닮음 (기하학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 중심닮음 (Homothety)
3. 성질
- 3.1. 삼각형의 닮음
4. 예시
5. 닮음의 활용
6. 자기 닮음
7. 심리학
참조

1. 개요

닮음은 기하학에서 도형의 모양은 같지만 크기는 다를 수 있는 관계를 의미한다. 중심과 비로 정의되는 중심닮음과 같은 변환을 통해 도형의 크기를 확대 또는 축소할 수 있다. 닮음은 각의 크기를 보존하고, 변의 길이의 비례 관계를 가지며, 삼각형의 닮음 조건(SSS, SAS, AA)을 통해 판별할 수 있다. 닮음은 기하학, 삼각법, 거리 공간 등 다양한 분야에서 활용되며, 자기 닮음과 같은 개념도 존재한다.

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닮음 (기하학)
기본 정보
닮음인 두 삼각형
정의	크기는 달라도 모양이 같은 두 도형 사이의 관계
기호	∼
영어	Similarity
닮음 조건
삼각형	세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다. (SSS 닮음) 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같다. (SAS 닮음) 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다. (AA 닮음)
직각삼각형	빗변의 길이의 비와 다른 한 변의 길이의 비가 같다. (RHS 닮음) 한 예각의 크기가 같다. (AA 닮음)

2. 정의

닮음 또는 닮음 변환은 유클리드 공간에서 거리를 일정 비율로 변화시키는 함수이다. 두 점 $x$ 와 $y$ 에 대해, 닮음 변환 $f$ 는 다음을 만족한다.

: $d(f(x),f(y)) = r\, d(x,y)$

여기서 $d(x, y)$ 는 $x$ 와 $y$ 사이의 유클리드 거리이고, $r$ 은 양의 실수로 닮음비, 확대 계수, 또는 닮음 계수라고 불린다.^[12] 만약 $r=1$ 이면, 이 변환은 등거리 변환(강체 변환)이 된다.

닮음 변환은 함수 $f : \R^n \to \R^n$ 로서, 다음과 같은 형태를 가진다.

: $f(x) = rAx + t$

여기서 $A$ 는 $n \times n$ 직교 행렬이고, $t$ 는 병진 벡터이다.

닮음은 평면, 선, 수직, 평행, 중점, 거리 간 부등식 및 선분을 보존한다.^[12] 각도는 보존하지만, 방향은 보존할 수도 있고 변경할 수도 있다. 방향을 보존하는 닮음은 '직접 닮음', 방향을 바꾸는 닮음은 '반대 닮음'이라고 한다.^[12]

유클리드 공간의 닮음들은 합성 연산에 대해 군을 이루며, 이를 닮음군 $S$ 라고 한다.^[12] 직접 닮음은 $S$ 의 정규 부분군을 형성하고, 등거리 변환의 유클리드 군 $E(n)$ 도 정규 부분군을 형성한다. 닮음군 $S$ 는 아핀 군의 부분군이므로, 모든 닮음은 아핀 변환이다.

복소 평면을 이용하면, 2차원 닮음 변환은 복소수 연산으로 표현할 수 있다.

$f(z) = az + b$ (직접 닮음)
$f(z) = a\overline z + b$ (반대 닮음)

여기서

a

와

b

는 복소수이고,

a \ne 0

이다. 만약

|a| = 1

이면, 이 닮음은 등거리 변환이다.

일반적인 거리 공간

(X, d)

에서, 닮음은 모든 거리를 동일한 양의 스칼라

r

(수축 인자)로 곱하는 함수

f

이다. 즉,

:

d(f(x),f(y)) = r d(x,y)

를 만족한다.

2. 1. 중심닮음 (Homothety)

중심닮음(호모세티)은 한 점(중심)을 기준으로 도형을 확대 또는 축소하는 변환이다. 점

\mathbf x_0\in\mathbb R^n

와 실수

k\in\mathbb R

가 주어졌을 때, 중심

\mathbf x_0

및 비

k

의 중심닮음은 다음과 같은 함수로 정의된다.

:

H_{\mathbf x_0,k}\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n

:

H_{\mathbf x_0,k}\colon\mathbf x\mapsto\mathbf x_0+k(\mathbf x-\mathbf x_0)\qquad\forall\mathbf x\in\mathbb R^n

닮음이 정확히 하나의 불변점(변하지 않는 점)을 가지면, 이 점을 닮음의 "중심"이라고 부른다.

예를 들어, 어떤 닮음은 정다각형을 동심원으로 축소시키는데, 이 동심원의 꼭짓점은 이전 다각형의 각 변 위에 있다. 이 과정이 반복되면 초기 다각형은 미장 아빔의 정다각형으로 확장된다. 이 닮음의 중심은 연속적인 다각형들의 공통 중심이다. 빨간색 선분은 초기 다각형의 꼭짓점과 그 꼭짓점의 이미지를 연결하고, 그 다음 꼭짓점의 다음 이미지로 연결되어 나선을 형성한다.

또 다른 예시는 분해된 닮음을 회전과 호모테티로 보여주는 것이다. 닮음과 회전은 동일한 +135도 각도를 가지며, 닮음과 호모테티는 동일한 비율

\tfrac{\sqrt 2}{2}

을 갖는다. 점 는 세 변환(회전, 호모테티, 닮음)의 공통 중심이다.

3. 성질

닮음은 각의 크기를 보존하며, 대응하는 변의 길이 비는 일정하다(닮음비). 닮음비의 제곱은 넓이의 비와 같고, 닮음비의 세제곱은 부피의 비와 같다. 모든 닮음은 중심닮음과 등거리 변환의 합성으로 나타낼 수 있다.^[12]

닮음의 개념은 세 변보다 많은 다각형으로 확장된다. 임의의 두 닮은 다각형이 주어졌을 때, 동일한 순서로 취한 대응변은 비례하고 동일한 순서로 취한 대응각은 크기가 같다. 주어진

n

에 대해, 모든 정

n

각형은 닮음이다.

닮은 도형의 면적 사이의 비율은 해당 도형의 대응하는 길이의 비율의 제곱과 같다. 예를 들어, 정사각형의 변 또는 원의 반지름이 3배가 되면 면적은 9배(3의 제곱)로 증가한다. 닮은 삼각형의 높이는 대응하는 변과 같은 비율을 갖는다.

닮은 도형의 부피 사이의 비율은 해당 도형의 대응하는 길이의 비율의 세제곱과 같다. 예를 들어, 정육면체의 모서리 또는 구의 반지름이 3배가 되면 부피는 27배(3의 세제곱)로 증가한다.

갈릴레오의 제곱-세제곱 법칙은 닮은 입체에 관한 것이다. 입체 사이의 닮음비(대응하는 변의 비율)가

k

이면, 입체의 표면적의 비율은

k^2

가 되고, 부피의 비율은

k^3

가 된다.

도형이 닮음이라는 것은, 간단히 말해 "모양"(shape)이 같고 "크기"(scale)가 같지 않아도 된다는 것이다. 실물을 지도에 그리는 것에 비유할 수 있다(실물을 어떤 비율로 축소).

닮은 도형의 대응하는 선분(변)의 길이의 비는 일정하며, 이를 닮음비라고 한다. 특히, 닮음비가 1:1인 도형은 합동이다. 어떤 도형을 r배하여 다른 도형과 일치하면, 그들의 닮음비는

1:r

이 된다. 닮은 도형의 넓이비는 닮음비의 제곱, 닮은 입체의 부피비는 닮음비의 세제곱이 된다. 예를 들어, 닮은 입체의 닮음비가

1:2:3

이면, 겉넓이의 비는

1:4:9

이고, 부피비는

1:8:27

이 된다.

3. 1. 삼각형의 닮음

두 삼각형의 닮음 조건은 다음과 같다.

'''변변변 닮음''' (SSS 닮음): 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다. 즉,

:

\textstyle\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}

이다.

'''변각변 닮음''' (SAS 닮음): 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같다. 즉,

:

\textstyle\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}

이며

\angle C=\angle C'

이다.

'''각각 닮음''' (AA 닮음): 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다. 즉,

:

\angle A=\angle A'

이며

\angle B=\angle B'

이다.

닮음 기호는 Similarity의 라틴어 머리글자 S를 옆으로 눕힌 기호(∽)를 사용한다. 예를 들어, △ABC와 △A'B'C' 가 닮음이면,

\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'

와 같이 표기한다.

삼각형의 닮음 조건은 다음과 같이 간단하게 설명할 수도 있다.

두 각의 크기가 같음 (AA): 두 쌍의 각이 각각 같으면, 두 삼각형은 서로 닮음이다.
세 변의 길이의 비가 같음 (SSS): 세 쌍의 변의 길이의 비가 서로 같으면, 두 삼각형은 서로 닮음이다.
두 변의 길이의 비와 끼인각의 크기가 같음 (SAS): 두 쌍의 변의 길이의 비와 그 사이의 각이 각각 같으면, 두 삼각형은 서로 닮음이다.

4. 예시

다음은 서로 닮음인 도형의 예시이다.

모든 정 ''n''각형은 닮음이다.
모든 선은 합동이면서 동시에 닮음이다.
모든 선분은 닮음이다.
모든 원은 닮음이다.
모든 포물선은 닮음이다.^[8]
특정 이심률을 갖는 쌍곡선은 닮음이다.^[9]
특정 이심률을 갖는 타원은 닮음이다.^[9]
모든 현수선은 닮음이다.
서로 다른 밑을 갖는 로그 함수의 그래프는 모두 닮음이다.
서로 다른 밑을 갖는 지수 함수의 그래프는 모두 닮음이다.
모든 로그 나선은 자기 닮음이다.

닮음인 도형은 적당한 비율로 확대 또는 축소하고, 평행이동, 회전, 대칭이동을 하면 다른 도형과 겹쳐진다. 이때 양쪽 도형은 모양이 같지만 크기와 방향 (평면상에서는 앞뒤)은 다르다.

다음은 닮음이라고 할 수 없는 도형의 예시이다.

위 도형들은 적당한 조건을 추가하면 각각 닮음이 된다.

5. 닮음의 활용

닮음은 일상생활과 수학, 과학의 여러 분야에서 활용된다.

지도 제작: 실제 지형을 축소하여 지도를 만들 때 닮음이 사용된다. 축척을 이용하여 실제 거리와 지도 상의 거리 비율을 나타낸다.
사진: 사진기는 렌즈를 통해 들어오는 빛을 모아 필름이나 이미지 센서에 실제 모습과 닮은 상을 맺히게 한다.
모형 제작: 실제 건물이나 자동차, 비행기 등을 축소한 모형을 만들 때 닮음이 사용된다.
삼각 측량: 삼각 측량은 삼각형의 닮음을 이용하여 멀리 떨어진 산의 높이나 강의 폭 등을 측정하는 방법이다.
기하학: 삼각형의 닮음 조건(AAA, SAS, SSS 닮음)을 이용하여 도형의 성질을 증명하거나 문제를 해결한다.
삼각법: 삼각법은 직각삼각형의 닮음을 이용하여 삼각비(사인, 코사인, 탄젠트)를 정의하고, 이를 통해 각도와 변의 길이 사이의 관계를 나타낸다.
거리 공간: 닮음은 일반적인 거리 공간으로 확장될 수 있다. 이 약한 형태의 닮음성은 거리가 위상 기하학적 자기 닮음 집합 상의 유효 저항인 경우 등에 사용된다.
위상수학: 위상수학에서, 거리 대신 '''유사성'''을 정의함으로써 거리 공간을 구성할 수 있다.

5. 1. 기하학

두 삼각형 △''ABC''와 △''A'B'C'''는 대응하는 각의 크기가 같을 때 닮음이며, 이는 대응하는 변의 길이가 비례할 때만 닮음임을 의미한다.^[1] 합동인 각을 갖는 두 삼각형(''등각 삼각형'')은 닮음임을 보일 수 있는데, 즉, 대응하는 변이 비례함을 증명할 수 있다. 이것은 AAA 닮음 정리로 알려져 있다. "AAA"는 기억 보조 장치인데, 세 개의 A 각각은 "각"을 나타낸다. 이 정리로 인해, 일부 저자들은 닮음 삼각형의 정의를 대응하는 세 각이 합동이기만 하면 되도록 단순화한다.^[1]

두 삼각형이 닮음이기 위한 필요충분 조건은 다음과 같다.

두 쌍의 각이 합동이다.^[2] 이는 유클리드 기하학에서 세 각 모두가 합동임을 의미한다.
만약 ∠''BAC''의 크기가 ∠''B'A'C',''와 같고 ∠''ABC''의 크기가 ∠''A'B'C',''와 같다면, 이는 ∠''ACB''의 크기가 ∠''A'C'B'''와 같고 삼각형이 닮음임을 의미한다.

모든 대응변이 비례한다:^[3]
\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}}

이는 한 삼각형 (또는 그 거울상)이 다른 삼각형의 확대라고 말하는 것과 같다.

두 쌍의 변이 비례하고, 이 변들 사이에 끼인 각이 합동이다:^[4]
\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}, \quad \angle ABC \cong \angle A'B'C'.

이것은 SAS 닮음 조건으로 알려져 있다. "SAS"는 기억 보조 장치인데, 두 개의 S 각각은 "변"을 나타내고, A는 두 변 사이의 "각"을 나타낸다.

기호로, 두 삼각형 △''ABC''와 △''A'B'C'''의 닮음과 비닮음은 다음과 같이 쓴다:^[5]

△''ABC'' ~ △''A'B'C'''
△''ABC'' ≁ △''A'B'C'''

유클리드 기하학에서 닮음 삼각형과 관련된 몇 가지 기본적인 결과가 있다.

임의의 두 정삼각형은 닮음이다.
세 번째 삼각형과 모두 닮음인 두 삼각형은 서로 닮음이다 (추이성 of 닮음).
닮음 삼각형의 대응하는 높이는 대응하는 변과 같은 비율을 갖는다.
두 직각 삼각형은 빗변과 다른 한 변의 길이가 같은 비율을 가질 경우 닮음이다.^[6] 이 경우, 예컨대 직각 삼각형이 같은 크기의 예각을 갖거나, 다리(변)의 길이가 같은 비율을 갖는 것과 같은 몇 가지 동등한 조건이 있다.

삼각형 △''ABC''와 선분 가 주어지면, 자 와 컴퍼스를 사용하여 △''ABC'' ~ △''DEF''를 만족하는 점 ''F''를 찾을 수 있다. 이 조건을 만족하는 점 ''F''가 존재한다는 진술은 윌리스의 공준^[7]이며, 유클리드의 평행선 공준과 논리적으로 동등하다. 쌍곡 기하학 (윌리스의 공준이 거짓인 경우)에서 닮음 삼각형은 합동이다.

조지 데이비드 비르크호프에 의해 주어진 유클리드 기하학의 공리적 처리에서 (비르크호프의 공리 참조) 위에 주어진 SAS 닮음 조건은 유클리드의 평행선 공준과 SAS 공리를 모두 대체하는 데 사용되어 힐베르트의 공리를 극적으로 단축할 수 있게 했다.

닮음 삼각형은 유클리드 기하학에서 많은 합성 (좌표를 사용하지 않음) 증명의 기초를 제공한다. 이러한 방식으로 증명할 수 있는 기본적인 결과로는 각의 이등분선 정리, 기하 평균 정리, 체바의 정리, 메넬라우스 정리 및 피타고라스 정리가 있다. 닮음 삼각형은 또한 삼각법의 기초를 제공한다.

5. 2. 삼각법

닮음 삼각형은 삼각법의 기초를 제공한다.^[4]

5. 3. 거리 공간

닮음은 일반적인 거리 공간으로 확장될 수 있다. 일반적인 거리 공간에서, 엄밀한 의미의 '''닮음'''은 거리 공간 ''X''에서 자신으로의 사상으로서, 임의의 거리를 특정 동일한 스칼라 ''r'' 배로 하는 것을 말한다. 이때 스칼라 r은 f의 축소 인자라고 불린다. 임의의 두 점 ''x'', ''y''에 대해, 다음이 성립한다.

:

d(f(x),f(y))=rd(x,y)

이로부터 조건이 약한 (광의의) 닮음성은, 예를 들어 사상 ''f''가 쌍립시츠 연속이고, 스칼라 ''r''이 (두 점을 충분히 가깝게 만드는) 극한에서의 축소 인자로서, 다음을 만족한다는 조건으로 주어진다.

:

\lim \frac{d(f(x),f(y))}{d(x,y)} =r

이 약한 형태의 닮음성은 거리가 위상 기하학적 자기 닮음 집합 상의 유효 저항인 경우 등에 사용된다.

거리 공간의 자기 닮음 부분 집합은, ''X''의 부분 집합 ''K''로서, 축소 인자 를 갖는 닮음 변환 의 유한 집합으로, 다음을 만족하는 유일한 ''X''의 컴팩트 집합이다.

:

\bigcup_{s\in S} f_s(K)=K.

이러한 자기 닮음 집합은 차원 를 갖는 자기 닮음 측도 를 가지며, 다음 공식으로 주어집니다.

:

\sum_{s\in S} (r_s)^D=1

이는 종종 (항상 그런 것은 아님) 집합의 하우스도르프 차원 및 패킹 차원과 같다. 사이의 중첩이 "작은" 경우, 측도에 대한 다음의 간단한 공식이 있다.

:

\mu^D(f_{s_1}\circ f_{s_2} \circ \cdots \circ f_{s_n}(K)) = (r_{s_1}\cdot r_{s_2}\cdots r_{s_n})^D.\,

자기 닮음 집합의 예시로는 시에르핀스키 삼각형이 있으며, 이 삼각형은 자기 닮음 차원이

\tfrac{\log 3}{\log 2} = \log_2 3,

으로, 대략 1.58이다.

:

\begin{align}z' &= 0.1[(4+i)z+4] \\z' &= 0.1[(4+7i)z^* + 5 - 2i]\end{align}

]]

5. 4. 위상수학

위상수학에서, 거리 대신 '''유사성'''을 정의함으로써 거리 공간을 구성할 수 있다. 유사성은 두 점이 가까울수록 값이 커지는 함수이다. ('''비유사성'''의 척도인 거리와는 반대로, 점이 가까울수록 거리는 작아진다.)

유사성의 정의는 어떤 속성을 원하는지에 따라 다를 수 있다. 기본적인 일반적 속성은 다음과 같다.

양의 값 정의: 모든 a, b에 대해, S(a, b) ≥ 0
한 요소 자체의 유사성 ('''자기 유사성''')에 의해 최대화: S (a, b) ≤ S (a, a) 이고, 모든 a, b에 대해 S (a, b) = S (a, a)는 a = b와 필요충분 조건이다.

다음과 같은 더 많은 속성을 사용할 수 있다.

'''반사성''': 모든 a, b에 대해, S (a, b) = S (b, a)
'''유한성''': 모든 a, b에 대해, S(a, b) < ∞.

최댓값은 종종 1로 설정된다 (유사성에 대한 확률론적 해석 가능성을 생성).

6. 자기 닮음

자기 닮음은 패턴이 자기 자신과 자명하지 않게 닮음인 경우를 의미한다. 예를 들어, {..., 0.5, 0.75, 1, 1.5, 2, 3, 4, 6, 8, 12, ...} 와 같은 형태의 숫자 집합은 모든 정수 i에 대해 자기 유사성을 갖는다. 이 집합을 로그 스케일에 표시하면 1차원 병진 대칭을 갖는다. 이 숫자 중 하나의 로그에 2의 로그를 더하거나 빼면 다른 숫자 중 하나의 로그가 생성된다. 주어진 숫자 집합 자체에서 이는 숫자에 2를 곱하거나 나누는 유사 변환에 해당한다. 자기 닮음 집합(프랙탈)은 자기 유사성의 대표적인 예시이다.

일반적인 거리 공간 (''X'', ''d'')에서, 엄밀한 의미의 '''닮음'''(exact similitude)은 거리 공간 ''X''에서 자신으로의 사상으로서, 임의의 거리를 특정 동일한(축소 인자) 스칼라 ''r'' 배로 하는 것을 말한다. 임의의 두 점 ''x'', ''y''에 대해, 다음이 성립한다.

:

d(f(x),f(y))=rd(x,y)

이로부터 조건이 약한 (광의의) 닮음성이, 예를 들어 사상 ''f''가 쌍립시츠 연속이고, 스칼라 ''r''이 (두 점을 충분히 가깝게 만드는) 극한에서의 축소 인자로서, 다음을 만족한다는 조건으로 주어진다.

:

\lim \frac{d(f(x),f(y))}{d(x,y)} =r

이 약한 형태의 닮음성은 거리가 위상 기하학적 자기 닮음 집합 상의 유효 저항인 경우 등에 사용된다.

거리 공간 (''X'', ''d'')의 자기 닮음 부분 집합이란, ''X''의 부분 집합 ''K''로서, 축소 인자 ''r''를 갖는 닮음 변환 ''f''의 유한 집합 {''f''}으로, 다음을 만족하는 ''X''의 컴팩트 집합이 ''K'' 뿐인 것이 존재하는 것을 말한다.

:

\bigcup_{s\in S} f_s (K)=K

이러한 자기 닮음 집합은 차원 ''D''의 자기 닮음 측도 ''μ''를 갖는다. 여기서 차원 ''D''는,

:

\sum_{s\in S} (r_s)^D=1

로 주어지며, 이는 (항상 그런 것은 아니지만) 많은 경우 해당 집합의 하우스도르프 차원 및 패킹 차원과 같다. (''s''를 움직일 때의) ''f''(''K'')의 겹침이 "작다면", 측도를 다음과 같은 간단한 형태의 식으로 나타낼 수 있다.

:

\mu^D(f_{s_1}\circ f_{s_2} \circ \cdots \circ f_{s_n} (K))=(r_{s_1}\cdot r_{s_2}\cdots r_{s_n})^D

7. 심리학

기하학적 닮음 개념에 대한 직관은 어린아이들의 그림에서도 나타난다.^[10]

참조

_[1] 인용
_[2] 문서 Euclid's ''Elements''
_[3] 문서 Euclid's ''Elements''
_[4] 문서 Euclid's ''Elements''
_[5] 서적 The Secrets of Triangles Prometheus Books
_[6] 서적 Lessons in Geometry, Vol. I: Plane Geometry https://books.google[...] American Mathematical Society
_[7] 문서
_[8] 웹사이트 a proof from academia.edu https://www.academia[...]
_[9] 웹사이트 The shape of an ellipse or hyperbola depends only on the ratio b/a http://www.geom.uiuc[...]
_[10] 논문 Understanding Similarity: Bridging Geometric and Numeric Contexts for Proportional Reasoning https://scholarworks[...] Western Michigan University
_[11] 서적 なっとくする数学記号講談社 2021
_[12] 서적 An Algebraic Approach to Geometry 2014

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