작도 가능한 수

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1. 개요

작도 가능한 수는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 유클리드 평면 위의 점을 작도할 수 있을 때 해당 점에 대응하는 복소수를 의미한다. 이는 실수의 부분 집합으로, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 곱셈의 역, 양수의 제곱근 연산을 통해 정수를 결합하는 공식으로 설명할 수 있다. 작도 가능한 수는 체를 이루며, 특히 작도 가능한 실수들은 각 양의 원소의 제곱근을 포함하는 유클리드 체를 형성한다. 이러한 개념은 정육면체 배가, 각의 삼등분, 원적 문제 등과 같은 고대 그리스의 작도 불가능한 문제들을 증명하는 데 중요한 역할을 했다. 또한, 삼각수의 작도 가능성과 페르마 소수와의 관계, 그리고 정다각형의 작도 가능성과 관련된 대수적 조건들을 규명하는 데 기여했다.

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작도 가능한 수
정의
설명	기하학에서, 작도 가능한 수는 주어진 단위 길이로부터 컴퍼스와 자만을 사용하여 작도할 수 있는 선분의 길이에 해당하는 수이다.
성질
연산에 대한 닫힘	작도 가능한 수들의 집합은 사칙연산과 제곱근에 대해 닫혀 있다. 즉, 작도 가능한 두 수 a와 b에 대해 a + b, a - b, ab, a/b (b ≠ 0), √a (a > 0) 역시 작도 가능하다.
체	작도 가능한 수들의 집합은 체를 이룬다.
대수적 수	모든 작도 가능한 수는 대수적 수이다.
필요충분조건	어떤 수가 작도 가능할 필요충분조건은 그 수가 유리수체로부터 시작하여 거듭제곱근을 취하는 연산을 유한 번 반복하여 얻을 수 있는 수인 것이다.
작도 불가능한 수	무리수 중에는 작도 불가능한 수가 존재한다. 예를 들어, 세제곱근 2는 작도 불가능하다.
작도 가능성 판별
정다각형	정오각형은 작도 가능하다. 정칠각형은 작도 불가능하다. 정17각형은 작도 가능하다.
역사
고대 그리스	작도 가능한 수에 대한 연구는 고대 그리스 시대부터 시작되었다.

2. 정의

고정된 좌표계가 주어지거나 단위 길이의 선분이 주어진 유클리드 평면 위의 점 중에서, 컴퍼스와 눈금 없는 자만을 사용하여 작도할 수 있는 점을 작도 가능한 점이라고 부른다. 좌표평면에서 어떤 복소수에 대응하는 점이 작도 가능할 때, 그 수를 작도 가능한 수라고 정의한다.

다른 관점에서는, 단위 길이의 선분이 주어졌을 때 길이 $|r|$ 을 가지는 선분을 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있다면 실수 $r$ 은 작도 가능하며, 실수부와 허수부가 모두 작도 가능한 복소수 역시 작도 가능하다고 할 수 있다.

2. 1. 기하학적 정의

고정된 좌표계가 주어지거나 단위 길이의 선분이 주어진 유클리드 평면에서, 컴퍼스와 눈금 없는 자만을 사용하여 작도할 수 있는 점을 작도 가능한 점이라고 한다. 또한, 좌표평면에서 어떤 복소수에 대응하는 점이 작도 가능할 때, 그 복소수를 작도 가능한 수라고 부른다.

다른 관점에서 보면, 단위 길이의 선분이 주어졌을 때, 길이

|r|

을 가지는 선분을 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있다면 실수

r

은 작도 가능하다고 할 수 있다. 이를 확장하여, 실수부와 허수부가 모두 작도 가능한 실수인 복소수는 작도 가능한 수로 정의할 수도 있다.

2. 1. 1. 기하학적으로 작도 가능한 점

O

와

A

를 유클리드 평면에 있는 서로 다른 두 점이라고 하자.

S

를

O

와

A

에서 시작하여 컴퍼스와 자로 작도할 수 있는 점들의 집합으로 정의한다. 이때

S

의 점들을 작도 가능한 점이라고 부른다. 정의에 따라

O

와

A

는

S

의 원소이다.

S

의 나머지 원소들을 더 명확히 설명하기 위해 다음 두 가지 정의를 사용한다.

끝점이 $S$ 에 있는 선분은 작도된 선분이라고 한다.
중심이 $S$ 에 있고 $S$ 의 점을 지나는 원(또는 반지름이 $S$ 의 서로 다른 두 점 사이의 거리인 원)을 작도된 원이라고 한다.

그러면

O

와

A

외에

S

에 속하는 점들은 다음 세 가지 방법으로 얻을 수 있다.

두 개의 평행하지 않은 작도된 선분 또는 작도된 선분을 포함하는 직선들의 교차점.
작도된 원과 작도된 선분 또는 작도된 선분을 포함하는 직선의 교차점.
서로 다른 두 개의 작도된 원의 교차점.

예를 들어, 작도된 선분

OA

의 중점은 작도 가능한 점이다. 이를 작도하는 한 가지 방법은

OA

를 반지름으로 하는 두 개의 원을 그리고, 이 두 원의 교차점을 지나는 선을 작도하는 것이다. 그러면 선분

OA

의 중점은 이 선분이 방금 작도된 선과 만나는 점이다.

2. 1. 2. 기하학적으로 작도 가능한 수

O와 A를 유클리드 평면에 있는 서로 다른 두 점이라고 가정하자. 이 두 점에서 시작하여 컴퍼스와 자로 작도할 수 있는 점들의 집합을 S라고 정의한다. 이때 S에 속하는 점들을 작도 가능한 점이라고 부른다. 정의에 따라 O와 A는 S의 원소이다. S의 나머지 원소들을 더 명확히 설명하기 위해 다음 두 가지를 정의한다.

끝점이 S에 있는 선분은 작도된 선분이라고 한다.
중심이 S에 있고 S의 점을 지나는 원(또는 반지름이 S의 서로 다른 두 점 사이의 거리인 원)을 작도된 원이라고 한다.

따라서 O와 A 외에 S에 속하는 점들은 다음 방법으로 얻어진다.

평행하지 않은 두 개의 작도된 선분 또는 이 선분들을 지나는 직선들의 교차점.
작도된 원과 작도된 선분 또는 이 선분을 지나는 직선의 교차점.
서로 다른 두 개의 작도된 원의 교차점.

예를 들어, 작도된 선분 OA의 중점은 작도 가능한 점이다. 중점을 작도하는 한 가지 방법은 OA를 반지름으로 하는 두 개의 원을 그리고, 이 두 원의 교차점을 지나는 선을 작도하는 것이다. 그러면 선분 OA의 중점은 이 선분이 작도된 선과 교차하는 지점이 된다.

기하학적 작도를 위해, 점 O를 원점 (0,0)에, 점 A를 (1, 0)에 대응시키는 데카르트 좌표계를 설정할 수 있다. 이제 S의 점들을 이용하여 기하학과 대수를 연결할 수 있는데, 이때 작도 가능한 수는 작도 가능한 점의 좌표로 정의된다.

작도 가능한 수에 대한 동등한 정의들도 있다. 하나는 작도 가능한 점 (x,0)의 x 좌표로 정의하는 것이고, 다른 하나는 작도 가능한 선분의 길이로 정의하는 것이다.^[3] 이러한 정의들이 동등함을 보이는 과정은 다음과 같다. 만약 어떤 작도 가능한 점의 좌표가 (x,y)라면, 이 점을 x 축에 수직으로 투영하여 점 (x,0)을 작도할 수 있고, 원점 (0,0)에서 이 점까지의 선분 길이는 x가 된다. 반대로, x가 작도 가능한 선분의 길이라면, 중심이 O이고 반지름이 x인 원과 x 축의 교점을 찾아 점 (x,0)을 얻을 수 있다. 이러한 동등성 때문에, 데카르트 좌표 (x,y)가 모두 기하학적으로 작도 가능한 수인 점은 그 자체로 기하학적으로 작도 가능한 점이 된다. 왜냐하면 x와 y가 작도 가능한 수일 때, 점 (x,0)과 (0,y)를 각각 지나고 좌표축에 수직인 두 직선의 교점을 작도하여 점 (x,y)를 얻을 수 있기 때문이다.

2. 2. 대수적 정의

대수적 관점에서 작도 가능한 수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 곱셈의 역, 그리고 제곱근 연산을 유한 번 사용하여 정수 0과 1로부터 만들어낼 수 있는 수를 의미한다.

작도 가능한 실수: 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 곱셈의 역, 그리고 양수의 제곱근 연산을 사용하여 0과 1로부터 만들 수 있는 실수이다. 예를 들어, 2의 제곱근은 $\sqrt{1+1}$ 로 표현 가능하므로 작도 가능한 실수이다.
작도 가능한 복소수: 실수의 경우와 동일한 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 곱셈의 역, 제곱근)을 사용하되, 제곱근 연산 시 임의의 복소수를 인수로 사용하여 그 주 제곱근을 구하는 것을 허용하여 0과 1로부터 만들 수 있는 복소수이다. 또는, 실수부와 허수부가 모두 작도 가능한 실수인 복소수로 정의할 수도 있다. 이 두 정의는 동등하다.^[4] 예를 들어, i는 $\sqrt{-1}$ 로 표현 가능하며, 실수부 0과 허수부 1이 모두 작도 가능하므로 작도 가능한 복소수이다.

대수적으로 작도 가능한 점은 그 데카르트 좌표가 모두 작도 가능한 실수인 점, 또는 복소평면에서 작도 가능한 복소수에 해당하는 점으로 정의할 수 있으며, 이 두 정의는 동등하다.^[4]

2. 2. 1. 대수적으로 작도 가능한 수

대수적으로 작도 가능한 실수(algebraically constructible real numbers)는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 곱셈의 역, 그리고 양수의 제곱근 연산을 유한 번 사용하여 정수(또는 더 간단하게는 0과 1)로부터 만들어낼 수 있는 실수의 부분 집합이다. 예를 들어, 2의 제곱근은

\sqrt2

또는

\sqrt{1+1}

로 표현할 수 있으므로 작도 가능한 수이다.

유사하게, 대수적으로 작도 가능한 복소수는 두 가지 방식으로 정의될 수 있다. 첫째는, 실수의 경우와 동일한 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 곱셈의 역, 제곱근)을 사용하되, 제곱근 연산 시 양수뿐만 아니라 임의의 복소수를 인수로 사용하여 그 주 제곱근을 구하는 것을 허용하는 방식이다. 둘째는, 실수부와 허수부가 모두 작도 가능한 실수인 복소수로 정의하는 방식이다. 예를 들어, 복소수

i

는

\sqrt{-1}

또는

\sqrt{0-1}

로 표현 가능하며, 실수부 0과 허수부 1은 모두 작도 가능한 실수이므로

i

는 작도 가능한 복소수이다.

작도 가능한 복소수에 대한 이 두 가지 정의는 서로 동일하다.^[4]

만약 복소수 $q=x+iy$ 의 실수부 $x$ 와 허수부 $y$ 가 모두 작도 가능한 실수라면, $x$ 와 $y$ 를 만드는 공식을 이용하여 $q$ 에 대한 공식 $x+y\sqrt{-1}$ 을 만들 수 있다. 이는 복소수 연산을 이용한 정의에 부합한다.
반대로, 복소수 연산을 이용한 공식으로 표현되는 작도 가능한 복소수가 있다면, 그 공식을 이루는 각 연산을 해당 인수의 실수부와 허수부에 대한 연산으로 재귀적으로 확장하여 실수부와 허수부에 대한 공식을 각각 얻을 수 있다. 이때 사용되는 확장 규칙은 다음과 같다.^[5]
$(a+ib)\pm (c+id)=(a \pm c)+i(b \pm d)$
$(a+ib)(c+id)=(ac-bd) + i(ad+bc)$
$\frac{1}{a+ib}=\frac{a}{a^2+b^2} + i \frac{-b}{a^2+b^2}$
$\sqrt{a+ib} = \frac{(a+r)\sqrt{r}}{s} + i\frac{b\sqrt{r}}{s}$ , 여기서 $r=\sqrt{a^2+b^2{}_{\!}}$ 이고 $s=\sqrt{(a+r)^2+b^2}$ 이다.

2. 2. 2. 대수적으로 작도 가능한 점

대수적으로 작도 가능한 점은 두 가지 방식으로 정의할 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동등하다.^[4]

첫째, 데카르트 좌표가 모두 대수적으로 작도 가능한 실수인 점으로 정의할 수 있다. 즉, 점 (x, y)에서 좌표값 x와 y가 모두 대수적으로 작도 가능한 실수여야 한다. 여기서 대수적으로 작도 가능한 실수란, 0과 1로부터 시작하여 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 그리고 양수의 제곱근 연산을 유한 번 사용하여 만들어낼 수 있는 실수를 의미한다. 예를 들어, √2는 $\sqrt{1+1}$ 로 표현 가능하므로 작도 가능한 실수이다.
둘째, 복소 평면에서 대수적으로 작도 가능한 복소수에 해당하는 점으로 정의할 수도 있다. 대수적으로 작도 가능한 복소수는 실수부와 허수부가 모두 작도 가능한 실수인 복소수이다. 예를 들어, i는 실수부 0과 허수부 1이 모두 작도 가능하므로 작도 가능한 복소수이다. 또는, 복소수의 사칙연산과 주 제곱근(인수가 복소수여도 허용)을 유한 번 사용하여 0과 1로부터 만들어지는 복소수로 정의할 수도 있다.^[4] 복소수 연산은 다음과 같이 실수부와 허수부 연산으로 확장될 수 있다:^[5]
* $(a+ib)\pm (c+id)=(a \pm c)+i(b \pm d)$
* $(a+ib)(c+id)=(ac-bd) + i(ad+bc)$
* $\frac{1}{a+ib}=\frac{a}{a^2+b^2} + i \frac{-b}{a^2+b^2}$
* $\sqrt{a+ib} = \frac{(a+r)\sqrt{r}}{s} + i\frac{b\sqrt{r}}{s}$ , 여기서 $r=\sqrt{a^2+b^2{}_{\!}}$ 이고 $s=\sqrt{(a+r)^2+b^2}$ 이다.

3. 기하학적 정의와 대수적 정의의 동치성

기하학적 작도를 시작할 때 주어진 두 점 $O$ 와 $A$ 를 이용해 데카르트 좌표계를 설정할 수 있다. 점 $O$ 는 원점 $(0,0)$ 에, 점 $A$ 는 $(1,0)$ 에 대응시킨다. 이렇게 설정된 좌표계를 통해 기하학적 작도와 대수를 연결할 수 있으며, '''작도 가능한 수'''는 작도 가능한 점의 좌표로 정의된다.

작도 가능한 수를 정의하는 다른 동등한 방법도 있다. 하나는 작도 가능한 점 $(x,0)$ 의 $x$ 좌표로 정의하는 것이고, 다른 하나는 작도 가능한 선분의 길이로 정의하는 것이다.^[3] 이 두 정의가 동등함을 보이는 것은 다음과 같다. 만약 어떤 점 $(x,y)$ 가 작도 가능하다면, 이 점에서 $x$ 축에 수직으로 선을 내려 점 $(x,0)$ 을 작도할 수 있다. 이때 원점 $O$ 에서 점 $(x,0)$ 까지의 거리는 $x$ 가 되므로, 좌표 $x$ 는 작도 가능한 길이가 된다. 반대로, 만약 길이 $x$ 가 작도 가능하다면, 원점 $O$ 를 중심으로 하고 반지름이 $x$ 인 원을 그렸을 때 이 원이 $x$ 축과 만나는 점 중 하나가 $(x,0)$ 이므로, 이 점은 작도 가능하다. 따라서 데카르트 좌표 $(x,y)$ 의 $x$ 와 $y$ 가 모두 기하학적으로 작도 가능한 수라면, 점 $(x,y)$ 자체도 기하학적으로 작도 가능한 점이다. 왜냐하면 점 $(x,0)$ 과 $(0,y)$ 를 각각 작도한 뒤, 이 점들을 지나면서 좌표축에 수직인 두 직선의 교점을 찾아 점 $(x,y)$ 를 작도할 수 있기 때문이다.

만약 $a$ 와 $b$ 가 0이 아닌, 기하학적으로 작도된 선분의 길이라면, 기본적인 컴퍼스와 눈금 없는 자 작도를 사용하여 길이 $a+b$ , $|a-b|$ , $ab$ , $a/b$ 를 갖는 선분을 작도할 수 있다. 특히 곱셈( $ab$ )과 나눗셈( $a/b$ ) 작도는 비례식 정리를 이용한 작도를 통해 가능하다. 또한, 길이 $a$ 인 선분이 주어졌을 때, 기하 평균 정리를 이용하여 길이 $\sqrt{a}$ 인 선분을 작도할 수 있다. 이러한 작도 방법들을 이용하면, 사칙연산과 제곱근으로 표현되는 모든 대수적으로 작도 가능한 수는 기하학적으로도 작도 가능하다는 것을 알 수 있다.^[6]

반대로, 기하학적으로 작도 가능한 모든 대상(점, 선, 원)은 그것들을 정의하는 값들(점의 좌표, 선의 기울기와

y

절편, 원의 중심 좌표와 반지름)로 나타낼 수 있다. 컴퍼스와 눈금 없는 자를 이용한 작도의 각 단계에서 새로 추가되는 기하학적 대상들은, 이전에 작도된 대상들의 값들을 이용한 산술 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)과 제곱근 연산만으로 표현될 수 있다. 비록 그 과정이 복잡할 수는 있지만, 이러한 대수적 표현이 가능하다는 사실로부터 모든 기하학적으로 작도 가능한 수는 대수적으로도 작도 가능하다는 결론을 내릴 수 있다.

결론적으로, 어떤 수가 기하학적으로 작도 가능하다는 정의와 대수적으로 작도 가능하다는 정의는 서로 동치이다.

4. 대수적 성질

주어진 두 선분의 길이가 0이 아닌 $a$ 와 $b$ 일 때, 기본적인 작도를 통해 길이 $a+b$ , $|a-b|$ , $ab$ , $a/b$ 인 선분을 만들 수 있다. 곱셈과 나눗셈 작도는 비례식 정리를 활용하며, 제곱근( $\sqrt{a}$ ) 작도는 기하 평균 정리를 이용한다. 이러한 작도 방법을 통해, 대수적으로 정의된 모든 작도 가능한 수는 기하학적으로도 작도 가능하다는 것을 알 수 있다.^[6]

반대로, 기하학적인 대상(점, 선, 원)의 좌표, 기울기, 반지름 등은 모두 작도 가능한 수로 표현될 수 있다. 컴퍼스와 자를 이용한 각 작도 단계에서 추가되는 기하학적 대상의 값들은 기존 값들의 사칙연산과 제곱근만으로 표현 가능하다. 따라서 모든 기하학적으로 작도 가능한 수는 대수적으로도 작도 가능하다.

결론적으로, 작도 가능한 수의 집합은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(0으로 나누는 경우 제외) 및 양수의 제곱근 연산에 대해 닫혀 있다. 이러한 성질은 작도 가능한 수들이 체를 이룬다는 것을 의미하며, 특히 양수의 제곱근을 포함하므로 유클리드 체가 된다.

어떤 수 $\gamma$ 가 작도 가능한지를 판별하기 위해서는 체 이론, 특히 체 확장 개념을 사용한다. 실수가 작도 가능하려면, 그 수는 유리수 체 $\mathbb{Q}$ 에서 시작하여 각 단계의 차수가 2인 유한한 체의 탑 $\mathbb{Q} = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_n$ 의 마지막 체 $K_n$ 에 포함되어야 한다. 이로부터 작도 가능한 수 $\gamma$ 에 대해, 체 확대의 차수 $[\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]$ 는 반드시 2의 거듭제곱 형태( $2^r$ )여야 한다는 필요조건을 얻는다. 복소수의 경우에도 유사한 조건이 성립하지만, 체의 탑이 복소수체를 포함할 수 있다는 차이가 있다. 그러나 차수가 2의 거듭제곱이라는 조건만으로는 작도 가능성을 보장할 수 없다(충분조건이 아님).

작도 가능성에 대한 충분조건은 갈루아 이론을 통해 얻을 수 있다. 수 $\gamma$ 의 최소 다항식의 모든 근을 포함하는 분해체 $K$ 를 고려했을 때, 만약 $K$ 의 $\mathbb{Q}$ 에 대한 차수 $[K:\mathbb{Q}]$ 가 2의 거듭제곱이라면 $\gamma$ 는 작도 가능하다. 이는 해당 분해체의 갈루아 군이 2-군이 되고, 이에 대응하는 이차 확대 체의 탑이 존재하기 때문이다.

유리수 체 $\mathbb{Q}$ 에서 시작하여 유한 번의 이차 확장을 통해 얻어지는 체를 $\mathbb{Q}$ 의 iterated quadratic extension|반복 이차 확장^eng이라고 한다. 작도 가능한 실수들의 체와 작도 가능한 복소수들의 체는 각각 $\mathbb{Q}$ 의 모든 실수 반복 이차 확장과 모든 복소 반복 이차 확장의 합집합과 같다.

4. 1. 작도 가능한 수의 체

대수적으로 볼 때, 작도 가능한 수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 그리고 0이 아닌 수의 역수(나눗셈) 연산에 대해 닫혀 있다. 이는 추상대수학에서 체를 정의하는 연산과 동일하다. 따라서 작도 가능한 수의 집합은 체를 형성한다. 특히, 작도 가능한 실수들은 유클리드 체를 이루는데, 이는 모든 양수 원소의 제곱근을 포함하는 순서체이다. 이 체와 그 부분체의 성질을 분석하면 작도 가능한 수에 대한 필요 조건을 도출할 수 있으며, 이를 통해 고전적인 기하학 작도 문제에서 특정 수가 작도 불가능함을 증명할 수 있다.

작도 가능한 수 전체의 체를 다루는 대신, 특정 작도 가능한 수

\gamma

에 의해 생성된 부분체

\mathbb{Q}(\gamma)

를 고려하고,

\gamma

의 대수적 작도 과정을 통해 이 체를 분해하는 것이 유용하다. 만약

\gamma

가 작도 가능한 실수라면, 작도 공식에 나타나는 값들을 이용해 유한 수열

\alpha_1, \dots, \alpha_n = \gamma

를 만들 수 있다. 이때 각 단계

i

에 대해, 체

\mathbb{Q}(\alpha_1, \dots, \alpha_i)

는 이전 체

\mathbb{Q}(\alpha_1, \dots, \alpha_{i-1})

의 확대체이며 그 차수는 2이다. 즉, 실수가 작도 가능하려면, 유리수 체

\mathbb{Q}

에서 시작하는 다음과 같은 유한한 체의 탑의 가장 마지막 체에 속해야 한다.

\mathbb{Q} = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_n

여기서

\gamma

는

K_n

에 포함되고, 모든

0 < j \le n

에 대해

[K_j : K_{j-1}] = 2

이다. 이 구조로부터,

\gamma

를 포함하는 최소의 체

\mathbb{Q}(\gamma)

의

\mathbb{Q}

에 대한 확대 차수

[\mathbb{Q}(\gamma) : \mathbb{Q}]

는

2^r

형태가 된다. 여기서

r

은 체의 탑에서 이차 확대 단계의 수이다.

실수의 경우와 유사하게, 복소수

\gamma

가 작도 가능하려면 유한한 복소 이차 확대 체의 탑의 가장 마지막 체에 속해야 한다. 즉, 다음과 같은 체의 탑이 존재해야 한다.

\mathbb{Q} = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_n

여기서

\gamma

는

F_n

에 포함되고, 모든

0 < j \le n

에 대해

[F_j : F_{j-1}] = 2

이다. 실수 경우와의 중요한 차이점은 이 탑을 구성하는 체들이 반드시 실수체일 필요는 없다는 것이다. 결과적으로 복소수

\gamma

가 작도 가능하다면, 그 확대 차수

[\mathbb{Q}(\gamma) : \mathbb{Q}]

는 반드시 2의 거듭제곱이어야 한다. 하지만 이 조건은 필요조건일 뿐 충분조건은 아니다. 즉, 확대 차수가 2의 거듭제곱이면서도 위와 같은 이차 확대 체의 탑으로 분해될 수 없는 체 확대가 존재한다.

작도 가능성에 대한 충분 조건을 얻기 위해서는,

\gamma

의 최소 다항식의 모든 근을 포함하는 분해체

K = \mathbb{Q}(\gamma, \gamma', \gamma'', \dots)

를 고려해야 한다. 만약 이 분해체

K

의

\mathbb{Q}

에 대한 확대 차수

[K : \mathbb{Q}]

가 2의 거듭제곱이라면, 그 갈루아 군

G = \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})

는 2-군이 된다. 2-군은 크기가 2의 거듭제곱인 부분군들의 감소하는 열(chain)을 가진다.

G = G_n \supseteq G_{n-1} \supseteq \cdots \supseteq G_0 = \{1\}

여기서

|G_k| = 2^k

이다. 갈루아 이론의 기본 정리에 따르면, 이 부분군들의 열에 대응하는 이차 확대 체의 탑이 존재한다.

\mathbb{Q} = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_n = K

이 탑의 가장 마지막 체

K

는

\gamma

를 포함하므로,

\gamma

는 작도 가능하다는 결론을 내릴 수 있다.

\mathbb{Q}

에서 시작하여 연속적인 이차 확대를 통해 생성될 수 있는 체를

\mathbb{Q}

의 '반복 이차 확장'(iterated quadratic extension)이라고 부른다. 작도 가능한 실수들의 체와 작도 가능한 복소수들의 체는 각각

\mathbb{Q}

의 모든 실수 반복 이차 확장과 모든 복소 반복 이차 확장의 합집합이다.

4. 2. 체의 확장

대수적으로 볼 때, 작도 가능한 수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(0으로 나누는 경우 제외) 연산에 대해 닫혀 있다. 이는 추상대수학에서 체를 정의하는 연산과 동일하다. 따라서 작도 가능한 수들의 집합은 체를 이룬다. 특히, 작도 가능한 실수들은 각 양수 원소의 제곱근을 포함하는 순서체인 유클리드 체를 형성한다. 이 체와 그 부분체의 성질을 분석하면 작도 가능한 수에 대한 필요 조건을 도출할 수 있으며, 이를 통해 고전적인 기하학 작도 문제에서 특정 수가 작도 불가능함을 증명할 수 있다.

작도 가능한 수 전체의 체 대신, 특정 작도 가능한 수

\gamma

에 의해 생성된 부분체

\mathbb{Q}(\gamma)

를 고려하는 것이 유용하다. 만약

\gamma

가 작도 가능한 실수라면,

\gamma

를 작도하는 과정에 나타나는 값들을 이용하여 실수의 유한 수열

\alpha_1, \dots, \alpha_n = \gamma

를 만들 수 있다. 이때 각 단계

i

에서 체

\mathbb{Q}(\alpha_1, \dots, \alpha_i)

는 이전 체

\mathbb{Q}(\alpha_1, \dots, \alpha_{i-1})

의 차수가 2인 확대체가 된다. 즉, 어떤 실수가 작도 가능하려면, 그 수는 다음과 같은 유한한 체의 탑의 가장 마지막 체에 속해야 한다.

\mathbb{Q} = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_n

여기서

\mathbb{Q}

는 유리수의 체이고,

\gamma

는

K_n

의 원소이며, 모든

0 < j \le n

에 대해

K_j

는

K_{j-1}

의 이차 확대체이다 (

[K_j : K_{j-1}] = 2

). 이로부터

\gamma

를 포함하는 가장 작은 체인

\mathbb{Q}(\gamma)

의

\mathbb{Q}

에 대한 체 확대의 차수

[\mathbb{Q}(\gamma) : \mathbb{Q}]

는

2^r

형태가 된다. 여기서

r

은 체의 탑에서 이차 확대 단계의 수이다.

복소수의 경우도 비슷하다. 어떤 복소수가 작도 가능하려면, 그 수는 유한한 복소 이차 확대 체의 탑의 가장 마지막 체에 속해야 한다. 즉, 복소수

\gamma

가 작도 가능하려면 다음 조건을 만족하는 체의 탑이 존재해야 한다.

\mathbb{Q} = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_n

여기서

\gamma

는

F_n

의 원소이고, 모든

0 < j \le n

에 대해

[F_j : F_{j-1}] = 2

이다. 실수 경우와의 차이점은 이 탑의 체들이 반드시 실수체일 필요는 없다는 점이다. 따라서 복소수

\gamma

가 작도 가능하면, 그 차수

[\mathbb{Q}(\gamma) : \mathbb{Q}]

는 2의 거듭제곱이다. 하지만 이 조건이 작도 가능성을 보장하는 충분조건은 아니다. 즉, 차수가 2의 거듭제곱이면서도 이차 확대의 연속으로 분해될 수 없는 체 확대가 존재하기 때문이다.

작도 가능성에 대한 충분조건을 얻으려면,

\gamma

의 최소 다항식의 모든 근을 포함하도록 체를 확장한 분해체

K = \mathbb{Q}(\gamma, \gamma', \gamma'', \dots)

를 고려해야 한다. 만약 이 분해체

K

의

\mathbb{Q}

에 대한 차수

[K : \mathbb{Q}]

가 2의 거듭제곱이라면, 그 갈루아 군

G = \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})는 크기가 2의 거듭제곱인 2-군 이 된다. 이러한 군은 다음과 같은 부분군들의 감소 수열을 가진다. G = G_n \supseteq G_{n-1} \supseteq \cdots \supseteq G_0 = \{1\}

여기서

|G_k| = 2^k

이다 (

0 \le k \le n

). 갈루아 이론의 기본 정리에 따르면, 이 부분군 수열에 대응하는 다음과 같은 이차 확대 체의 탑이 존재한다.

4. 3. 이차 확대의 탑
작도 가능한 실수는 유한한 체의 탑 구조를 통해 이해할 수 있다. 어떤 실수 \gamma 가 작도 가능하다면, 그 수를 작도하는 과정에 나타나는 값들을 이용하여 실수의 유한 수열 \alpha_1,\dots, \alpha_n=\gamma 를 만들 수 있다. 이 수열에서 각 단계의 체 \mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,\alpha_i) 는 그 이전 단계의 체 \mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1}) 를 확대한 것으로, 그 차수는 항상 2이다. 즉, 실수는 다음과 같은 유한한 체의 탑의 가장 마지막 체에 포함될 경우에만 작도 가능하다.

\mathbb{Q} = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_n

여기서

\mathbb{Q}

는 유리수의 체를 나타내고, 작도하려는 수

\gamma

는 마지막 체

K_n

안에 존재한다. 또한, 탑의 각 단계에서 확대 차수는

[K_j:K_{j-1}]=2

(단,

0< j\le n

)를 만족한다. 이 구조로부터, 작도 가능한 수

\gamma

에 대해 체 확대의 차수

[\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]

는 항상 2의 거듭제곱 형태인

2^r

(여기서

r

은 이차 확대 단계의 수)가 된다는 중요한 성질을 알 수 있다.

복소수의 경우도 실수와 비슷하다. 복소수

\gamma

가 작도 가능하려면, 유한한 복소 이차 확대의 탑의 가장 마지막 체에 속해야 한다.

\mathbb{Q} = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_n

여기서

\gamma

는

F_n

안에 있고, 모든

0 에 대해 [F_j:F_{j-1}]= 2 이다. 실수 경우와의 차이점은 이 탑을 구성하는 체들이 반드시 실수 체일 필요는 없다는 점이다. 따라서 작도 가능한 복소수 \gamma 에 대해서도 그 차수 [\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}] 는 2의 거듭제곱이 된다. 하지만 이 조건이 작도 가능성을 보장하는 충분조건은 아니다. 즉, 차수가 2의 거듭제곱이면서도 이차 확대의 연속으로 분해될 수 없는 체 확대가 존재하기 때문이다.

작도 가능성에 대한 충분 조건을 알기 위해서는 갈루아 이론을 이용해야 한다. 주어진 수

\gamma

의 최소 다항식의 모든 근을 포함하는 분해체

K=\mathbb{Q}(\gamma,\gamma',\gamma'',\dots)

를 생각해보자. 만약 이 분해체의 차수

[K:\mathbb{Q}]

가 2의 거듭제곱이라면, 그 갈루아 군

G=\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})

는 2-군이 된다. 2-군은 항상 다음과 같은 부분군들의 감소하는 수열을 가진다.

G = G_n \supseteq G_{n-1} \supseteq \cdots \supseteq G_0 = \{1\}

여기서 각 부분군의 크기

|G_k|

는

2^k

(

0\leq k \leq n

)이다. 갈루아 이론의 기본 정리에 따르면, 이러한 부분군 수열에 정확히 대응하는 이차 확대 체의 탑이 존재한다.

\mathbb{Q} = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_n = K

이 탑의 가장 마지막 체

K

는

\gamma

를 포함하므로, 분해체의 차수가 2의 거듭제곱이라는 조건은

\gamma

가 작도 가능함을 보장하는 충분조건이 된다.

이처럼

\mathbb{Q}

에서 시작하여 유한 번의 이차 확대를 통해 얻어지는 체를

\mathbb{Q}

의 반복 이차 확장이라고 부른다. 결국, 작도 가능한 실수들의 체와 작도 가능한 복소수들의 체는 각각

\mathbb{Q}

의 모든 실수 반복 이차 확장과 모든 복소 반복 이차 확장을 전부 합쳐놓은 것과 같다.

5. 삼각수

삼각수는 $\pi$ 의 유리수 배에 해당하는 각도의 코사인 또는 사인 값이다. 이러한 숫자들은 항상 대수적이지만, 작도 가능하지 않을 수도 있다.

5. 1. 삼각수와 작도 가능성

삼각수는

\pi

의 유리수 배에 해당하는 각도의 코사인 또는 사인 값이다. 이러한 숫자들은 항상 대수적이지만, 작도 가능하지 않을 수도 있다. 각도

2\pi/n

의 코사인 또는 사인 값은 특정 조건을 만족하는 자연수

n

에 대해서만 작도 가능하다. 그 조건은

n

이 다음 형태 중 하나여야 한다는 것이다.

2의 거듭제곱
페르마 소수, 즉 $2^{2^k}+1$ (k는 음이 아닌 정수) 형태의 소수
2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수들의 곱

예를 들어,

n=15

일 경우, 15는 서로 다른 페르마 소수인 3과 5의 곱이므로

\cos(\pi/15)

는 작도 가능하다. 하지만

n=9

일 경우, 9는 3 × 3으로 서로 다른 페르마 소수의 곱이 아니므로

\cos(\pi/9)

는 작도 가능하지 않다. 또한

n=7

일 경우, 7은 페르마 소수가 아니므로

\cos(\pi/7)

역시 작도 가능하지 않다.

6. 작도 불가능한 문제들

고대 그리스 시대부터 자-컴퍼스 작도만으로는 해결할 수 없는 특정 기하학 문제들이 알려져 있었다. 당시 사람들은 이 문제들이 단순히 풀기 어려운 것이 아니라, 원리적으로 풀 수 없는 문제일 수 있다고 생각했다. 이후 작도 가능한 수들의 대수적인 성질이 밝혀지면서, 특정 수(길이)를 자와 컴퍼스만으로 작도하는 것이 논리적으로 불가능함이 증명되었다.

하지만 이러한 문제들이 자와 컴퍼스라는 도구의 제약을 벗어나면 해결될 수도 있다. 예를 들어 아르키메데스는 눈금 있는 자를 사용하는 네우시스 작도라는 방법을 이용해 각의 삼등분선 문제를 해결하는 방법을 제시하기도 했다.^[7]

작도 가능한 수의 대수적 특징을 이용하면 다음과 같은 유명한 작도 문제들이 왜 자와 컴퍼스만으로는 해결 불가능한지 증명할 수 있다.

'''정육면체 배가 문제''': 주어진 정육면체의 부피를 두 배로 만드는 새로운 정육면체를 작도하는 문제이다. 이를 위해서는 한 변의 길이가 $\sqrt[3]{2}$ 인 정육면체를 만들어야 하는데, $\sqrt[3]{2}$ 는 유리수 체( $\mathbb{Q}$ ) 위에서의 최소 다항식 $x^3-2$ 의 차수가 3이기 때문에 작도 가능한 수가 아니다. 따라서 이 문제는 자와 컴퍼스만으로는 해결할 수 없다.
'''각의 삼등분선''': 주어진 임의의 각을 정확히 3등분하는 각을 작도하는 문제이다. 예를 들어, 작도 가능한 각인 $60^\circ$ ( $\pi/3$ )를 삼등분한 각 $20^\circ$ ( $\pi/9$ )는 자와 컴퍼스로 작도할 수 없다. 왜냐하면 $\cos(20^\circ)$ 를 근으로 갖는 최소 다항식 $8x^3-6x-1=0$ 의 차수가 3이기 때문이다. 특정 각의 삼등분이 불가능하므로, 임의의 각을 삼등분하는 일반적인 방법도 존재하지 않는다.^[9]
'''원적 문제''': 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 문제이다. 반지름 1인 단위 원의 넓이는 π이므로, 이와 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는 $\sqrt\pi$ 가 된다. 그러나 $\pi$ 는 대수적 수가 아닌 초월수이고, 따라서 $\sqrt\pi$ 역시 초월수이다. 초월수는 작도 가능한 수가 아니므로, 원적 문제는 자와 컴퍼스만으로 해결할 수 없다.
'''정다각형 작도 문제''': 모든 정 $n$ 각형을 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는 것은 아니다. 정 $n$ 각형이 작도 가능하려면 $\cos(2\pi/n)$ 이 작도 가능한 수여야 한다. 예를 들어, 정칠각형은 7이 페르마 소수가 아닌 소수이기 때문에 작도할 수 없다. 이는 정칠각형 꼭짓점의 좌표와 관련된 특정 3차 방정식의 해가 작도 불가능한 수이기 때문이기도 하다.^[10]
'''알하젠의 문제''': 두 점과 원형 거울이 주어졌을 때, 한 점에서 나온 빛이 거울의 특정 지점에서 반사되어 다른 점에 도달하게 하는 그 반사 지점을 찾는 문제이다. 특정 조건에서 이 반사 지점의 좌표는 어떤 사차 방정식의 해가 되는데, 이 해는 작도 가능한 수가 아님이 증명되었다. 따라서 알하젠의 문제 역시 자와 컴퍼스만으로는 일반적으로 해결할 수 없다.^[11]

6. 1. 정육면체 배적 문제

정육면체 배가 문제는 주어진 정육면체의 부피를 두 배로 하는 새로운 정육면체를 자-컴퍼스 작도만으로 만드는 문제이다. 예를 들어, 한 변의 길이가 1인 정육면체(부피 1)가 주어졌을 때, 부피가 2인 정육면체를 작도해야 한다.

부피가 2인 정육면체의 한 변의 길이는

\sqrt[3]{2}

가 된다. 그러나 이 길이는 자와 컴퍼스만으로는 작도할 수 없는 수이다. 그 이유는

\sqrt[3]{2}

를 근으로 가지는 유리수 체(

\Q

) 위의 최소 다항식이

x^3-2=0

인데, 이 다항식의 차수가 3이기 때문이다. 자와 컴퍼스 작도를 통해 얻을 수 있는 수의 최소 다항식은 반드시 그 차수가 2의 거듭제곱 형태(1, 2, 4, 8, ...)여야 한다는 것이 증명되어 있다.

다항식

x^3-2

는 유리수 범위 내에서 더 낮은 차수의 다항식으로 인수분해되지 않는 기약 다항식이다. 이 다항식의 세 근 중 실수인 것은

\sqrt[3]{2}

하나뿐이고, 이 수는 무리수이다. 만약 이 다항식이 유리수 계수를 가지는 이차 다항식과 일차 다항식의 곱으로 인수분해될 수 있다면, 적어도 하나의 유리수 근을 가져야 하지만 그렇지 않다.^[8] 따라서

\sqrt[3]{2}

는 작도 가능한 수가 아니며, 정육면체 배적 문제는 자와 컴퍼스만으로는 해결할 수 없다.

6. 2. 각의 삼등분 문제

주어진 임의의 각을 자와 컴퍼스만을 사용하여 정확히 3등분하는 문제이다. 고대 그리스 시대부터 정육면체 배가 문제, 원적 문제와 함께 3대 자-컴퍼스 작도 불가능 문제로 알려져 왔다. 특정 각(예: 90°)은 3등분이 가능하지만, 임의의 각을 3등분하는 일반적인 방법은 자와 컴퍼스만으로는 존재하지 않는다는 것이 증명되었다.

이 문제가 자와 컴퍼스로 불가능하다는 것은 대수적으로 증명될 수 있다. 어떤 각

\theta

가 주어졌을 때, 이 각의 코사인 값

x = \cos\theta

가 작도 가능한 수이면 각

\theta

는 작도 가능하다. 각의 삼등분 문제는 주어진

\cos\theta 값으로부터 \cos(\theta/3) 값을 작도하는 문제로 볼 수 있다.

예를 들어,

60^\circ

(

\pi/3

라디안)는 정삼각형의 한 각으로 자와 컴퍼스로 작도 가능하며,

\cos(60^\circ) = 1/2

로 이 값 역시 작도 가능하다. 그러나 이 각을 삼등분한

20^\circ

(

\pi/9

라디안)는 작도할 수 없다. 삼배각 공식

\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha

에

\alpha = 20^\circ

를 대입하면,

\cos(60^\circ) = 1/2 = 4\cos^3(20^\circ) - 3\cos(20^\circ)

이다. 여기서

y = \cos(20^\circ)

라 두면

1/2 = 4y^3 - 3y

, 즉

8y^3 - 6y - 1 = 0

이라는 방정식을 얻는다.

작도 가능한 수는 그 수가 만족하는 유리수 계수 다항식 중 차수가 가장 낮은 것(최소 다항식)의 차수가 반드시 2의 거듭제곱(1, 2, 4, 8, ...)이어야 한다는 성질이 있다. 그런데

\cos(20^\circ)

를 근으로 갖는 위 3차 방정식

8y^3 - 6y - 1 = 0

은 유리수체 위에서 기약 다항식이며, 이것이

\cos(20^\circ)

의 최소 다항식이 된다. 이 다항식의 차수는 3으로, 2의 거듭제곱이 아니므로

\cos(20^\circ)

는 작도 가능한 수가 아니다. 따라서

20^\circ

각은 자와 컴퍼스로 작도할 수 없다.^[9]

특정한 각인

60^\circ

의 삼등분이 불가능하기 때문에, 일반적인 각의 삼등분 문제 역시 자와 컴퍼스만으로는 해결할 수 없다.

다만, 자와 컴퍼스 외의 도구를 사용하거나 작도 규칙을 완화하면 각의 삼등분은 가능하다. 예를 들어 아르키메데스는 눈금 있는 자를 이용하는 네우시스 작도를 통해 각을 삼등분하는 방법을 제시했다.^[7]

6. 3. 원적 문제

원적 문제(圓積問題)는 주어진 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형을 자와 컴퍼스만으로 작도하는 문제이다. 예를 들어, 반지름이 1인 단위 원의 넓이는 π인데, 이와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한 변의 길이는

\sqrt\pi

가 된다.

π는 초월수로 알려져 있으며, 이는 π가 정수 계수를 가지는 어떠한 다항식의 해도 될 수 없음을 의미한다. 따라서 그 제곱근인

\sqrt\pi

역시 초월수이다. 작도 가능한 수는 모두 ℚ 위에서 대수적 수여야 하는데,

\sqrt\pi

는 초월수이므로 대수적 수가 아니다. 즉,

\sqrt\pi

는 자와 컴퍼스만으로는 작도할 수 없는 수이다.

결론적으로, 넓이가 π인 정사각형과 그 변의 길이는 작도가 불가능하며, 원적 문제는 자와 컴퍼스 작도로는 해결할 수 없는 문제임이 증명되었다.

6. 4. 정다각형 작도 문제

정

n

각형이 원점을 중심으로 작도될 때, 중심에서 연속된 꼭짓점까지 이어지는 두 선분 사이의 각은

2\pi/n

이다. 정

n

각형은 이 각의 코사인 값, 즉

\cos(2\pi/n)

이 작도 가능한 수일 경우에만 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있다.

예를 들어, 정십오각형은 작도가 가능하지만, 정칠각형은 작도할 수 없다. 이는 7이 소수이면서 페르마 소수가 아니기 때문이다.^[9]

정칠각형의 작도 불가능성은 대수적으로도 증명할 수 있다. 정칠각형의 꼭짓점은 복소평면에서 다항식

x^7-1=0

의 근으로 표현될 수 있다. 이 방정식의 근 중에서

x=1

에 해당하는 인수를 제외하면

x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0

을 얻는다. 양변을

x^3

으로 나누고

y=x+1/x

로 치환하면,

y

에 대한 3차 다항식

y^3+y^2-2y-1=0

을 얻을 수 있다. 이 다항식은 유리수 계수를 가지며 기약 다항식이고, 세 개의 실수 근을 갖는다. 각 근은 정칠각형의 꼭짓점에 해당하는 복소수의 실수부 값의 두 배와 같다. 그러나 이 3차 방정식의 근은 작도 가능한 수가 아니므로, 결과적으로 정칠각형은 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 없다.^[10]

6. 5. 알하젠의 문제

알하젠의 문제는 두 점과 원형 거울이 주어졌을 때, 원 위의 어느 지점에서 한 점의 반사 이미지를 다른 점에서 볼 수 있는지 찾는 문제이다. 기하학적으로 설명하면, 각 주어진 점에서 반사 지점까지 이르는 선분은 원의 접선과 같은 각도를 이루며, 두 선분이 원과 만나는 점을 이은 현의 길이는 같다. 그러나 이 반사 지점은 컴퍼스와 자만으로는 작도할 수 없다.

구체적인 예로, 단위 원 내부에 두 점

(\tfrac16,\tfrac16)

과

(-\tfrac12,\tfrac12)

가 있을 때, 해가 되는 점의 좌표는 기약 다항식인 사차 다항식

x^4-2x^3+4x^2+2x-1=0

의 근으로 나타난다. 이 다항식의 차수 4는 2의 거듭제곱이지만, 다항식의 분해체의 차원이 3의 배수이기 때문에, 그 해는 유리수 체

\mathbb{Q}

에 대해 반복적인 이차 확장을 통해 얻어질 수 없다. 이는 해당 지점을 컴퍼스와 자만으로 작도하는 것이 불가능함을 의미한다.^[11]

7. 역사

작도 가능한 수의 개념은 고대 그리스의 유명한 세 가지 자와 컴퍼스 작도 문제, 즉 입방 배적 문제, 각의 삼등분 문제, 원적 문제와 깊은 관련이 있다. 이러한 문제 해결에 자와 컴퍼스만을 사용해야 한다는 제약의 기원에 대해서는 플라톤 등 여러 설이 존재한다.^[12] 고대 그리스인들은 특정 정다각형 작도법을 알았지만 모든 정다각형을 작도하지는 못했다.

1796년 카를 프리드리히 가우스는 정십칠각형 작도가 가능함을 대수적으로 증명하며 정다각형 작도 문제에 큰 진전을 이루었다.^[12] 그는 1801년 저서 ''산술 연구''에서 정 $n$ 각형 작도에 대한 충분 조건을 제시했다. 이후 19세기에 들어 피에르 방첼은 1837년 입방 배적 문제와 각의 삼등분 문제가 자와 컴퍼스만으로는 불가능함을 증명했고, 정다각형 작도 가능 조건(가우스가 제시한 조건이 필요 조건이기도 함)도 완전히 규명했다.^[12] 페르디난트 폰 린데만은 1882년 π가 초월수임을 증명하여 원적 문제 역시 자와 컴퍼스로는 불가능함을 밝혔다.^[12]^[13] 제임스 그레고리는 1667년 Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura^la(원과 쌍곡선의 참된 구적법)에서 π의 대수적 성질을 이용해 원적 문제의 불가능성 증명을 시도했으나 완전하지는 않았다.^[12]

이러한 대수적 접근법의 토대는 1637년 르네 데카르트가 ''방법서설''의 부록인 ''라 지오메트리''에서 기하학적 작도와 숫자를 연결하면서 마련되었다.^[12] 고전적인 3대 문제 외에도 알하젠의 이름을 딴 알하젠의 문제 역시 작도 가능성과 관련된 역사적 문제 중 하나로, 자와 컴퍼스로 풀 수 없음이 후대에 증명되었다.^[14]

7. 1. 고대 그리스

작도 가능한 수의 개념은 고대 그리스 시대의 세 가지 유명한 자와 컴퍼스 작도 문제, 즉 입방 배적 문제, 각의 삼등분 문제, 원적 문제의 역사와 밀접하게 연관되어 있다. 기하학적 작도에 자와 컴퍼스만을 사용해야 한다는 제약은 종종 플라톤에게서 비롯되었다고 여겨진다. 플루타르코스에 따르면, 플라톤은 에우독소스, 아르키타스, 메나이크모스에게 입방 배적 문제를 제시했는데, 그들이 기계적인 방법을 사용하여 문제를 해결하자 순수 기하학을 사용하지 않았다는 이유로 그들을 꾸짖었다고 한다.^[12] 하지만 이러한 설명은 의문을 사기도 한다. 에라토스테네스가 에우토키오스를 통해 전한 또 다른 이야기에 따르면, 세 사람이 모두 해결책을 찾았지만 그 방법이 너무 추상적이어서 실용적인 가치가 없었다고 한다.

프로클로스는 로도스의 에우데모스를 인용하며 오이노피데스(기원전 약 450년)가 두 가지 자와 컴퍼스 작도를 했다고 언급했는데, 일부 저자들은 오이노피데스가 이러한 자와 컴퍼스 사용 제한을 처음 도입했을 것으로 추측하기도 한다. 자와 컴퍼스에 대한 제약은 고전적인 작도 문제들이 왜 불가능한지를 설명하는 데 필수적이다. 예를 들어, 각의 삼등분은 자와 컴퍼스만으로는 불가능하지만, 고대 그리스인들이 알고 있던 여러 다른 방법들, 즉 히피아스의 콰드라트릭스, 메나이크모스의 원뿔 곡선, 또는 아르키메데스의 눈금 있는 자를 이용한 뉴스 작도(neusis) 등으로는 수행될 수 있었다. 더 현대적인 접근 방식인 종이 접기를 통해서도 가능하다.

고전적인 세 가지 작도 문제는 아니지만, 정다각형을 자와 컴퍼스로 작도하는 문제 역시 고대 그리스 시대부터 중요하게 다루어졌다. 그리스인들은 변의 개수 ''n''이 2의 거듭제곱(''n''=2^''h'', ''h''≥2인 정수), 3, 5, 또는 이 숫자들 중 두 개 또는 세 개의 곱으로 나타낼 수 있는 정''n''각형을 작도하는 방법을 알고 있었지만, 다른 정''n''각형의 작도 문제는 그들에게 풀리지 않은 숙제로 남아 있었다.

알하젠의 문제 또한 고전적인 세 가지 문제 중 하나는 아니지만, 중세 이슬람 수학자인 알하젠의 이름을 따서 명명되었음에도 불구하고, 이미 2세기 프톨레마이오스의 광학에 관한 저서에 등장할 정도로 그 기원은 고대로 거슬러 올라간다.

7. 2. 중세 이슬람

알하젠의 문제는 고전적인 세 가지 작도 불가능 문제와는 별개로 다루어진다. 이 문제는 중세 이슬람 수학의 중요한 인물인 이븐 알하이삼(알하젠)의 이름을 따서 명명되었으나, 실제로는 그보다 앞선 2세기 프톨레마이오스의 광학에 관한 저서에서도 이미 언급된 바 있다. 알하젠의 문제는 자와 컴퍼스만으로는 해결할 수 없다는 사실이 후대에 와서야 증명되었다.^[14]

7. 3. 근대

1637년 르네 데카르트는 그의 저서 ''방법서설''의 부록인 ''라 지오메트리''에서 작도 가능한 수에 대한 연구를 시작했다. 그는 기하학적 선분과 숫자를 연결하여, 고대의 자와 컴퍼스 작도 문제를 대수적으로 다루는 방법을 제시했다. 이는 파푸스가 제기한 문제에 답하며 자신의 철학적 방법의 힘을 보여주기 위한 것이었다.^[12]

1796년, 18세의 학생이었던 카를 프리드리히 가우스는 정십칠각형을 자와 컴퍼스로 작도할 수 있음을 발표했다.^[12] 가우스는 실제 작도를 하기보다는, 정십칠각형의 중심각 코사인 값이 작도 가능한 수임을 대수적으로 증명하는 방식을 사용했다. 그는 1801년에 출판한 저서 ''산술 연구''에서 이 결과를 일반화하여, 정

n

각형이 작도 가능하기 위한 충분 조건을 제시했다. 즉,

n

이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수들의 곱일 경우 작도가 가능하다는 것이다. 가우스는 이 조건이 필요 조건이기도 하다고 주장했지만, 직접 증명하지는 않았다.^[12] 일부 학자들은 필요 조건에 대한 증명 역시 가우스의 공으로 돌리기도 한다.^[12]^[12]

피에르 방첼은 1837년 발표한 논문에서 입방 배적 문제와 각의 삼등분 문제가 자와 컴퍼스만으로는 해결될 수 없다는 것을 대수적인 방법으로 증명했다. 또한, 그는 같은 논문에서 어떤 정다각형이 작도 가능한지에 대한 문제도 해결하여, 정

n

각형이 작도 가능할 필요충분 조건은 변의 수

n

이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수들의 곱으로 표현될 수 있어야 한다는 것임을 밝혔다. 이는 가우스가 제시했던 충분 조건이 실제로는 필요 조건이기도 함을 증명한 것이다.^[12]

원적 문제의 불가능성은 1882년 페르디난트 폰 린데만에 의해 증명되었다. 그는 샤를 에르미트의 연구를 확장하여 π가 초월수임을 보였고, 이를 통해 원과 동일한 넓이를 갖는 정사각형을 자와 컴퍼스만으로 작도하는 것이 불가능함을 엄밀하게 밝혔다.^[12]^[13] 그 이전에도 제임스 그레고리가 1667년 Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura^lat(원과 쌍곡선의 참된 구적법)에서 π의 대수적 성질을 이용해 증명을 시도했으나 오류가 있었다.^[12]

참조

_[1] 서적
_[2] 서적 Euclid's ''Elements''
_[3] 서적
_[4] 서적 https://books.google[...]
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 간행물 Quaestiones convivales https://web.archive.[...]
_[13] 서적 The transcendence of the number {{pi}}
_[14] 서적

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