공명

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1. 개요

공명은 계가 특정 진동수에서 에너지를 효율적으로 주고받거나, 두 개 이상의 에너지 저장 방식 사이에서 에너지를 쉽게 전달할 때 발생하는 현상이다. 모든 물체는 고유 진동수를 가지며, 외부 진동이 고유 진동수에 가까워지면 진폭이 급격히 증가하는 공명이 나타난다. 공명은 악기, 발성, 건축, 전기 회로, 광학, 양자역학 등 다양한 분야에서 나타나며, Q 인자는 공진기의 감쇠 정도를 나타내는 지표로 활용된다. 공명은 특정 상황에서 구조물 붕괴와 같은 단점을 야기할 수 있지만, 악기 제작, 레이저, 분광학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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공명 - 공명기
공명기는 특정 주파수에서 에너지를 축적하고 진동을 유지하는 물리 시스템 또는 장치로, 전자기학, 기계, 음향 등 다양한 형태로 구현되어 활용된다.
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공명
서론
정의	공명(共鳴, 영어: resonance)은 물리학에서 진동계가 특정 주파수에서 큰 진폭으로 진동하는 현상이다.
설명	이 주파수를 공명 주파수(resonant frequency)라고 한다. 공명은 다양한 물리적 시스템에서 발생할 수 있으며, 소리, 빛, 전자기파, 그리고 원자와 분자에서도 관찰될 수 있다.
개요
설명	공명은 외부에서 가해지는 힘의 주파수가 시스템의 고유 진동수와 일치할 때 발생한다. 이때 에너지가 효율적으로 전달되어 진폭이 크게 증가한다. 예를 들어, 그네를 밀 때 그네의 고유 진동수에 맞춰 밀면 그네가 점점 더 높이 올라가는 것이 공명의 한 예이다.
물리학에서의 공명
설명	물리학에서 공명은 다양한 시스템에서 나타나는 중요한 현상이다. 역학, 전자기학, 양자역학 등 여러 분야에서 공명 현상을 연구하고 활용한다.
역학적 공명
설명	역학적 시스템에서 공명은 물체가 특정 주파수로 진동할 때 에너지를 흡수하여 진폭이 증가하는 현상이다. 예를 들어, 다리의 고유 진동수와 일치하는 주파수의 바람이나 진동이 가해지면 다리가 크게 흔들릴 수 있다.
전자기적 공명
설명	전자기적 시스템에서 공명은 특정 주파수의 전자기파가 시스템 내에서 증폭되는 현상이다. 라디오나 텔레비전 수신기가 특정 주파수의 전파를 선택적으로 수신하는 것이 전자기적 공명의 예이다.
양자역학적 공명
설명	양자역학에서 공명은 입자가 특정 에너지 준위로 전이할 때 확률이 높아지는 현상이다. 이는 원자나 분자가 특정 주파수의 빛을 흡수하거나 방출하는 현상과 관련이 있다.
공명의 응용
설명	공명은 다양한 기술 분야에서 활용된다. 라디오, 텔레비전, MRI, 레이저 등 여러 장치들이 공명 원리를 이용한다.
주의사항
설명	공명은 때로는 파괴적인 결과를 초래할 수도 있다. 다리나 건물이 특정 주파수의 진동에 공명하여 붕괴될 수 있으며, 이를 방지하기 위한 설계가 필요하다.

2. 공명 이론

공명은 어떤 계(系)가 두 개 이상의 서로 다른 에너지 저장 방식(예를 들어, 단순 진자의 경우 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지) 사이에서 에너지를 저장하고 쉽게 전달할 수 있을 때 발생한다. 그러나 에너지가 전달되는 과정에서 매번 감쇠라고 하는 에너지 손실이 일어난다. 감쇠가 작을 경우, 공진이 일어나는 주파수(공진 주파수)는 외부 힘이 없을 때의 진동 주파수인 시스템의 고유 진동수와 거의 같아진다. 어떤 시스템들은 여러 개의 뚜렷한 공진 주파수를 가지기도 한다.

매우 일반적으로 설명하면, 공명은 어떤 물체 A의 진동 에너지가 다른 물체 B로 전달되는 현상이라고 할 수 있다.

: A(진동) → B, 또는 A → (진동)B

하지만 모든 공명이 이런 형태는 아니다. 예를 들어 전파와 안테나의 관계처럼 반드시 A가 물체일 필요는 없으며, 자기 공명 현상에서는 A의 존재가 필수적이지 않다. 또한, 핵자기공명과 같은 경우는 섭동 자기장의 진동에 대한 자성의 변화로 나타나므로, 진동이나 에너지의 직접적인 이동이 있는 것은 아니다.

공명이 일어나면, 이론적으로는 계를 설명하는 물리량이 0이나 무한대가 되는 경우가 많다. 또한, 외부에서 계속 진동이 가해지면 진동을 받는 쪽에서 하울링과 같이 파괴적인 현상이 발생할 수도 있다.

모든 물체는 그 물체가 가장 쉽게 진동하는 특정 진동수인 고유 진동수를 가지고 있다. 외부에서 진동이 가해질 때, 그 진동수가 물체의 고유 진동수에 가까워질수록 물체의 진동 폭(진폭)은 급격히 커진다. 이 현상을 공명 또는 공진이라고 한다. 놀이기구인 그네를 밀 때, 그네의 움직임에 맞춰 힘을 주면 흔들림이 점점 커지는 것이 대표적인 예이다.

악기나 발성에서는 발음체(현이나 리드 등)의 진동이 더 큰 물체(악기의 몸통, 공명실 등)에 전달되어 공명함으로써 사람이 더 듣기 좋은 소리로 변하게 된다. 즉, 발음체만 있을 때보다 청각적으로 더 큰 소리를 얻을 수 있으며, 이는 음색의 변화이기도 하다. 일부 악기는 공명을 통해 안정된 음높이를 유지하기도 한다.

전기 회로에서는 축전기와 코일을 직렬 또는 병렬로 연결하여 특정 주파수의 교류에 대해 저항이 0 또는 무한대가 되는 공진 회로를 만들 수 있다. 이는 라디오 수신 등에서 특정 주파수의 신호만을 선택적으로 증폭하는 데 사용된다.

소립자 물리학에서는 입자 가속기 실험 중 특정 충돌 에너지에서 반응이 일어날 확률(반응 단면적)이 급격히 커지는 경우가 있는데, 이를 공명 상태라고 한다. 이때는 생성된 여러 하드론이나 중간자가 복합된 상태를 형성하는 것으로 생각되며, 이 상태는 매우 짧은 시간 동안만 존재하다가 강한 상호작용에 의해 더 안정적인 입자로 붕괴한다.

화학에서는 어떤 상태의 에너지 기대값이 에너지가 비슷한 두 개 이상의 다른 상태들의 선형 결합으로 근사될 수 있을 때, 이 상태들이 양자역학적 공명 상태에 있다고 말한다. 이 개념은 베르너 하이젠베르크가 헬륨 원자의 상태를 설명하기 위해 처음 제안했고, 이후 라이너스 폴링이 화학 결합 전반으로 확장하여 공명 구조 이론 등으로 발전시켰다.

2. 1. 공명의 함수

공명은 역학에서의 단순조화운동 공식에서 진폭의 제곱이

\rho^2

일 때,

\omega

의 진동수로 강제 진동하는 상황과 관련된다. 이때 진동에 따른 강도

\rho^2

는 진동수

\omega

에 대해 다음과 같은 함수 형태로 나타낼 수 있다.

\rho^2(\omega) \propto \frac{\frac{\gamma}{2}}{(\omega - \omega_0)^2 + \left( \frac{\gamma}{2} \right)^2 }

여기서

\omega_0

는 계의 고유 진동수이고,

\gamma

는 감쇠 진동에 대한 매개 변수이며 공명의 선폭(''linewidth'')을 결정한다. 감쇠 진동이 클수록 공명의 선폭도 넓어져 공명 주파수 주변의 강제 진동이 더 넓은 범위에 반응하게 된다. 공명 반응의 예리함 정도를 나타내는 '''Q 인자'''는 공명의 선폭에 반비례한다.^[18] 이 함수 형태에 따르면, 이론적으로 공명은

\omega = \omega_0

일 때 발생하며, 이때 진폭(또는 강도)이 최대가 된다. 그러나 실제 물리계에서는 감쇠의 영향으로 공진 주파수가 고유 진동수와 약간 달라질 수 있다.

공명은 계(系)가 두 개 이상의 서로 다른 에너지 저장 방식(예: 단순 진자의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지) 사이에서 에너지를 저장하고 쉽게 전달할 수 있을 때 발생한다. 그러나 매 사이클마다 감쇠로 인한 에너지 손실이 있다. 감쇠가 작을 때 공진 주파수는 시스템의 고유 진동수(외력이 없는 진동 주파수)와 거의 같다. 일부 시스템은 여러 개의 구별되는 공진 주파수를 가질 수 있다.

공명은 많은 선형 및 비선형 시스템에서 평형점 주변의 진동으로 나타난다. 시스템이 사인파 형태의 외부 입력에 의해 구동될 때, 시스템의 출력은 입력에 반응하여 진동할 수 있다. 출력의 정상 상태 진동 진폭과 입력 진동 진폭의 비율을 이득(gain)이라고 하며, 이 이득은 외부 입력의 주파수에 따라 달라진다. 특정 주파수에서 이득이 최대가 되는 현상이 공명이며, 이때 출력 진동의 진폭이 비례적으로 커진다.

많은 선형 및 비선형 진동 시스템이 평형점 근처에서 조화 진동자로 모델링될 수 있으므로, 구동 및 감쇠된 조화 진동자의 공진 주파수를 살펴보자.

=== 감쇠된 용수철-질량 시스템 ===

감쇠가 있는 용수철에 매달린 질량에 사인파 형태의 외부 힘이 작용하는 경우를 생각해보자. 뉴턴의 운동 제2법칙은 다음과 같다.

(1)

m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = F_0 \sin(\omega t)-kx-c\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

여기서 ''m''은 질량, ''x''는 평형점으로부터의 변위, ''F''₀는 구동 진폭, ''ω''는 구동 각진동수, ''k''는 용수철 상수, ''c''는 점성 감쇠 계수이다. 이 식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

(2)

\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m} \sin(\omega t)

여기서

$\omega_0 = \sqrt{k /m}$ 는 진동자의 ''감쇠되지 않은 각진동수'' 또는 ''고유 진동수''이다.
$\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}$ 는 ''감쇠 비''이다.

많은 자료에서는 ''ω''₀를 ''공진 주파수''라고도 한다. 그러나 아래에서 보여주는 것처럼, 변위 ''x''(''t'')의 진동을 분석할 때 공진 주파수는 ''ω''₀와 가깝지만 동일하지는 않다. 일반적으로 공진 주파수는 고유 진동수와 가깝지만 반드시 동일하지는 않다. 다음 섹션의 RLC 회로 예는 동일한 시스템에 대해 다른 공진 주파수의 예를 제공한다.

식 (2)의 일반 해는 초기 조건에 따라 달라지는 과도 현상 해와 초기 조건과 무관하고 구동 진폭 ''F''₀, 구동 주파수 ''ω'', 감쇠되지 않은 각진동수 ''ω''₀, 감쇠 비 ''ζ''에만 의존하는 정상 상태 해의 합이다. 과도 현상 해는 비교적 짧은 시간 안에 감쇠되므로, 공진을 연구하기 위해서는 정상 상태 해를 고려하는 것으로 충분하다.

''x''(''t'')에 대한 정상 상태 해를 구동력에 비례하는 함수로, 유도된 위상 변화 ''φ''를 갖는 것으로 쓸 수 있다.

(3)

x(t) = \frac{F_0}{m \sqrt{\left(2\omega\omega_0\zeta\right)^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2}} \sin(\omega t + \varphi)

여기서

\varphi = \arctan\left(\frac{2\omega \omega_0\zeta}{\omega^2 - \omega_0^2} \right) + n\pi

이다. 위상 값은 일반적으로 −180°와 0 사이로 취해지므로, arctan 인수의 양수 및 음수 값 모두에 대해 위상 지연을 나타낸다.

구동 단순 조화 진동자의 상대 주파수 $\omega/\omega_0$ 와 감쇠 $\zeta$ 에 따른 진폭의 정상 상태 변화

공진은 특정 구동 주파수에서 ''x''(''t'')의 정상 상태 진폭이 다른 구동 주파수에서의 진폭에 비해 클 때 발생한다. 용수철에 매달린 질량의 경우, 공진은 특정 구동 주파수에서 질량의 진동이 용수철의 평형 위치로부터 큰 변위를 갖는 것에 물리적으로 해당한다. ''x''(''t'')의 진폭을 구동 주파수 ''ω''의 함수로 보면, 진폭은 다음 구동 주파수에서 최대가 된다.

\omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - 2\zeta^2}

''ω''_''r''은 이 시스템의 '''공진 주파수'''이다. 다시 말하지만, 공진 주파수는 진동자의 감쇠되지 않은 각진동수 ''ω''₀와 같지 않다. 그들은 비례하며, 감쇠 비가 0으로 갈 때 같지만, 0이 아닌 감쇠의 경우에는 같은 주파수가 아니다. 그림에서 보듯이, 공진은 공진 주파수 근처의 다른 주파수, ''ω''₀를 포함하여 발생할 수 있지만, 최대 응답은 공진 주파수에서 발생한다.

또한, ''ω''_''r''은

\zeta < 1 / \sqrt{2}

일 때만 실수이고 0이 아니므로, 이 시스템은 조화 진동자가 상당히 저감쇠일 때만 공진할 수 있다. 매우 작은 감쇠 비와 공진 주파수 근처의 구동 주파수를 갖는 시스템의 경우, 정상 상태 진동이 매우 커질 수 있다.

다른 구동 감쇠 조화 진동자의 경우, 운동 방정식이 용수철에 매달린 질량의 예와 정확히 일치하지 않더라도 공진 주파수는

\omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - 2\zeta^2}

로 유지되지만, ''ω''₀ 및 ''ζ''의 정의는 시스템의 물리적 특성에 따라 달라진다. 길이 ''ℓ''이고 작은 변위 각도 ''θ''인 단진자의 경우, 식 (1)은 다음과 같이 된다.

m\ell\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} = F_0 \sin(\omega t)-mg\theta-c\ell\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}

따라서

$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$
$\zeta = \frac{c}{2m}\sqrt{\frac{\ell}{g}}$

이다.

=== RLC 직렬 회로 예시 ===

RLC 회로는 공명과 시스템의 전달 함수, 주파수 응답, 극점 및 영점 간의 관계를 설명하는 데 유용한 예시이다. 저항 ''R'', 인덕턴스 ''L'', 그리고 정전용량 ''C''를 갖는 저항, 인덕터, 축전기가 직렬로 연결된 회로를 생각해보자. 이 회로에는 전류 ''i''(''t'')가 흐르고, ''v''_''in''(''t'')의 전압을 갖는 전압원에 의해 구동된다. 회로 주변의 전압 강하는 다음과 같다.

(4)

L \frac{di(t)}{dt} + Ri(t) + V(0)+\frac{1}{C} \int_{0}^t i(\tau)d\tau = v_\text{in}(t)

위의 용수철에 매달린 질량의 예에서와 같이 이 방정식의 후보 해를 분석하는 대신, 이 절에서는 이 회로의 주파수 응답을 분석할 것이다. 식 (4)에 라플라스 변환을 적용하면,

sLI(s) + RI(s) + \frac{1}{sC}I(s) = V_\text{in}(s)

여기서 ''I''(''s'')와 ''V''_''in''(''s'')는 각각 전류와 입력 전압의 라플라스 변환이고, ''s''는 라플라스 영역에서의 복소수 주파수 매개변수이다. 항을 재배열하면,

I(s) = \frac{s}{s^2L + Rs + \frac{1}{C}} V_\text{in}(s)

직렬 RLC 회로는 출력 전압을 측정할 수 있는 여러 지점을 제공한다. 출력 전압으로 콘덴서 양단의 전압 강하를 고려해보자. 위에 표시된 것처럼, 라플라스 영역에서 이 전압은 다음과 같다.

V_\text{out}(s) = \frac{1}{sC}I(s)

또는

V_\text{out}= \frac{1}{LC(s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC})} V_\text{in}(s)

이 회로에 대해 고유 진동수와 감쇠율을 다음과 같이 정의한다.

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}

출력 전압과 입력 전압의 비율은 다음과 같다.

H(s) \triangleq \frac{V_\text{out}(s)}{V_\text{in}(s)} = \frac{\omega_0^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2}

''H''(''s'')는 입력 전압과 출력 전압 사이의 전달 함수이다. 이 전달 함수는 두 개의 극점(전달 함수의 분모에 있는 다항식의 근)을 가지는데, 다음과 같다.

(5)

s = -\zeta\omega_0 \pm i\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}

영점(전달 함수의 분자에 있는 다항식의 근)은 없다. 또한,

\zeta \le 1

인 경우, 이러한 극점의 크기는 고유 진동수 ''ω''₀이고,

\zeta < 1/\sqrt{2}

인 경우(조화 진동자 예에서 공진 조건), 극점은 실수축보다 허수축에 더 가깝다.

허수축

s = i\omega

을 따라 ''H''(''s'')를 평가하면, 전달 함수는 이 회로의 주파수 응답을 나타낸다. 마찬가지로, 라플라스 변환 대신 식 (4)의 푸리에 변환을 취하여 주파수 응답을 분석할 수 있다. 복소수이기도 한 전달 함수는 이득과 위상으로 나타낼 수 있다.

H(i\omega) = G(\omega)e^{i\Phi(\omega)}

주파수 ''ω''의 정현파 입력 전압은 같은 주파수의 출력 전압을 생성하는데, 이 전압은 ''G''(''ω'')만큼 배율이 조정되고 ''Φ''(''ω'')만큼 위상이 이동한다. 이득과 위상은 보드선도에서 주파수에 대해 그릴 수 있다. RLC 회로의 콘덴서 전압에 대해, 전달 함수 ''H''(''iω'')의 이득은 다음과 같다.

(6)

G(\omega) = \frac{\omega_0^2}{\sqrt{\left(2\omega\omega_0\zeta\right)^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2}}

여기의 이득과 식 (3)의 진폭 사이의 유사성에 유의하라. 다시 한번, 이득은 '''공진 주파수'''에서 최대화된다.

\omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - 2\zeta^2}

여기서 공진은 다른 구동 주파수에서의 진폭과 비교하여 콘덴서 양단의 정상 상태 진동에 대한 진폭이 상대적으로 큰 것에 물리적으로 해당한다.

공진 주파수는 항상 위 예시에서 주어진 형태를 가질 필요는 없다. RLC 회로에서, 관심 있는 출력 전압이 인덕터 양단의 전압이라고 가정해보자. 위에서 보인 바와 같이, 라플라스 영역에서 인덕터 양단의 전압은 다음과 같다.

V_\text{out}(s) = sLI(s)

V_\text{out}(s) = \frac{s^2}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}} V_\text{in}(s)

V_\text{out}(s) = \frac{s^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2} V_\text{in}(s)

이때, ''ω''₀ 와 ''ζ''는 이전 예시와 같은 정의를 사용한다. ''V''_in(''s'')와 인덕터 양단의 새로운 ''V''_out(''s'') 사이의 전달 함수는 다음과 같다.

H(s) = \frac{s^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2}

이 전달 함수는 이전 예시의 전달 함수와 같은 극점을 가지지만, 분자에는

s = 0

에서 두 개의 영점을 갖는다. 허수축을 따라 ''H''(''s'')를 평가하면, 그 이득은 다음과 같아진다.

G(\omega) = \frac{\omega^2}{\sqrt{\left(2\omega\omega_0\zeta\right)^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2}}

축전기 전압을 출력으로 사용하는 식 (6)의 이득과 비교하면, 이 이득은 분자에 ''ω''² 의 계수를 가지므로, 이득을 최대화하는 공진 주파수가 다를 것이다. 그 주파수는 다음과 같다.

\omega_r = \frac{\omega_0}{\sqrt{1 - 2\zeta^2}}

따라서, 출력으로 인덕터 양단의 전압을 사용하는 동일한 RLC 회로의 경우, 공진 주파수는 이제 고유 주파수보다 더 크다. 하지만 감쇠 비율이 0으로 갈 때 여전히 고유 주파수에 가까워진다. 출력의 선택에 따라 동일한 회로가 서로 다른 공진 주파수를 가질 수 있다는 것이 모순되는 것은 아니다. 식 (4)에서 보듯이, 회로 양단의 전압 강하는 세 가지 회로 요소에 나뉘며, 각 요소는 서로 다른 동역학을 갖는다. 축전기의 전압은 시간에 따른 전류를 적분하여 서서히 증가하므로 저주파수에 더 민감하고, 반면에 인덕터의 전압은 전류가 급격하게 변할 때 증가하므로 고주파수에 더 민감하다. 회로 전체는 진동하는 경향이 있는 고유 주파수를 가지지만, 각 회로 요소의 서로 다른 동역학으로 인해 각 요소는 약간 다른 주파수에서 공진한다.

저항 양단의 출력 전압이 관심 대상이라고 가정하자. 라플라스 영역에서 저항 양단의 전압은 다음과 같다.

V_\text{out}(s) = RI(s)

V_\text{out}(s) = \frac{Rs}{L\left(s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}\right)} V_\text{in}(s)

그리고 축전기 예시와 같은 고유 진동수와 감쇠율을 사용하면 전달 함수는 다음과 같다.

H(s) = \frac{2\zeta\omega_0s}{s^2 + 2\zeta\omega_0s+\omega_0^2}

이 전달 함수는 이전 RLC 회로 예시와 같은 극점을 가지지만, 분자에는 s = 0에서 하나의 영점만 가진다. 이 전달 함수의 이득은 다음과 같다.

G(\omega) = \frac{2\zeta\omega_0\omega}{\sqrt{\left(2\omega\omega_0\zeta\right)^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2}}

이 이득을 최대화하는 공진 주파수는 다음과 같다.

\omega_r = \omega_0

그리고 이 주파수에서 이득은 1이다. 따라서 저항 양단의 전압은 회로의 고유 진동수에서 공진하고, 이 주파수에서 저항 양단의 전압 진폭은 입력 전압 진폭과 같다.

=== 반공진 ===

일부 시스템은 공진과 같은 방식으로 분석할 수 있는 반공진을 나타낸다. 반공진의 경우, 특정 주파수에서 시스템의 응답 진폭이 비례적으로 매우 작아진다. RLC 회로의 예에서 이 현상은 인덕터와 커패시터를 결합하여 분석함으로써 관찰할 수 있다.

RLC 회로에서 관심 있는 출력 전압이 직렬로 연결된 인덕터와 커패시터 양단의 전압의 합이라고 가정해보자. 식 (4)은 세 회로 요소의 전압 합이 입력 전압과 같음을 보여주므로, 인덕터와 커패시터 전압의 합으로 출력 전압을 측정하는 것은 저항 양단의 전압 강하를 ''v''_''in''에서 뺀 것과 같다. 이전 예에서 시스템의 고유 주파수에서 저항 양단의 전압 강하 진폭이 ''v''_''in''의 진폭과 같고, 따라서 인덕터와 커패시터 양단의 전압은 진폭이 0임을 보였다. 전달 함수를 사용하여 이를 보일 수 있다.

인덕터와 커패시터 전압의 합은 다음과 같다.

V_\text{out}(s) = (sL+\frac{1}{sC})I(s)

V_\text{out}(s) = \frac{s^2+\frac{1}{LC}}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}} V_\text{in}(s)

이전 예와 같은 고유 주파수와 감쇠 비를 사용하면 전달 함수는 다음과 같다.

H(s) = \frac{s^2+\omega_0^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2}

이 전달 함수는 이전 예와 같은 극점을 가지지만 다음과 같은 영점을 갖는다.

(7)

s = \pm i\omega_0

허수축을 따라 전달 함수를 평가하면 이득은 다음과 같다.

G(\omega) = \frac

{\sqrt{\left(2\omega\omega_0\zeta\right)^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2}}

공진, 즉 이득의 피크를 찾는 대신, 이득이 ''ω'' = ''ω''₀에서 0이 됨을 주목하라. 이는 저항의 전압 분석을 보완한다. 이것을 '''반공진'''이라고 하며, 공진과 반대 효과를 갖는다. 이 주파수에서 비례적으로 큰 출력을 생성하는 대신, 이 출력 선택을 사용하는 이 회로는 이 주파수에서 전혀 응답하지 않는다. 필터링되는 주파수는 전달 함수의 영점과 정확히 일치하며, 이는 식 (7)에 표시되어 있으며 허수축에 있다.

이 RLC 회로 예시는 공진이 시스템의 주파수 응답과 어떻게 관련되는지 보여준다. 구체적으로, 이 예시는 다음을 보여준다.

시스템의 입력과 출력 사이의 전달 함수의 이득(gain)에서 피크를 찾아 공진 주파수를 찾는 방법 (예: 보드 크기 플롯에서)
단일 시스템의 공진 주파수가 시스템 출력의 선택에 따라 다를 수 있는 방법
시스템의 고유 주파수, 시스템의 감쇠 비율 및 시스템의 공진 주파수 간의 관계
식 (5)에서 지적된 바와 같이 시스템의 고유 주파수와 전달 함수 극점의 크기 간의 관계, 따라서 극점과 공진 주파수 간의 관계
전달 함수의 영점과 주파수의 함수로서 이득의 형태 간의 관계, 따라서 영점과 이득을 최대화하는 공진 주파수 간의 관계
전달 함수의 영점과 반공진 간의 관계

다음 섹션에서는 이러한 개념을 일반 선형 시스템의 공진으로 확장한다.

2. 2. Q 인자

Q 인자 또는 품질 계수는 무차원 매개변수로, 진동체나 공진기가 얼마나 감쇠되는지를 나타낸다. 이는 공진기의 고유 진동수에 대한 대역폭의 비율로 정의되기도 한다.^[12] Q 인자는 공진기가 에너지를 얼마나 잘 저장하는지에 대한 척도로, 보유 에너지 대비 에너지 손실률을 나타낸다.

Q값이 높다는 것은 저장된 에너지에 비해 에너지 손실률이 낮다는 의미이며, 이는 시스템의 감쇠가 적다는 것을 뜻한다. Q값이 높을수록 감쇠 진동의 주기가 길어진다고 볼 수 있다. 수학적으로 Q 인자는 다음과 같이 정의된다:

Q =2\pi \text{ } \frac{ \text{ 최대 저장 에너지}}{ \text{ 공진 시 한 주기당 손실되는 총 에너지}}

.^[12]

Q값이 높을수록 다음과 같은 특징을 보인다:

공진 주파수에서 진동의 진폭이 더 커진다.
공진이 일어나는 주파수 범위, 즉 대역폭이 좁아진다.

예를 들어, 전기 공진 회로에서 Q값이 높은 회로는 특정 주파수 신호만 통과시키는 선택도가 높아 다른 방송국 신호를 걸러내는 데 유리하지만, 정확한 주파수에 맞추기(동조)는 더 어려울 수 있다. 또한, Q값이 높은 발진기는 주파수가 더 안정적이다.^[12]

Q값의 예시는 다음과 같다:

낮은 Q값: 도어 클로저 (Q ≈ 0.5)처럼 빠르게 진동이 멈추는 시스템.
높은 Q값: 음차 (Q ≈ 1000), 원자 시계나 레이저 (Q ≈ 10¹¹)처럼 진동이 오랫동안 지속되는 시스템.^[13]

2. 3. 비선형 공진

선형 공진의 경우 공진 주파수가 하나이거나 감쇠가 있을 때 대칭적인 공진 반응을 보이는 것과 달리, 스프링 특성이 비선형인 경우에는 공진 주파수가 일정한 범위를 형성하며 반응 곡선은 비대칭적인 모양을 갖는다. 이러한 비대칭 반응 곡선은 가진 주파수가 변할 때 균형점의 변화가 불연속적인 히스테리시스를 보이게 만든다. 더핑 진동자 소개

3. 공명의 사례

그네에 탄 사람을 미는 것은 공명의 일반적인 예이다. 무게가 실린 그네는 단진자이며, 고유한 고유진동수를 가지고 있다.

공명 현상은 우리 주변에서 다양하게 관찰되며 여러 기술에 활용된다.

가장 친숙한 예는 그네이다. 그네는 단진자처럼 움직이며 고유한 진동수(고유진동수)를 가진다. 이 고유진동수에 맞춰 주기적으로 밀어주면 작은 힘으로도 그네의 진폭이 커져 높이 올라가지만, 너무 빠르거나 느리게 밀면 잘 움직이지 않는다.^[2] 이는 그네의 고유진동수와 미는 힘의 진동수가 일치할 때 에너지가 가장 효율적으로 전달되기 때문이다.

라디오의 주파수를 맞추거나 TV 채널을 바꾸는 것도 공명 현상을 이용한 것이다. 방송국에서 보내는 특정 진동수의 전자기파에 라디오나 TV 내부 회로의 고유진동수를 일치시켜 원하는 방송을 수신하게 된다.

의료 분야에서는 MRI가 공명 현상을 활용한 대표적인 예이다. 강한 자기장 속에서 인체 내 수소 원자핵이 특정 주파수의 전자기파와 공명하는 현상을 이용하여, X선 없이도 몸 내부를 정밀하게 촬영할 수 있다.

이 외에도 공명 현상은 다양한 분야에서 찾아볼 수 있다.

시간 측정: 기계식 시계의 밸런스 휠이나 쿼츠 시계의 수정 진동자는 정확한 공명 진동을 이용해 시간을 측정한다.
자연 현상: 펀디 만의 거대한 조석은 만의 지형적 특성과 조석 주기가 공명을 일으켜 발생하는 것으로 알려져 있다. 또한, 태양계 내 일부 위성들이나 소행성대의 플루티노 등 특정 천체 그룹 사이에서도 궤도 공명 현상이 나타난다.
소리: 악기는 특정 구조(공명통 등)를 통해 현이나 관의 진동을 공명시켜 소리를 증폭하고 고유한 음색을 만들어낸다. 인간의 성도 역시 공명을 통해 목소리를 만든다. 특정 높이의 소리로 와인잔을 깨뜨리는 것도 음향 공명의 예이다. 마찰발음기(유리잔 가장자리를 문질러 소리 내는 것)도 공명 현상을 이용한다.
빛: 레이저는 광 공진기 내부에서 빛의 공명을 이용하여 매우 강력하고 단일한 색의 빛을 만들어낸다.
물질 연구: 핵자기 공명(NMR), 전자 스핀 공명(ESR), 뫼스바우어 효과 등은 원자 수준에서 일어나는 공명 현상을 이용하여 물질의 구조와 특성을 분석하는 분광법 기술의 기초가 된다.

3. 1. 역학에서의 공명

역학에서의 공명은 어떤 역학계가 특정 진동수(고유진동수)에서 다른 진동수보다 더 큰 진폭으로 진동하는 경향을 말한다. 이때 더 많은 에너지가 전달된다. 모든 물체는 고유진동수를 가지고 있으며, 외부에서 가해지는 진동의 진동수가 이 고유진동수와 일치하거나 가까워질 때 진폭이 급격히 커지는 현상이 바로 공명이다.

우리 주변에서 쉽게 볼 수 있는 예는 그네이다. 그네는 단진자와 유사하게 움직이며 고유한 진동수를 가진다. 그네의 고유진동수에 맞춰 밀어주면 작은 힘으로도 그네를 높이 올릴 수 있지만(진폭 증가), 너무 빠르거나 느리게 밀면 잘 움직이지 않는다.^[2] 이는 그네가 흡수하는 에너지가 그네의 자연스러운 진동과 미는 힘의 진동수가 일치할 때 최대화되기 때문이다. 추시계가 진자의 주기적인 운동을 이용해 시간을 유지하는 것도 공명 현상의 원리를 이용한 예이다.

기계적 공명은 특히 고체역학과 관련하여 중요한 개념이다. 구조물에 가해지는 외부 힘의 진동수가 구조물의 고유진동수와 일치하면 예상치 못한 큰 진동이 발생하여 구조물에 손상을 입히거나 파괴를 초래할 수 있다.

1940년 11월 7일 미국 워싱턴주의 타코마 다리가 약한 바람에도 심하게 뒤틀리다 붕괴한 사건은 오랫동안 공명 현상의 대표적인 예로 알려졌었다.^[17] 당시 다리는 시속 190km의 강풍에도 견디도록 설계되었으나, 시속 70km 정도의 바람에 무너졌다. 그러나 최근 연구에서는 이 현상이 공명보다는 공탄성적 플러터(aeroelastic flutter) 현상에 의한 것으로 밝혀졌다. 그럼에도 불구하고 이 사건은 외부 진동과 구조물의 상호작용의 위험성을 보여주는 중요한 사례로 여겨진다.

이러한 공명 재해를 피하기 위해 건물, 교량 등 구조물을 설계할 때는 공명을 매우 중요하게 고려한다. 기술자들은 구조물의 고유진동수가 주변 환경(바람, 지진 등)이나 내부 설비(모터 등)에서 발생할 수 있는 진동의 진동수와 일치하지 않도록 설계한다. 예를 들어, 지진대에 건설되는 건물은 예상되는 지반 운동의 진동수를 고려하여 설계한다. 또한, 방진 장치나 동조 질량 감쇠기(Tuned Mass Damper, TMD)를 설치하여 특정 진동수의 에너지를 흡수하고 소산시켜 건물의 흔들림을 줄이기도 한다. 대표적인 예로 타이페이 101 건물에는 660ton 무게의 거대한 진자 형태의 동조 질량 감쇠기가 설치되어 바람 등에 의한 건물의 진동을 제어한다.

한편, 역학적 공명은 유용하게 활용되기도 한다. 시계의 시간 측정 메커니즘(기계식 시계의 밸런스 휠, 쿼츠 시계의 수정 진동자)은 정밀한 공명 현상을 이용한 것이다. 달리기 선수의 규칙적인 리듬 역시 다리에 저장된 탄성 에너지와 신체 질량 사이의 공명을 통해 에너지 효율을 높이는 것으로 여겨진다. 또한 악기는 특정 구조(공명통 등)를 이용하여 현이나 관의 진동을 공명시켜 소리를 증폭시키고 특유의 음색을 만들어낸다.

3. 2. 음향학에서의 공명

음향 공진은 인간의 청력 주파수 범위, 즉 소리와 관련된 기계적 공진의 한 분야이다. 사람의 가청 주파수는 보통 20 Hz에서 20,000 Hz (20 kHz) 사이로 제한된다. 많은 물체와 재료는 이 범위 내에 공진 주파수를 가지며, 충격을 받으면 기계적으로 진동하여 주변 공기를 밀어 음파를 생성한다. 이것이 우리가 듣는 많은 타악기 소리의 원천이다.

고유 진동수가 같은 소리굽쇠를 가까이 두면, 한쪽의 진동에 다른 쪽 소리굽쇠가 공기의 매개를 통해 전달된 진동에 반응하여 함께 진동한다. 이는 음향 공명의 대표적인 예시이다. 또한, 성악가가 특정 포도주 잔의 고유 진동수 중 하나에 해당하는 진동수를 가진 큰 소리를 내면, 잔에 큰 진폭의 진동이 형성되어 깨질 수도 있다.^[6]

음향 공진은 악기 제작자에게 중요한 고려 사항이다. 대부분의 음향 악기는 바이올린의 현과 바디, 플루트의 관 길이, 그리고 북의 막의 모양과 장력과 같은 공진기를 사용하기 때문이다. 악기나 발성에서는 발음체(현이나 리드 등)의 진동이 더 큰 물체(상자, 공명실)에 전달되어 공명함으로써 사람이 듣기 좋은 소리로 변환된다. 즉, 발음체만 있을 때보다 청각적으로 더 큰 소리를 얻을 수 있으며, 이는 음색의 변화를 동반한다. 어떤 악기들은 공명을 통해 안정된 음높이를 얻기도 한다.

기타의 경우, 현을 튕기면 현의 진동이 브리지를 통해 상판 전체로 전달되어 공명하고, 이 진동이 측판과 후판으로 퍼져나가 악기 전체가 울리면서 큰 소리를 낸다.

일반적인 어쿠스틱 기타는 상판(top plate)이 공명하기 때문에 들을 수 있을 정도의 음량이 된다. (상판이 없는 일렉트릭 기타를 앰프 없이 연주하면 공명 부분이 없어 매우 작은 소리만 난다.)

피아노는 소리판이라는 목재 판이 공명하여 소리를 증폭시킨다. 연주자가 건반을 누르면 해머가 현을 때리고, 현의 진동이 소리판에 전달되어 공명하면서 큰 음량을 만들어낸다. 업라이트 피아노의 경우 소리판은 뒷면에, 그랜드 피아노의 경우 몸체 아래쪽에 위치한다.

3. 3. 광학에서의 공명

'''광 공진기(optical cavity or optical resonator)'''는 거울의 배열을 통해 빛을 증폭시키는 장치로, 레이저의 주요 구성 요소 중 하나이다.

레이저에서 유도 방출로 생성된 빛은 거의 단일 주파수를 가지며, 이득 매질(gain medium)에 반복적으로 입사하여 높은 강도로 증폭되어 한 방향으로 진행한다. 이때 빛의 증폭에 필요한 빛의 되먹임(Optical feedback) 장치가 바로 광학 공진기이며, 이 장치 역시 공명 현상을 이용한다.^[19]

광 공진기는 빛의 정재파 공진기를 형성하는 거울들의 배열이다. 레이저의 주요 구성 요소로서 이득 매질을 둘러싸고 레이저 빛의 되먹임을 제공할 뿐만 아니라, 광 파라메트릭 발진기와 일부 간섭계에도 사용된다. 공진기 내부에 갇힌 빛은 여러 번 반사되어 특정 공진 주파수에 대한 정재파를 생성한다. 이렇게 생성된 정재파 패턴을 "모드"라고 부른다. 종모드는 주파수만 다르지만, 횡모드는 주파수가 다를 뿐만 아니라 빔의 단면 전체에 걸쳐 강도 패턴도 다르다. 링 공진기와 속삭이는 회랑은 정재파를 형성하지 않는 광 공진기의 예이다.

다양한 공진기 유형은 두 거울의 초점 거리와 거울 사이의 거리에 따라 구분된다. 평면 거울은 정밀하게 정렬하기 어렵기 때문에 자주 사용되지 않는다. 공진기의 기하학적 구조(공진기 유형)는 빔이 안정적으로 유지되도록(즉, 반사를 거듭해도 빔 크기가 계속 커지지 않도록) 선택해야 한다. 또한 공진기 유형은 최소 빔 허리를 갖거나 공진기 내부에 초점이 없도록(그 지점에 강한 빛이 집중되지 않도록) 설계되기도 한다.

광 공진기는 매우 큰 ''Q'' 인자를 갖도록 설계된다.^[7] ''Q'' 인자가 크다는 것은 빔이 감쇠가 거의 없이 많은 횟수 반사될 수 있음을 의미하며, 이는 레이저에서 생성되는 빛의 주파수 선폭이 매우 좁다는 것을 뜻한다.

이 외에도 유도 모드 공진과 표면 플라즈몬 공진과 같은 광학 공진 현상이 있다. 이는 공진 시 이상 반사와 높은 에바네센트 필드를 특징으로 한다. 이 경우 공진 모드는 도파관의 유도 모드 또는 유전체-금속 계면의 표면 플라즈몬 모드이며, 주로 하부 파장 격자에 의해 여기된다.

3. 4. 양자역학에서의 공명

양자역학에서 '''공명'''이란 에너지 기대값이 비슷한 둘 이상의 상태가 선형 결합으로 근사될 수 있을 때, 이 상태들이 양자역학적 공명 상태에 있다고 말한다. 이 아이디어는 베르너 하이젠베르크가 헬륨 원자의 상태를 설명하기 위해 처음 제안했으며, 이후 라이너스 폴링이 화학 결합 전반으로 확장시켰다.

소립자에 관한 가속기를 이용한 실험에서는 특정 충돌 에너지에서 반응 빈도(반응 단면적)가 급격히 커지는 경우가 있다. 이때는 생성된 여러 하드론이나 중간자가 복합된 상태를 형성하고 있다고 생각되며, 이 상태를 공명 상태라고 부른다. 이러한 상태는 매우 짧은 수명을 가지며, 강한 상호작용에 의해 더 수명이 긴 하드론이나 중간자로 붕괴한다.

또한 원자 규모의 물질 공명은 응축 물질 물리학에서 사용되는 여러 분광법 기술의 기초가 된다. 주요 예시는 다음과 같다.

전자 스핀 공명 (ESR)
뫼스바우어 효과
핵자기 공명 (NMR)

3. 5. 분광학에서의 공명

원자 규모에서 물질의 공명 현상은 응축 물질 물리학 연구에 사용되는 여러 분광법 기술의 기초가 된다. 주요 예로는 핵자기 공명(NMR), 전자 스핀 공명(ESR), 뫼스바우어 효과 등이 있다.

영국 버밍햄 HWB-NMR의 핵자기 공명(NMR) 자석. 21.2 테슬라의 강력한 자기장에서 양성자 공명은 900MHz이다.

'''핵자기 공명'''(Nuclear Magnetic Resonance|뉴클리어 마그네틱 레조넌스^영어, NMR)은 외부 자기장이 가해졌을 때 원자핵이 가지는 특정한 양자 역학적 자기적 특성을 관찰하는 물리적 공명 현상이다. 홀수의 핵자를 가진 모든 핵은 고유한 자기 모멘트와 각운동량을 가지고 있어 NMR 현상을 나타낼 수 있다. NMR의 중요한 특징 중 하나는 특정 물질의 공명 주파수가 가해진 자기장의 세기에 정비례한다는 점이다. 이 원리를 이용하여 NMR 분광법은 분자 물리학, 결정 및 비결정질 재료 연구 등 다양한 과학 분야에서 물질의 구조와 성질을 파악하는 데 활용된다. 또한, NMR 현상을 의료 분야에 응용한 대표적인 예가 자기 공명 영상(MRI) 장치이다. MRI는 인체에 자기장을 걸어 몸속 수소 원자핵의 공명 현상을 이용해 X선 없이도 신체 내부를 정밀하게 촬영할 수 있게 해준다.

'''전자 스핀 공명'''(Electron Spin Resonance|일렉트론 스핀 레조넌스^영어, ESR) 또는 '''전자상자성 공명'''(Electron Paramagnetic Resonance|일렉트론 파라마그네틱 레조넌스^영어, EPR)은 NMR과 유사한 분광 기법이지만, 원자핵 대신 짝을 이루지 않은 전자의 스핀을 이용한다. 따라서 ESR은 짝짓지 않은 전자를 가지고 상자성을 띠는 물질에만 적용할 수 있어 NMR보다 적용 대상이 제한적이다.

'''뫼스바우어 효과'''는 고체 상태로 결합된 원자가 감마선 광자를 반동 없이 공명적으로 방출하고 흡수하는 현상이다. 이 효과를 이용한 뫼스바우어 분광법은 특정 원자핵 주변의 화학적 환경에 대한 정보를 얻는 데 사용된다.

4. 선형 시스템에서의 공명

공명은 많은 선형 및 비선형 시스템에서 평형점 주변의 진동으로 나타난다. 시스템이 사인파 형태의 외부 입력에 의해 구동될 때, 시스템의 측정된 출력은 반응하여 진동할 수 있다. 출력의 정상 상태 진동의 진폭과 입력의 진동의 비율을 이득(gain)이라고 하며, 이 이득은 사인파 형태의 외부 입력의 주파수의 함수가 될 수 있다. 특정 주파수에서 이득의 피크는 공명에 해당하며, 여기서 측정된 출력의 진동 진폭이 비례적으로 커진다.

많은 선형 및 비선형 진동 시스템이 평형점 근처에서 조화 진동자로 모델링될 수 있으므로, 구동 및 감쇠된 조화 진동자의 공진 주파수에 대한 유도를 살펴본다. 또한 RLC 회로는 공명과 시스템의 전달 함수, 주파수 응답, 극점 및 영점 간의 관계를 설명하는 데 사용된다. RLC 회로 예제를 기반으로 여러 입력 및 출력을 갖는 고차 선형 시스템에 대한 이러한 관계를 일반화할 수 있다.

감쇠된 용수철에 매달린 질량에 사인파 형태의 외부 힘이 작용하는 경우를 생각해 보자. 뉴턴의 운동 제2법칙은 다음과 같은 형태를 갖는다.

$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = F_0 \sin(\omega t)-kx-c\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$

여기서 ''m''은 질량, ''x''는 평형점으로부터 질량의 변위, ''F''₀는 구동 진폭, ''ω''는 구동 각진동수, ''k''는 용수철 상수, ''c''는 점성 감쇠 계수이다. 이것은 다음과 같은 형태로 다시 쓸 수 있다.

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m} \sin(\omega t)$

여기서

$\omega_0 = \sqrt{k /m}$ 는 진동자의 ''감쇠되지 않은 각진동수'' 또는 ''고유 진동수''라고 한다.
$\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}$ 는 ''감쇠 비''라고 한다.

많은 자료에서는 ''ω''₀를 ''공진 주파수''라고도 한다. 그러나 아래에서 보여주는 것처럼, 변위 ''x''(''t'')의 진동을 분석할 때 공진 주파수는 ''ω''₀와 가깝지만 동일하지는 않다. 일반적으로 공진 주파수는 고유 진동수와 가깝지만 반드시 동일하지는 않다. 다음 섹션의 RLC 회로 예는 동일한 시스템에 대해 다른 공진 주파수의 예를 제공한다.

위 방정식의 일반 해는 초기 조건에 따라 달라지는 과도 현상 해와 초기 조건과 무관하고 구동 진폭 ''F''₀, 구동 주파수 ''ω'', 감쇠되지 않은 각진동수 ''ω''₀, 감쇠 비 ''ζ''에만 의존하는 정상 상태 해의 합이다. 과도 현상 해는 비교적 짧은 시간 안에 감쇠되므로, 공진을 연구하기 위해서는 정상 상태 해를 고려하는 것으로 충분하다.

''x''(''t'')에 대한 정상 상태 해를 구동력에 비례하는 함수로, 유도된 위상 변화 ''φ''를 갖는 것으로 쓸 수 있다.

x(t) = \frac{F_0}{m \sqrt{\left(2\omega\omega_0\zeta\right)^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2}} \sin(\omega t + \varphi)

여기서

\varphi = \arctan\left(\frac{2\omega \omega_0\zeta}{\omega^2 - \omega_0^2} \right) + n\pi.

위상 값은 일반적으로 −180°와 0 사이로 취해지므로, arctan 인수의 양수 및 음수 값 모두에 대해 위상 지연을 나타낸다.

공진은 특정 구동 주파수에서 ''x''(''t'')의 정상 상태 진폭이 다른 구동 주파수에서의 진폭에 비해 클 때 발생한다. 용수철에 매달린 질량의 경우, 공진은 특정 구동 주파수에서 질량의 진동이 용수철의 평형 위치로부터 큰 변위를 갖는 것에 물리적으로 해당한다. ''x''(''t'')의 진폭을 구동 주파수 ''ω''의 함수로 보면, 진폭은 다음 구동 주파수에서 최대가 된다.

\omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - 2\zeta^2}.

''ω''_''r''은 이 시스템의 '''공진 주파수'''이다. 다시 말하지만, 공진 주파수는 진동자의 감쇠되지 않은 각진동수 ''ω''₀와 같지 않다. 그들은 비례하며, 감쇠 비가 0으로 갈 때 같지만, 0이 아닌 감쇠의 경우에는 같은 주파수가 아니다. 그림에서 보듯이, 공진은 공진 주파수 근처의 다른 주파수, ''ω''₀를 포함하여 발생할 수 있지만, 최대 응답은 공진 주파수에서 발생한다.

또한, ''ω''_''r''은

\zeta < 1 / \sqrt{2}

일 때만 실수이고 0이 아니므로, 이 시스템은 조화 진동자가 상당히 저감쇠일 때만 공진할 수 있다. 매우 작은 감쇠 비와 공진 주파수 근처의 구동 주파수를 갖는 시스템의 경우, 정상 상태 진동이 매우 커질 수 있다.

다른 구동 감쇠 조화 진동자의 경우, 운동 방정식이 용수철에 매달린 질량의 예와 정확히 일치하지 않더라도 공진 주파수는

\omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - 2\zeta^2}

로 유지되지만, ''ω''₀ 및 ''ζ''의 정의는 시스템의 물리적 특성에 따라 달라진다. 길이 ''ℓ''이고 작은 변위 각도 ''θ''인 단진자의 경우, 운동 방정식은 다음과 같이 된다.

m\ell\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} = F_0 \sin(\omega t)-mg\theta-c\ell\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}

따라서

$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}},$
$\zeta = \frac{c}{2m}\sqrt{\frac{\ell}{g}}.$

저항 ''R'', 인덕턴스 ''L'', 그리고 정전용량 ''C''를 갖는 저항, 인덕터, 축전기가 직렬로 연결된 회로를 생각해 보자. 이 회로에는 전류 ''i''(''t'')가 흐르고, ''v''_''in''(''t'')의 전압을 갖는 전압원에 의해 구동된다. 회로 주변의 전압 강하는 다음과 같다.

L \frac{di(t)}{dt} + Ri(t) + V(0)+\frac{1}{C} \int_{0}^t i(\tau)d\tau = v_\text{in}(t).

위의 용수철에 매달린 질량의 예에서와 같이 이 방정식의 후보 해를 분석하는 대신, 이 절에서는 이 회로의 주파수 응답을 분석할 것이다. 위 방정식에 라플라스 변환을 적용하면,

sLI(s) + RI(s) + \frac{1}{sC}I(s) = V_\text{in}(s),

여기서 ''I''(''s'')와 ''V''_''in''(''s'')는 각각 전류와 입력 전압의 라플라스 변환이고, ''s''는 라플라스 영역에서의 복소수 주파수 매개변수이다. 항을 재배열하면,

I(s) = \frac{s}{s^2L + Rs + \frac{1}{C}} V_\text{in}(s).

직렬 RLC 회로는 출력 전압을 측정할 수 있는 여러 지점을 제공한다. 출력 전압으로 콘덴서 양단의 전압 강하를 고려해 보자. 위에 표시된 것처럼, 라플라스 영역에서 이 전압은 다음과 같다.

V_\text{out}(s) = \frac{1}{sC}I(s)

또는

V_\text{out}= \frac{1}{LC(s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC})} V_\text{in}(s).

이 회로에 대해 고유 진동수와 감쇠율을 다음과 같이 정의한다.

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},

\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}.

출력 전압과 입력 전압의 비율은 다음과 같다.

H(s) \triangleq \frac{V_\text{out}(s)}{V_\text{in}(s)} = \frac{\omega_0^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2}

''H''(''s'')는 입력 전압과 출력 전압 사이의 전달 함수이다. 이 전달 함수는 두 개의 극점(전달 함수의 분모에 있는 다항식의 근)을 가지는데, 다음과 같다.

s = -\zeta\omega_0 \pm i\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}

영점(전달 함수의 분자에 있는 다항식의 근)은 없다. 또한, ''ζ'' ≤ 1인 경우, 이러한 극점의 크기는 고유 진동수 ''ω''₀이고, ''ζ'' < 1/

\sqrt{2}

인 경우(조화 진동자 예에서 공진 조건), 극점은 실수축보다 허수축에 더 가깝다.

허수축 ''s'' = ''iω''을 따라 ''H''(''s'')를 평가하면, 전달 함수는 이 회로의 주파수 응답을 나타낸다. 마찬가지로, 라플라스 변환 대신 원래 방정식의 푸리에 변환을 취하여 주파수 응답을 분석할 수 있다. 복소수이기도 한 전달 함수는 이득과 위상으로 나타낼 수 있다.

H(i\omega) = G(\omega)e^{i\Phi(\omega)}.

주파수 ''ω''의 정현파 입력 전압은 같은 주파수의 출력 전압을 생성하는데, 이 전압은 ''G''(''ω'')만큼 배율이 조정되고 ''Φ''(''ω'')만큼 위상이 이동한다. 이득과 위상은 보드선도에서 주파수에 대해 그릴 수 있다. RLC 회로의 콘덴서 전압에 대해, 전달 함수 ''H''(''iω'')의 이득은 다음과 같다.

G(\omega) = \frac{\omega_0^2}{\sqrt{\left(2\omega\omega_0\zeta\right)^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2}}.

여기의 이득과 조화 진동자 모델의 진폭 사이의 유사성에 유의한다. 다시 한번, 이득은 '''공진 주파수'''에서 최대화된다.

\omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - 2\zeta^2}.

여기서 공진은 다른 구동 주파수에서의 진폭과 비교하여 콘덴서 양단의 정상 상태 진동에 대한 진폭이 상대적으로 큰 것에 물리적으로 해당한다.

공진 주파수는 항상 위 예시에서 주어진 형태를 가질 필요는 없다. RLC 회로에서, 관심 있는 출력 전압이 인덕터 양단의 전압이라고 가정해 보자. 위에서 보인 바와 같이, 라플라스 영역에서 인덕터 양단의 전압은 다음과 같다.

V_\text{out}(s) = sLI(s),

V_\text{out}(s) = \frac{s^2}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}} V_\text{in}(s),

V_\text{out}(s) = \frac{s^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2} V_\text{in}(s),

이때, ''ω''₀ 와 ''ζ''는 이전 예시와 같은 정의를 사용한다. ''V''_in(''s'')와 인덕터 양단의 새로운 ''V''_out(''s'') 사이의 전달 함수는 다음과 같다.

H(s) = \frac{s^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2}.

이 전달 함수는 이전 예시의 전달 함수와 같은 극점을 가지지만, 분자에는 ''s'' = 0 에서 두 개의 영점을 갖는다. 허수축을 따라 ''H''(''s'')를 평가하면, 그 이득은 다음과 같아진다.

G(\omega) = \frac{\omega^2}{\sqrt{\left(2\omega\omega_0\zeta\right)^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2}}.

축전기 전압을 출력으로 사용하는 이전 이득과 비교하면, 이 이득은 분자에 ''ω''² 의 계수를 가지므로, 이득을 최대화하는 공진 주파수가 다를 것이다. 그 주파수는 다음과 같다.

\omega_r = \frac{\omega_0}{\sqrt{1 - 2\zeta^2}},

따라서, 출력으로 인덕터 양단의 전압을 사용하는 동일한 RLC 회로의 경우, 공진 주파수는 이제 고유 주파수보다 더 크다. 하지만 감쇠 비율이 0으로 갈 때 여전히 고유 주파수에 가까워진다. 출력의 선택에 따라 동일한 회로가 서로 다른 공진 주파수를 가질 수 있다는 것이 모순되는 것은 아니다. 회로 방정식에서 보듯이, 회로 양단의 전압 강하는 세 가지 회로 요소에 나뉘며, 각 요소는 서로 다른 동역학을 갖는다. 축전기의 전압은 시간에 따른 전류를 적분하여 서서히 증가하므로 저주파수에 더 민감하고, 반면에 인덕터의 전압은 전류가 급격하게 변할 때 증가하므로 고주파수에 더 민감하다. 회로 전체는 진동하는 경향이 있는 고유 주파수를 가지지만, 각 회로 요소의 서로 다른 동역학으로 인해 각 요소는 약간 다른 주파수에서 공진한다.

저항 양단의 출력 전압이 관심 대상이라고 가정하자. 라플라스 영역에서 저항 양단의 전압은 다음과 같다.

V_\text{out}(s) = RI(s),

V_\text{out}(s) = \frac{Rs}{L\left(s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}\right)} V_\text{in}(s),

그리고 축전기 예시와 같은 고유 진동수와 감쇠율을 사용하면 전달 함수는 다음과 같다.

H(s) = \frac{2\zeta\omega_0s}{s^2 + 2\zeta\omega_0s+\omega_0^2}.

이 전달 함수는 이전 RLC 회로 예시와 같은 극점을 가지지만, 분자에는 s = 0에서 하나의 영점만 가진다. 이 전달 함수의 이득은 다음과 같다.

G(\omega) = \frac{2\zeta\omega_0\omega}{\sqrt{\left(2\omega\omega_0\zeta\right)^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2}}.

이 이득을 최대화하는 공진 주파수는 다음과 같다.

\omega_r = \omega_0,

그리고 이 주파수에서 이득은 1이다. 따라서 저항 양단의 전압은 회로의 고유 진동수에서 공진하고, 이 주파수에서 저항 양단의 전압 진폭은 입력 전압 진폭과 같다.

일부 시스템은 공진과 같은 방식으로 분석할 수 있는 반공진을 나타낸다. 반공진의 경우, 특정 주파수에서 시스템의 응답 진폭이 비례적으로 매우 작아진다. RLC 회로의 예에서 이 현상은 인덕터와 커패시터를 결합하여 분석함으로써 관찰할 수 있다.

RLC 회로에서 관심 있는 출력 전압이 직렬로 연결된 인덕터와 커패시터 양단의 전압의 합이라고 가정해 보자. 회로 방정식은 세 회로 요소의 전압 합이 입력 전압과 같음을 보여주므로, 인덕터와 커패시터 전압의 합으로 출력 전압을 측정하는 것은 저항 양단의 전압 강하를 ''v''_''in''에서 뺀 것과 같다. 이전 예에서 시스템의 고유 주파수에서 저항 양단의 전압 강하 진폭이 ''v''_''in''의 진폭과 같고, 따라서 인덕터와 커패시터 양단의 전압은 진폭이 0임을 보였다. 전달 함수를 사용하여 이를 보일 수 있다.

인덕터와 커패시터 전압의 합은 다음과 같다.

V_\text{out}(s) = (sL+\frac{1}{sC})I(s),

V_\text{out}(s) = \frac{s^2+\frac{1}{LC}}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}} V_\text{in}(s).

이전 예와 같은 고유 주파수와 감쇠 비를 사용하면 전달 함수는 다음과 같다.

H(s) = \frac{s^2+\omega_0^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2}.

이 전달 함수는 이전 예와 같은 극점을 가지지만 다음과 같은 영점을 갖는다.

s = \pm i\omega_0.

허수축을 따라 전달 함수를 평가하면 이득은 다음과 같다.

G(\omega) = \frac

{\sqrt{\left(2\omega\omega_0\zeta\right)^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2}}.

공진, 즉 이득의 피크를 찾는 대신, 이득이 ''ω'' = ''ω''₀에서 0이 됨을 주목한다. 이는 저항의 전압 분석을 보완한다. 이것을 '''반공진'''이라고 하며, 공진과 반대 효과를 갖는다. 이 주파수에서 비례적으로 큰 출력을 생성하는 대신, 이 출력 선택을 사용하는 이 회로는 이 주파수에서 전혀 응답하지 않는다. 필터링되는 주파수는 전달 함수의 영점과 정확히 일치하며, 이는 위 영점 식에 표시되어 있으며 허수축에 있다.

이 RLC 회로 예시는 공진이 시스템의 주파수 응답과 어떻게 관련되는지 보여준다. 구체적으로, 이 예시는 다음을 보여준다.

시스템의 입력과 출력 사이의 전달 함수의 이득(gain)에서 피크를 찾아 공진 주파수를 찾는 방법 (예: 보드 크기 플롯에서)
단일 시스템의 공진 주파수가 시스템 출력의 선택에 따라 다를 수 있는 방법
시스템의 고유 주파수, 시스템의 감쇠 비율 및 시스템의 공진 주파수 간의 관계
시스템의 고유 주파수와 전달 함수 극점의 크기 간의 관계, 따라서 극점과 공진 주파수 간의 관계
전달 함수의 영점과 주파수의 함수로서 이득의 형태 간의 관계, 따라서 영점과 이득을 최대화하는 공진 주파수 간의 관계
전달 함수의 영점과 반공진 간의 관계

이러한 개념은 일반 선형 시스템의 공진으로 확장될 수 있다.

5. 정상파

물리적 시스템은 자유도의 수만큼 고유진동수를 가질 수 있으며, 각 고유진동수 근처에서 공진할 수 있다. 예를 들어, 자유도가 하나인 용수철에 매달린 질량은 하나의 고유진동수를 가지며, 자유도가 두 개인 이중진자는 두 개의 고유진동수를 가질 수 있다. 시스템의 자유도가 매우 많아지면, 개별적인 진동자들의 집합이 아닌 연속적인 매질로 간주할 수 있다.

이러한 연속적인 시스템에서는 에너지가 파동의 형태로 한 지점에서 다른 지점으로 전달된다. 예를 들어, 기타의 현이나 그릇 속 물의 표면은 서로 연결된 작은 진동자들의 연속체로 볼 수 있으며, 파동은 이 매질을 따라 이동한다. 많은 경우, 이러한 시스템은 특정 주파수에서 공진하며, 이때 고정된 위치에서 진폭이 크게 진동하는 정상파를 형성한다. 정상파 형태의 공진은 악기 소리, 레이저나 전자레인지에 사용되는 전자기 공동, 원자의 에너지 준위 등 우리 주변의 다양한 현상과 관련이 깊다.

정상파 애니메이션 — 왼쪽과 오른쪽에서 이동하는 두 개의 파동이 만나 중첩되어 생성된 정상파(검은색)

고정된 길이의 현을 특정 주파수로 진동시키면, 같은 주파수의 파동이 현을 따라 양 끝으로 전파된다. 이 파동들은 현의 끝에서 반사되어 되돌아오고, 결국 양방향으로 진행하는 파동들이 중첩되어 정상 상태에 도달한다.

특정 주파수에서는 이렇게 중첩된 파동이 마치 현을 따라 이동하지 않는 것처럼 보이는 정상파 패턴을 만든다. 이 정상파에는 전혀 움직이지 않는 고정된 지점인 마디가 존재한다. 마디와 마디 사이에서 현은 진동하며, 마디의 정확히 중간 지점인 반마디(배)에서는 진동의 진폭이 가장 커진다.^[3]

섬네일 모드와 처음 5개의 배음]]

양 끝이 고정된 길이가

L

인 현에서, 시간

t

일 때 위치

x

에서의 현의 수직 변위

y(x,t)

는 다음과 같이 표현될 수 있다.

y(x,t) = 2y_\text{max}\sin(kx) \cos(2\pi ft),

여기서

$y_\text{max}$ 는 정상파를 형성하는 진행파들의 진폭이다.
$k$ 는 파수이다.
$f$ 는 주파수이다.

정상파를 형성하며 공명하는 주파수

f

는 현의 길이

L

및 파동의 속도

v

와 다음과 같은 관계를 가진다.

f = \frac{nv}{2L}, \quad (n = 1, 2, 3, \dots)

여기서 정수

n

은 서로 다른 진동 모드 또는 배음을 나타낸다.

n=1

일 때의 정상파는 기본 주파수에서 진동하며, 이때 파장은 현 길이의 두 배(

\lambda = 2L

)가 된다. 가능한 진동 모드들의 주파수는 기본 주파수의 정수배로 나타나는 조화급수를 형성한다.

6. 복잡계에서의 공명

복잡하게 연결된 조화 진동자들의 네트워크는 네트워크 자체의 위상 구조와 관련된 유한한 수의 고유 공진 주파수를 갖는다. 이러한 시스템에서 공진 주파수는 네트워크의 라플라스 행렬의 고유값과 관련이 있다.

네트워크의 위상 구조를 설명하는 인접 행렬을 ${\bf A}$ 라고 하고, ${\bf L}={\bf K}-{\bf A}$ 를 해당 라플라스 행렬이라고 하자. 여기서 ${\bf K}={\rm diag}\, \{ k_{i}\}$ 는 네트워크 노드의 차수(연결된 링크 수)에 대한 대각 행렬이다.

만약 고전적이고 동일한 조화 진동자 네트워크에서 특정 노드에 사인파 형태의 구동력 $f(t)=F_{0}\sin \omega t$ 가 가해진다면, 네트워크의 전역 공진 주파수는 $\omega_{i}=\sqrt{1+\mu_{i}}$ 로 주어진다. 여기서 $\mu_{i}$ 는 라플라스 행렬 ${\bf L}$ 의 고유값이다.^[4]

7. 공명의 단점과 활용

모든 물체는 각자 쉽게 진동하는 고유한 진동수인 고유진동수를 가지고 있다. 외부에서 진동이 가해질 때, 이 진동수가 물체의 고유진동수와 가까워지면 물체의 진동 폭(진폭)이 급격하게 커지는 현상을 공명 또는 공진이라고 한다. 이는 마치 그네를 그 움직임에 맞춰 밀어주면 점점 더 높이 올라가는 것과 비슷한 원리이다.

공명 현상은 때로는 타코마 다리 붕괴와 같이 예기치 않은 구조물 파괴^[17]나 하울링 같은 소음 문제를 일으키는 등 부정적인 결과를 초래하기도 한다. 하지만 동시에 라디오나 텔레비전의 특정 채널을 수신하거나, 자기공명영상(MRI)을 통해 인체 내부를 촬영하고, 악기가 풍부한 소리를 내는 등 우리 생활과 과학 기술 여러 분야에서 매우 유용하게 활용되고 있다.

7. 1. 공명의 단점

기계적 공명은 특정 조건에서 매우 위험한 결과를 초래할 수 있다. 기계 시스템이 외부에서 가해지는 진동의 진동수가 시스템 자체의 고유 진동 진동수와 일치할 때, 시스템은 다른 진동수에서보다 훨씬 더 큰 에너지를 흡수하게 된다. 이 때문에 다리, 건물, 기차, 항공기 등 부적절하게 건설된 구조물에서는 격렬한 흔들림이 발생하거나 심지어 파괴적인 손상을 입을 수 있다. 이러한 현상을 공명 재해라고 부른다.

공명으로 인한 대표적인 피해 사례는 다음과 같다.

브로턴 현수교 붕괴 (1831년): 1831년 4월 12일, 영국 솔포드 근처의 브로턴 현수교는 다리 위를 행진하던 영국 병사들의 규칙적인 발걸음 때문에 발생한 공명 현상으로 무너졌다.^[8] 이 사건 이후 영국군은 다리를 건널 때 병사들이 발걸음을 맞춰 걷지 않고 보폭을 흩뜨리도록 지침을 내렸다. 이는 행진으로 인한 주기적인 힘이 다리의 고유 진동수와 일치하여 위험할 정도로 큰 진폭의 진동을 유발하는 것을 막기 위함이다.^[9]^[10]
타코마 네로즈 교 붕괴 (1940년): 1940년 11월 7일, 미국 워싱턴 주의 타코마 네로즈 교는 약한 바람에도 불구하고 심하게 뒤틀리다가 결국 붕괴되었다. 이 사건은 공명 현상의 위험성을 보여주는 고전적인 사례로 자주 언급된다.^[11] 다만, 로버트 H. 스캔런(Robert H. Scanlan) 등 일부 학자들은 이 붕괴가 단순한 공명보다는 다리와 바람 사이의 복잡한 상호작용인 항공탄성 플러터(aeroelastic flutter) 현상, 즉 일종의 자기진동에 의해 발생했다고 주장하기도 한다.
일상 속 문제: 엔진이 공회전할 때 버스 차체가 덜거덕거리는 소리를 내는 것도 엔진의 진동수가 차체의 고유 진동수와 가까워 공진이 발생하는 흔한 예이다.

이러한 공명 재해를 피하는 것은 모든 건물, 탑, 다리 건설 프로젝트에서 매우 중요한 문제이다. 기술자들은 구조물의 고유 진동수가 주변 환경(바람, 지진 등)이나 내부 설비(모터, 엔진 등)에서 발생할 수 있는 진동의 진동수와 일치하지 않도록 설계한다. 또한, 방진 장치를 설치하여 공명 진동수를 흡수하고 에너지를 분산시키거나, 타이페이 101 건물처럼 660ton 무게의 거대한 추(동조 질량 감쇠기)를 설치하여 건물의 흔들림을 상쇄하는 방법을 사용하기도 한다. 특히 지진이 잦은 지역의 건물은 예상되는 지반 운동의 진동수를 고려하여 내진 설계를 적용한다.

7. 2. 공명의 활용

모든 물체는 각자 쉽게 진동하는 고유한 진동수인 고유진동수를 가지고 있다. 외부에서 진동이 가해질 때, 이 진동수가 물체의 고유진동수와 가까워지면 물체의 진동 폭(진폭)이 급격하게 커지는 현상을 공명 또는 공진이라고 한다.

우리 주변에서 볼 수 있는 공명 현상의 대표적인 예는 놀이기구인 '''그네'''의 움직임이다. 사람이 타고 있는 그네를 밀 때, 그네가 자연스럽게 왔다 갔다 하는 고유 진동수에 맞춰 힘을 가하면 그네는 점점 더 높이 올라간다. 이는 그네를 진자 운동으로 생각했을 때, 진자의 고유 진동수와 같은 주기로 힘을 가하면 진폭이 커지는 원리와 같다.

'''라디오 주파수'''를 맞추거나 '''TV 채널'''을 바꾸는 것도 공명 현상을 이용한 것이다. 라디오나 TV 내부 회로의 고유 진동수를 방송국에서 보내는 전파의 진동수와 일치시키는 과정이 바로 공명이다. 이를 통해 특정 방송국의 신호만을 선택적으로 수신할 수 있다.
1940년 11월 7일, 미국 워싱턴주의 '''타코마 해협 현수교'''가 무너진 사건은 공명 현상의 위험성을 보여주는 사례로 자주 언급된다. 시속 190km의 강풍에도 견디도록 설계되었지만, 실제로는 시속 약 70km 정도의 바람에 의해 발생한 진동 때문에 다리가 크게 흔들리다가 결국 붕괴했다. 초기에는 다리의 고유 진동수와 바람에 의한 진동수가 일치하여 공명이 발생한 것으로 알려졌으나, 최근 연구에서는 공명보다는 공탄성 플러터(aeroelastic flutter)라는 현상이 주된 원인으로 밝혀졌다.^[17]
'''자기공명영상 장치(MRI)'''는 공명 현상을 의학적으로 활용한 대표적인 예이다. X선 없이 인체 내부를 선명하게 촬영하는 MRI는 우리 몸의 약 70%를 차지하는 물(H₂O) 분자 속 수소 원자핵을 공명시키는 원리를 이용한다. 강한 자기장 속에서 특정 진동수의 전자기파를 몸에 쏘면 수소 원자핵이 에너지를 흡수했다가 다시 방출하는데, 이때 방출되는 에너지의 시간 차이를 측정하여 정상 세포와 질병 세포를 구분하고 몸속 상태를 파악한다.

기계적 공명은 기계 시스템이 외부에서 가해지는 진동의 진동수가 시스템 자체의 고유 진동수와 일치할 때 더 큰 진폭으로 진동하는 현상을 말한다. 이는 다리, 건물, 기차, 항공기 등 구조물에서 예기치 않은 큰 흔들림이나 심지어 파괴를 일으킬 수 있다. 따라서 기술자들은 구조물을 설계할 때 모터나 다른 진동 부품의 작동 진동수가 구조물의 고유 진동수와 일치하지 않도록 주의하여 공명 재해를 피해야 한다.

공명 재해를 막기 위해 건물이나 다리 건설 시에는 방진 장치를 설치하여 공명 진동수를 흡수하고 에너지를 분산시키는 방법을 사용한다. 예를 들어, 타이베이 101 건물에는 660ton 무게의 거대한 동조 질량 감쇠기(Tuned Mass Damper)가 설치되어 바람이나 지진에 의한 건물의 흔들림을 줄여준다. 또한, 구조물 자체의 고유 진동수를 일상적으로 발생하기 어려운 범위로 설계하기도 한다. 특히 지진이 잦은 지역의 건물은 예상되는 지반 운동의 진동수를 고려하여 건설된다.

시계는 균형추, 진자, 또는 쿼츠 결정의 기계적 공명을 이용하여 정확한 시간을 측정한다.

달리기 선수의 규칙적인 움직임은 다리에 저장된 탄성 에너지와 선수 질량 사이의 공명을 통해 에너지를 효율적으로 사용하는 방식이라는 연구도 있다.

국제 우주 정거장(ISS)의 궤도를 조정할 때도 공명 현상이 예기치 않게 발생한 사례가 있다. 2009년 1월 14일, 즈베즈다 모듈의 로켓 엔진을 제어하는 자동조종장치의 설정 오류로 인해 엔진이 0.5 Hz의 주파수로 점점 더 크게 진동하는 현상이 약 142초간 발생했으며, 이 모습이 비디오로 촬영되기도 했다.^[5]
음향 공명은 사람이 들을 수 있는 소리 주파수(일반적으로 20 Hz ~ 20,000 Hz) 범위에서 일어나는 기계적 공명이다. 많은 물체는 이 범위 내에 고유 진동수를 가지고 있어 충격을 받으면 진동하며 주변 공기를 밀어 소리파를 만들어낸다. 타악기 소리의 대부분은 이러한 원리로 발생한다.

음향 공명은 악기 제작에 매우 중요하다. 대부분의 어쿠스틱 악기는 공명기를 사용하는데, 예를 들어 바이올린의 현과 몸체, 플루트의 관 길이, 북의 막 모양과 장력 등이 공명기 역할을 하여 소리를 증폭시키고 독특한 음색을 만들어낸다. 기타의 경우, 현의 진동이 브리지를 통해 상판 전체로 전달되어 공명하면서 우리가 들을 수 있는 큰 소리가 난다. 피아노는 현의 진동이 악기 뒤쪽의 넓은 소리판에 전달되어 공명함으로써 풍부한 음량을 만들어낸다.

음향 공명은 때로 물체를 파괴할 수도 있다. 특정 주파수의 소리로 유리잔을 깨는 것이 대표적인 예이지만, 실제로는 정확한 공명 주파수를 맞추고 충분한 에너지를 전달하기 어려워 쉽게 성공하기는 힘들다.^[6]
전기 공명은 특정 주파수(공진 주파수)에서 전기 회로의 임피던스(교류 저항)가 최소(직렬 회로) 또는 최대(병렬 회로)가 되는 현상이다. 축전기와 코일을 이용한 공진 회로(LC 회로)가 대표적이며, 라디오, TV, 휴대전화 등 무선 통신의 송신 및 수신 과정에서 특정 주파수의 신호를 선택하거나 걸러내는 데 필수적으로 사용된다.
광 공명은 빛이 거울 등으로 구성된 광 공진기 안에서 여러 번 반사

8. Q 인자 (품질 계수)

'''Q값''' 또는 '''품질 계수'''는 무차원 매개변수로, 진동체 또는 공진기의 감쇠 정도를 나타내며, 공진기의 대역폭을 중심 주파수와 비교하여 특징짓는다.

높은 Q값은 저장된 에너지에 대한 에너지 손실률이 낮다는 것을 의미하며, 즉 시스템의 감쇠가 적다는 것을 뜻한다. 이 매개변수는 다음 방정식으로 정의된다.

$Q =2\pi \text{ } \frac{ \text{ 최대 저장 에너지}}{ \text{ 공진 시 한 주기당 손실되는 총 에너지}}$ ^[12]

Q값이 높을수록 공진 주파수에서 진폭이 커지고, 공진 주변의 주파수 범위인 대역폭은 작아진다. 전기 공진에서, 라디오 수신기의 높은 Q값 회로는 동조하기는 더 어렵지만, 선택도가 더 높아 다른 방송국의 신호를 걸러내는 데 더 효과적이다. Q값이 높은 발진기는 더 안정적이다.^[12]

일반적으로 Q값이 낮은 시스템의 예로는 도어 클로저(Q=0.5)가 있다. 반면, Q값이 높은 시스템의 예로는 음차(Q=1000), 원자 시계 및 레이저(Q≈10¹¹) 등이 있다.^[13]

9. 보편 공진 곡선

공진의 정확한 응답은, 특히 공진 주파수에서 멀리 떨어진 주파수에 대해서는 물리적 시스템의 세부 사항에 따라 달라지며, 단순 조화 진동자에 대해 설명된 것처럼 공진 주파수에 대해 완전히 대칭적이지는 않다.

그러나 공진 주파수가 ω₀인 약하게 감쇠된 선형 진동기의 경우, 시스템이 ω 주파수로 구동될 때 진동의 강도 I는 일반적으로 공진 주파수에 대해 대칭적인 형태로 근사될 수 있다. 이 근사식은 로렌츠 함수 또는 코시 분포 형태를 따르며, 강도 `I(ω)`는 `(ω - ω₀)² + (Γ/2)²` 분의 1에 비례하는 형태로 나타낼 수 있다. 여기서 `I`는 강도, `ω`는 구동 주파수, `ω₀`는 공진 주파수, `Γ`는 감쇠 관련 매개변수(선폭)이다.

이때 감수율 `χ(ω)`는 주파수 공간에서 진동자의 진폭 `x(ω)`를 구동력 `F(ω)`와 연결하며(`x(ω) = χ(ω)F(ω)`), 강도 `I`는 진동 진폭의 제곱으로 정의된다. `Γ`는 진동자의 감쇠에 따라 달라지는 매개변수로, 공진의 '''선폭'''(linewidth|라인위스^eng)으로 알려져 있다. 강하게 감쇠된 진동기는 넓은 선폭을 가지는 경향이 있으며, 공진 주파수 주변의 더 넓은 범위의 구동 주파수에 응답한다. 선폭은 공진의 예리함을 측정하는 '''Q 인자'''와 반비례 관계에 있다.

보편 공진 곡선. 공진 회로의 정규화된 응답에 대한 대칭 근사값이다. 가로축 값은 중심 주파수에 대한 편차를 나타내고(중심 주파수를 2Q로 나눈 값으로 표현), 세로축은 상대 진폭과 위상(사이클 단위)을 나타낸다. 점선은 Q 값이 5인 실제 2극 회로의 응답 범위를 비교하여 보여준다. Q 값이 높을수록 보편 곡선과의 편차가 줄어든다. 십자 표시는 3dB 대역폭(이득 0.707, 위상 변이 45° 또는 0.125 사이클)의 가장자리를 표시한다.

무선 공학 및 전자 공학에서 이러한 근사적인 대칭 응답 곡선은 '''보편 공진 곡선'''(universal resonance curve|유니버설 레조넌스 커브^eng)으로 알려져 있으며, 1932년 프레데릭 E. 테르만이 다양한 중심 주파수와 Q 값을 가진 무선 회로의 근사 분석을 단순화하기 위해 도입한 개념이다.^[18]

참조

_[1] 서적 Classical Mechanics University Science Books 2023-01-22
_[2] 서적 Of Clocks and Time https://books.google[...] Morgan and Claypool 2018
_[3] 비디오 미디어 String Resonance http://digitalsounda[...] Digital Sound & Music 2020-08-22
_[4] 학술지 Notes on resonant and synchronized states in complex networks 2023
_[5] 뉴스 Shaking on Space Station Rattles NASA http://www.nbcnews.c[...] 2009-02-04
_[6] 웹사이트 50. Breaking Glass with Sound http://demoweb.physi[...] University of California, Los Angeles 2021-01-01
_[7] 웹사이트 'Q' factor, quality factor, cavity, resonator, oscillator, frequency standards http://www.rp-photon[...] 2021-01-01
_[8] 서적 Vibration Cambridge University Press, London
_[9] 뉴스 Broughton Bridge is falling down! 1975-04-12
_[10] 서적 Differential Equations and Their Applications: An Introduction to Applied Mathematics https://books.google[...] Springer-Verlag 2009-05-30
_[11] 뉴스 Science Busts The Biggest Myth Ever About Why Bridges Collapse https://www.forbes.c[...] 2017-05-24
_[12] 웹사이트 Frequency response: Resonance, Bandwidth, Q factor https://ocw.mit.edu/[...] Massachusetts Institute of Technology 2021-01-03
_[13] 웹사이트 Time and Frequency from A to Z, Q to Ra https://www.nist.gov[...] National Institute of Standards and Technology (NIST) 2021-01-01
_[14] 서적 共鳴
_[15] 서적 共鳴
_[16] 웹사이트 NMR https://atomica.jaea[...]
_[17] 뉴스 공명으로 빌딩이 무너진다? http://www.hani.co.k[...]
_[18] 서적 The Feynman lectures on physics Addison-Wesley
_[19] 서적 바이오의 광학 전남대학교 출판부 2008-01-20

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