보충 경계

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 보충 경계성의 필요충분조건
- 3.2. 톰 스펙트럼
4. 구성
- 4.1. 수술
- 4.2. 모스 함수
5. 예
6. 역사
참조

1. 개요

보충 경계는 두 매끄러운 다양체 사이의 관계를 설명하는 수학적 개념으로, 한 다양체가 다른 다양체의 경계를 이루는 경우를 의미한다. 두 다양체 M과 N 사이에 보충 경계 (W, i, j)가 존재하면, M과 N은 보충 경계적이라고 하며, 보충 경계적인 모든 다양체의 집합을 보충 경계류라고 한다. 보충 경계는 수술 이론과 모스 이론을 통해 구성될 수 있으며, 톰 스펙트럼과 보충 경계군, 보충 경계환 등의 개념과 연결된다. 보충 경계는 오일러 지표의 홀짝성을 보존하며, 슈티펠-휘트니 수에 의해 보충 경계성을 판단할 수 있다.

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보충 경계
코보디즘 이론
분야	수학, 특히 미분 위상수학
주요 개념	매니폴드, 경계, 호몰로지
관련 주제	특성류, 수술 이론
중요성	매니폴드의 분류 및 위상 불변량 연구에 사용됨
동경 (同境)
정의	두 매니폴드 사이의 관계, 한 매니폴드가 다른 매니폴드의 경계에 해당할 때 성립
보충 경계 (補충 境界)
정의	매니폴드 쌍의 경계를 이용하여 정의되는 개념, 코보디즘 이론의 기초

2. 정의

두 콤팩트 $n$ 차원 경계 없는 매끄러운 다양체 $M$ , $N$ 사이의 '''보충 경계'''(補充境界, cobordism^영어) $(W,i,j)$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$W$ 는 경계를 가진 다양체인 $n+1$ 차원 콤팩트 매끄러운 다양체이다.
$i\colon M\hookrightarrow W$ 와 $j\colon N\hookrightarrow W$ 는 매끄러운 매장이다.

이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

$i(M)$ 과 $j(N)$ 은 서로소이다 ( $i(M)\cap j(N)=\varnothing$ ).
$W$ 의 경계 $\partial W$ 는 $i(M)$ 과 $j(N)$ 의 합집합이다 ( $\partial W=i(M)\cup j(N)$ ).

두 콤팩트 매끄러운 다양체

M

과

N

사이에 이러한 보충 경계

W

가 존재한다면, 두 다양체는 서로 '''보충 경계적'''(補充境界的, cobordant^영어)이라고 한다.^[1] 주어진 다양체와 보충 경계적인 모든 콤팩트 매끄러운 다양체들의 집합을 '''보충 경계류'''(cobordism class^영어)라고 부른다. 특히, 공집합

\varnothing

과 보충 경계적인 다양체는 '''공보충 경계적'''(空補充境界的, null-cobordant^영어)이라고 한다. 이는 해당 다양체가 어떤

(n+1)

차원 콤팩트 다양체

W

의 전체 경계(

\partial W

)와 같다는 의미이다.

보충 경계의 정의에서

W

가 콤팩트 공간이어야 한다는 조건은 중요하다. 만약

W

가 콤팩트하지 않아도 된다면, 모든 다양체

M

은

M\times[0,1)

이라는 (비콤팩트) 다양체를 통해 공집합과 보충 경계적이 되어, 보충 경계류에 대한 분류가 자명해지기 때문이다. 반면,

W

가 반드시 연결 공간일 필요는 없다. 만약 연결성 조건이 추가되면, 공보충 경계적인 다양체들의 합성이 불가능해지는 문제가 생긴다.

3. 성질

보충 경계 동치 관계는 오일러 지표의 홀짝성을 보존한다. 즉, 두 콤팩트 매끄러운 다양체 $M$ , $N$ 이 보충 경계적이라면, 다음이 성립한다.

: $\chi(M)\equiv\chi(N)\pmod2$

주어진 차원 $n$ 의 보충 경계류들은 분리합집합에 대하여 가환 모노이드를 이룬다. 이 연산에서 항등원은 공집합 $[\emptyset]$ 이다. 이 모노이드는 사실 아벨 군임을 보일 수 있으며, 이를 '''보충 경계군'''(cobordism group^영어)이라고 하고, $\mathfrak N_n$ 으로 표기한다. 구체적으로, 다양체 ''M''과 ''N''의 보충 경계류를 각각 [''M'']과 [''N'']이라 할 때, 덧셈은 $[M]+[N] = [M \sqcup N]$ 로 정의된다. 모든 ''M''에 대해 $[M] + [M] = [\emptyset]$ 이 성립하는데, 이는 $M \sqcup M = \partial (M \times [0,1])$ 이기 때문이다. 따라서 $\mathfrak{N}_n$ 은 $\mathbb{F}_2$ 위의 벡터 공간이다.

모든 차원의 보충 경계군들의 직합

: $\mathfrak N=\bigoplus_{n=0}^\infty\mathfrak N_n$

위에는 곱공간 연산을 통해 곱셈 $[M][N]=[M \times N]$ 을 정의할 수 있다. 이에 따라 $\mathfrak N$ 은 자연수 등급환을 이루며, 이를 '''보충 경계환'''(cobordism ring^영어)이라고 한다. 보충 경계환에서의 곱셈 단위원은 한원소 공간 $\{\bullet\}$ 이다. 즉, $\mathfrak{N}_*$ 는 차원을 등급으로 가지는 등급 대수이다.

저차원 비방향 보충 경계군은 다음과 같다.

차원 ( $n$ )	보충 경계군 ( $\mathfrak{N}_n$ )
0	$\Z/2$
1	0
2	$\Z/2$
3	0
4	$\Z/2 \oplus \Z/2$
5	$\Z/2$

예를 들어, $\mathfrak{N}_1 = 0$ 은 모든 1차원 닫힌 다양체(원들의 분리합집합)가 2차원 다양체의 경계임을 의미하고, $\mathfrak{N}_3 = 0$ 은 모든 3차원 닫힌 다양체가 4차원 다양체의 경계임을 의미한다.

비방향 다양체 ''M''의 오일러 지표 $\chi(M) \in \Z$ 를 법 2로 본 값은 보충 경계 불변량이다. 이는 경계가 있는 콤팩트 다양체 $W$ 에 대해 $\chi(\partial W) = (1 - (-1)^{\dim W})\chi(W)$ 가 성립하기 때문이다. 따라서, 오일러 지표는 잘 정의된 군 준동형사상 $\chi: \mathfrak{N}_n \to \Z/2$ 를 정의한다. 예를 들어, 모든 자연수 $i_1, \cdots, i_k$ 에 대해 $\chi \left( \mathbb{P}^{2i_1} (\R) \times \cdots \times \mathbb{P}^{2i_k}(\R) \right) = 1$ 이다. 이는 실수 사영 공간들의 곱이 널-코보던트(null-cobordant, 즉 어떤 다양체의 경계가 되는 경우)가 아님을 보여준다. 특히, 짝수 차원 $2i$ 에 대한 준동형사상 $\chi: \mathfrak{N}_{2i} \to \Z/2$ 는 모든 $i \ge 0$ 에 대해 전사 함수이며, $i=1$ 일 때( $\mathfrak{N}_2$ )는 동형사상이다. 또한, $\chi(M \times N) = \chi(M)\chi(N)$ 이므로, 이 군 준동형사상들은 등급 대수의 준동형사상 $\mathfrak{N}_* \to \mathbb{F}_2[x]$ ( $[M] \mapsto \chi(M) x^{\dim(M)}$ )으로 확장될 수 있다.

3. 1. 보충 경계성의 필요충분조건

n

차원의 두 콤팩트 매끄러운 다양체

M

,

N

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[9]

$M$ 과 $N$ 은 보충 경계적이다.
$M$ 과 $N$ 의 모든 슈티펠-휘트니 수가 같다. 즉, $n$ 의 임의의 자연수 분할 $n=n_1+n_2+\cdots+n_k$ 에 대하여 다음이 성립한다.
: $\int_M w_{n_1}(M) \smile \cdots \smile w_{n_k}(M) = \int_N w_{n_1}(N) \smile \cdots \smile w_{n_k}(N) \in \mathbb{F}_2$

여기서

w_i(M) \in H^i(M; \mathbb{F}_2)

는

i

번째 슈티펠-휘트니 특성류이다.

1959년, C.T.C. 월(C.T.C. Wall)은 두 매끄러운 다양체가 코보디즘(cobordant) 관계에 있을 필요충분조건은 그들의 폰트랴긴 수와 슈티펠-휘트니 수가 같다는 것임을 증명했다.^[6] 이는 보충 경계의 개념과 밀접하게 연관된다.

두 개의 미분 가능한 다양체가 동경(cobordant) 관계에 있는지 판별하는 데에는 특성류를 사용하는 호몰로지적 제약 조건이 있다.^[7]

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 계수를 갖는 모든 특성류는 (정규화 방법에 따라) 그 슈티펠-휘트니류에 관한 어떤 다항식으로 표현된다.
$n$ 차원 미분 가능 다양체의 모든 $n$ 의 분할 $s$ 는 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 에서의 슈티펠-휘트니 수 $w_s(M)$ 에 관련된다.

이와 관련된 중요한 정리들은 다음과 같다.

폰트랴긴 정리: 같은 차원의 두 미분 가능 다양체가 동경이면, 그것들은 같은 슈티펠-휘트니 수를 갖는다.
톰 정리: 같은 차원의 두 미분 가능 다양체가 같은 슈티펠-휘트니 수를 갖는다면, 그것들은 동경이다.

결론적으로, 두 다양체의 슈티펠-휘트니 수가 같다는 것은 두 다양체가 보충 경계 관계에 있다는 것과 동치이다.

3. 2. 톰 스펙트럼

호모토피 이론을 통해, '''톰 스펙트럼'''이라는 스펙트럼

\operatorname{MO}

를 정의할 수 있으며, 그 호모토피 군은 보충 경계군과 동형임을 보일 수 있다.

:

\pi_k(\operatorname{MO})\cong\mathfrak N_k

톰 스펙트럼은 구체적으로 다음과 같이 정의된다. 우선, 보편 벡터 다발, 즉 직교군

\operatorname O(n)

의 분류 공간

\operatorname{EO}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{BO}(n)

의 연관 다발

\gamma^n\twoheadrightarrow\operatorname{BO}(n)

을 생각하자. 보편 벡터 다발의 톰 공간을 다음과 같이 표기한다.

:

\operatorname{MO}(n)=\operatorname{Thom}(\gamma^n)

그렇다면, 톰 스펙트럼은

\operatorname{MO}(n)

들로 구성된다.

다양체

M

은 위상 공간으로, 각 점 근방에서 국소적으로 유클리드 공간

\R^n

의 열린 부분 집합과 위상동형이다. 경계를 가진 다양체는 이와 유사하지만,

M

의 점이 반공간의 열린 부분 집합과 위상동형인 근방을 가질 수 있다는 점이 다르다. 반공간은 다음과 같이 정의된다.

:

\{(x_1,\ldots,x_n) \in \R^n \mid x_n \geqslant 0\}.

유클리드 공간의 열린 부분 집합과 위상동형인 근방이 없는 점들은

M

의 경계점이며,

M

의 경계는

\partial M

으로 표기한다. 닫힌 다양체는 정의상 경계가 없는(

\partial M=\emptyset

) 콤팩트 다양체이다.

''n''-다양체 ''M''이 빈 다양체와의 코보디즘이 존재할 경우, 즉 ''M''이 어떤 (''n'' + 1)-다양체의 전체 경계일 경우 ''널-코보던트''(null-cobordant)라고 부른다. 예를 들어, 원은 원판(disk)을 경계로 하므로 널-코보던트이다. 더 일반적으로, ''n''-구는 (''n'' + 1)-원판을 경계로 하므로 널-코보던트이다. 또한, 모든 가향 곡면은 핸들바디의 경계이므로 널-코보던트이다. 반면에, 2''n''차원 실수 사영 공간

\mathbb{P}^{2n}(\R)

은 경계가 없는 (콤팩트) 닫힌 다양체이지만, 널-코보던트가 아니다.

일반적인 ''보디즘 문제''는 다양한 조건 아래에서 다양체의 코보디즘 동치류를 계산하는 것이다. 추가적인 구조가 있는 널-코보디즘은 필링(filling)이라고 불린다. 일부 문헌에서는 ''보디즘''(bordism)과 ''코보디즘''(cobordism)을 혼용하기도 하지만, 둘을 구분하기도 한다. 동치 관계 문제는 ''다양체의 보디즘''으로, 코보디즘 자체를 대상으로 연구하는 것은 ''다양체의 코보디즘''으로 부르기도 한다. ''보디즘''이라는 용어는 프랑스어 bord|보르^프랑스어(경계)에서 유래했으며, 경계에 대한 연구를 의미한다. ''코보디즘''은 "공동으로 경계짓는다"는 의미로, 두 다양체 ''M''과 ''N''이 함께 어떤 다양체의 경계가 될 때, 즉 둘의 서로소 합집합이 경계일 때 코보던트하다고 한다. 또한, 코보디즘 군은 특별한 코호몰로지 이론을 형성하므로 '코-'(co-) 접두사가 붙는다.

모든 벡터 다발 이론(실수, 복소수 등)은 특이 코호몰로지 이론인 K-이론을 가진다. 마찬가지로, 모든 코보디즘 이론 Ω^''G''는 특이 코호몰로지 이론을 가지며, 임의의 공간 ''X''에 대해 호몰로지(보디즘) 군

\Omega^G_n(X)

와 코호몰로지(코보디즘) 군

\Omega^n_G(X)

를 가진다. 일반화된 호몰로지 군

\Omega_*^G(X)

는 ''X''에 대해 공변적이며, 일반화된 코호몰로지 군

\Omega^*_G(X)

는 ''X''에 대해 반변적이다. 위에서 정의된 코보디즘 군은 점(point)의 호몰로지 군으로 볼 수 있다:

\Omega_n^G = \Omega_n^G(\text{pt})

. 그러면

\Omega^G_n(X)

는 닫힌 ''n''차원 다양체 ''M''(G-구조 포함)과 사상 ''f'' : ''M'' → ''X''의 쌍(''M'', ''f'')의 ''보디즘'' 동치류로 이루어진 군이다. 두 쌍 (''M'', ''f''), (''N'', ''g'')는 사상 ''h'' : ''W'' → ''X''를 갖는 G-코보디즘(''W''; ''M'', ''N'')이 존재하고, 이 사상이 ''M''에서는 ''f''로, ''N''에서는 ''g''로 제한될 경우 ''보던트''(bordant)라고 한다.

''n''차원 다양체 ''M''은 기본 호몰로지 클래스 [''M''] ∈ ''H_n''(''M'')을 가진다 (일반적으로

\Z/2

계수, 방향이 있는 경우

\Z

계수). 이는 다음과 같은 자연 변환을 정의한다.

:

\begin{cases} \Omega^G_n(X) \to H_n(X) \\ (M,f) \mapsto f_*[M] \end{cases}

이 변환은 일반적으로 동형사상이 아니다.

공간의 보디즘 및 코보디즘 이론은 차원 공리를 제외하고 Eilenberg–Steenrod 공리를 만족한다. 이는 공간 ''X''의 코보디즘 이론과 점의 호몰로지를 안다고 해서

\Omega^n_G(X)

군을 쉽게 계산할 수 있다는 의미는 아니지만, Atiyah–Hirzebruch 스펙트럼 열은 계산의 시작점을 제공한다. 계산은 특정 코보디즘 이론이 일반 호몰로지 이론의 곱으로 축소될 경우에만 쉬워진다. 이 경우 보디즘 군은 일반 호몰로지 군과 같다.

:

\Omega^G_n(X)=\sum_{p+q=n}H_p(X;\Omega^G_q(\text{pt})).

이는 비방향 코보디즘에 해당한다. 다른 코보디즘 이론, 특히 틀 달린 코보디즘, 방향 코보디즘, 복소 코보디즘 등은 이러한 방식으로 일반 호몰로지로 축소되지 않는다. 복소 코보디즘 이론은 대수적 위상수학자들이 구의 호모토피 군 계산 등에 유용하게 사용하는 도구이다.^[5]

코보디즘 이론은 Thom 스펙트럼 ''MG''로 표현된다. 군 ''G''가 주어지면, Thom 스펙트럼은 분류 공간 ''BG_n'' 위의 표준 벡터 다발의 Thom 공간 ''MG_n''으로 구성된다. 유사한 군이라도 Thom 스펙트럼은 매우 다를 수 있다. 예를 들어, 방향 코보디즘을 나타내는 ''MSO''와 비방향 코보디즘을 나타내는 ''MO''는 매우 다르다.

스펙트럼의 관점에서, 비방향 코보디즘은 Eilenberg–MacLane 스펙트럼의 곱이다. 즉, ''MO'' = ''H''(

\pi_*(\operatorname{MO})

) 이다. 반면 방향 코보디즘은 유리수와 소수 2에서는 Eilenberg–MacLane 스펙트럼의 곱이지만, 홀수 소수에서는 그렇지 않다. 따라서 방향 코보디즘 스펙트럼 ''MSO''는 ''MO''보다 훨씬 더 복잡한 구조를 가진다.

4. 구성

보충 경계는 수술 또는 모스 이론을 통하여 구성할 수 있다.^[1]

수술 과정의 '''자취'''(trace^영어)는 원래 다양체 $M$ 과 수술 후 얻어진 다양체 $N$ 사이의 보충 경계 $(W; M, N)$ 를 정의하며, 이를 '''기본 보충 경계'''(elementary cobordism^영어)라고 부른다. 마스턴 모스, 르네 톰, 존 밀너의 연구에 따르면, 모든 보충 경계는 이러한 기본 보충 경계들을 여러 개 이어 붙인 합으로 표현될 수 있다.

또한, 모스 이론은 보충 경계의 구조를 이해하는 데 중요한 도구를 제공한다. 주어진 보충 경계 $(W; M, N)$ 위에는 경계 조건을 만족하는 매끄러운 모스 함수 $f \colon W \to [0, 1]$ 가 존재한다고 가정할 수 있다. 이 모스 함수의 임계점들은 $M$ 에서 $N$ 으로 변형되는 과정에서의 위상적 변화, 즉 핸들 부착에 해당하며, 보충 경계 $W$ 의 구성을 설명한다. 모스/스메일 정리는 모스 함수와 보충 경계의 핸들 표현 사이의 관계를 구체적으로 밝힌다.

4. 1. 수술

p+q

차원 다양체

M

속에 매장된 부분 다양체

:

\phi\colon\mathbb S^p\times\mathbb D^q\hookrightarrow M

가 주어졌다고 하자. 여기서

\mathbb S^p

는

p

차원 구이고,

\mathbb D^q

는

q

차원 원판이다. 이때, 곱

\mathbb S^p\times\mathbb D^q

의 경계는

:

\partial(\mathbb S^p\times\mathbb D^q)=\mathbb S^p\times\mathbb S^{q-1}

이다. 또한, 다른 곱

\mathbb D^{p+1}\times\mathbb S^{q-1}

의 경계 역시

:

\partial(\mathbb D^{p+1}\times\mathbb S^{q-1})=\mathbb S^p\times\mathbb S^{q-1}

로 동일하다. 이 성질을 이용하여,

M

에서

\phi

의 상에 해당하는 부분(

\phi(\mathbb S^p\times\mathbb D^q)

)의 내부를 도려내고, 그 경계(

\mathbb S^p\times\mathbb S^{q-1}

)를 따라 새로운 조각

\mathbb D^{p+1}\times\mathbb S^{q-1}

을 붙여 넣을 수 있다. 이 과정을

p

-'''수술'''(surgery^영어)이라고 한다. 수술을 통해 얻어지는 새로운 다양체

N

은 다음과 같이 정의된다.

:

N=\left(M\setminus\operatorname{int}\phi(\mathbb S^p\times\mathbb D^q)\right)\cup_{\phi|_{\mathbb S^p\times\mathbb S^{q-1}}}\mathbb D^{p+1}\times\mathbb S^{q-1}

이러한 수술 과정의 '''자취'''(trace^영어)는

M

에 시간 차원([0,1])을 곱한

M\times[0,1]

에

(p+1)

차원 손잡이(

\mathbb{D}^{p+1}\times \mathbb{D}^q

)를 붙여서 만든다.

:

W=(M\times[0,1])\cup_{\mathbb S^p\times \mathbb D^q\times \{1\}} (\mathbf{D}^{p+1}\times \mathbf{D}^q)

이 자취

W

는 원래 다양체

M

과 수술 후 얻어진 다양체

N

사이의 보충 경계를 정의한다. 이렇게 수술의 자취로 얻어지는 보충 경계를 '''기본 보충 경계'''(elementary cobordism^영어)라고 부른다. 중요한 사실은, 모든 보충 경계는 이러한 기본 보충 경계들을 여러 개 이어 붙여서 만들 수 있다는 것이다. 이는 마스턴 모스, 르네 톰, 존 밀너가 증명한 결과이다.

반대로, 다양체

N

에서

\mathbb{D}^{p+1}\times \mathbb{S}^{q-1}

부분에 수술을 가하면 원래 다양체

M

을 얻을 수 있는데, 이를 '''수술 되돌리기'''(undoing surgery^영어)라고 한다.

'''예시'''

'''원( $\mathbb{S}^1$ )에서의 수술:''' 원은 1차원 다양체이므로 $p+q=1$ 이다. 0-수술( $p=0, q=1$ )을 생각해보자. 이는 원에서 $\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^1$ (두 개의 점과 연결된 선분, 즉 두 개의 분리된 선분)을 잘라내고, 그 경계( $\mathbb{S}^0 \times \mathbb{S}^0$ , 네 개의 점)에 $\mathbb{D}^1 \times \mathbb{S}^0$ (선분과 두 점의 곱, 즉 두 개의 분리된 선분)을 붙이는 과정이다. 그림 1에서 볼 수 있듯이, 이 수술의 결과는 원래의 원( $\mathbb{S}^1$ )이 되거나, 두 개의 분리된 원( $\mathbb{S}^1 \sqcup \mathbb{S}^1$ )이 된다.

그림 2c: 구에 0-수술을 가하여 클라인 병을 만드는 과정. 이 모양은 3차원 공간에 매장될 수 없다.

'''구( $\mathbb{S}^2$ )에서의 수술:''' 구는 2차원 다양체이므로 $p+q=2$ 이다. 두 가지 종류의 수술이 가능하다.
* 1-수술 ( $p=1, q=1$ ): 구에서 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^1$ (원기둥 모양)을 잘라낸다. 그러면 두 개의 구멍이 뚫린 원판이 남는다. 여기에 $\mathbb{D}^2 \times \mathbb{S}^0$ (두 개의 원판)을 그 경계를 따라 붙인다. 결과적으로 두 개의 분리된 구( $\mathbb{S}^2 \sqcup \mathbb{S}^2$ )가 만들어진다 (그림 2a).
* 0-수술 ( $p=0, q=2$ ): 구에서 $\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2$ (두 개의 분리된 원판)을 잘라낸다. 남은 부분은 원기둥과 위상적으로 같다. 여기에 $\mathbb{D}^1 \times \mathbb{S}^1$ (원기둥)을 경계( $\mathbb{S}^0 \times \mathbb{S}^1$ , 두 개의 원)를 따라 붙인다. 이때, 두 경계 원을 어떻게 연결하는지에 따라 결과가 달라진다. 두 경계 원을 같은 방향으로 붙이면 토러스 ( $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$ )가 되고(그림 2b), 반대 방향으로 붙이면 클라인 병이 된다 (그림 2c). 클라인 병은 뫼비우스의 띠처럼 한쪽 면만 가지는 곡면으로, 3차원 유클리드 공간에는 스스로 교차하지 않게 매장할 수 없다.

4. 2. 모스 함수

n+1

차원 다양체

X

위의 모스 함수

f\colon X\to\mathbb R

의 임계점

x\in M

이 주어졌다고 가정하자. 다른 모든 임계점

x'

에 대해

c=f(x)\ne f(x')

라고 하자. 또한,

x

의 모스 지표가

p+1

이라고 하자. 충분히 작은 양수

\epsilon

에 대하여, 레벨 집합

M_\pm=f^{-1}(c\pm\epsilon)

를 정의할 수 있다. 이때

M_+

는

M_-

에

p

-수술을 가하여 얻어진다. 이 경우,

W=f^{-1}([c-\epsilon,c+\epsilon])

는

M_+

와

M_-

사이의 보충 경계를 이룬다. 즉, 모스 함수의 임계점 근방에서 레벨 집합들은 서로 보충 경계 관계에 있다.

원

\mathbb{S}^1

에서의 수술은

\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^1

(두 개의 선분)을 잘라내고

\mathbb{D}^1 \times \mathbb{S}^0

(다시 두 개의 선분)을 붙이는 것으로 구성된다. 그림 1에서 보듯이, 이 과정은 결과적으로 다시 원

\mathbb{S}^1

이 되거나(i), 두 개의 분리된 원

\mathbb{S}^1

(ii)이 된다.

2차원 구

\mathbb{S}^2

에서의 수술은 더 다양한 결과를 낳을 수 있다.

$\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^1$ (원통)을 잘라내는 경우: 2-구에서 원통을 제거하면 두 개의 원판이 남는다. 여기에 $\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2$ (두 개의 원판)을 다시 붙이면, 두 개의 분리된 구가 된다 (그림 2a).
$\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2$ (두 개의 원판)을 잘라내는 경우: 두 개의 원판을 잘라낸 후, 원통 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^1$ 을 다시 붙인다. 이때 두 경계 원을 붙이는 방향에 따라 결과가 달라진다.
같은 방향으로 붙이면 토러스 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$ 가 된다 (그림 2b).
반대 방향으로 붙이면 클라인 병이 된다 (그림 2c).

주어진 코보디즘

(W; M, N)

에 대해,

f \colon W \to [0, 1]

이고

f^{-1}(0) = M

,

f^{-1}(1) = N

을 만족하는 매끄러운 함수

f

가 존재한다. 일반적으로

f

를 모스 함수로 가정할 수 있으며, 모든 임계점은

W

의 내부에 있다고 가정한다. 이러한 함수

f

를 코보디즘 상의 모스 함수라고 부른다. 코보디즘

(W; M, N)

은

M

에 대한 일련의 수술 자취들의 합집합으로 볼 수 있으며, 각 수술은 모스 함수

f

의 임계점에 해당한다. 다양체

W

는

M \times [0, 1]

에

f

의 각 임계점에 대응하는 핸들을 하나씩 붙여서 얻어진다.

모스/스메일 정리는 코보디즘 상의 모스 함수

f

에 대해, 그 함수의 흐름선이

(W; M, N)

의 핸들 표현을 제공한다고 설명한다. 반대로, 코보디즘의 핸들 분해가 주어지면, 이는 적절한 모스 함수로부터 유도될 수 있다. 적절한 조건 하에서 이 과정은 핸들 분해와 코보디즘 상의 모스 함수 사이에 일대일 대응 관계를 제공한다. h-동경 이론은 이러한 위상적 구성과 동경(cobordism)에 대한 이해를 심화시킨다.^[8] 이 이론의 증명은 모스 함수와 모스 이론의 기본적인 개념들을 활용한다.

5. 예

코보디즘의 가장 간단한 예는 단위 구간 $I=[0,1]$ 이다. 이는 0차원 다양체인 두 점 $\{0\}$ 과 $\{1\}$ 사이의 1차원 코보디즘으로 볼 수 있다. 더 일반적으로, 임의의 닫힌 $n$ 차원 다양체 $M$ 에 대해, 곱공간 $M\times I$ 는 $M\times \{0\}$ 과 $M\times\{1\}$ 사이의 $(n+1)$ 차원 코보디즘 $(M\times I;M\times \{0\},M\times\{1\})$ 을 정의한다.^[1] 이는 모든 닫힌 다양체 $M$ 이 자기 자신과 코보던트(cobordant)함을 의미한다.

단일 원(상단)과 두 개의 분리된 원(하단) 사이의 코보디즘. 이를 바지 다양체라고도 한다.

또 다른 예시로 바지 다양체가 있다. 만약

M

이 하나의 원이고

N

이 두 개의 분리된 원이라면,

M

과

N

은 함께 바지 모양의 2차원 다양체

W

(오른쪽 그림 참조)의 경계를 이룬다. 따라서 이 바지 다양체는

M

과

N

사이의 코보디즘이 된다. 이는 두 다양체의 분리합집합과 연결합이 코보던트하다는 일반적인 성질의 한 예시이다.

어떤

n

차원 다양체

M

이 공집합과 코보던트할 때, 즉

M

이 어떤

(n+1)

차원 다양체의 전체 경계가 될 때,

M

을 '''널-코보던트'''(null-cobordant)라고 부른다. 예를 들어, 원은 원판의 경계이므로 널-코보던트하다. 마찬가지로,

n

차원 초구

\mathbb{S}^n

는

(n+1)

차원 공

\mathbb{D}^{n+1}

의 경계이므로 널-코보던트하다. 또한, 모든 가향 곡면은 핸들바디의 경계가 되므로 널-코보던트하다. 반면, 짝수 차원의 실수 사영 공간

\mathbb{P}^{2n}(\R)

은 널-코보던트하지 않은 닫힌 다양체의 예이다.

모스 이론과 코보디즘은 밀접한 관련이 있다.

(n+1)

차원 다양체 위의 모스 함수

f

에서 임계점 주변의 레벨 집합 변화를 살펴보면, 이는 수술 과정을 나타내며, 이 수술의 자취(trace)는 코보디즘으로 해석될 수 있다. 즉, 임계값

c

를 전후한 레벨 집합

M = f^{-1}(c-\epsilon)

과

N = f^{-1}(c+\epsilon)

사이의 영역

W = f^{-1}([c-\epsilon, c+\epsilon])

은

M

과

N

사이의 코보디즘

(W; M, N)

을 정의한다.

5. 1. 연결합과 분리합집합

임의의 두

n

차원 콤팩트 매끄러운 다양체

M

,

N

이 주어졌을 때, 이들의 연결합

M\#N

과 분리합집합

M\sqcup N

은 서로 보충 경계적이다.^[1] 이는

M\sqcup N

과

M\#N

을 경계로 가지는

(n+1)

차원 다양체(보충 경계)가 존재한다는 의미이다.

이러한 보충 경계는 수술이라는 과정을 통해 구성될 수 있다. 구체적으로,

M\sqcup N

속에

\mathbb S^0\times\mathbb D^n

형태의 부분을 매장한 뒤, 이 부분을 도려내고 그 경계에

\mathbb D^1\times\mathbb S^{n-1}

형태의 조각을 붙이면 연결합

M\#N

이 얻어진다. 이 수술 과정 자체가 하나의

(n+1)

차원 다양체를 정의하며, 이 다양체가 바로

M\sqcup N

과

M\#N

사이의 보충 경계가 된다.

이 관계의 대표적인 예시는 두 개의

n

차원 초구

\mathbb S^n

의 분리합집합

\mathbb S^n\sqcup\mathbb S^n

과 하나의

n

차원 초구

\mathbb S^n

사이의 관계이다. 연결합의 성질에 따라

\mathbb S^n\#\mathbb S^n

은

\mathbb S^n

과 위상동형이므로,

\mathbb S^n\sqcup\mathbb S^n

은

\mathbb S^n

과 보충 경계적이다. 이 경우의 보충 경계는 그 모양 때문에 흔히 '''바지'''(pair of pants^영어)라고 불린다. 이 명칭은 보충 경계의 형태를 묘사하는데, 하나의 초구(

\mathbb S^n

)가 연결된 쪽을 "허리"로, 두 개의 분리된 초구(

\mathbb S^n\sqcup\mathbb S^n

) 쪽을 "다리"로 비유할 수 있기 때문이다. 오른쪽 그림은

n=1

일 때, 즉 두 개의 원과 하나의 원 사이의 '바지' 모양 보충 경계를 보여준다.

5. 2. 같은 두 다양체의 분리합집합

임의의 콤팩트 매끄러운 다양체

M

에 대하여, 곱다양체

M\times M

은 항상 공보충 경계적이다. 구체적으로, 구간과의 곱

M\times[0,1]

은

M\times M

과 공집합 사이의 보충 경계를 정의한다.

특히, 초구

\mathbb S^n

는 공보충 경계적이다. 이는

\mathbb S^n

자체가

n+1

차원 공

\mathbb D^{n+1}

의 경계, 즉

\mathbb S^n=\partial\mathbb D^{n+1}

이기 때문이다.

5. 3. 낮은 차원의 보충 경계류

보충 경계류는 주어진 차원의 다양체들이 서로 보충 경계 관계에 있는지에 따라 분류하는 개념이다. 특히 낮은 차원에서는 다양체의 위상적 성질을 이용하여 보충 경계류를 비교적 명확하게 파악할 수 있다.

코보디즘의 가장 간단한 예는 단위 구간

I=[0,1]

이다. 이것은 0차원 다양체인 두 점

\{0\}

과

\{1\}

사이의 1차원 코보디즘이다. 더 일반적으로, 모든 닫힌

n

차원 다양체

M

에 대해, 곱공간

M\times I

는

M\times \{0\}

과

M\times\{1\}

사이의

(n+1)

차원 코보디즘

(M\times I;M\times \{0\},M\times\{1\})

을 정의한다. 이는 모든 닫힌 다양체

M

이 자기 자신과 보충 경계적임을 의미한다.

만약

M

이 하나의 원으로 구성되고,

N

이 두 개의 분리된 원으로 구성된다면,

M

과

N

은 함께 바지 다양체

W

의 경계를 이룬다(오른쪽 그림 참조). 따라서 바지 다양체는

M

과

N

사이의 코보디즘이다.

M

과

N

사이에는 이보다 더 간단한 코보디즘도 존재하는데, 이는 세 개의 원판의 분리합집합으로 주어진다.

분리합집합과 연결합 연산은 보충 경계 개념과 밀접하게 연관된다. 두 개의

n

차원 다양체

M

,

M'

에 대해, 이들의 분리합집합

M \sqcup M'

은 연결합

M\mathbin{\#}M'

과 보충 경계적이다. 연결합

M\mathbin{\#}M'

은

M \sqcup M'

에서

\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^n

의 매장(embedding)에 대한 수술을 통해 얻어지며, 이때 코보디즘은 수술의 자취(trace)이다. 앞서 언급된 바지 다양체 예시는 이의 특별한 경우인데, 왜냐하면 연결합

\mathbb{S}^1\mathbin{\#}\mathbb{S}^1

는

\mathbb{S}^1

과 위상동형이기 때문이다.

분리합집합은 연결합과 보충 경계적이므로, 콤팩트 곡면(2차원 다양체)의 보충 경계 분류는 연결된 콤팩트 곡면만을 고려하여 수행할 수 있다. 각 차원별 구체적인 보충 경계류 분류는 아래 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

5. 3. 1. 0차원

0차원 콤팩트 다양체는 점들의 유한 집합으로 생각할 수 있다. 예를 들어, 점 하나로 이루어진 한원소 공간

\{\bullet\}

이나 두 개의 점으로 이루어진 공간

\{\bullet, \bullet\}

(0차원 초구

\mathbb S^0

와 위상동형) 등이 있다.

두 0차원 다양체

M

과

N

이 보충 경계적이라는 것은, 이 둘의 분리합집합

M \sqcup N

이 어떤 1차원 콤팩트 다양체

W

의 경계

\partial W

와 미분동형일 때를 의미한다. 공집합

\emptyset

도 0차원 다양체로 간주한다.

1차원 콤팩트 다양체의 경계는 항상 짝수 개의 점으로 이루어진다. 예를 들어, 선분

[0,1]

의 경계는 양 끝점

\{0, 1\}

으로 두 개의 점으로 구성된다. 따라서 점 한 개로 이루어진 한원소 공간

\{\bullet\}

은 어떤 1차원 다양체의 경계가 될 수 없으므로, 공집합과 보충 경계적이지 않다. 반면, 두 개의 점으로 이루어진 0차원 초구

\mathbb S^0

는 선분의 경계와 미분동형이므로 공집합과 보충 경계적이다. 이는

\mathbb S^0 \sqcup \emptyset = \partial [0,1]

로 표현할 수 있다.

오일러 지표를 이용하면 이를 더 명확히 이해할 수 있다. 0차원 다양체

M

의 오일러 지표

\chi(M)

은

M

을 구성하는 점의 개수와 같다. 두 다양체

M

과

N

이 보충 경계적이라면,

\chi(M) \equiv \chi(N) \pmod 2

가 성립해야 한다. 즉, 오일러 지표의 우기성(짝홀성)이 같아야 한다.

공집합: $\chi(\emptyset) = 0$ (짝수)
한원소 공간: $\chi(\{\bullet\}) = 1$ (홀수)
0차원 초구 (두 점): $\chi(\mathbb S^0) = 2$ (짝수)

따라서 오일러 지표의 짝홀성이 같은 공집합과 0차원 초구는 보충 경계적이고(

0 \equiv 2 \pmod 2

), 짝홀성이 다른 공집합과 한원소 공간은 보충 경계적이지 않다(

0 \not\equiv 1 \pmod 2

).

결론적으로, 0차원 다양체의 보충 경계류는 그 다양체를 이루는 점의 개수가 짝수인지 홀수인지에 따라 완전히 결정된다. 이는 두 개의 원소(짝수 또는 0, 홀수 또는 1)를 가지는 군과 동일한 구조를 가지며, 2차 순환군

\Z/2

(또는 갈루아 체

\mathbb{F}_2

)와 동형이다. 이를 수식으로 표현하면 0차원 비방향 보충 경계군은 다음과 같다.

:

\mathfrak N_0 \cong \Z/2

즉, 점의 개수가 짝수인 모든 0차원 다양체는 하나의 보충 경계류(공집합과 같은 류, 군의 항등원 0에 해당)를 이루고, 점의 개수가 홀수인 모든 0차원 다양체는 다른 하나의 보충 경계류(한원소 공간과 같은 류, 군의 원소 1에 해당)를 이룬다.

5. 3. 2. 1차원

1차원 연결 콤팩트 다양체는 원과 위상동형이다. 따라서 임의의 1차원 콤팩트 다양체는 유한 개의 분리된 원들의 분리합집합이다.

하나의 원(위)과 두 개의 분리된 원(아래) 사이의 보충 경계. 이를 바지 다양체라고도 한다.

하나의 원( $C_3$ )과 두 개의 분리된 원( $C_1$ , $C_2$ ) 사이의 보충 경계.

모든 1차원 콤팩트 다양체는 서로 보충 경계적이다. 예를 들어,

p

개의 원과

q

개의 원은 구멍이

p+q

개 뚫린 구를 경계로 가지는 2차원 다양체(즉, 보충 경계)를 통해 연결될 수 있다. 특히, 바지 다양체는 하나의 원과 두 개의 분리된 원 사이의 보충 경계를 보여준다. 결과적으로, 유한 개의 원들의 임의의 분리합집합은 하나의 원과 보충 경계적이다.

따라서 1차원 보충 경계 군은 오직 하나의 원소(동치류)만을 가지며, 이는 자명군이다.

\mathfrak N_1\cong0

5. 3. 3. 2차원

2차원 연결 콤팩트 곡면은 표준적으로

p

개의 원환면과 2개 이하의 사영 평면의 연결합으로 나타낼 수 있다. 구

\mathbb S^2

에 0-수술을 가하면 (즉,

\mathbb S^0\times\mathbb D^2

를 도려내고

\mathbb S^1\times\mathbb S^1=\mathbb T^2

를 붙이면) 수술 방법에 따라 원환면 또는 클라인 병

\mathbb P^2\#\mathbb P^2

을 얻는다. 보다 일반적으로, 이를 통해 다음과 같은 보충 경계를 얻을 수 있다.

:

(\mathbb T^2)^{\#p}\#(\mathbb P^2)^{\#q}\to (\mathbb T^2)^{\#p+1}\#(\mathbb P^2)^{\#q}

:

(\mathbb T^2)^{\#p}\#(\mathbb P^2)^{\#q}\to (\mathbb T^2)^{\#p}\#(\mathbb P^2)^{\#q+2}

따라서, 모든 콤팩트 매끄러운 곡면은 구

\mathbb S^2

또는 사영 평면

\mathbb P^2

과 보충 경계적임을 알 수 있다. 그러나 구와 사영 평면 사이에는 보충 경계가 존재하지 않는데, 이는 구의 오일러 지표는 짝수이지만 사영 평면의 오일러 지표는 홀수이기 때문이다. 즉, 2차원에서 보충 경계류는 오일러 지표의 홀짝성에 의하여 완전히 분류되며, 2차원 보충 경계군은 2차 순환군이다.

:

\mathfrak N_1\cong\operatorname{Cyc}(2)

모든 콤팩트 리만 곡면을 3차원 콤팩트 다양체의 경계로 나타낼 수 있다는 사실은 베스-추미노-위튼 모형에서 중요한 역할을 한다.

5. 3. 4. 3차원 이상

3차원부터 5차원까지의 보충 경계군은 다음과 같다.

:

\mathfrak N_3\cong0

:

\mathfrak N_4\cong\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)

:

\mathfrak N_5\cong\operatorname{Cyc}(2)

특히 3차원의 경우,

\mathfrak N_3\cong0

이라는 결과는 모든 3차원 경계 없는 콤팩트 매끄러운 다양체가 어떤 4차원 경계 있는 콤팩트 매끄러운 다양체의 경계로 표현될 수 있음을 의미한다.

유클리드 공간 $\R^n$ 안의 모든 콤팩트한 초곡면은 어떤 콤팩트한 영역의 경계를 이룬다. 이 영역에서 구멍 하나를 뚫는 과정을 생각하면, $\R^n$ 안의 모든 콤팩트한 초곡면은 (n-1)차원 구면 $S^{n-1}$ 과 동경(cobordant) 관계에 있다는 것을 알 수 있다.
2차원 방향을 줄 수 있는 콤팩트 곡면은 모두 $\R^3$ 안의 어떤 콤팩트 초곡면과 위상동형이다. 따라서 위의 결과에 따라, 방향을 줄 수 있는 모든 2차원 콤팩트 곡면은 서로 동경 관계에 있다. 하지만 이 동경 관계만으로는 곡면의 종수와 같은 위상적 불변량에 대한 정보까지 알 수는 없다.
3차원 방향을 줄 수 있는 콤팩트 다양체는 모두 3차원 구면 $S^3$ 과 동경 관계에 있다 (이는 공집합과 동경인 경우도 포함한다). 그러나 이 결과는 일반적으로 더 높은 차원에서는 성립하지 않는다.

6. 역사

보충 경계 이론은 앙리 푸앵카레가 1895년에 호몰로지를 해석적 구조 없이 부분 다양체만으로 정의하려던 시도에서 시작되었다. 푸앵카레는 호몰로지와 보충 경계를 모두 정의했지만, 이 둘은 일반적으로 서로 다르다.^[10] 장 디외도네는 이를 푸앵카레의 실패한 시도를 부활시킨 것으로 보면서도, 다양체의 "합"을 분리합집합으로 정의한 점이 중요한 차이라고 지적했다.^[10]

이후 레프 폰트랴긴은 보충 경계를 호몰로지와는 다른 독자적인 대수적 위상수학적 불변량으로 다시 도입했다. 르네 톰은 호모토피 이론을 사용하여 보충 경계군을 계산하였고,^[9] 이를 통해 보충 경계 이론의 중요성이 부각되었다. 디외도네는 톰이 반세기 동안 발전한 대수적 위상수학의 모든 기법을 동원하여 보충 경계환 N의 구조를 계산해낸 것을 매우 독창적인 업적으로 평가했다.^[10]

이러한 발전을 통해 보충 경계 이론이 에일렌베르크-스틴로드 공리를 만족하는 특수 코호몰로지 이론을 형성한다는 사실이 밝혀졌다. 이 이론은 이후 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 아티야-싱어 지표 정리의 증명에 중요한 도구로 사용되어 대수기하학 및 해석학 분야에 응용되었다.

1980년대에는 그레임 시걸^[11]과 마이클 아티야^[12]가 위상 양자장론을 보충 경계 이론의 틀을 통해 새롭게 정의하면서 그 중요성이 더욱 커졌다.

참조

_[1] 문서
_[2] 서적 Notes on cobordism theory Princeton University Press 1968
_[3] 문서
_[4] 서적 Algebraic topology—homotopy and homology Springer-Verlag 2002
_[5] 서적 Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres Academic Press 1986-04
_[6] 저널 Determination of the Cobordism Ring https://www.jstor.or[...] 1960
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 저널 http://www.maths.ed.[...]
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 저널 http://www.numdam.or[...]

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