위상 벡터 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 위상 벡터 공간의 부분 집합
3. 연산
- 3.1. 연속 쌍대 공간
- 3.2. 약한 위상
4. 성질
5. 예시
6. 선형 사상
7. 종류
8. 역사
참조

1. 개요

위상 벡터 공간은 실수체 또는 복소수체 상의 벡터 공간에 위상 구조가 주어진 것으로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산이 연속성을 갖는 공간을 의미한다. 위상 벡터 공간은 균형 집합, 유계 집합, 흡수 집합 등의 개념을 가지며, 연결 공간이자 국소 연결 공간이다. 위상 벡터 공간은 닫힌 부분 공간, 몫 공간 등을 정의할 수 있으며, 연속 쌍대 공간, 약한 위상 등의 연산을 통해 분석된다. 위상 벡터 공간은 분리 공리, 거리화 가능성, 유한 차원 여부에 따라 다양한 성질을 가지며, 노름 공간, 바나흐 공간, 힐베르트 공간 등이 위상 벡터 공간의 예시이다. 또한, F-공간, 국소 볼록 공간, 프레셰 공간, 핵 공간 등 다양한 종류로 분류되며, 선형 사상, 볼록 집합, 통 등의 개념을 통해 분석된다.

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위상 벡터 공간
개요
분야	수학, 함수해석학
연구	벡터 공간에 위상 구조를 부여하고, 이 구조가 벡터 공간의 선형성과 호환되도록 하는 것을 연구한다.
정의
필요 조건	(덧셈에 대한 연속성) 덧셈 연산 (+): V × V → V가 연속 함수여야 한다. (스칼라 곱에 대한 연속성) 스칼라 곱 연산 (⋅): K × V → V가 연속 함수여야 한다. 여기서 K는 스칼라 필드이며, 곱셈은 스칼라 필드 K의 위상에 대해 정의된다.
설명	위 두 조건은 주어진 위상에 대한 벡터 공간의 선형 구조의 호환성을 보장한다.
성질
균등 구조	위상 벡터 공간은 표준적인 균등 구조를 갖추고 있다.
완비화	모든 위상 벡터 공간은 완비화를 갖는다.
예시
바나흐 공간	노름이 주어진 완비된 벡터 공간이다.
프레셰 공간	국소 볼록 완비 거리화 가능 위상 벡터 공간이다.
국소 볼록 공간	각 점의 근방계가 볼록 집합들로 이루어진 위상 벡터 공간이다.
힐베르트 공간	내적이 주어진 완비된 벡터 공간이다.
같이 보기
관련 개념	쌍대 공간 핵 연산자 몽텔 공간 LF-공간

2. 정의

위상환 K^영어에 대하여, K^영어-'''위상 왼쪽 가군'''은 다음 두 성질을 만족시키는 위상 공간 구조를 가지는 K^영어-왼쪽 가군이다.

(덧셈의 연속성) 벡터 덧셈 $+\colon V\times V\to V$ 는 연속 함수이다. (여기서 $V\times V$ 는 곱위상을 갖춘다.)
(스칼라곱의 연속성) 스칼라곱 $\cdot\colon K\times V\to V$ 는 연속 함수이다. (여기서 $K\times V$ 는 곱위상을 갖춘다.)

K^영어-'''위상 오른쪽 가군'''도 마찬가지로 정의할 수 있다. K^영어가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

K^영어가 위상체라면, V^영어를 K^영어-'''위상 벡터 공간'''이라고 한다. (월터 루딘 등 일부 저자들은 T1 공간 조건을 추가하기도 한다.)

모든 위상 왼쪽/오른쪽 가군은 아벨 위상군이므로, 표준적인 균등 공간 구조를 가지며, 덧셈과 스칼라곱은 균등 연속 함수이다.

위상 공간 ''K'' 위의 선형 공간 ''E''에서, 벡터 합과 스칼라 곱이 연속 사상이 되는 것을 '''선형 위상 공간'''이라고 한다. 즉, ''E''는 덧셈

:

E \times E \to E;\ (u, v) \mapsto u + v

에 관하여 위상 아벨 군이 되며, 상수배 사상

:

K \times E \to E;\ (r, v) \mapsto rv

은 2변수 연속 사상이다. 계수체 ''K''를 명시하여 위상 ''K''-선형 공간 등으로 부르기도 한다. 실수체인 경우 '''실 선형 위상 공간''', 복소수체인 경우 '''복소 선형 위상 공간'''이라고 한다.

선형 위상 공간은 선형 위상 공간(linear topological space), 벡터 위상 공간(vector topological space), 위상 선형 공간(topological linear space), 위상 벡터 공간(topological vector space)등 다양한 명칭으로 불린다.

2. 1. 위상 벡터 공간의 부분 집합

\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C\}

가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.

\mathbb K

-위상 벡터 공간

V

속의 부분 집합

E \subseteq V

에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

개념	정의
균형 집합	t \in \mathbb K, $>t\| \le 1$ 에 대하여 $tE \subseteq E$
유계 집합	임의의 0의 근방 $U \ni 0$ 에 대하여, $tU \supseteq E$ 인 스칼라 $t \in \mathbb K$ 가 존재
흡수 집합	\forall v \in V \exists r \in \mathbb R^+ \forall t \in \mathbb K \colon (>t\| \ge r \implies v \in tE)

특히, 위와 같은 유계 집합의 정의를 통해, 모든 $\mathbb K$ -위상 벡터 공간은 유계형 집합을 이룬다.

벡터 공간 $X$ 의 부분 집합 $E$ 는 다음과 같이 정의된다.

'''흡수''' (in $X$ ): 모든 $x \in X$ 에 대해 $|c| \leq r$ 을 만족하는 모든 스칼라 $c$ 에 대해 $c x \in E$ 를 만족하는 실수 $r > 0$ 이 존재하는 경우.
'''균형''' 또는 '''원형''' : 모든 스칼라 $|t| \leq 1$ 에 대해 $t E \subseteq E$ 인 경우.^[1]
'''볼록''' : 모든 실수 $0 \leq t \leq 1$ 에 대해 $t E + (1 - t) E \subseteq E$ 인 경우.^[2]
'''디스크''' 또는 '''절대 볼록''' : $E$ 가 볼록하고 균형 잡힌 경우.
'''대칭''' : $- E \subseteq E$ 또는 동등하게 $- E = E$ .

원점의 모든 근방은 흡수 집합이며

0

의 열린 균형 근방을 포함한다.^[3] 따라서 모든 위상 벡터 공간은 흡수 집합과 균형 집합의 국소 기저를 갖는다. 원점은 심지어

0

의 닫힌 균형 근방으로 구성된 근방 기저를 가지며, 공간이 국소 볼록인 경우 원점의 닫힌 볼록 균형 근방으로 구성된 근방 기저를 갖는다.

'''유계 부분 집합'''

위상 벡터 공간

X

의 부분 집합

E

는 원점의 모든 근방

V

에 대해

E \subseteq t V

를 만족하는

t

가 존재하는 경우 '''유계'''이다.^[4]

유계성의 정의는 약간 약화될 수 있다.

E

는

E

의 모든 가산 부분 집합이 유계일 때 유계이다. 집합은 각 부분 수열이 유계 집합일 때 유계이다.^[5] 또한,

E

는 원점의 모든 균형 근방

V

에 대해

E \subseteq t V

를 만족하는

t

가 존재하는 경우 유계이다. 더욱이,

X

가 국소 볼록인 경우, 유계성은 세미노름으로 특징지을 수 있다. 부분 집합

E

는 모든 연속 세미노름

p

가

E

에서 유계일 때 유계이다.^[6]

모든 전유계 집합은 유계이다.^[7]

M

이 TVS

X

의 벡터 부분 공간인 경우,

M

의 부분 집합은

M

에서 유계인 경우

X

에서도 유계이다.^[8]

3. 연산

(연산 관련 내용은 원본 소스에 존재하지 않으므로, 해당 섹션은 작성할 내용이 없습니다.)

3. 1. 연속 쌍대 공간

위상환 K에 대한 위상 왼쪽 가군 V가 주어졌을 때, 연속 가군 준동형 V → K들의 집합은 K-위상 오른쪽 가군을 이루며, 이를 V의 '''연속 쌍대 가군'''이라 한다. K가 위상체일 경우, 이는 '''연속 쌍대 공간'''이라 한다.

연속 쌍대 공간은 (대수적) 쌍대 공간보다 일반적으로 더 작다.

3. 2. 약한 위상

위상환

K

에 대한 위상 왼쪽 가군

_KV

의 연속 쌍대 가군

V'

으로 생성되는 시작 위상을

V

의 '''약한 위상'''이라고 한다. 즉, 약한 위상은 연속 쌍대 가군의 원소를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다.^[1] 집합

V

에 약한 위상을 부여한 것을

V^{\text{weak}}

라고 표기한다.

약한 위상의 기저는 구체적으로 다음과 같다.

:

\left\{\phi^{-1}(U)\colon U\in\operatorname{Open}(K),\;\phi\in V'\right\}

여기서

\operatorname{Open}(K)

는

K

의 열린집합들의 족이다.

정의에 따라, 임의의 위상 가군 위의 약한 위상은 항상 원래 (강한) 위상보다 더 엉성한 위상이다. 또한, 약한 위상을 취하는 연산은 멱등 연산이다. 즉, 임의의 위상환 위의 위상 왼쪽 가군

_KV

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

V'=(V^{\text{weak}})'

:

V^{\text{weak}}=(V^{\text{weak}})^{\text{weak}}

''E''를 선형 위상 공간, ''E''^*를 그 쌍대 공간이라고 할 때, ''E'' 위에 생각할 수 있는 위상 중에서 임의의 ''E''^*의 원소가 그것에 관해 연속이 되는 것 중 가장 거친 것은 선형 위상 공간 ''E''의 약위상이라고 불린다. ''E'' 위에서 처음에 생각했던 위상은 약위상과의 구분을 위해 강위상이라고도 불린다. 약위상의 정의로부터 강위상은 약위상보다 더 섬세한 위상이 된다.

예를 들어, 힐베르트 공간 ''l''² '''N'''의 정규 직교계는 0으로 약수렴한다. 이 예에서 볼 수 있듯이 무한 차원 공간에서는 종종 강위상과 약위상은 다른 것이 된다. 더 일반적으로, 두 선형 공간 사이의 페어링( ''E'' × ''F'' 위의 쌍선형 사상) σ가 정의될 때, ''E'' 위에서 선형 사상의 족 (σ(-, ''f''))_{''f''∈''F''}가 연속이 되는 한에서 가장 거친 위상을 생각할 수 있는데, 이는 ''E'' 위의 σ로부터 정해지는 약위상이라고 불린다. σ로부터 정해지는 약위상에 관해 연속인 범함수는 ''F''의 원소에 의해 정해지는 범함수에 한정된다.

특히, ''E''^*와 ''E'' 사이의 자연스러운 페어링 ''E''^* × ''E'' → ''K''로부터 정해지는 ''E''^* 위의 약위상은 약 *-위상이라고도 불린다.

4. 성질

위상 벡터 공간 $X$ 의 임의의 부분집합 $S \subseteq X$ 에 대해, $S$ 의 볼록 껍질은 $S$ 원소들의 모든 볼록 결합 집합과 같다. 이는 $t_1 s_1 + \cdots + t_n s_n$ 형태의 유한 선형 결합으로 표현될 수 있는데, 여기서 $n \geq 1$ 은 정수, $s_1, \ldots, s_n \in S$ , $t_1, \ldots, t_n \in [0, 1]$ 이며 $t_1 + \cdots + t_n = 1$ 이다. 임의의 볼록 집합족의 교집합은 볼록하므로, 부분 집합의 볼록 껍질은 그것을 포함하는 모든 볼록 집합의 교집합과 같다.

모든 위상 벡터 공간(TVS)은 연결되어 있고 국소 연결되어 있으며, TVS의 연결된 열린 부분 집합은 호 연결이다. 만약 $S \subseteq X$ 이고 $U$ 가 $X$ 의 열린 부분 집합이면 $S + U$ 는 $X$ 에서 열린 집합이다. 또한, $S \subseteq X$ 가 비어 있지 않은 내부를 가지면 $S - S$ 는 원점의 근방이다.

TVS $X$ (하우스도르프 공간이나 국소 볼록 공간일 필요는 없음)의 열린 볼록 부분 집합은 어떤 $z \in X$ 와 $X$ 상의 어떤 양의 연속 준선형 함수 $p$ 에 대해 다음 형태로 나타낼 수 있다.

$z + \{x \in X : p(x) < 1\} ~=~ \{x \in X : p(x - z) < 1\}$

만약 $K$ 가 TVS $X$ 의 흡수 집합인 디스크이고, $p := p_K$ 가 $K$ 의 민코프스키 함수라면,

$\operatorname{Int}_X K ~\subseteq~ \{x \in X : p(x) < 1\} ~\subseteq~ K ~\subseteq~ \{x \in X : p(x) \leq 1\} ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X K$

여기서 $K$ 가 어떤 위상적 성질을 갖는다는 가정이나 $p$ 가 연속이라는 가정은 없었다. 이는 $K$ 가 원점의 근방인 경우에만 성립한다.

$\tau$ 와 $\nu$ 를 $X$ 상의 두 벡터 위상이라고 하자. 그러면 $\tau \subseteq \nu$ 는 넷 $x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i \in I}$ in $X$ 가 $(X, \nu)$ 에서 $0$ 으로 수렴할 때마다 $x_{\bull} \to 0$ in $(X, \tau)$ 가 되는 것과 동치이다.

$\mathcal{N}$ 을 $X$ 에서 원점의 근방 기저라고 하고, $S \subseteq X,$ 및 $x \in X$ 라고 하자. 그러면 $x \in \operatorname{cl}_X S$ 는 넷 $s_{\bull} = \left(s_N\right)_{N \in \mathcal{N}}$ in $S$ ( $\mathcal{N}$ 에 의해 인덱싱됨)이 존재하여 $s_{\bull} \to x$ in $X$ 가 되는 것과 동치이다.

만약 $X$ 가 자체적으로 제2 범주인 TVS(즉, 비희소 공간)이면 $X$ 의 모든 닫힌 볼록 흡수 부분 집합은 원점의 근방이다.

만약 $R, S \subseteq X$ 이고 $S$ 가 비어 있지 않은 내부를 가지면

$\operatorname{Int}_X S ~=~ \operatorname{Int}_X \left(\operatorname{cl}_X S\right)~ \text{ and } ~\operatorname{cl}_X S ~=~ \operatorname{cl}_X \left(\operatorname{Int}_X S\right)$

그리고

$\operatorname{Int}_X (R) + \operatorname{Int}_X (S) ~\subseteq~ R + \operatorname{Int}_X S \subseteq \operatorname{Int}_X (R + S).$ 이다.

위상 내부는 디스크의 내부가 비어 있지 않다는 것은 이 내부가 원점을 포함하는 것과 동치이다.

만약 $C$ 가 볼록하고 $0 < t \leq 1,$ 이면 $t \operatorname{Int} C + (1 - t) \operatorname{cl} C ~\subseteq~ \operatorname{Int} C.$ 이다.

만약 $x$ 가 볼록 집합 $S \subseteq X$ 의 내부에 속하고 $y \in \operatorname{cl}_X S,$ 이면 반 열린 선분 $[x, y) := \{t x + (1 - t) y : 0 < t \leq 1\} \subseteq \operatorname{Int}_X \text{ if } x \neq y$ 이고 $[x, x) = \varnothing \text{ if } x = y.$ 이다.

위상 벡터 공간 $X$ 는 $\{0\}$ 가 $X$ 의 닫힌 부분 집합일 때, 또는 동등하게는 $\{0\} = \operatorname{cl}_X \{0\}$ 일 때, 하우스도르프 공간이다.

만약 $S \subseteq X$ 가 콤팩트하다면, $\operatorname{cl}_X S = S + \operatorname{cl}_X \{0\}$ 이고 이 집합은 콤팩트하다. 따라서 TVS의 콤팩트 부분 집합의 폐포는 콤팩트하다.

위상 벡터 공간의 부분 집합은 완비이고 전유계일 때만 콤팩트이다. 따라서, 완비 위상 벡터 공간에서 닫혀있고 전유계인 부분 집합은 콤팩트이다.

위상 벡터 공간의 볼록 (각각 균형, 흡수) 부분 집합의 폐포는 이와 동일한 성질을 갖는다. 특히, 볼록하고 균형 있으며 흡수된 부분 집합의 폐포는 배럴이다.

위상 벡터 공간의 벡터 부분 공간의 폐포는 벡터 부분 공간이다. 하우스도르프 공간 위상 벡터 공간의 모든 유한 차원 벡터 부분 공간은 닫혀 있다.

닫힌 벡터 부분 공간과 유한 차원 벡터 부분 공간의 합은 닫혀 있다.

콤팩트 집합과 닫힌 집합의 합은 닫혀 있다. 그러나 두 닫힌 부분 집합의 합은 닫히지 않을 수 있다.

$S \subseteq X$ 이고 $a$ 가 스칼라이면 $a \operatorname{cl}_X S \subseteq \operatorname{cl}_X (a S),$ 여기서 $X$ 가 하우스도르프이고, $a \neq 0, \text{ 또는 } S = \varnothing$ 이면 등식이 성립한다.

$R, S \subseteq X$ 이면 $\operatorname{cl}_X (R) + \operatorname{cl}_X (S) ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X (R + S)~ \text{ and } ~\operatorname{cl}_X \left[ \operatorname{cl}_X (R) + \operatorname{cl}_X (S) \right] ~=~ \operatorname{cl}_X (R + S)$ 따라서 $R + S$ 가 닫혀 있으면 $\operatorname{cl}_X (R) + \operatorname{cl}_X (S)$ 도 닫혀 있다.

임의의 부분 집합 $S \subseteq X,$ 에 대해 $\operatorname{cl}_X S ~=~ \bigcap_{N \in \mathcal{N}} (S + N)$ 여기서 $\mathcal{N}$ 은 $X$ 에 대한 원점에서의 임의의 근방 기저이다.

집합의 닫힌 볼록 폐포는 해당 집합의 볼록 폐포의 폐포와 같다.

콤팩트 집합 (각각 전유계)의 균형 폐포는 동일한 속성을 갖는다.

콤팩트 집합의 유한 합집합의 볼록 폐포는 다시 콤팩트하고 볼록하다.

TVS(위상 벡터 공간)의 디스크는 닫힌 덮개가 원점의 근방이 아닌 경우에만 nowhere dense 집합이 아니다. 닫혀있지만 열려있지 않은 TVS의 벡터 부분 공간은 nowhere dense 집합이다.

만약 $S \subseteq X$ 이면 $2 S \subseteq S + S$ 이다. $S$ 가 볼록 집합이면 등식이 성립한다.

부분 집합 $C$ 가 볼록 집합인 것은 모든 양의 실수 $s > 0 \text{ and } t > 0$ 에 대해 $(s + t) C = s C + t C$ 인 경우, 또는 동등하게 모든 $0 \leq t \leq 1$ 에 대해 $t C + (1 - t) C \subseteq C$ 인 경우이다.

만약 $R, S \subseteq X$ 이고 $a$ 가 스칼라라면, $a(R + S) = aR + a S,~ \text{ and } ~\operatorname{co} (R + S) = \operatorname{co} R + \operatorname{co} S,~ \text{ and } ~\operatorname{co} (a S) = a \operatorname{co} S.$

모든 TVS 위상은 ''F''-세미노름에 의해 생성될 수 있다.

다음은 위상 벡터 공간에서 여러 집합 연산에 의해 보존되는 성질들을 나타내는 표이다.

집합 연산자에 의해 보존되는 속성
연산	$R,$ $S,$ 및 고려되는 $X$ 의 다른 모든 부분 집합의 속성
연산	흡수	평형	볼록	대칭	볼록 평형	벡터 부분 공간	열린	0의 근방	닫힌	어디에도 조밀하지 않음 (in $X$ )
$R \cup S$											$R \cup S$
임의의 합집합 (최소 1 개 집합)											임의의 합집합 (최소 1 개 집합)
$R \cap S$											$R \cap S$
임의의 교집합 (최소 1 개 집합)											임의의 교집합 (최소 1 개 집합)
$R + S$										style="background:;"\|	$R + S$
스칼라 곱											스칼라 곱
0이 아닌 스칼라 곱											0이 아닌 스칼라 곱
양의 스칼라 곱											양의 스칼라 곱
폐포											폐포
내부					style="background:;"\|						내부
평형 핵											평형 핵
평형 폐포											평형 폐포
볼록 폐포											볼록 폐포
볼록 평형 폐포											볼록 평형 폐포
닫힌 평형 폐포											닫힌 평형 폐포
닫힌 볼록 폐포											닫힌 볼록 폐포
닫힌 볼록 평형 폐포											닫힌 볼록 평형 폐포
선형 덮개									style="background:;"\|		선형 덮개
연속 선형 사상 하에서의 전사상										style="background:;"\|	연속 선형 사상 하에서의 전사상
연속 선형 사상 하에서의 상											연속 선형 사상 하에서의 상
연속 선형 전사 하에서의 상							style="background:;"\|	style="background:;"\|	style="background:;"\|		연속 선형 전사 하에서의 상
$R$ 의 비어있지 않은 부분 집합											$R$ 의 비어있지 않은 부분 집합
연산	흡수	평형	볼록	대칭	볼록 평형	벡터 부분 공간	열린	0의 근방	닫힌	어디에도 조밀하지 않음 (in $X$ )	연산

4. 1. 분리공리

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간

V

에 대하여, 다음 분리공리들이 서로 동치이다.

$V$ 는 T₁ 공간이다.
$V$ 는 하우스도르프 공간이다.
$V$ 는 하우스도르프 정칙 공간이다.
$V$ 는 티호노프 공간이다.

즉, 위상 벡터 공간에 대해서는 T₁부터 T_3½(= 티호노프 공간)까지의 성질들이 서로 동치가 된다.

위상 벡터 공간

X

는

\{0\}

가

X

의 닫힌 부분 집합일 때, 또는 동등하게는

\{0\} = \operatorname{cl}_X \{0\}

일 때, 하우스도르프 공간이다.

4. 2. 거리화 가능성

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간

V

에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.^[1]

제1 가산 공간이다.
유사 거리화 가능 공간이다.
$V$ 의 위상은 평행 이동 불변 유사 거리 함수로 유도될 수 있다.

이는 위상군의 버코프-가쿠타니 정리의 특수한 경우다.

만약

(X, \tau)

가 위상 벡터 공간이면 다음 네 가지 조건은 동치이다.^[4]

# 원점

\{0\}

이

X

에서 닫혀 있으며,

X

의 원점에 가산 근방 기저가 존재한다.

#

(X, \tau)

는 거리화 가능하다(위상 공간으로서).

#

X

에 위상

\tau

를 유도하는 평행 이동 불변 거리가 존재하며, 이는

X

에 주어진 위상이다.

#

(X, \tau)

는 거리화 가능 위상 벡터 공간이다.^[5]

비르코프-가쿠타니 정리에 의해, 평행 이동 불변인 동치 거리가 존재한다.

위상 벡터 공간은 원점에서 가산 근방 기저를 가지는 경우, 또는 이에 동치로, 그 위상이 ''F''-세미노름에 의해 생성되는 경우에만 의사 거리화 가능하다. 위상 벡터 공간은 하우스도르프이고 의사 거리화 가능한 경우에만 거리화 가능하다.

4. 3. 유한 차원

실수체나 복소수체에 대한 모든 유한 차원 위상 벡터 공간은 완비 균등 공간이다.

하우스도르프 조건을 가정하면, 실수체나 복소수체에 대한 유한 차원 위상 벡터 공간은

\mathbb R^n

이나

\mathbb C^n

(

n\in\mathbb N

)밖에 없다.^[16]p.|영어^영어 16, Theorems 1.21^[17]p.|영어^영어 22, Theorem 3.5

실수체나 복소수체에 대한 하우스도르프 위상 벡터 공간

V

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[16]p.|영어^영어 17, Theorems 1.22^[17]p.|영어^영어 23, Theorem 3.6

$\dim V<\infty$
$V$ 는 국소 콤팩트 공간이다.

실수체나 복소수체에 대한 하우스도르프 위상 벡터 공간

V

의 모든 유한 차원 부분 공간

W\subset V

는 닫힌집합이다.

\mathbb{K}

를

\R

또는

\Complex

로 표기하고

\mathbb{K}

에 일반적인 하우스도르프 노름 유클리드 위상을 부여하자.

X

를

\mathbb{K}

상의 유한 차원

n := \dim X

인 벡터 공간으로,

X

가

\mathbb{K}^n

와 벡터 공간 동형이라고 하자. 이 유한 차원 벡터 공간

X

는 항상 유일한 하우스도르프 벡터 위상을 가지며, 이는

X

를

\mathbb{K}^n

과 TVS-동형으로 만들어준다. 여기서

\mathbb{K}^n

에는 일반적인 유클리드 위상(이는 곱 위상과 동일하다)이 부여된다. 이 하우스도르프 벡터 위상은 또한

X

에 대한 (유일한) 가장 미세한 벡터 위상이기도 하다.

X

는

\dim X = 0

인 경우에만 유일한 벡터 위상을 가진다.

\dim X \neq 0

인 경우,

X

는 유일한 벡터 위상을 가지지는 않지만, 유일한 하우스도르프 벡터 위상을 가진다.

만약 $\dim X = 0$ 이라면, $X = \{0\}$ 는 정확히 하나의 벡터 위상, 즉 자명 위상을 가지며, 이 경우 하우스도르프이다.
만약 $\dim X = 1$ 이라면, $X$ 는 두 개의 벡터 위상, 즉 일반적인 유클리드 위상과 (비하우스도르프) 자명 위상을 가진다.
만약 $\dim X = n \geq 2$ 라면, $X$ 는 무한히 많은 서로 다른 벡터 위상을 가진다.

5. 예시

모든 노름 벡터 공간은 자연스러운 위상 구조를 갖는다. 노름은 거리를 유도하고, 거리는 위상을 유도한다.

이는 다음과 같은 이유로 위상 벡터 공간이다.

# 벡터 덧셈 사상 $\cdot\, + \,\cdot\; : X \times X \to X$ 는 $(x, y) \mapsto x + y$ 로 정의되며, 이 위상에 대해 (결합적으로) 연속이다. 이는 노름이 따르는 삼각 부등식으로부터 직접적으로 유도된다.

# 스칼라 곱셈 사상 $\cdot : \mathbb{K} \times X \to X$ 는 $(s, x) \mapsto s \cdot x$ 로 정의되며, 여기서 $\mathbb{K}$ 는 $X$ 의 기본 스칼라 필드이고, (결합적으로) 연속이다. 이는 삼각 부등식과 노름의 동차성으로부터 유도된다.

따라서 모든 바나흐 공간과 힐베르트 공간은 위상 벡터 공간의 예시이다.

위상을 갖는 벡터 공간 중에는 노름에 의해 위상이 유도되지 않지만, 해석학에서 여전히 중요한 공간들이 있다. 이러한 공간의 예로는 열린 영역에 대한 정칙 함수 공간, 무한히 미분 가능한 함수 공간, 슈바르츠 공간, 시험 함수 공간과 그 위의 분포 공간 등이 있다. 이들은 모두 몽텔 공간의 예이다. 무한 차원 몽텔 공간은 노름화될 수 없다. 주어진 위상 벡터 공간에 대한 노름의 존재는 콜모고로프 노름화 가능성 기준에 의해 특징지어진다.

위상체는 각 체 확대에 대한 위상 벡터 공간이다.

$X$ 를 실수 또는 복소수 벡터 공간이라고 하자.

'''자명 위상'''

'''자명 위상''' 또는 '''부이산 위상''' $\{X, \varnothing\}$ 는 모든 벡터 공간 $X$ 에 항상 TVS 위상이 되며, 가능한 가장 조밀한 TVS 위상이다. 이의 중요한 결과는 $X$ 에 대한 TVS 위상의 임의의 모임의 교집합은 항상 TVS 위상을 포함한다는 것이다. 자명 위상을 갖춘 모든 벡터 공간 (무한 차원 벡터 공간 포함)은 콤팩트 (따라서 국소 콤팩트) 완비 유사 거리화 가능 반노름 가능 국소 볼록 위상 벡터 공간이다. 이는 $\dim X = 0$ 일 때에만 하우스도르프이다.

'''가장 미세한 벡터 위상'''

$X$ 에는 $\tau_f$ 라는 TVS 위상이 존재하며, 이를 $X$ 의 '''가장 미세한 벡터 위상'''이라고 한다. 이 위상은 $X$ 에 대한 다른 모든 TVS 위상보다 더 미세하다 (즉, $X$ 에 대한 모든 TVS 위상은 반드시 $\tau_f$ 의 부분 집합이다). $\left(X, \tau_f\right)$ 에서 다른 TVS로 가는 모든 선형 사상은 반드시 연속적이다. 만약 $X$ 가 가산 불가능한 하멜 기저를 갖는다면, $\tau_f$ 는 국소 볼록이 아니며, 거리화 가능하지 않다.

위상 벡터 공간족의 데카르트 곱은 곱 위상을 부여하면 위상 벡터 공간이 된다. 예를 들어, $X$ 를 $f: \R \to \R$ 형태의 모든 함수 집합으로 고려하고, $\R$ 에는 일반적인 유클리드 위상이 부여된다고 하자. 이 집합 $X$ 는 (일반적으로와 같이) 점별로 덧셈과 스칼라 곱셈이 정의된 실수 벡터 공간이며, 데카르트 곱 $\R^\R$ 와 동일시될 수 있고, 실제로 데카르트 곱으로 정의되는 경우가 많으며, 이 곱은 자연스러운 곱 위상을 갖는다. 이 곱 위상을 사용하면, $X := \R^{\R}$ 는 위상 벡터 공간이 되며, 이 위상은 $\R$ 에서 점별 수렴 위상이라고 불린다. 이러한 명칭이 붙은 이유는 다음과 같다. 만약 $\left(f_n\right)_{n=1}^{\infty}$ 가 $X$ 의 원소들의 수열 (또는 더 일반적으로는, 그물)이고 $f \in X$ 이면, $f_n$ 이 $X$ 에서 $f$ 로 수렴하는 것은 모든 실수 $x$ 에 대해 $f_n(x)$ 가 $\R$ 에서 $f(x)$ 로 수렴하는 것과 동치이다. 이 위상 벡터 공간은 완비이며, 하우스도르프이고, 국소 볼록이지만 거리화 가능하지 않으므로 노름화 가능하지 않다. 실제로, 곱 위상에서의 원점의 모든 근방은 선(즉, $f \neq 0$ 인 $\R f := \{r f : r \in \R\}$ 형태의 부분 집합인 1차원 벡터 부분 공간)을 포함한다.

위상 공간 ''K'' 위의 선형 공간 ''E''에서, 선형 공간으로서의 벡터 합과 스칼라 곱이 연속 사상이 되는 것을 '''선형 위상 공간'''이라고 한다. 즉, ''E''는 덧셈

: $E \times E \to E;\ (u, v) \mapsto u + v$

에 관하여 위상 아벨 군이 되며, 더 나아가 상수배 사상

: $K \times E \to E;\ (r, v) \mapsto rv$

이 2변수 사상으로서 연속이 된다. 계수체 ''K''를 명시하여 위상 ''K''-선형 공간 등으로 부르기도 한다. 특히 계수의 위상체가 실수체인 선형 위상 공간을 '''실 선형 위상 공간''', 복소수체인 선형 위상 공간을 '''복소 선형 위상 공간'''이라고 한다.

선형 위상 공간에는 아래와 같이 다양한 명칭이 있다. 한국어로는 『[수학대사전](https://terms.naver.com/entry.naver?docId=545992&cid=60208&categoryId=60208)』 등에서 사용되는 선형 위상 공간이 많이 보이며, 영어권에서는 위상 벡터 공간(topological vector space)이 사용된다.

선형 위상 공간 또는 선형 위상 공간(linear topological space)
벡터 위상 공간(vector topological space)
위상 선형 공간 또는 위상 선형 공간(topological linear space)
위상 벡터 공간(topological vector space)

계수체 '''K''' 자체는 '''K''' 상 1차원의 선형 위상 공간을 제공한다. 실·복소 선형 위상 공간의 보다 비자명한 예로 르베그 ''p''-승 가적분 함수의 공간 ''L''^''p''('''R''') (1 ≤ p ≤ ∞) 등의 바나흐 공간, 특히 힐베르트 공간인 자승 가적분 함수의 공간 ''L''²('''R''')나 자승 총합 가능 수열 공간 ''l''²('''N'''), 또는 노름 공간이 아닌 예로 급감소 함수의 공간 ''S''('''R''')나 소볼레프 공간 등이 있다.

6. 선형 사상

두 위상 벡터 공간 사이의 선형 연산자가 한 점에서 연속이면 전체 영역에서 연속이다. 또한, 위상 벡터 공간 X 위의 선형 범함수 f는 핵이 닫힌 집합일 때에만 연속이다.^[3]

선형 위상 공간 사이의 선형 사상 가운데 위상 공간 사이의 사상으로서 연속 사상이 되는 것은 선형 위상 공간의 대칭성을 반영한다고 생각할 수 있으며, 이것들은 '''연속 선형 사상''' 또는 '''유계 선형 작용소'''라고 불린다. 함수 공간 위에 적분 핵에 의해 표현되는 작용소

: f(x) ↦ T_Kf(y), T_Kf(y) = ∫K(y, x) f(x) dx

는 종종 유계 작용소로 간주될 수 있다.

7. 종류

F-공간: 병진 불변 메트릭을 가진 완비 위상 벡터 공간이다. 여기에는 모든 $p > 0$ 에 대한 $L^p$ 공간이 포함된다.
국소 볼록 위상 벡터 공간: 각 점은 볼록 집합으로 구성된 국소 기저를 갖는다. 민코프스키 범함수를 통해 공간이 국소 볼록할 필요충분조건은 해당 위상이 세미노름족에 의해 정의될 수 있다는 것을 알 수 있다.^[1] 국소 볼록성은 한-바나흐 정리와 같은 "기하학적" 주장에 대한 최소 요구 사항이다. $L^p$ 공간은 모든 $p \geq 1$ 에 대해 국소 볼록(사실, 바나흐 공간)이지만, $0 < p < 1$ 에 대해서는 그렇지 않다.
배럴 공간: 바나흐-슈타인하우스 정리가 성립하는 국소 볼록 공간이다.
보롤로지 공간: 임의의 국소 볼록 공간으로의 연속 선형 연산자가 정확히 유계 선형 연산자인 국소 볼록 공간이다.
스테레오타입 공간: 쌍대 공간이 전 유계 집합에서의 균등 수렴 위상으로 부여되는 반사성 조건의 변형을 만족하는 국소 볼록 공간이다.
몽텔 공간: 모든 닫힌 및 유계 집합이 콤팩트인 배럴 공간이다.
프레셰 공간: 위상이 병진 불변 메트릭, 또는 동등하게 세미노름의 가산족에서 나오는 완비 국소 볼록 공간이다. 많은 흥미로운 함수 공간이 이 클래스에 속한다. $C^\infty(\R)$ 은 세미노름 $\|f\|_{k,\ell} = \sup_{x\in[-k,k]} |f^{(\ell)}(x)|$ 하에서 프레셰 공간이다. 국소 볼록 F-공간은 프레셰 공간이다.
LF-공간은 극한 프레셰 공간이다. ILH 공간은 힐베르트 공간의 역극한이다.
핵 공간: 핵 공간에서 임의의 바나흐 공간으로의 모든 유계 사상이 핵 연산자인 속성을 가진 국소 볼록 공간이다.
노름 공간 및 세미노름 공간: 위상이 단일 노름 또는 세미노름으로 설명될 수 있는 국소 볼록 공간이다. 노름 공간에서 선형 연산자는 유계일 필요충분조건이 연속이다.
바나흐 공간: 완비 노름 벡터 공간. 함수 해석학의 대부분은 바나흐 공간에 대해 공식화된다. 이 클래스에는 $1\leq p \leq \infty$ 인 $L^p$ 공간, 유계 변동 함수의 공간 $BV$ , 그리고 측도의 특정 공간이 포함된다.
반사 바나흐 공간: 자신의 이중 쌍대와 자연스럽게 동형인 바나흐 공간이다. (아래 참조). 이로 인해 일부 기하학적 주장을 수행할 수 있다. 반사가 아닌 중요한 예는 $L^1$ 이며, 이 공간의 쌍대 공간은 $L^{\infty}$ 이지만 $L^{\infty}$ 의 쌍대 공간에 엄격하게 포함된다.
힐베르트 공간: 내적을 가진다. 이러한 공간이 무한 차원일 수 있지만, 유한 차원에서 익숙한 대부분의 기하학적 추론을 수행할 수 있다. 여기에는 $L^2$ 공간, $L^2$ 소볼레프 공간 $W^{2,k},$ 및 하디 공간이 포함된다.
유클리드 공간: 표준 내적에 의해 유도된 위상을 가진 $\R^n$ 또는 $\Complex^n$ 이다.
계수체 '''K''' 자체는 '''K''' 상 1차원의 선형 위상 공간을 제공한다. 실수·복소수 선형 위상 공간의 보다 비자명한 예로는 르베그 ''p''-승 가적분 함수의 공간 ''L''^''p''('''R''') (1 ≤ p ≤ ∞) 등의 바나흐 공간, 특히 힐베르트 공간인 자승 가적분 함수의 공간 ''L''²('''R''')나 자승 총합 가능 수열 공간 ''l''²('''N'''), 또는 노름 공간이 아닌 예로 급감소 함수의 공간 ''S''('''R''')나 소볼레프 공간 등이 있다.

선형 위상 공간 ''E''에서 계수체 ''K'' 자신으로의 연속 선형 사상은 '''연속 선형 범함수''' 또는 단순히 '''범함수'''라고 불린다. ''E'' 위의 연속 선형 범함수의 공간 ''E''^*는 ''E''의 (연속적) 쌍대 공간이라고 불린다.

''E''가 노름 공간일 때, 쌍대 공간 ''E''^* 위에 ''E''의 단위 구에서의 범함수의 거동을 바탕으로 한 노름을 도입할 수 있고 ''E''^* 위의 노름 위상을 생각할 수 있다(''E''^*는 이 노름에 관해 완비가 된다). 이때, ''E''는 ''E''^*의 쌍대 공간 ''E''에 자연스럽게 임베딩되어 있는 것으로 간주할 수 있지만, ''E''가 무한 차원인 경우에는 ''E''와 ''E''는 종종 달라진다(쌍대를 취한 쪽이 더 크다). ''E''와 ''E''^**가 일치하는 경우에는 ''E''는 반사적이라고 한다. 반사적인 공간의 예시로 힐베르트 공간이 있다.

선형 위상 공간 사이의 연속 선형 사상 ''f'': ''E'' → ''F''에 대해 그 '''공액 사상'''은 다음과 같이 정의된다.

:

F^* \to E^*;\ \phi \mapsto \phi \circ f

이것은 쌍대 공간 상의 타당한 위상에 관해 연속이 된다.

선형 위상 공간 사이의 선형 연속 사상으로, 약하게 수렴하는 벡터 열을 강하게 수렴하는 열로 옮기는 것을 콤팩트 작용소라고 한다. 또한, 선형 위상 공간에서 바나흐 공간으로의 콤팩트 작용소에 대해 트레이스의 유계성에 해당하는 개념을 정식화할 수 있는데, 이 유계성이 만족되는 것을 핵형 작용소라고 한다.

"항등 사상이 핵형 작용소가 되는" 공간을 핵형 공간이라고 한다. 핵형 공간의 예로 급감소 함수의 공간 ''S''('''R''')이나 급감소 수열의 공간이 있다.

8. 역사

다비트 힐베르트는 제곱 합 가능 수열 공간을 도입하였고, 스테판 바나흐 등 동유럽 수학자들은 노름 공간을 연구하였다. 앙리 르베그는 적분론을 재구성하였으며, 로랑 슈바르츠는 초함수를 수학적으로 정식화하였다. 장 뒤도네 등은 국소 볼록 공간 및 그 쌍대 공간을 연구하였고, 알렉상드르 그로텐디크는 핵형 공간과 위상적 텐서곱에 관해 연구하였다.

참조

_[1] 문서
_[2] 문서
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 문서
_[6] 간행물 Topological vector space SpringerEOM 2021-02-26
_[7] 문서
_[8] 웹사이트 A quick application of the closed graph theorem https://terrytao.wor[...] 2020-10-07
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 문서
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 문서
_[16] 서적 Functional analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1991
_[17] 서적 Topological vector spaces Springer-Verlag 1971

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