일반위상수학

3. 위상 공간의 정의와 기본 개념

일반위상수학에서 위상 공간은 집합과 그 위에 정의된 열린 집합들의 모임으로 이루어진다. 위상 공간은 다음 대상들을 정의하고, 티호노프 정리나 우리손의 보조정리와 같은 정리들을 다룬다.

• 열린 집합, 닫힌 집합
• 내부, 폐포, 근방
• 콤팩트 공간, 연결 공간
• 연속 함수
• 수열의 극한, 그물, 필터
• 분리 공리, 가산 공리, 거리 공간

• 열린 집합과 닫힌 집합
• 내부와 폐포
• 근방과 근원
• 콤팩트성과 연결성
• 연속 함수
• 수열의 수렴, 유향점족 (넷)과 필터
• 여러 분리 공리
• 가산 공리 (제1 가산 공리/제2 가산 공리)

3. 1. 위상의 정의

3. 2. 기저 (Basis)

3. 3. 부분 공간과 몫 공간

3. 4. 위상 공간의 예시

4. 연속 함수

연속 함수는 위상 공간 사이의 함수로, 열린 집합의 역상이 열린 집합인 함수이다.

연속성은 근방의 관점에서 표현될 수 있다. 함수 f가 어떤 점 x에서 연속이라는 것은 f(x)의 임의의 근방 V에 대해 f(U) ⊆ V를 만족하는 x의 근방 U가 존재한다는 것과 같다.

극단적인 예로, 집합 X에 이산 위상이 주어지면, 임의의 위상 공간 T로의 모든 함수

:$f\backslash colon\; X\; \backslash rightarrow\; T$

는 연속이다. 반면 X에 비이산 위상이 주어지고 공간 T가 적어도 T₀이면, 유일한 연속 함수는 상수 함수이다.

함수

:$f\backslash colon\; X\; \backslash rightarrow\; S$

에서 X가 위상 공간이고 S가 집합일 때, S 상의 final 위상은 f⁻¹(A)가 X에서 열린 집합이 되는 S의 부분 집합 A로 정의된다.

쌍대적으로, 집합 S에서 위상 공간 X로의 함수 f에 대해, S 상의 initial 위상은 U가 X에서 열린 집합인 f^-1(U) 형태의 집합으로 주어진 열린 집합의 기저를 갖는다.

4. 1. 연속 함수의 정의

4. 2. 연속 함수의 성질

5. 콤팩트 공간

위상 공간 ''X''의 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가지면 ''콤팩트''라고 하고, 그렇지 않으면 ''비콤팩트''라고 한다.

이는 ''X''의 열린 부분 집합들의 임의의 모임 $\backslash \{U\_\backslash alpha\backslash \}\_\{\backslash alpha\backslash in\; A\}$에 대해

:$X\; =\; \backslash bigcup\_\{\backslash alpha\backslash in\; A\}\; U\_\backslash alpha,$이면,

''A''의 유한 부분 집합 ''J''가 존재하여

:$X\; =\; \backslash bigcup\_\{i\backslash in\; J\}\; U\_i.$를 만족함을 의미한다.

실수의 닫힌 구간은 콤팩트하다. 하이네-보렐 정리에 따르면, 유클리드 공간에서 어떤 집합이 콤팩트 집합이 될 필요충분 조건은 닫힌 집합이면서 유계인 것이다.

콤팩트 공간의 모든 연속적인 상은 콤팩트하다.^[1]

5. 1. 콤팩트 공간의 성질

5. 2. 준콤팩트 공간

6. 연결 공간

위상 공간 ''X''가 두 개의 서로소이고 공집합이 아닌 열린 집합의 합집합으로 표현될 수 없으면 '''연결 공간'''이라고 한다. 달리 말하면, ''X''를 두 개의 서로소이고 공집합이 아닌 열린 집합으로 나눌 수 없을 때 연결되었다고 한다.

위상 공간 ''X''에 대해 다음 조건들은 모두 동등하다.

• ''X''는 연결되어 있다.
• ''X''는 두 개의 서로소인 공집합이 아닌 닫힌 집합으로 나눌 수 없다.
• ''X''에서 열린 집합이면서 닫힌 집합(개폐 집합)인 유일한 부분 집합은 ''X''와 공집합이다.
• ''X''에서 경계가 공집합인 유일한 부분 집합은 ''X''와 공집합이다.
• ''X''는 두 개의 공집합이 아닌 분리 집합의 합집합으로 쓸 수 없다.
• ''X''에서 이산 위상을 갖는 두 점 공간 {0,1}로의 유일한 연속 함수는 상수 함수이다.

7. 분리 공리

분리 공리는 위상 공간에서 점이나 부분집합들이 서로 분리되는 정도를 나타내는 조건들이다. 분리 공리에는 여러 가지가 있으며, 이들 중 많은 것은 이름이 여러 개 있지만, 처음 나열된 이름이 가장 덜 혼동될 가능성이 높다.

분리 공리 중 일부는 다른 의미를 가지기도 하는데, 예를 들어 "정규"와 "T₄", "정규"와 "T₃"의 의미는 때때로 서로 바뀌기도 한다. 이러한 공리들 대부분은 동일한 의미를 가진 다른 정의를 가질 수 있으며, 아래에 제시된 정의는 다양한 분리 개념을 관련시키는 일관된 패턴을 따른다.

다음 정의에서 ''X''는 위상 공간을 나타낸다.

우리스존의 보조정리에 따르면, 어떤 공간이 두 개의 서로소인 닫힌 집합을 연속 함수로 분리할 수 있을 때에만 정규 공간이다. 티체 확장 정리는 정규 공간의 닫힌 부분 공간에서 정의된 모든 연속 실수 값 함수가 전체 공간에서 정의된 연속 사상으로 확장될 수 있다고 설명한다.

7. 1. 주요 분리 공리

• ''X''는 T₀ (콜모고로프 공간)이다. ''X''의 서로 다른 두 점이 위상적으로 구별 가능한 경우이다.
• ''X''는 T₁ (프레셰 공간)이다. ''X''의 서로 다른 두 점이 분리된 경우이다. ''X''가 T₁ 공간인 것은 T₀ 공간이면서 R₀ 공간인 것과 동치이다.
• ''X''는 하우스도르프 공간 (T₂ 공간)이다. ''X''의 서로 다른 두 점이 주변으로 분리된 경우이다. ''X''가 하우스도르프 공간인 것은 T₀ 공간이면서 R₁ 공간인 것과 동치이다. 하우스도르프 공간은 T₁ 공간이어야 한다.
• ''X''는 T_2½ (우리스존 공간)이다. ''X''의 서로 다른 두 점이 닫힌 주변으로 분리된 경우이다. T_2½ 공간은 하우스도르프 공간이어야 한다.
• ''X''는 정규 공간 (T₃ 공간)이다. T₀ 공간이고, ''X''에서 점 ''x''와 ''x''가 ''F''에 속하지 않는 닫힌 집합 ''F''가 주어지면, 주변으로 분리된 경우이다.
• ''X''는 티호노프 공간 (T_3½ 공간, 완전 정규 T₀ 공간)이다. T₀ 공간이고, 점 ''x''와 ''x''가 ''F''에 속하지 않는 닫힌 집합 ''F''가 주어지면, 연속 함수에 의해 분리된 경우이다.
• ''X''는 정규 공간 (T₄ 공간)이다. 하우스도르프 공간이고, ''X''의 두 개의 서로소인 닫힌 부분 집합이 주변으로 분리된 경우이다.
• ''X''는 완전 정규 공간 (T₅ 공간, 완전 T₄ 공간)이다. T₁ 공간이고, 두 개의 분리된 집합이 주변으로 분리된 경우이다. 완전 정규 공간은 정규 공간이어야 한다.
• ''X''는 완전 정규 하우스도르프 공간 (T₆ 공간, 완전 T₄ 공간)이다. T₁ 공간이고, 두 개의 서로소인 닫힌 집합이 정확히 연속 함수로 분리된 경우이다. 완전 정규 하우스도르프 공간은 완전 정규 하우스도르프 공간이어야 한다.

7. 2. 추가 설명

8. 가산 공리

가산 공리는 위상 공간이 특정 가산 조건을 만족하는지 여부를 나타내는 조건이다. 일반위상수학에서는 가산 공리를 비롯한 열린 집합, 닫힌 집합, 내부, 폐포, 근방, 콤팩트 공간, 연결 공간, 연속 함수, 수열의 극한, 그물, 필터, 분리 공리 등 여러 기본 개념을 정의하고, 이와 관련된 티호노프 정리, 우리손의 보조정리와 같은 정리들을 다룬다.^[1] 이러한 기본 개념들은 대수적 위상수학, 기하적 위상수학, 미분위상수학 등 위상수학의 다른 분야에서도 공통적으로 사용되는 기초를 제공한다.^[1]

8. 1. 주요 가산 공리

• 순서 공간: 집합 내의 모든 수열이 집합 내의 점으로 수렴하면 결국 집합 안에 있게 된다.
• 제1 가산 공간: 모든 점은 가산 근방계 (국소 기저)를 갖는다.
• 제2 가산 공간: 위상은 가산 기저를 갖는다.
• 분리 가능 공간: 가산 조밀 부분 공간이 존재한다.
• 린델뢰프 공간: 모든 열린 덮개는 가산 부분 덮개를 갖는다.
• σ-콤팩트 공간: 콤팩트 공간에 의한 가산 덮개가 존재한다.

• 모든 제1 가산 공간은 순서 공간이다.
• 모든 제2 가산 공간은 제1 가산 공간, 분리 가능 공간, 린델뢰프 공간이다.
• 모든 σ-콤팩트 공간은 린델뢰프 공간이다.
• 거리 공간은 제1 가산 공간이다.
• 거리 공간의 경우, 제2 가산성, 분리 가능성 및 린델뢰프 속성은 모두 동등하다.

8. 2. 가산 공리 간의 관계

9. 거리 공간

거리 공간은 집합과 그 위의 거리 함수로 이루어진 구조이다. 구체적으로, 집합 $M$과 $M$ 위의 거리 $d$로 구성된 순서쌍 $(M,\; d)$이다. 함수

:$d\; \backslash colon\; M\; \backslash times\; M\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$

는 모든 $x,\; y,\; z\; \backslash in\; M$에 대해 다음 조건을 만족한다.

# $d(x,y)\; \backslash ge\; 0$ (음이 아닌 값)

# $d(x,y)\; =\; 0\backslash ,$ iff $x\; =\; y\backslash ,$ (식별 불가능성의 동일성)

# $d(x,y)\; =\; d(y,x)\backslash ,$ (대칭성)

# $d(x,z)\; \backslash le\; d(x,y)\; +\; d(y,z)$ (삼각 부등식)

이때 함수 $d$는 "거리 함수" 또는 간단히 "거리"라고도 한다. 문맥상 어떤 거리가 사용되는지 명확한 경우, 종종 $d$를 생략하고 단순히 $M$으로 거리 공간을 표기한다.^[7]

9. 1. 거리 공간의 성질

10. 베어 범주 정리

베어 범주 정리는 완비 거리 공간 또는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서, 가산 개의 어디에도 조밀하지 않은 집합들의 합집합의 내부는 비어있다는 정리이다.^[8]

베어 공간의 임의의 열린 부분 공간은 그 자체로 베어 공간이다.

11. 일반위상수학의 주요 연구 분야

일반위상수학에서는 열린 집합, 닫힌 집합, 내부, 폐포, 근방, 콤팩트 공간, 연결 공간, 연속 함수, 수열의 극한, 그물, 필터, 분리 공리, 가산 공리, 거리 공간과 같은 개념들을 정의하고, 이와 관련된 티호노프 정리, 우리손의 보조정리 등의 정리를 연구한다.

이러한 개념들은 대수적 위상수학, 기하적 위상수학, 미분위상수학 등 다른 위상수학 분야의 기초가 된다. 일반위상수학의 중요한 변형 중 하나로 점 없는 위상수학이 있는데, 이는 위상 공간을 점의 집합이 아닌 격자나 장소를 통해 연구하는 접근법이다.

11. 1. 연속체 이론 (Continuum Theory)

11. 2. 위상 동역학 (Topological Dynamics)

11. 3. 무점 위상수학 (Pointless Topology)

11. 4. 차원론 (Dimension Theory)

참조

_[1] 서적 Topology Prentice Hall
_[2] 서적 Introduction to topology: pure and applied Pearson Prentice Hall
_[3] 서적 Topological Methods in Chemistry https://archive.org/[...] John Wiley & Sons 2012-07-27
_[4] 서적 Basic Topology https://www.springer[...] Springer 2013-06-13
_[5] 간행물 A General Theory of Limits
_[6] 간행물 Die Elemente der Functionenlehre.. http://eudml.org/doc[...]
_[7] 문서 Maurice Fréchet introduced metric spaces in his work Sur quelques points du calcul fonctionnel
_[8] 뉴스 Sur les fonctions de variables réelles. https://books.google[...]
_[9] 문서 VON NEUMANN AND LATTICE THEORY American Mathematical Soc.