곱

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1. 개요

곱은 수학에서 두 개 이상의 수를 곱한 결과, 또는 여러 수학적 대상들을 결합하는 연산을 의미한다. 두 자연수의 곱은 덧셈으로 정의되며, 정수, 유리수, 실수, 복소수 등 다양한 수 체계에서도 곱셈이 정의된다. 선형대수학에서는 스칼라 곱셈, 스칼라곱, 벡터곱, 행렬 곱셈, 텐서곱 등 여러 종류의 곱이 존재하며, 집합론에서는 데카르트 곱이, 범주론에서는 곱, 섬유 곱, 당김 등의 개념이 사용된다. 이러한 곱셈 연산들은 모노이드 범주와 범주론적 곱의 일반적인 개념으로 설명될 수 있다.

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곱

2. 수의 곱

자연수의 곱셈은 두 자연수 $m$ 과 $n$ 의 곱을 $m$ 을 $n$ 번, 혹은 $n$ 을 $m$ 번 더하는 것으로 정의한다. 이는 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

정수의 곱셈은 각 정수의 절댓값을 곱한 뒤, 아래 표에 따라 부호를 붙여 계산한다.

·	-	+
-	+	-
+	-	+

유리수는 분수 형태로 나타낼 수 있으므로, 두 유리수의 곱은 분자끼리, 분모끼리 곱하여 계산한다.

실수의 곱셈은 유리수의 극한을 이용하여 엄밀하게 정의된다.

두 복소수의 곱은 분배법칙과 ''i''² = -1 이라는 정의를 이용하여 계산할 수 있다.

사원수의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않는다. 즉, $a \cdot b$ 와 $b \cdot a$ 가 일반적으로 같지 않다.

수열의 곱은 곱셈 연산자로 대문자 그리스어 알파벳 파이 (Π)를 사용한다.^[6] 예를 들어, $\textstyle \prod_{i=1}^{6}i^2$ 는 $1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36$ 를 의미한다.^[7] 곱할 수가 없는 경우 그 수열의 곱은 1과 같으며, 하나의 수로만 이루어진 수열의 곱은 그 수 자신과 같다.

가환환에도 곱 연산이 존재한다.

2. 1. 두 자연수의 곱

두 자연수

m

과

n

의 곱은

m

을

n

번 더한 값이며,

m\times n

또는

m\cdot n

으로 쓴다.

n

을

m

번 더한 값과도 같다. 즉 아래와 같다.

:

m\cdot n = \underbrace{m+m+\cdots+m }_{n\text{번}} = \underbrace{n+n+\cdots+n }_{m\text{번}}

예를 들어 3과 4의 곱은

3\cdot 4=3+3+3+3=4+4+4=12

이다.

2. 2. 두 정수의 곱

정수는 양수와 음수, 그리고 0을 말한다. 두 정수의 곱은 각 정수의 절댓값을 곱한 값에 다음 규칙에 맞는 부호를 달아 구할 수 있다.

·	-	+
-	+	-
+	-	+

즉 양수와 음수를 곱하면 음수가 되고, 양수와 양수 또는 음수와 음수를 곱하면 그 결과값은 양수가 된다.

예를 들어 3과 -4의 곱은 3·(-4)=-(3·4)=-12이고, -1과 -1의 곱은 (-1)·(-1)=1·1=1이다.

정수의 곱에서 부호는 두 정수 간 덧셈과 곱셈의 분배법칙으로부터 유도되는 결과이다. -1 참고.

2. 3. 두 유리수의 곱

두 유리수의 곱은 각 유리수를 분수로 나타낸 뒤 분자와 분모끼리 곱하여 구할 수 있다.

:

\frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z \cdot z'}{n \cdot n'}

2. 4. 두 실수의 곱

실수의 곱셈은 유리수의 극한을 이용하여 엄밀하게 정의된다. 임의의 실수 a에 대해 유리수를 원소로 가지고 a가 상한인 집합 A가 존재한다.

:

a = \sup_{x \in A} x

b가 집합 B의 상한이 되는 실수일 때, 두 실수의 곱

a \cdot b

는

:

a \cdot b = \sup_{x \in A, y \in B} x \cdot y

로 정의된다. 이 경우 두 실수의 곱은 어떤 집합 A와 B를 선택하느냐에 관계없이 같다. 즉 집합의 상한이 변하는 것이 아니라면, 어떤 집합을 선택하든지 두 실수의 곱

a \cdot b

는 동일하다.

2. 5. 두 복소수의 곱

두 복소수의 곱은 분배법칙과 ''i''² = -1 이라는 정의를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

:

\begin{align}(a + b\, i) \cdot (c + d\, i)&= a \cdot c + a \cdot d\, i + b \, i \cdot c + b \cdot d \cdot i^2\\&= (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) \, i\end{align}

2. 5. 1. 복소수 곱셈의 기하학적 의미

극좌표에 나타낸 반지름(녹색 선)이 r이고 각이 $\varphi$ 인 복소수 $a + b\, i$ .

복소수는 극좌표에 점으로 나타낼 수 있다. 복소수

a + b\, i

가 극좌표에서 반지름이 r이고 각이

\varphi

이면 다음과 같다.

:

a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) +  i \sin(\varphi) ) = r \cdot  e ^{ i \varphi}

:

c + d\, i = s \cdot ( \cos(\psi) +  i\sin(\psi) ) = s \cdot e^{i\psi}

라고 하면 두 복소수

a + b\, i

와

c + d\, i

의 곱은 아래와 같다.

:

(a + b\, i) \cdot (c + d\, i) = (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}

즉, 극좌표에서 두 복소수의 곱은 두 복소수의 반지름의 곱을 반지름으로 하고 두 복소수의 각의 합을 각으로 가지는 복소수가 된다.

2. 6. 두 사원수의 곱

사원수에서처럼, 사원수의 곱셈은 일반적으로

a \cdot b

와

b \cdot a

가 같지 않다. 즉, 교환법칙이 성립하지 않는다.

3. 수열의 곱

수열의 곱셈 연산자로는 대문자 파이(Π)를 사용한다. 이는 합 기호로 대문자 시그마(Σ)를 쓰는 것과 유사하다.^[6]^[1] 예를 들어, $\textstyle \prod_{i=1}^{6}i^2$ 는 $1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36$ 를 의미한다.^[7]^[2]

하나의 수로만 이루어진 수열의 곱은 그 수 자신과 같다. 수열에서 곱할 수가 없는 경우, 그 수열의 곱은 공허한 곱으로, 1과 같다.

4. 가환환

가환환에는 곱셈 연산이 있다. 정수의 합동류의 곱은 다음과 같이 정의된다.

: $(a + N\mathbb{Z}) \cdot (b + N\mathbb{Z}) = a \cdot b + N\mathbb{Z}$

이 밖에도 다음과 같은 곱셈 연산이 존재한다.

집합의 곱
위상 공간의 곱
범주에서의 곱
Product category|범주의 곱^영어

4. 1. 정수의 합동류

환

\mathbb{Z} / N\mathbb{Z}

의 잉여류는 덧셈을 할 수 있으며, 다음과 같이 정의된다.

:

(a + N\mathbb{Z}) + (b + N\mathbb{Z}) = a + b + N\mathbb{Z}

곱셈도 할 수 있으며, 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

(a + N\mathbb{Z}) \cdot (b + N\mathbb{Z}) = a \cdot b + N\mathbb{Z}

4. 2. 합성곱

두 실함수를 곱하는 또 다른 방법으로 합성곱이 있다.

두 함수 f^영어, g^영어가 다음을 만족할 때,

:

\int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)|\,\mathrm{d}t < \infty,\qquad\int\limits_{-\infty}^\infty |g(t)|\,\mathrm{d}t < \infty

합성곱은 아래와 같이 정의된다.

:

(f*g) (t) \;:= \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)\cdot g(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau

푸리에 변환에 따르면 합성곱은 점별 함수 곱셈이 된다.

4. 3. 다항식환

다항식환에서 두 다항식의 곱은 다음과 같이 구한다.^[1]

:

\left(\sum_{i=0}^n a_i X^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^m b_j X^j\right) = \sum_{k=0}^{n+m} c_k X^k

여기서

c_k = \sum_{i+j=k} a_i \cdot b_j

이다.^[1]

5. 선형대수학에서의 곱

선형대수학에서는 여러 종류의 곱셈을 다룬다. 15세기 말 수학적 표기법과 변수가 도입되면서, 지정되지 않은 수(계수 및 매개변수)나 찾아야 하는 수(미지수)의 곱셈을 고려하게 되었다. 예를 들어, 선형 방정식 $ax+b=0,$ 에서 항 $ax$ 는 계수 $a$ 와 미지수 $x$ 의 곱을 나타낸다.

19세기부터는 숫자를 포함하지 않는 새로운 이항 연산에도 '곱'이라는 이름을 붙이기 시작했다. 예를 들어 점곱이 있다. 선형대수학에서는 이름은 유사하지만 의미는 다른 곱셈(외적, 외대수)과, 이름은 다르지만 본질적으로 동일한 아이디어를 전달하는 곱셈(외적, 텐서곱, 크로네커 곱)이 존재한다.

선형대수학에서 다루는 곱셈은 다음과 같다.

스칼라와 벡터를 곱하는 스칼라 곱셈^[1]
두 벡터로부터 스칼라를 얻는 스칼라곱
3차원 공간에서 두 벡터에 모두 수직인 벡터를 얻는 벡터곱(외적)
벡터 공간 ''V''에서 ''W''로의 선형 사상과 ''W''에서 ''U''로의 선형 사상의 합성^[8]
두 행렬의 곱
두 벡터 공간의 텐서곱^[4]
기타 곱:
* 아다마르 곱
* 크로네커 곱
* 텐서의 곱:
** 쐐기곱 또는 외적
** 내부곱
** 외적
** 텐서곱

5. 1. 스칼라 곱셈

벡터 공간의 정의에 따라 스칼라와 벡터를 곱해 벡터를 얻는 사상

\R \times V \rightarrow V

인 스칼라 곱셈을 할 수 있다.^[1]

5. 2. 스칼라곱

스칼라곱은 쌍선형 사상이다.

:

\cdot : V \times V \rightarrow \R

다음 조건을 만족한다. 모든

0 \not= v \in V

에 대해

v \cdot v > 0

이다.

스칼라곱으로부터

\|v\| := \sqrt{v \cdot v}

로 정의하여 노름을 정의할 수 있다.

스칼라곱은 또한 두 벡터 사이의 각도를 정의할 수 있게 해준다.

:

\cos\angle(v, w) = \frac{v \cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}

n

차원 유클리드 공간에서 표준 스칼라곱 (점곱)은 다음과 같이 주어진다.

:

\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n \beta_i e_i\right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\beta_i

5. 3. 3차원 공간의 벡터곱

3차원 공간에서 두 벡터의 벡터곱(외적)은 두 벡터로부터 만들어지는 평행사변형의 넓이를 길이로 가지는 벡터가 된다. 이 벡터는 두 벡터 모두에 수직이다.

벡터곱은 아래와 같은 행렬식으로도 구할 수 있다.

:

\mathbf{u \times v} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\u_1 &        u_2 &        u_3 \\v_1 &        v_2 &        v_3 \\\end{vmatrix}

5. 4. 선형 사상의 합성

체 '''F''' 위의 두 벡터 공간 ''V''와 ''W''에 대하여, ''f''를 ''V''에서 ''W''로의 선형 사상, ''g''를 ''W''에서 ''U''로의 선형 사상이라 하자. 그러면 ''V''에서 ''U''로 가는 ''f''와 ''g''의 합성

g \circ f

는 다음과 같이 구할 수 있다.^[8]

:

g \circ f(\mathbf{v}) = g\left({f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j\right) = {g^j}_k {f^i}_j v_i \mathbf{b_U}^k.

여기서 '''b_V''', '''b_W'''는 각각 ''V''와 ''W''의 기저이다.

행렬 '''F'''와 '''G'''에 대해 ''F_ij=f^j_i'', ''G_ij=g^j_i''라 하면 함수의 합성은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

g \circ f(\mathbf{v}) = \mathbf{G} \mathbf{F} \mathbf{v},

둘 이상의 선형 사상의 합성은 행렬 곱셈을 이용해 비슷한 방식으로 나타낼 수 있다.^[8]

5. 5. 두 행렬의 곱

두 행렬 A = (a_i,j)_{i=1… s;j=1… r} ∈ ℝ^s×r, B = (b_j,k)_{j=1… r;k=1… t}∈ ℝ^r×t에 대해, 두 행렬의 곱은 다음과 같다.

:B · A = ( ∑_j=1^r a_i,j · b_j,k )_{i=1… s;k=1… t} ∈ℝ^s×t

선형 함수의 합성은 두 행렬의 곱과 관계가 있다. U, V, W 벡터 공간의 차원을 각각 r = dim(U), s = dim(V), t = dim(W)라고 하자.

\mathcal U = \{u_1, \ldots, u_r\}

를 U의 기저,

\mathcal V = \{v_1, \ldots, v_s\}

를 V의 기저,

\mathcal W = \{w_1, \ldots, w_t\}

를 W의 기저라고 하자.

이때, A = M^𝒰_𝒱(f) ∈ ℝ^s×r를 f : U → V를 나타내는 행렬, B = M^𝒱_𝒲(g) ∈ ℝ^r×t를 g : V → W를 나타내는 행렬이라고 하면,

:B·A = M^𝒰_𝒲 (g ∘ f) ∈ ℝ^s×t는 g ∘ f : U → W를 나타내는 행렬이다.

즉, 행렬 곱은 선형 함수 합성의 좌표 표현이다.

5. 6. 벡터 공간의 텐서곱

두 유한 차원 벡터 공간 ''V''와 ''W''가 주어지면, 이들의 텐서곱은 다음을 만족하는 (2,0)-텐서로 정의될 수 있다.^[4]

:

V \otimes W(v, m) = V(v) W(w), \forall v \in V^*, \forall w \in W^*,

여기서 ''V^*''와 ''W^*''는 각각 ''V''와 ''W''의 쌍대 공간을 나타낸다.^[4]

무한 차원 벡터 공간의 경우에는 다음과 같은 텐서 곱도 있다.

힐베르트 공간의 텐서 곱
위상적 텐서 곱.

텐서 곱, 외적 및 크로네커 곱은 모두 동일한 일반적인 아이디어를 전달한다. 이들 사이의 차이점은 크로네커 곱은 이전에 고정된 기저를 기준으로 한 행렬의 텐서 곱일 뿐인 반면, 텐서 곱은 일반적으로 그 자체의 내재적 정의로 주어진다는 것이다. 외적은 단순히 벡터(행렬이 아닌)로 제한된 크로네커 곱이다.

일반적으로, 선형대수학의 텐서 곱과 유사하게 결합될 수 있는 두 개의 수학적 대상이 있을 때, 이것은 가장 일반적으로 모노이드 범주의 내부 곱으로 이해될 수 있다. 즉, 모노이드 범주는 텐서 곱의 의미를 정확히 포착하며, 텐서 곱이 그렇게 동작하는 이유에 대한 정확한 개념을 담고 있다. 더 정확하게는, 모노이드 범주는 텐서 곱을 갖는 모든 것(주어진 형식의)의 집합이다.

5. 7. 선형대수학에서의 기타 곱

선형대수학에서 다루는 다른 종류의 곱셈은 다음과 같다.

6. 집합론에서의 곱

집합론에서 데카르트 곱은 여러 집합으로부터 새로운 집합을 만드는 수학적 연산이다. 집합 ''A''와 ''B''의 데카르트 곱 ''A'' × ''B''는 ''A''의 원소 a와 ''B''의 원소 b로 이루어진 모든 순서쌍 (a, b)를 원소로 갖는 집합이다.^[1]

형식의 데카르트 범주에서 데카르트 곱을 가진다. 이들 중 많은 것이 데카르트 닫힌 범주이다. 집합은 이러한 대상의 예시이다.

위상 공간의 곱
범주에서의 곱

등이 있다.

6. 1. 데카르트 곱

집합론에서, 데카르트 곱은 여러 집합으로부터 새로운 집합을 만드는 수학적 연산이다. 집합 ''A''와 ''B''에 대해 데카르트 곱 ''A'' × ''B''는 a ∈ ''A''이고 b ∈ ''B''인 모든 순서쌍 (a, b)의 집합이다.^[10]^[5]

7. 기타 대수 구조에서의 곱

19세기^영어부터, 숫자를 포함하지 않는 새로운 이항 연산이 도입되었으며, 이를 '곱'이라고 불렀다.^[1]

다른 종류의 대수 구조에 대한 곱은 다음과 같다.

집합의 데카르트 곱
군의 직접곱, 반직접곱, 니트 곱, 땋은 곱
군의 자유곱
환의 곱
아이디얼의 곱
위상 공간의 곱^[1]
확률 변수의 윅 곱
대수적 위상수학의 캡 곱, 컵 곱, 매시 곱, 슬랜트 곱
호모토피에서의 스매시 곱과 쐐기 합 (때로는 쐐기 곱이라고도 함)

위의 곱 중 일부는 모노이드 범주에서 내부 곱의 일반적인 개념의 예이며, 나머지는 범주론에서의 곱의 일반적인 개념으로 설명할 수 있다.

집합의 곱
위상 공간의 곱
범주에서의 곱

8. 범주론에서의 곱

이전까지의 곱들은 보다 일반화한 개념인 범주론에서의 곱의 특수한 경우에 해당한다. 한편 범주론에는 다른 종류의 곱들도 존재한다.

위의 모든 예는 곱의 일반적인 개념의 특수한 경우 또는 예시이다. 곱 개념의 일반적인 처리에 대해서는, 어떤 종류의 두 대상을 결합하여 (아마도 다른 종류의) 대상을 만드는 방법을 설명하는 곱 (범주론)을 참조하라. 그러나 범주론에서는 다음과 같은 것들도 있다.

섬유 곱 또는 풀백
곱 범주
모형 이론의 초곱
모노이드 범주의 내부 곱: 텐서 곱의 본질을 포착한다.
집합의 곱
위상 공간의 곱
범주에서의 곱
Product category|곱 범주^영어

참조

_[1] 웹사이트 Product https://mathworld.wo[...] 2020-08-16
_[2] 웹사이트 Summation and Product Notation https://math.illinoi[...] 2020-08-16
_[3] 서적 Functional analysis, calculus of variations and optimal control Springer 2013
_[4] 서적 An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry https://archive.org/[...] Academic Press 1986
_[5] 서적 Notes on set theory Springer 2006
_[6] 웹인용 Product https://mathworld.wo[...] 2020-08-16
_[7] 웹인용 Summation and Product Notation https://math.illinoi[...] 2020-08-16
_[8] 서적 Functional analysis, calculus of variations and optimal control Springer 2013
_[9] 서적 An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry https://archive.org/[...] Academic Press 1986
_[10] 서적 Notes on set theory Springer 2006

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