근처의 수평 거리 (지구 측지선 참조)
표면에 대한 이미지 매핑 및 렌더링 (UV 매핑 참조)
로봇 운동 계획 (예: 자동차 부품 도색) (최단 경로 문제 참조)
푸아송 표면 재구성에 대한 측지선 최단 경로(GSP) 보정 (예: 디지털 치의학에서)

회전타원체면 위의 측지선은 지구의 경우 대권항로에 해당한다. 경선을 따라 이어지는 측지선은 자오선호이다.

7. 3. 컴퓨터 그래픽스 및 기하 모델링

측지선은 다음을 계산하는 데 기초로 사용된다.

측지선 골조
측지 돔과 같은 측지 구조물
지구상 또는 지구 근처의 수평 거리 (지구 측지선 참조)
렌더링을 위한 표면 이미지 매핑 (UV 매핑 참조)
로봇 운동 계획 (예: 자동차 부품 도색 시) (최단 경로 문제 참조)
푸아송 표면 재구성에 대한 측지선 최단 경로(GSP) 보정 (예: 디지털 치의학에서). GSP 재구성이 없으면 표면 내부에서 자체 교차가 발생하는 경우가 많다.

7. 4. 로봇 공학

측지선은 다음 분야에서 활용된다.

측지선 골조 ( 측지선 골조 또는 측지 골조 참조)
측지 구조물 (예: 측지 돔)
지구 표면 또는 근처의 수평 거리 ( 지구 측지선 참조)
표면 이미지 매핑, 렌더링 ( UV 매핑 참조)
로봇 운동 계획 (예: 자동차 부품 도색) ( 최단 경로 문제 참조)
푸아송 표면 재구성에서 측지선 최단 경로(GSP) 보정 (예: 디지털 치의학) (GSP 재구성이 없으면 표면 내부에 자체 교차가 발생할 수 있음)

참조

_[1] 저널 The Discrete Geodesic Problem https://epubs.siam.o[...]
_[2] 저널 Computing Geodesic Paths on Manifolds https://www.pnas.org[...]
_[3] 저널 The Heat Method for Distance Computation https://dl.acm.org/d[...]
_[4] Youtube https://www.youtube.[...] 2017-11-02
_[5] 저널 A Riemannian geometry theory of human movement: The geodesic synergy hypothesis https://www.scienced[...] 2015-12-01
_[6] 저널 Geodesic-based distance reveals nonlinear topological features in neural activity from mouse visual cortex https://link.springe[...] 2022-02-01
_[7] 저널 Is tensegrity a unifying concept of protein folds? https://www.scienced[...] 2003-01-16
_[8] 서적
_[9] 문서 測地線や極小曲面の概念をM次元の幾何学的対象に一般化するにはリーマン多様体で考える必要があろう（測地線は1次元リーマン多様体であり、極小曲面は2次元リーマン多様体である）。その際これら測地線の（両）端点や極小曲面の縁の曲線（あるいは端点）は、それら対象となっている多様体から変形運動するそれら多様体が置かれるN次元の空間である多様体（たとえば球面上の測地線で考えるならばその次元は2である）との写像に関する、変分問題の境界条件として捉え直される（{{ harvnb | 西川 | 2006 | pages = 89 - 124 }}、p. 105 図3.1。'多様体間の調和写像'の項をも見よ。）。
_[10] 서적 現代数学の黎明期近代数学[上] 日本評論社
_[11] 문서 しかしながら、一般に、大円をその上の2点で分けると円 (数学)#弦と弧|優弧と円 (数学)#弦と弧|劣弧に分かれる。東京からニューヨークへ大円に沿った移動をしても、東京からニューヨークに行くには大円の周り方によって遠い移動と近い移動とある。この場合、劣弧に沿って移動すれば最短距離、優弧に沿えば直線的な移動としては最も遠回りになるわけである。大円の一部である弧は測地線となるが、必ずしも2点間の最短距離を示す曲線とはならない。
_[12] 서적
_[13] 서적 Metric spaces of non-positive curvature Springer-Verlag
_[14] 저널 Geodesics in Asymmetric Metric Spaces http://cvgmt.sns.it/[...]
_[15] 서적 토목기사 과년도 시리즈 - 측량학 성안당 2015
_[16] 웹사이트 대한수학회 수학용어 https://www.kms.or.k[...]
_[17] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...]
_[18] 웹사이트 https://hanja.dict.n[...]

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