2차원
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1. 개요
2차원은 기하학에서 평면 위의 도형과 그 성질을 연구하는 분야를 의미하며, 데카르트 좌표계, 극좌표계, 지리 좌표계 등을 사용하여 좌표를 나타낸다. 2차원 폴리토프는 다각형이며, 볼록 다각형, 오목 다각형, 별모양 다각형 등이 있다. 2차원 초구는 원이며, 3차원 공간에서의 구 표면은 2차원 곡면이다. 2차원 공간은 위상, 아핀, 미분 다양체, 복소 평면 등 다양한 방식으로 추상화될 수 있으며, 회전이 스칼라로 표시되고 정다면체가 무한히 존재하는 특징을 갖는다. 또한, 그림, 회화, 도면, 지도 등은 2차원적인 예시이며, 만화, 애니메이션 캐릭터를 2차원이라고 표현하기도 한다.
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| 2차원 | |
|---|---|
| 정의 | |
| 설명 | 무한히 뻗어 나가는 2차원 표면 |
| 수학적 표현 | |
| 유클리드 공간 | R^2 |
| 방정식 | ax + by + cz + d = 0 |
| 변수 | a, b, c, d는 상수 x, y, z는 좌표 |
| 특징 | |
| 차원 | 2차원 |
| 면적 | 무한대 |
| 관련 개념 | |
| 관련 개념 | 점 (기하학) 선 (기하학) 공간 (수학) 초평면 |
2. 기하학
2차원 기하학은 평면 위에서 점, 선, 다각형, 원 등의 도형과 그 성질을 연구하는 학문이다.
평면은 친숙한 기하학적 구조 외에도 다양한 추상화 수준으로 볼 수 있다. 예를 들어 모든 기하학적 및 계량 개념을 버리고 위상 평면을 남길 수 있다. 위상 평면은 선형 경로의 개념은 있지만, 직선의 개념은 없다.
평면은 아핀 공간으로 볼 수도 있는데, 이 관점에서는 거리는 없지만 임의의 선에 대한 공선성과 거리의 비율은 보존된다.
미분 기하학은 평면을 미분 구조가 제공되는 2차원 실수 다양체로 본다. 이 경우에도 거리에 대한 개념은 없지만, 맵의 매끄러움에 대한 개념이 있다.
추상화의 반대 방향으로, 기하학적 평면에 호환 가능한 체 구조를 적용하여 복소 평면과 복소 해석학의 주요 영역을 발생시킬 수도 있다.
또한, 유클리드 기하학만이 평면이 가질 수 있는 유일한 기하학은 아니다. 평면은 스테레오그래픽 투영을 사용하여 구면 기하학을 가질 수 있다. 또는 평면은 쌍곡 평면을 제공하는 일정한 음의 곡률을 제공하는 메트릭을 가질 수도 있다.
2. 1. 좌표
2차원 평면 위의 위치는 데카르트 좌표계, 극좌표계, 지리 좌표계 등을 사용하여 나타낼 수 있다. 2차원의 데카르트 좌표계를 좌표평면이라고도 한다.2. 1. 1. 데카르트 좌표계
직교하는 두 개의 수직선을 이용하여 평면 위의 점의 위치를 (x, y) 순서쌍으로 나타낸다. 2차원의 데카르트 좌표계를 좌표평면이라고도 한다.2. 1. 2. 극좌표계
극좌표계는 원점으로부터의 거리와 각도를 이용하여 평면 위의 점의 위치를 (r, θ) 순서쌍으로 나타낸다.2. 1. 3. 지리 좌표계
지구 표면 위의 위치는 위도와 경도로 나타낸다.2. 2. 다각형
2차원 폴리토프는 다각형뿐이다. 다각형은 여러 개의 선분으로 둘러싸인 평면 도형이다.하위 섹션에서 볼록 다각형, 오목 다각형, 별모양 다각형에 대한 자세한 내용을 다루고 있으므로, 여기에서는 다각형의 정의만 간략하게 제시한다.
2. 2. 1. 볼록 다각형
2. 2. 2. 오목 다각형
2. 2. 3. 별모양 다각형
자기 교차를 허용하는 다각형이다.2. 3. 원과 곡면
2차원의 초구는 원이다. 원은 한 점으로부터 거리가 일정한 점들의 집합이다. 반지름이 r인 원의 면적은 다음과 같다.:
2. 3. 1. 원
2차원의 초구는 원이다. 반지름이 r인 원의 면적은 다음과 같다.
:
2. 3. 2. 이차 곡면
곡면의 일종으로, 타원, 포물선, 쌍곡선 등은 이차 방정식으로 표현되는 곡면이다.3. 유클리드 평면
Euclidean plane영어은 유클리드 기하학의 공리에 기초한 평면을 의미한다.
3. 1. 3차원 공간에 포함된 평면
3차원 공간에서 평면은 2차원 유클리드 공간으로 간주될 수 있다.4. 타원 평면
타원 기하학에서의 평면으로, 평행선이 존재하지 않고 모든 직선은 한 점에서 만난다.
5. 사영 평면
유클리드 평면을 확장한 공간이다.
6. 2차원의 특징
2차원은 다음과 같은 특징이 있다.
6. 1. 회전
회전은 스칼라 값으로 표현되는 유일한 차원이다.6. 2. 정다면체
2차원에서는 정다각형이 무한히 존재한다.[1]7. 2차원의 예시
일상생활에서 2차원의 예시는 다음과 같다.
- 그림, 회화, 도면, 지도 등은 2차원 평면 위에 정보를 표현한다.
- 인간을 비롯한 대부분의 생물은 기본적으로 2차원 시각 정보를 받아들이지만, 두 눈을 이용한 입체시를 통해 거리 정보가 더해진 2.5차원 정보를 얻을 수 있다.
- 행렬은 스칼라 값을 2차원으로 배열한 것이다.
- 라이프 게임은 2차원 세포 자동자이다.
- 복소수는 2차원 실 공간(가우스 평면) 상의 점으로 나타낸다.
7. 1. 평면적인 것
그림, 회화, 도면, 지도 등은 2차원 평면 위에 정보를 표현한다.7. 2. 시각
인간을 비롯한 대부분의 생물은 기본적으로 2차원 시각 정보를 받아들인다. 다만, 두 눈을 이용한 입체시를 통해 거리 정보가 더해진 2.5차원 정보를 얻을 수 있다.[1]7. 3. 행렬
행렬은 스칼라 값을 2차원으로 배열한 것이다.[1]7. 4. 세포 자동자
라이프 게임은 2차원 세포 자동자이다.[1]7. 5. 복소수
복소수는 2차원 실 공간(가우스 평면) 상의 점으로 나타낸다.[1]8. 위상수학 및 미분기하학적 개념
2차원은 위상수학 및 미분기하학에서 다양한 방식으로 추상화될 수 있다.
기존의 친숙한 기하학적 구조 외에도, 평면은 다양한 추상화 수준으로 볼 수 있다. 예를 들어 모든 기하학적 및 계량 개념을 제거하고 위상 평면을 남길 수 있다. 미분 기하학은 평면을 미분 구조가 제공되는 2차원 실수 다양체로 보는데, 이 경우에는 거리에 대한 개념은 없지만, 맵의 매끄러움에 대한 개념이 있어 미분 가능하거나 매끄러운 경로(적용된 미분 구조의 유형에 따라)가 존재한다.
추상화의 반대 방향으로, 기하학적 평면에 호환 가능한 체 구조를 적용하여 복소 평면과 복소 해석학의 주요 영역을 발생시킬 수 있다.
또한, 유클리드 기하학만이 평면이 가질 수 있는 유일한 기하학은 아니다. 평면은 스테레오그래픽 투영을 사용하여 구면 기하학을 가질 수 있다. 이것은 구를 평면에 접하게 놓고, 꼭대기 점을 제거한 다음, 이 점으로부터 구를 평면에 투영하는 것으로 생각할 수 있으며, 지구 표면의 일부를 평평하게 만드는 데 사용될 수 있는 투영 중 하나이다.
평면은 쌍곡 평면을 제공하는 일정한 음의 곡률을 가지는 메트릭을 가질 수도 있다. 후자의 가능성은 2개의 공간 차원과 1개의 시간 차원이 있는 단순화된 경우에 특수 상대성 이론에서 적용된다.
평면의 일점 컴팩트화는 구와 위상 동형이다(스테레오 투영 참조). 열린 원판은 "북극"이 없는 구와 위상 동형이며, 그 점을 더하면 (컴팩트) 구가 완성된다. 이 컴팩트화의 결과는 리만 구 또는 복소수 사영 직선이라고 하는 다양체이다. 유클리드 평면에서 점이 없는 구로의 투영은 미분 동형 사상이며 심지어 등각 사상이다.
평면 자체는 열린 원반과 위상 동형(및 미분 동형)이다. 쌍곡 평면의 경우 이러한 미분 동형 사상은 등각이지만 유클리드 평면의 경우 그렇지 않다.
8. 1. 위상 평면
거리 개념은 없지만, 경로와 연속 변환의 개념은 유지되는 추상적인 공간이다. 이는 근접성의 개념은 유지하지만 거리는 없는, 이상화된 호모토피적으로 자명한 무한 고무 시트라고 생각할 수 있다. 위상 평면은 선형 경로의 개념을 가지고 있지만, 직선의 개념은 없다. 위상 평면 또는 이와 동등한 열린 원반은 저차원 위상수학에서 분류되는 곡면 (또는 2-다양체)을 구성하는 데 사용되는 기본적인 위상적 근방이다. 위상 평면의 동형 사상은 모두 연속 전단사이다. 위상 평면은 평면 그래프를 다루는 그래프 이론 분야와 사색 정리와 같은 결과에 자연스러운 맥락이다.8. 2. 아핀 평면
평면은 아핀 공간으로 볼 수 있으며, 그 동형 사상은 변환과 비특이 선형 맵의 조합이다. 이 관점에서 거리는 없지만, 임의의 선에 대한 공선성과 거리의 비율은 보존된다.[1]8. 3. 미분 다양체
미분 기하학에서는 평면을 미분 구조가 주어진 2차원 실수 다양체로 간주한다. 이때 거리 개념은 없지만, 맵의 매끄러움이라는 개념은 존재한다. 예를 들어, 적용된 미분 구조 유형에 따라 미분 가능하거나 매끄러운 경로가 있다. 이 경우 동형 사상은 선택된 미분 가능성 정도를 갖는 전단사 함수이다.8. 4. 복소 평면
기하학적 평면에 호환 가능한 체 구조를 적용하면 복소 평면과 복소 해석학의 주요 영역이 나타난다. 복소수 체는 실수선을 고정하는 두 개의 동형 사상, 즉 항등원과 켤레 복소수만을 갖는다.[1]평면은 실수처럼 복소수에 대한 복소 차원 관점에서 가장 간단한 1차원 복소 다양체로 볼 수 있으며, 복소선이라고도 한다. 그러나 이 관점은 2차원 실수 다양체로서의 평면과는 뚜렷한 대조를 보인다. 복소 평면의 동형 사상은 모든 등각 전단사이지만, 가능한 유일한 경우는 복소수 곱셈과 변환의 조합에 해당하는 맵이다.[1]
9. 다른 기하학
평면은 유클리드 기하학 외에도 구면 기하학이나 쌍곡 평면과 같은 다른 기하학을 가질 수 있다. 스테레오그래픽 투영은 평면에 구면 기하학을 부여하는 방법 중 하나이며, 쌍곡 기하학은 일정한 음의 곡률을 갖는 메트릭을 통해 평면에 구현될 수 있다.
9. 1. 구면 기하학
스테레오그래픽 투영을 사용하면 평면에 구면 기하학을 부여할 수 있다. 이는 구를 평면에 접하게 놓고 꼭대기 점을 제거한 후, 이 점에서 구를 평면에 투영하는 방식으로 생각할 수 있다. 이 방법은 지구 표면의 일부를 평평하게 만드는 데 사용될 수 있는 투영 중 하나이다. 그 결과로 나타나는 기하학은 일정한 양의 곡률을 갖는다.9. 2. 쌍곡 기하학
평면은 쌍곡 평면을 제공하는 일정한 음의 곡률을 갖는 메트릭을 가질 수도 있다. 이러한 가능성은 2개의 공간 차원과 1개의 시간 차원이 있는 단순화된 경우 특수 상대성 이론에 응용된다. (쌍곡 평면은 3차원 민코프스키 공간에서 시간적 초곡면이다.)10. 문화적 활용
만화, 애니메이션 캐릭터 등은 주로 평면 그림으로 묘사되기 때문에 "2차원"이라는 표현이 사용되기도 한다. 하지만 피규어나 코스프레 등 입체(3차원)로 표현되는 경우도 많다.
또한, 이와 반대로 아이돌, 역사상의 인물 등 실존하거나 실존했던 캐릭터는 영상, 만화 등 평면상에서 표현될 경우에도 "3차원"이라고 불리며, 이것이 "2차원"의 반의어로 사용된다.
최근에는 3D 공간에서의 표현에 툰 렌더링이 등장하고 있다.[1]
10. 1. 2차원 캐릭터
만화・애니메이션의 캐릭터는 주로 평면(2차원 공간)의 그림・이미지로 묘사되기에 "'''2차원'''"이라는 표현이 자주 사용된다. 다만 피규어나 코스프레 등 입체(3차원)로 표현되는 경우도 적지 않다.
아이돌・역사상의 인물 등 실존하거나 실존했던 캐릭터는 영상・만화 등 평면상에서 표현될 경우에도 "'''3차원'''"이라고 불리며, "2차원"의 반의어로 사용된다.
10. 2. 모에화
만화, 애니메이션 등에서는 '''2차원'''이라는 표현이 자주 사용된다. 이는 주로 평면(2차원 공간)의 그림, 이미지로 묘사되기 때문이다. 다만 피규어나 코스프레 등 입체(3차원)로 표현되는 경우도 적지 않다.
아이돌, 역사상의 인물 등 실존하거나 실존했던 캐릭터는 영상, 만화 등 평면상에서 표현될 경우에도 '''3차원'''이라고 불리며, 이것이 "2차원"의 반의어로 사용된다.
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