무한소

3. 무한소를 포함하는 수 체계

실수 체계에 무한대량 및 무한소량을 더하여 확장할 때, 실수가 가진 기본적인 성질을 가능한 한 보존하는 것이 일반적이다. 이렇게 하면 실수에 대해 알려진 결과를 확장된 체계에서도 사용할 수 있다. 여기서 "기본" 성질이란 "원에 관한 양화만 수행하고, 집합에 대한 양화는 수행하지 않는" 명제를 의미한다. 예를 들어, "임의의 수 x에 대해 x + 0 = x가 성립한다"는 덧셈 항등원 법칙은 유효하다. 하지만 "수들로 이루어진 임의의 집합 S에 대해—"와 같은 주장은 확장된 체계로 옮길 수 없다. 이러한 논리를 1차 논리라고 한다.

무한소를 포함하는 확장된 수 체계는 집합에 관한 양화로 나타나는 성질에서 실수와 같을 수 없다. 아르키메데스의 공리가 집합에 관한 양화로 나타나기 때문이다. 또한, 완비성도 기대할 수 없다. 실수체는 동형을 제외하고 유일한 완비 순서체이기 때문이다.

실수의 1차 성질과 양립하는 비아르키메데스적 수 체계는 다음 세 가지 레벨로 구별할 수 있다.

# 순서체는 1차 논리로 서술되는 실수 체계의 모든 일반적인 공리를 따른다. 예를 들어 덧셈의 교환 법칙 $x+y=y+x$가 성립한다.

# 실폐체는 순서체의 기본적인 관계 $+,\; \times ,\; \backslash le$를 포함하는 주장들에 대해 실수 체계가 갖는 모든 1차 성질을 갖는다. 예를 들어, "임의의 홀수 차 다항식이 근을 갖는다"와 같은 성질이 추가된다.

# 이 체계에서는 어떤 관계를 포함하는 주장에 대해서도 실수 체계가 갖는 모든 1차 성질을 갖는다. 예를 들어, 무한대 입력에 대해서도 모순 없이 정해지는 사인 함수가 있어야 한다.

위의 분류 중 1번은 구성이 비교적 쉽지만, 뉴턴이나 라이프니츠의 정신에 따라 무한소를 사용하는 고전적인 해석학을 완전히 전개하기는 어렵다. 초월 함수는 무한대의 극한 과정으로 정의되는데, 이는 1차 논리 안에서 정의하기 어렵기 때문이다. 2번이나 3번에 해당하면 해석적인 색채는 짙어지지만, 구성적인 성격이 약해지고 무한대나 무한소의 계층 구조에 대해 구체적으로 말하기 어려워진다.

3. 1. 형식 급수

3. 2. 초현실수

3. 3. 초실수

3. 4. 준초실수

3. 5. 쌍대수

3. 6. 매끄러운 무한소 해석

4. 1차 성질

엘레아 학파에서 무한소 개념을 논의했다. 그리스 수학의 수학자 아르키메데스는 ''기계적 정리 방법''에서 무한소에 대한 논리적으로 엄밀한 정의를 처음으로 제안했다.^[5] 그의 아르키메데스 성질은 특정 조건을 만족하는 숫자 ''x''를 무한으로 정의하고, 무한소는 ''x'' ≠ 0이고, 유사한 조건이 ''x''와 양의 정수의 역수에 적용된다. 수 체계에 무한 또는 무한소 구성원이 없으면 아르키메데스적이라고 한다.

영국의 수학자 존 윌리스는 1655년 저서 ''원뿔 단면론''에서 1/∞라는 표현을 도입했다. 이는 ∞의 역수 또는 반대를 나타내는 기호로, 무한소라는 수학적 개념을 상징적으로 표현한 것이다.

확장된 수 체계는 집합에 대한 양화를 통해 표현될 수 있는 모든 속성에 대해 실수와 일치할 수 없다. 왜냐하면 목표는 비-아르키메데스적 체계를 구성하는 것이고, 아르키메데스 원리는 집합에 대한 양화를 통해 표현될 수 있기 때문이다. 실수를 포함하는 모든 이론, 즉 집합론을 보수적으로 확장하여 무한소를 포함하려면, 1/2, 1/3, 1/4 등보다 작은 수를 주장하는 가산 무한 개의 공리를 추가하면 된다. 완비성 속성은 실수가 동형까지 유일한 완비 순서 필드이므로 유지될 수 없다.

비-아르키메데스적 수 체계가 실수의 일차 속성과 호환될 수 있는 세 가지 수준은 다음과 같다.

# 순서 필드는 일차 논리로 표현될 수 있는 실수 체계의 모든 일반적인 공리를 따른다. (예: 교환 법칙 ''x'' + ''y'' = ''y'' + ''x'')

# 실수 닫힌 필드는 기본적인 순서 필드 관계 +, ×, ≤를 포함하는 명제에 대해, 실수 체계의 모든 일차 속성을 갖는다. (순서 필드 공리보다 강력한 조건, 예: 모든 홀수 차수 다항식의 근 존재, 모든 수의 세제곱근 존재)

# 이 체계는 ''어떤'' 관계 ( +, ×, ≤를 사용하여 표현될 수 있는지 여부와 관계없이)를 포함하는 명제에 대해 실수 체계의 모든 일차 속성을 갖는다. (예: 무한 입력을 위한 사인 함수 정의)

5. 논리적 성질

라이프니츠는 무한소를 "유한한 수에 대해 성립하는 것은 무한한 수에 대해서도 성립하며, 그 반대도 마찬가지"^[26]라는 과 할당 불가능한 양을 포함하는 식을 할당 가능한 양만으로 이루어진 식으로 대체하는 구체적인 지침인 과 같은 경험적인 원리에 기초하여 사용하였다. 18세기에는 레온하르트 오일러, 조제프루이 라그랑주 등 수학자들이 무한소를 일상적으로 사용하였다. 오귀스탱 루이 코시는 자신의 저서 『해석학 강요』에서 무한소를 연속량이자 디랙 델타 함수의 전신으로 정의했다.

실수 체계에 무한대량 및 무한소량을 더한 확장을 생각할 때, 전형적으로 실수가 가진 "기본" 성질을 가능한 한 보존하는 것이 바람직하다. 그렇게 하면 실수에 관해 잘 알려진 방대한 결과가 확장된 체계에서도 그대로 사용될 수 있다는 보장을 얻을 수 있기 때문이다. 여기서 "기본" 성질이란, "원에 관한 양화만 수행하고, 집합에 대한 양화는 수행하지 않는" 명제를 의미한다. 이러한 제한 하에서 "임의의 수 x에 관하여"와 같은 주장은 허용된다. 예를 들어, 덧셈 항등원 법칙 "임의의 수 x에 대해 x + 0 = x가 성립한다"는 주장은 유효하다. 여러 개의 수를 양화할 수도 있는데, 예를 들어 "임의의 두 수 x, y에 대해 xy = yx가 성립한다"도 유효하다. 그러나 "수들로 이루어진 임의의 집합 S에 대해"와 같은 주장은 확장된 체계로 옮겨 적을 수 없다. 이러한 양화에 관한 제한을 수반하는 논리를 1차 논리라고 부른다.

무한소를 포함하도록 확장된 수 체계는 집합에 관한 양화로 나타나는 성질의 모든 면에서 실수와 같은 결과를 보여서는 안 된다. 목적하는 체계는 비아르키메데스적이지만, 아르키메데스의 공리는 집합에 관한 양화로 나타나기 때문이다. 실수나 점 집합에 관한 임의의 이론에 무한소를 더한 보존적 확장을 얻는 한 가지 방법은, "무한소는 1/2보다 작다", "무한소는 1/3보다 작다" 등과 같은 주장들로 이루어진 가산 무한 개의 공리를 추가하는 것이다. 마찬가지로, 완비성도 목적하는 체계에서는 기대할 수 없다. 실수체는 동형을 제외하고 유일한 완비 순서체이기 때문이다.

실수의 1차 성질과 양립하는 성질을 갖는 비아르키메데스적 수 체계에 대해, 다음 세 가지 레벨을 구별할 수 있다.

1. 순서체는 1차 논리로 서술되는 실수 체계의 모든 일반적인 공리를 따른다. 예를 들어 교환 법칙 x + y = y + x가 성립한다. 한편, 모든 성질을 공유하는 것은 아니다. 예를 들어, 영이 아닌 수의 제곱의 합은 영이 아니라는 것(실체의 공리)은 말할 수 있지만, 홀수 차 다항식이 반드시 근을 갖는다는 것은 말할 수 없다.

2. 실폐체는 일반적으로 공리로 취하는지에 관계없이, 순서체의 기본적인 관계 +, ×, ≤를 포함하는 주장들에 대해, 실수 체계가 갖는 모든 1차 성질을 갖는다. (이는 실폐체의 1차 이론 RCF가 완전하다는 사실에 기인한다.) 이는 순서체의 공리를 모두 만족한다는 주장보다 강한 조건이다. 더 명확히 말하면, "임의의 홀수 차 다항식이 근을 갖는다"와 같은 1차 성질이 추가로 포함된다. 이 체계에서는 예를 들어 임의의 수가 세제곱근을 가져야 한다.

3. 이 체계에서는 어떤 관계(그 관계가 +, ×, ≤로 표현될 필요는 없다)를 포함하는 주장에 대해서도 실수 체계가 갖는 모든 1차 성질을 갖는다. 예를 들어, 무한대의 입력에 대해서도 모순 없이 정해지는 사인 함수가 있어야 한다. 같은 것은 어떤 실수 함수에 대해서도 말할 수 있다.

6. 교육에서의 무한소

실바누스 P. 톰슨의 ''미적분학 쉽게 배우기''(모토는 "바보 한 명이 할 수 있는 일은 다른 사람도 할 수 있다"^[15])와 R. 노이엔도르프의 ''기계 산업 중급 기술 전문 학교를 위한 수학''^[16]은 무한소를 기반으로 한 미적분학 교과서이다. 아브라함 로빈슨의 무한소 기반 선구적인 작품으로는 스트로얀의 텍스트(1972년)와 하워드 제롬 케이슬러의 텍스트(초보 미적분학: 무한소 접근 방식)가 있다. 학생들은 무한소 차이 1-"0.999..."의 직관적인 개념에 쉽게 공감하며, 여기서 "0.999..."는 실수 1로서의 표준적인 의미와 다르며, 1보다 엄격하게 작은 무한 종결 확장 소수로 재해석된다.^[17][18]

로빈슨이 개발한 무한소 이론을 사용하는 또 다른 초보 미적분학 텍스트는 헨레와 클라인버그가 1979년에 처음 출판한 ''무한소 미적분학''이다.^[19] 저자들은 일차 논리의 언어를 소개하고, 초실수의 일차 모델 구성을 보여준다. 이 텍스트는 시퀀스와 함수의 급수를 포함하여 1차원에서의 적분 및 미분 미적분학의 기본 사항에 대한 소개를 제공한다. 부록에서는 또한 그들의 모델을 ''초초''실수로 확장하고 확장 모델에 대한 몇 가지 응용 프로그램을 보여준다.

부드러운 무한소 분석을 기반으로 한 초보 미적분학 텍스트는 Bell, John L. (2008). A Primer of Infinitesimal Analysis, 2nd Edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521887182 이다.

무한소를 활용하는 보다 최근의 미적분학 텍스트는 Dawson, C. Bryan (2022), Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue, Oxford University Press. ISBN 9780192895608 이다.

7. 0으로 수렴하는 함수

"무한소"라는 용어는 원래 "무한히 작은 양"이라는 무한소의 정의에서 파생되었지만, 0으로 수렴하는 함수를 지칭하는 데에도 사용되어 왔다. 루미스와 스턴버그의 《고등 미적분학(Advanced Calculus)》에서는 정규 노름 벡터 공간 사이의 함수 $f:V\backslash to\; W$의 부분 집합으로 무한소의 함수 클래스 $\backslash mathfrak\{I\}$를 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash mathfrak\{I\}(V,W)\; =\; \backslash \{f:V\backslash to\; W\backslash \; |\backslash \; f(0)=0,$

(\forall \epsilon>0) (\exists \delta>0)

\ \backepsilon\ ||\xi||<\delta\implies

||f(\xi)||<\epsilon\}

두 개의 관련 클래스 $\backslash mathfrak\{O\},\backslash mathfrak\{o\}$ (빅 오 표기법 참조)는 다음과 같다.

:$\backslash mathfrak\{O\}(V,W)\; =\; \backslash \{f:V\backslash to\; W\backslash \; |\backslash \; f(0)=0,\backslash \; (\backslash exist\; r>0,c>0)\backslash \; \backslash backepsilon\backslash$

||\xi||< r \implies ||f(\xi)||\leq c||

\xi||\}

:$\backslash mathfrak\{o\}(V,W)\; =\; \backslash \{f:V\backslash to\; W\backslash \; |\backslash \; f(0)=0,\backslash \; \backslash lim\_$

참조

_[1] 논문 A New Reading of Method Proposition 14: Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest (Part 1) 2001
_[2] 서적 Huygens and Barrow, Newton and Hooke. Pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals Birkhäuser Verlag, Basel
_[3] 웹사이트 Continuity and Infinitesimals https://plato.stanfo[...] 2013-09-06
_[4] 간행물 Leibniz's Infinitesimals: Their Fictionality, Their Modern Implementations, and Their Foes from Berkeley to Russell and Beyond
_[5] 문서 The Method of Mechanical Theorems
_[6] 서적 Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World Scientific American / Farrar, Straus and Giroux
_[7] 서적 The Analyst: A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. https://archive.org/[...]
_[8] 논문 Infinitesimals as an Issue of Neo-Kantian Philosophy of Science 2013
_[9] 웹사이트 Infinitesimals in Modern Mathematics http://www.jonhoyle.[...] Jonhoyle.com 2011-03-11
_[10] 웹사이트 Analysis on the Levi-Civita Field, a Brief Overview http://www.uwec.edu/[...]
_[11] 논문 Transseries for Beginners https://people.math.[...] 2010
_[12] 간행물 Conway's Field of surreal numbers https://www.ams.org/[...] 2019-03-05
_[13] 서적 An Invitation to Abstract Mathematics https://books.google[...] Springer
_[14] 서적 An Introduction to the Theory of Surreal Numbers Cambridge University Press
_[15] 서적 Calculus Made Easy https://archive.org/[...] The Macmillan Company
_[16] 문서 Lehrbuch der Mathematik fur Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie Verlag Julius Springer, Berlin
_[17] 논문 Nonstandard student conceptions about infinitesimals http://u.cs.biu.ac.i[...]
_[18] 논문 When is .999... less than1? http://www.math.umt.[...] 2012-12-07
_[19] 서적 Infinitesimal Calculus https://archive.org/[...] The MIT Press, rereleased by Dover
_[20] 서적 Advanced Calculus https://archive.org/[...] World Scientific
_[21] 문서
_[22] 논문 The Asymptotics of L-statistics for non-i.i.d. variables with heavy tails https://www.math.uni[...]
_[23] URL http://plato.stanfor[...]
_[24] 간행물 Leibniz’s Infinitesimals: Their Fictionality, Their Modern Implementations, and Their Foes from Berkeley to Russell and Beyond
_[25] 문서 A new reading of Method Proposition 14: preliminary evidence from the Archimedes palimpsest. I
_[26] 문서
_[27] 서적 Huygens and Barrow, Newton and Hooke. Pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals Birkhäuser Verlag, Basel
_[28] 웹사이트 Infinitesimals in Modern Mathematics http://www.jonhoyle.[...] Jonhoyle.com 2011-03-11
_[29] 문서
_[30] 웹사이트 Analysis on the Levi-Civia Field: A Brief Overview http://www.uwec.edu/[...]
_[31] 웹사이트 Transseries for Beginners http://www.math.ohio[...]
_[32] 서적 超現実数 —数学小説 海鳴社
_[33] 문서
_[34] 문서
_[35] 간행물 Super-real Fields: Totally Ordered Fields with Additional Structure Clarendon Press