맨위로가기

측도

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

측도는 집합에 크기를 할당하는 함수로, 수학의 여러 분야에서 사용되는 기본적인 개념이다. 형식적으로, 측도는 시그마 대수에서 확장된 실수선으로의 집합 함수이며, 비음수성, 공집합에 대한 0의 값, 그리고 가산 가법성을 만족한다. 측도는 가측 공간, 측도 공간, 확률 공간과 같은 수학적 구조를 정의하는 데 사용되며, 확률 측도는 전체 측도가 1인 특별한 경우이다. 측도는 단조성, 가산 가법성 및 연속성과 같은 중요한 성질을 가지며, 여러 종류의 측도가 존재한다. 에밀 보렐과 앙리 르베그에 의해 발전되었으며, 르베그 측도, 하르 측도, 하우스도르프 측도 등 다양한 측도가 존재한다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 측도 - 르베그 측도
    르베그 측도는 유클리드 공간에서 정의되는 보렐 측도의 완비화로, 르베그 외측도를 통해 르베그 가측 집합과 르베그 측도를 정의하며, 선택 공리 하에 르베그 측도를 할당할 수 없는 비가측 집합이 존재하기도 한다.
  • 측도 - 하르 측도
    하르 측도는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군에서 정의되고 군 연산에 불변하는 측도로, 하르 정리에 의해 곱셈 상수를 제외하고 유일하게 존재하며, 르베그 측도의 일반화로서 추상 조화 해석과 수리 통계학 등에 활용된다.
  • 측도론 - 디랙 델타 함수
    디랙 델타 함수는 원점에서 무한대 값을 갖고 그 외 지점에서 0의 값을 갖는 수학적 개념으로, 분포 또는 측도로 정의되며, 순간적인 충격이나 점 형태 현상 모델링에 활용되고 푸리에 변환, 스케일링, 평행 이동 등의 성질을 가진다.
  • 측도론 - 바이어슈트라스 함수
    바이어슈트라스 함수는 특정 조건의 상수 a와 b를 사용하여 f(x)= \sum_{n=0}^\infin a^n\cos (b^n\pi x)와 같은 무한 급수 형태로 정의되며 모든 점에서 연속이지만 어느 곳에서도 미분 불가능한 자기 유사성을 지닌 최초로 연구된 프랙탈 중 하나이다.
측도
일반 정보
분야수학, 측정 이론
하위 분야실해석학
관련 분야확률론, 함수해석학, 적분, 동기 부여
상세 정보
정의집합의 크기를 일반화한 것
성질가산 가법성, 비음성
예시르베그 측도
확률 측도
디랙 측도

2. 정의

측도의 가산 가법성 \mu: 셀 수 있는(가산) 개수의 서로 만나지 않는(분리) 집합들의 합집합에 대한 측도는, 각 부분 집합의 측도를 모두 더한 값과 같다.


측도(測度)는 특정 집합의 부분 집합들에 대해 길이, 넓이, 부피와 같은 '크기'를 일관된 방식으로 부여하기 위한 수학적 개념이다. 이는 집합론에서 다루는 대상의 '크기'를 엄밀하게 정의하고 측정하는 방법을 제공한다.

측도는 특정 조건을 만족하는 집합들의 모임인 시그마-대수 \Sigma 위에서 정의된다. 시그마-대수에 속하는 각 집합(이를 '''가측 집합'''이라 한다)에 대해 음수가 아닌 확장된 실수 값을 할당하는 함수 \mu가 측도가 되려면, 기본적으로 비음수성(측도 값은 0 이상), 공집합의 측도는 0이어야 한다는 조건, 그리고 서로 겹치지 않는 집합들의 합집합의 측도는 각 집합 측도의 합과 같다는 가산 가법성 등의 성질을 만족해야 한다. 이러한 성질들은 우리가 직관적으로 생각하는 '크기'의 개념과 일치하도록 설계되었다.

집합 X와 그 위의 시그마-대수 \Sigma를 묶어 '''가측 공간''' (X, \Sigma)이라 부르며, 여기에 측도 \mu를 더한 (X, \Sigma, \mu)를 '''측도 공간'''이라고 한다.

특히 전체 공간의 측도가 1인 경우(\mu(X) = 1), 이를 '''확률 측도'''라고 하며, 이러한 측도 공간은 '''확률 공간'''으로 불리며 확률론의 수학적 기초를 이룬다.

측도의 개념은 음수 값을 허용하는 '''부호 측도'''나 위상 공간의 구조와 밀접하게 연관된 '''라돈 측도''' 등으로 확장될 수 있으며, 이는 해석학을 비롯한 다양한 수학 분야에서 중요한 도구로 사용된다.

2. 1. 측도

불 대수의 두 원소 x,y\in B에 대하여, x\land y=\bot라면 두 원소가 '''서로소'''(-素, disjoint영어)라고 한다.

임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 (비가산일 수 있는) 집합 S\subseteq[0,\infty]의 합은 그 모든 유한 부분집합의 합들의 상한으로 정의된다.[9]

:\sum S=\sup_\sum S'\in[0,\infty]

임의의 기수 \kappa가 주어졌다고 하자. \kappa-완비 불 대수 \Sigma 위의 함수 \mu\colon\Sigma\to[0,\infty]가 다음 조건을 만족시키면, \mu를 '''\kappa-가법 측도'''(-加法測度, \kappa-additive measure영어)라고 한다.

  • 임의의 서로소 원소들로 구성된 부분 집합 \mathcal S\subseteq\Sigma에 대하여, 만약 |\mathcal S|<\kappa라면, \textstyle\mu(\bigvee\mathcal S)=\sum \mu[\mathcal S]이다.
  • * 특히, \kappa\ge1일 때, \mathcal S=\varnothing일 경우 \textstyle\mu(\bot_\Sigma)=0이다. 여기서 \bot_\Sigma는 시그마 대수의 최소 원소이다.
  • * 특히, \kappa\ge2일 때, 임의의 A\le B에 대하여 \mu(B)=\mu(A)+\mu(B\land\lnot A)\ge\mu(A)이므로, \mu는 증가 함수이다.

여기서 [0,\infty]는 음이 아닌 확장된 실수의 전순서 집합이며, \textstyle\bigvee는 상한을 뜻한다.

만약 2<\kappa\le\aleph_0일 경우, \mu를 '''유한 가법 측도'''(有限加法測度, finitely additive measure영어)라고 한다. 만약 \kappa=\aleph_1인 경우, \aleph_1-완비 불 대수를 시그마 대수라고 하며, \mu를 '''가산 가법 측도'''(加算加法測度, countably additive measure영어) 또는 '''시그마 가법 측도'''(σ加法測度, sigma-additive measure영어) 또는 단순히 '''측도'''라고 부른다.

불 대수 B 위의 함수 \mu\colon B\to[0,\infty]에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 유한 가법 측도이다.
  • 다음 세 조건이 성립한다.
  • * \mu(\bot_B)=0
  • * (증가성) 임의의 x,y\in B에 대하여, 만약 x\le y라면, \mu(x)\le\mu(y)
  • * (모듈러성) 임의의 x,y\in B에 대하여, \mu(x\land y)+\mu(x\lor y)=\mu(x)+\mu(y)


집합 X와 X 위의 시그마 대수 \Sigma가 주어졌을 때, \Sigma에서 확장된 실수선으로 가는 집합 함수 \mu가 다음 조건들을 만족하면 '''측도'''라고 한다.

  • '''비음수성''': 모든 E \in \Sigma에 대해, \mu(E) \geq 0이다.
  • '''공집합의 측도''': \mu(\varnothing) = 0이다.
  • '''가산 가법성''' (또는 σ-가법성): \Sigma에 속하는 가산 개의 쌍마다 서로소인 집합들의 모임 \{ E_k \}_{k=1}^\infty에 대해 다음이 성립한다.

:\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right)=\sum_{k=1}^\infty \mu(E_k)

만약 적어도 하나의 집합 E가 유한한 측도를 가진다면, 가산 가법성으로부터 \mu(\varnothing) = 0 조건은 자동으로 만족된다. 왜냐하면 \mu(E)=\mu(E \cup \varnothing) = \mu(E) + \mu(\varnothing) 이므로, 유한한 값 \mu(E)를 양변에서 소거하면 \mu(\varnothing)=0을 얻기 때문이다.

만약 비음수성 조건을 제외하고, \mu가 \pm \infty 중 최대 하나의 값만을 가질 수 있도록 허용하면, \mu는 '''부호 측도'''라고 불린다.

쌍 (X, \Sigma)는 '''가측 공간'''이라고 하며, \Sigma의 원소들을 '''가측 집합'''이라고 한다.

세 순서쌍 (X, \Sigma, \mu)는 '''측도 공간'''이라고 한다. 만약 측도 \mu가 전체 공간 X에 대해 \mu(X) = 1을 만족하면, 이를 '''확률 측도'''라고 하며, 확률 측도를 갖는 측도 공간 (X, \Sigma, \mu)를 '''확률 공간'''이라고 부른다.

측도 공간이 위상 공간의 구조도 가질 때, 측도와 위상 사이에 다양한 호환성 조건을 고려할 수 있다. 해석학이나 확률론에서 자주 등장하는 대부분의 측도는 라돈 측도이다. 라돈 측도는 콤팩트 지지를 갖는 연속 함수들의 국소 볼록 위상 벡터 공간 위에서 정의된 선형 범함수를 통해 다르게 정의될 수도 있다. 이 접근 방식은 부르바키 등의 연구에서 사용되었다. 자세한 내용은 라돈 측도 문서를 참고하라.

2. 2. 유한 측도

\kappa-완비 불 대수 \Sigma 위의 \kappa-가법 측도 \mu에 대하여, 만약 \mu(\top_\Sigma)<\infty라면 \mu를 '''유한 측도'''(有限測度, finite measure영어)라고 한다. 여기서 \top_\Sigma는 불 대수의 최대 원소를 의미한다. 만약 \mu(\top_\Sigma)=1이라면 \mu를 '''확률 측도'''라고 한다.

측도 공간 (X, \Sigma, \mu)는 전체 공간의 측도 \mu(X)가 무한대(\infty)가 아닌 유한 실수 값을 가질 때 유한하다고 한다. 0이 아닌 유한 측도는 모든 유한 측도 \mu가 확률 측도 \frac{1}{\mu(X)}\mu에 비례한다는 점에서 확률 측도와 유사한 성질을 가진다.

유한 가법 유한 측도를 갖는 불 대수는 가산 사슬 조건(서로소 원소들의 비가산 집합을 갖지 않음)을 만족시킨다.[10] 이 성질 때문에, 임의의 기수 \kappa>\aleph_1에 대하여, \kappa-가법 유한 측도는 가산 가법 유한 측도와 동치이다.

시그마 대수 \Sigma 위의 가산 가법 측도 \mu가 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 \mathcal S\subseteq\Sigma가 존재할 경우, \mu를 '''시그마 유한 측도'''(σ有限測度, sigma-finite measure영어)라고 한다.

  • \bigvee \mathcal S=\top_\Sigma (즉, \mathcal S의 원소들의 상한이 전체 공간이다)
  • \forall S\in\mathcal S\colon\mu(S)<\infty (즉, \mathcal S의 모든 원소는 유한 측도를 가진다)
  • |\mathcal S|\le\aleph_0 (즉, \mathcal S는 가산 집합이다)

이는 전체 공간 X가 유한 측도를 갖는 가측 집합들의 가산 합집합으로 분해될 수 있다는 의미이다. 유사하게, 측도 공간의 어떤 집합이 유한 측도를 갖는 집합들의 가산 합집합으로 표현될 수 있다면 그 집합은 ''시그마 유한 측도''를 갖는다고 말한다.

예를 들어, 표준 르베그 측도를 갖는 실수 전체 집합 \mathbb R은 시그마 유한하지만 유한하지는 않다. 모든 정수 k에 대해 닫힌 구간 [k, k+1]을 생각하면, 이 구간들은 가산 개수이고 각각의 측도는 1이며, 이들의 합집합은 전체 실수선 \mathbb R이다. 반면, 각 유한 집합에 그 집합의 원소 개수를 할당하는 계수 측도를 갖는 실수 공간은 시그마 유한이 아니다. 왜냐하면 유한 측도를 갖는 집합은 유한 개의 점만을 포함하므로, 전체 실수선을 덮기 위해서는 비가산 개의 유한 집합이 필요하기 때문이다.

불 대수 위의 유한 가법 측도 \mu\colon\Sigma\to[0,\infty]가 다음 조건을 만족하면, \mu를 '''준유한 측도'''(準有限測度, semifinite measure영어)라고 한다.[11]

  • 임의의 S\in\Sigma에 대하여, 만약 \mu(S)>0이라면, 0<\mu(T)<\infty를 만족하는 \Sigma\ni T\subseteq S가 존재한다.

즉, 양의 측도를 갖는 모든 집합은 양의 유한 측도를 갖는 부분집합을 포함해야 한다.

완비 불 대수 위의 준유한 가산 가법 측도는 '''마하람 측도'''(Maharam measure영어) 또는 '''국소화 가능 측도'''(localizable measure영어)라고 불린다.[11]

2. 3. 영집합의 순서 아이디얼

\kappa-완비 불 대수 \Sigma 위의 측도 \mu가 주어졌을 때, 그 '''영원소'''(零元素, null element영어)는 측도가 0인 원소를 말한다. 이러한 영원소들의 집합은 다음과 같이 표기할 수 있다.

:\operatorname{Null}(\Sigma,\mu)=\{S\in\Sigma\colon\mu(S)=0\}

이 집합은 \kappa-완비 순서 아이디얼을 형성한다. 이 성질 때문에 몫 대수 \tilde\Sigma=\Sigma/\operatorname{Null}(\Sigma,\mu)를 정의할 수 있으며, 측도 \mu는 이 몫 대수 위에서도 잘 정의된다. 몫 대수 위에서는 다음과 같은 중요한 성질이 성립한다.

:\forall\tilde S\in\tilde\Sigma\colon \mu(\tilde S)=0\iff\tilde S=\bot_{\tilde\Sigma}

이는 몫 대수 \tilde\Sigma에서 측도가 0인 원소는 오직 최소 원소 \bot_{\tilde\Sigma} 뿐이라는 의미이다. 결과적으로, 몫 대수를 이용하면 원래 대수 \Sigma에 있던 자명하지 않은 영원소들(즉, 최소 원소가 아니면서 측도가 0인 원소들)을 효과적으로 제거할 수 있다.

2. 4. 측도 공간

'''측도 대수'''(measure algebra영어)는 시그마 대수 \Sigma와 그 위의 측도 \mu의 순서쌍 (\Sigma,\mu)이다.[12]

가측 공간 (X,\Sigma)에서, 가측 집합들의 집합족 \Sigma\subseteq\mathcal P(X)는 시그마 대수를 이룬다. '''측도 공간''' (X,\Sigma,\mu)은 가측 공간 (X,\Sigma)과 \Sigma 위의 측도 \mu의 순서쌍이다. 만약 \mu가 확률 측도라면, (X,\Sigma,\mu)를 '''확률 공간'''이라고 한다.

3. 연산

측도 공간들 사이에는 여러 가지 연산을 정의할 수 있다. 대표적인 예로는 여러 측도 공간을 하나로 합치는 합측도와, 두 측도 공간의 곱집합 위에 정의되는 곱측도가 있다. 각 연산에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. 합측도

임의의 측도 공간들의 족 (X_i,\Sigma_i,\mu_i)_{i\in I}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 분리합집합

:X=\bigsqcup_{i\in I}X_i

위에 시그마 대수

:\Sigma=\sigma\left(\bigsqcup_{i\in I}\Sigma_i\right)

를 부여하고, 그 위에 측도

:\mu\left(\bigsqcup_{i\in I}S_i\right)

=\sum_{i\in I}\mu_i(S_i)\qquad(\forall i\in I\colon S_i\in\Sigma_i)

를 부여할 수 있다. 이를 '''합측도'''라고 한다.

3. 2. 곱측도

두 측도 공간 (X,\Sigma,\mu)와 (X',\Sigma',\mu')가 주어져 있다고 하자. 이들의 곱집합 X\times X' 위에는 다음과 같은 시그마 대수를 정의할 수 있다.

:\Sigma\times\Sigma'=\sigma(\{S\times S'\colon S\in\Sigma,\;S'\in\Sigma'\})

여기서 \sigma(-)는 주어진 집합족으로 생성되는 최소의 시그마 대수를 의미한다.

만약 \mu와 \mu'이 추가적으로 시그마 유한 측도라면, 위에서 정의한 시그마 대수 \Sigma\times\Sigma' 위에 다음과 같은 곱측도 \mu\times\mu'를 정의할 수 있다.

:\mu\times\mu'\colon A\mapsto

\int_{X'}\mu(\{x\colon (x,y)\in A\})\,\mathrm{d}\mu'(y)

=\int_X\mu'(\{y\colon (x,y)\in A\})\,\mathrm{d}\mu(x)

\qquad(A\in\Sigma\times\Sigma')



이 곱측도는 \mu와 \mu'이 시그마 유한 측도라는 조건 아래에서, 다음 등식을 만족하는 \Sigma\times\Sigma' 위의 유일한 측도이다.

:(\mu\times\mu')(S\times S')=\mu(S)\mu(S')\qquad\forall S\in\Sigma,\;S'\in\Sigma'

(단, 우변에서는 0\cdot\infty=\infty\cdot0=0으로 정의한다.)

그러나 만약 \mu 또는 \mu'이 시그마 유한 측도가 아니라면, 위 등식 (\mu\times\mu')(S\times S')=\mu(S)\mu(S')이 성립하지 않을 수도 있다. 즉, 곱측도가 유일하게 정의되지 않거나 원하는 성질을 만족하지 못할 수 있다.

4. 성질

임의의 측도 공간 (X,\Sigma,\mu)에서 측도 \mu는 여러 기본적인 성질을 만족한다. 대표적으로 측도는 단조성을 가지며, 가산적인 집합열의 합집합과 교집합에 대해 특정 연속성 성질(아래/위로부터의 연속성 및 가산 부분 가법성)을 만족한다. 이러한 성질들은 해당 하위 섹션에서 더 자세히 설명된다.

측도의 기본 정의인 가산 가법성은 다음과 같이 더 일반적인 \kappa-가법성(κ-additivity영어) 개념으로 확장될 수 있다.

임의의 집합 I와 음이 아닌 실수의 집합 \{r_i\}_{i \in I}에 대해, 그 합은 유한 부분 합들의 상한으로 정의된다:

\sum_{i\in I} r_i = \sup\left\lbrace\sum_{i\in J} r_i : J\subseteq I, |J|<\infty \right\rbrace.

시그마 대수 \Sigma 위의 측도 \mu가 '''\kappa-가법적'''(κ-additive영어)이라는 것은, 임의의 기수 \lambda < \kappa와 서로 소인 가측 집합들의 모임 \{X_\alpha\}_{\alpha < \lambda} \subseteq \Sigma에 대해 다음 두 조건이 성립하는 것을 의미한다.

# 합집합이 가측 집합이다: \bigcup_{\alpha < \lambda} X_\alpha \in \Sigma

# 합집합의 측도는 각 측도의 합과 같다: \mu\left(\bigcup_{\alpha < \lambda} X_\alpha\right) = \sum_{\alpha < \lambda} \mu(X_\alpha)

여기서 두 번째 조건은 영집합들의 이상이 \kappa-완비(complete)하다는 것과 동치이다. 일반적인 측도는 정의에 따라 \aleph_0-가법적(즉, 가산 가법적)이다.

4. 1. 단조성

측도는 단조함수의 성질을 가진다. 즉, 가측 집합 S_1과 S_2에 대해 S_1이 S_2의 부분 집합이라면 (S_1 \subseteq S_2), S_1의 측도값은 S_2의 측도값보다 크지 않다.

\mu(S_1) \leq \mu(S_2)

여기서 \mu는 측도를 나타낸다. 이는 측도가 부분 순서 집합 (\Sigma,\le)에서 음이 아닌 확장 실수선의 전순서 집합 ([0,\infty],\le)으로 가는 단조함수임을 의미한다.

4. 2. 가산 가법성 및 연속성

임의의 측도 공간 (X,\Sigma,\mu)에서 측도 \mu는 다음과 같은 성질을 만족한다.
가산 부분 가법성 (Countable subadditivity)(서로소일 필요는 없는) 가측 집합들의 가산적인 집합열 E_1, E_2, E_3, \ldots (E_n \in \Sigma)에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:\mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)

즉, 합집합의 측도는 각 집합 측도의 합보다 작거나 같다. 이는 측도의 정의에서 요구하는 '가산 가법성' (서로소인 집합열에 대한 등식)을 일반화한 성질이다.
측도의 연속성 (Continuity of measure)

  • 아래로부터의 연속성 (Continuity from below): 만약 E_1, E_2, E_3, \ldots이 증가하는 가측 집합열 (즉, E_1 \subseteq E_2 \subseteq E_3 \subseteq \ldots)이라면, 이들의 합집합 \bigcup_{i=1}^\infty E_i 역시 가측 집합이며 다음이 성립한다.

:\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)

이는 합집합의 측도가 각 집합 측도의 극한값과 같다는 의미이다. 우변의 극한값은 \sup_{i \geq 1} \mu(E_i)와 같다.

  • 위로부터의 연속성 (Continuity from above): 만약 E_1, E_2, E_3, \ldots이 감소하는 가측 집합열 (즉, E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \ldots)이고, 적어도 하나의 E_n의 측도가 유한하다면 (\mu(E_n) < \infty), 이들의 교집합 \bigcap_{i=1}^\infty E_i은 가측 집합이며 다음이 성립한다.

:\mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)

이는 교집합의 측도가 각 집합 측도의 극한값과 같다는 의미이다. 우변의 극한값은 \inf_{i \geq 1} \mu(E_i)와 같다.

주의: 위로부터의 연속성은 적어도 하나의 집합 E_n이 유한 측도를 가진다는 조건이 반드시 필요하다. 만약 모든 E_n이 무한 측도를 가진다면 이 성질은 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 실수 집합 \R에서 르베그 측도를 생각하고, 각 자연수 n에 대해 E_n = [n, \infty)라고 하자. 이 집합열은 감소하며(E_1 \supseteq E_2 \supseteq \ldots), 각 E_n의 르베그 측도는 무한대이다 (\mu(E_n) = \infty). 하지만 이들의 교집합은 공집합 \emptyset이므로 그 측도는 0이다 (\mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \mu(\emptyset) = 0). 반면, 각 집합 측도의 극한은 \lim_{i\to\infty} \mu(E_i) = \lim_{i\to\infty} \infty = \infty이다. 따라서 이 경우 \mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) \neq \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)이다.

4. 3. 거리 구조

불 대수 \Sigma 위에 유한 가법 측도 \mu\colon\Sigma\to[0,\infty]가 주어졌다고 가정하자. 이 측도를 이용하여 \Sigma 위에 다음과 같은 확장된 유사 거리 함수extended pseudometric영어 d\colon \Sigma\times\Sigma\to[0,\infty]를 정의할 수 있다.

:d(A,B)=\mu(A\triangle B)=\mu((A\setminus B)\lor (B\setminus A))\qquad(A,B\in\Sigma)

여기서 \triangle는 대칭차를 나타낸다. 이 함수 d가 유사 거리 함수의 조건을 만족하는지 확인해야 한다. 다른 조건들은 비교적 명확하며, 핵심은 삼각 부등식이 성립하는지 확인하는 것이다.

임의의 A,B,C\in\Sigma에 대하여, 다음 관계가 성립한다. (벤 다이어그램 참고)

:(A\triangle B)\lor (B\triangle C)=(A\lor B\lor C)\setminus(A\land B\land C)\ge A\triangle C

벤 다이어그램


따라서 측도의 단조성과 가법성을 이용하면,

:d(A,B)+d(B,C) = \mu(A\triangle B) + \mu(B\triangle C) \ge \mu((A\triangle B)\cup (B\triangle C)) \ge \mu(A\triangle C) = d(A,C)

이므로 삼각 부등식이 성립한다.

만약 측도 \mu가 유한 측도, 즉 \mu(\mathbf{1}_{\Sigma}) < \infty 라면, (\Sigma, d)는 유사 거리 공간을 이룬다. 여기서 \mathbf{1}_{\Sigma}는 불 대수 \Sigma의 최대 원소이다.

유사 거리 공간에서는 서로 다른 두 원소 사이의 거리가 0일 수 있다. 즉, d(A,B)=0 이지만 A \neq B일 수 있다. 이는 \mu(A\triangle B)=0 일 때 발생한다. 이러한 경우를 처리하기 위해 측도가 0인 원소들의 집합, 즉 영원소null element영어들의 모임 \operatorname{Null}(\Sigma,\mu)=\{S\in\Sigma\colon\mu(S)=0\} 를 고려한다. 이 집합은 순서 아이디얼을 이루므로, 몫 대수 \tilde\Sigma=\Sigma/\operatorname{Null}(\Sigma,\mu) (측도 대수라고도 불림)를 정의할 수 있다. 이 몫 대수 위에서 측도 \mu는 잘 정의되며, 유사 거리 함수 d 역시 잘 정의된 거리 함수가 된다. 즉, 측도 대수 \tilde\Sigma는 d를 거리 함수로 갖는 거리 공간을 이룬다. 이 공간에서는 d(\tilde A, \tilde B)=0 이면 반드시 \tilde A = \tilde B 가 성립한다.

4. 4. 원자

불 대수 \Sigma 위의 유한 가법 측도 \mu\colon\Sigma\to[0,\infty]가 주어졌을 때, 영원소들의 순서 아이디얼은 다음과 같이 정의된다.

:\operatorname{Null}(\Sigma,\mu)=\{S\in\Sigma\colon \mu(S)=0\}

이 영원소들의 집합을 이용하여 측도 \mu의 '''원자'''(原子, atom영어)를 정의할 수 있다. 원자는 \Sigma\setminus\operatorname{Null}(\Sigma,\mu)의 극소 원소를 의미한다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 원소 S\in\Sigma이다.

  • \mu(S)>0 (측도값이 0보다 크다)
  • 임의의 S' (S보다 작은 임의의 원소 S')에 대하여, \mu(S')=0 (S'의 측도값은 0이다)


쉽게 말해, 원자는 더 이상 0보다 큰 측도를 갖는 더 작은 부분으로 쪼갤 수 없는 '최소 단위'와 같은 원소이다.

원자를 갖지 않는 측도를 '''비원자적 측도'''(非原子的測度, nonatomic measure영어)라고 한다. 비원자적 측도는 어떤 원소를 가져와도 그보다 작으면서 여전히 0보다 큰 측도를 갖는 부분을 찾을 수 있다는 특징을 가진다.

비원자적 측도에 대해서는 다음과 같은 중요한 정리가 성립한다.

데이터가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

  • \Sigma는 (추상적) 시그마 대수이다.
  • \mu\colon\Sigma\to[0,\infty]는 그 위의 비원자적 가산 가법 측도이다. 또한, \mu(\top_\Sigma)>0이다. (여기서 \top_\Sigma는 전체 공간을 의미한다.)


이때, '''비원자적 측도에 대한 중간값 정리'''(intermediate-value theorem for nonatomic measures영어)에 따르면, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 f\colon[0,\mu(\top_\Sigma)]\to\Sigma가 존재한다.

  • f는 증가 함수이다. 즉, 임의의 0\le a\le b\le\mu(\top_\Sigma)에 대하여 f(a)\le f(b)이다. 이는 a값이 커짐에 따라 해당하는 집합 f(a)도 커진다는 의미이다.
  • f는 \mu의 오른쪽 역함수이다. 즉, 임의의 a\in[0,\mu(\top_\Sigma)]에 대하여 \mu(f(a))=a이다. 이는 0과 전체 공간의 측도값 사이의 어떤 값 a를 선택하더라도, 정확히 그 측도값 a를 갖는 집합 f(a)를 찾을 수 있다는 의미이다.


이 정리는 비원자적 측도가 마치 연속적인 성질을 가지고 있어서, 원하는 어떤 중간 크기의 측도값을 갖는 집합을 항상 찾을 수 있음을 보여준다.

5. 분류

측도 대수는 마하람 정리를 통해 분류될 수 있다. 마하람 정리에 따르면, 모든 가산 가법 측도 대수는 가산 개의 동질 측도 대수들의 직합으로 표현될 수 있다.[12][13] 또한, 동질 측도 대수 중 확률 측도 대수인 경우는 특정 구조를 가지는 측도 대수 P(\kappa)와 동형임이 알려져 있다.[12][13] 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

5. 1. 동질 측도 대수

가산 가법 측도 대수 \mu\colon\Sigma\to[0,\infty]가 다음 조건을 만족시킨다면 '''동질 측도 대수'''(同質測度代數, homogeneous measure algebra영어)라고 한다.

  • 임의의 두 S,T\in\Sigma에 대하여, 만약 \mu(S),\mu(T)>0일 경우, \operatorname{wt}(\mu\restriction\downarrow\{S\})=\operatorname{wt}(\mu\restriction\downarrow\{T\})이다.

여기서 \operatorname{wt}는 (유사 거리 공간으로서의) 무게이며, \downarrow는 하집합을 뜻하며, \restriction은 하집합에 제한하여 얻는 측도 대수를 뜻한다.

'''마하람 정리'''(Maharam’s theorem영어)에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 모든 가산 가법 측도 대수는 가산 개의 동질 측도 대수들의 직합이다.[12][13]
  • 모든 동질 측도 대수에 대하여, 만약 확률 측도 대수라면, 어떤 기수 \kappa에 대하여 P(\kappa)와 동형이다.[12][13]


여기서, P(\kappa)는 곱공간 [0,1]^\kappa의 측도 대수이다. 즉, 닫힌구간 [0,1] 위에 르베그 측도를 부여한 뒤, \kappa개의 곱측도를 취하고, 영집합 시그마 아이디얼에 대한 몫을 취하여 얻는 측도 대수이다.

5. 2. 마하람 정리

가산 가법 측도 대수 \mu\colon\Sigma\to[0,\infty]가 다음 조건을 만족시킨다면 '''동질 측도 대수'''(同質測度代數, homogeneous measure algebra영어)라고 한다.

  • 임의의 두 S,T\in\Sigma에 대하여, 만약 \mu(S),\mu(T)>0일 경우, \operatorname{wt}(\mu\restriction\downarrow\{S\})=\operatorname{wt}(\mu\restriction\downarrow\{T\})이다.

여기서 \operatorname{wt}는 (유사 거리 공간으로서의) 무게이며, \downarrow는 하집합을 뜻하며, \restriction은 하집합에 제한하여 얻는 측도 대수를 뜻한다.

'''마하람 정리'''(Maharam’s theorem영어)에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 모든 가산 가법 측도 대수는 가산 개의 동질 측도 대수들의 직합이다.[12][13]
  • 모든 동질 측도 대수에 대하여, 만약 확률 측도 대수라면, 어떤 기수 \kappa에 대하여 P(\kappa)와 동형이다.[12][13]


여기서, P(\kappa)는 곱공간 [0,1]^\kappa의 측도 대수이다. 즉, 닫힌구간 [0,1] 위에 르베그 측도를 부여한 뒤, \kappa개의 곱측도를 취하고, 영집합 시그마 아이디얼에 대한 몫을 취하여 얻는 측도 대수이다.

6. 예

측도론에서 다루는 주요 측도의 예시는 다음과 같다.


  • 계수 측도: 집합의 원소 개수를 재는 측도이다. \mu(S)는 집합 S의 원소 수로 정의된다.
  • 르베그 측도: 실수선 \R 및 유클리드 공간에서 표준적으로 사용되는 측도로, 구간 [0, 1]의 측도가 1이 되도록 정의된 완비 병진 불변 측도이다.
  • 기하학적 측도: 원형 각도 측도(회전 불변)와 쌍곡 각도 측도(압착 사상 불변)가 있다.
  • 하르 측도: 국소 컴팩트 위상군 위에서 정의되는 일반화된 측도이다.
  • 리만 다양체 위의 측도: 모든 (유사) 리만 다양체 (M,g)에는 국소 좌표 x_1,\ldots,x_n에서 \sqrt

    d^nx 형태로 주어지는 고유한 측도 \mu_g가 존재한다. 여기서 d^nx는 일반적인 르베그 측도이다.
  • 하우스도르프 측도: 르베그 측도를 프랙탈 집합과 같은 비정수 차원으로 확장한 것이다.
  • 확률 측도: 전체 공간의 측도가 1인 측도로, 확률론의 기본 개념이다. (확률 분포 목록 참고)
  • 디랙 측도 \delta_a: 특정 점 a의 포함 여부에 따라 1 또는 0의 값을 갖는 측도이다 (\delta_a(S) = \chi_S(a), 여기서 \chi_S는 집합 S의 지시 함수).


    • 이 외에도 보렐 측도, 요르단 측도, 에르고딕 측도, 가우스 측도, 베어 측도, 라돈 측도, 영 측도, 롭 측도 등 다양한 특정 목적을 가진 측도들이 존재한다.

    물리학에서는 질량 분포, 보존량 등을 나타내는 데 측도가 사용된다. 대표적으로 해밀턴 역학의 리우빌 측도나 통계 역학의 깁스 측도(정준 앙상블)가 있다.

    최근에는 기계 학습 분야에서도 GFlowNet의 유도 확률 측도(Flow Induced Probability Measure)처럼 측도론적 개념이 응용되고 있다.[3]

    6. 1. 집합 위의 측도

    '''셈측도'''는 집합의 원소 개수를 재는 측도이다.[9] 이는 주로 유한 집합에서 사용된다. 예를 들어, 집합 S에 대한 셈측도 \mu(S)는 S의 원소 수와 같다.

    '''디랙 측도'''(Dirac measure영어)는 특정 원소의 포함 여부에 따라 값이 결정되는 측도이다. 집합 X의 한 원소 a에 대해, 디랙 측도 \delta_a(E)는 부분집합 E \subseteq X가 a를 포함하면 1, 포함하지 않으면 0의 값을 가진다. 이는 지시 함수\mathbf{1}_E(a)와 같다. 디랙 측도는 디랙 델타 함수를 측도의 관점에서 표현한 것으로 생각할 수 있다.

    집합론에서는 특별한 종류의 측도가 존재할 수 있는 기수를 다루는데, 이를 '''가측 기수'''라고 부른다.

    불 대수B 위의 극대 필터 U \subseteq B를 이용하여 유한 가법 확률 측도를 정의할 수도 있다. 이 측도는 불 대수의 원소 b가 극대 필터 U에 속하면 1, 속하지 않으면 0의 값을 가진다.

    :\mu(b)=\begin{cases} 1 & b \in U \\ 0 & b \notin U \end{cases}

    6. 2. 위상 공간 위의 측도

    임의의 거리 공간 위에는 '''하우스도르프 측도'''라는 측도가 존재한다. 이는 르베그 측도를 비정수 차원, 특히 프랙탈 집합으로 일반화한 것이다. 완전 분리 가능 거리를 갖는 공간 X와 그 위의 보렐 시그마 대수 {\cal B}가 주어졌을 때, 양수 s에 대한 하우스도르프 측도 {\cal H}^s|{\cal B}는 반유한 측도이다.

    유클리드 공간 위에는 통상적으로 '''르베그 측도'''가 사용된다. 실수 집합 \R상의 르베그 측도는 구간을 포함하는 시그마 대수 상의 완비 병진 불변 측도로, \mu([0, 1]) = 1이라는 특징을 가진다. 이러한 성질을 만족하는 다른 모든 측도는 르베그 측도를 확장한 것이다. 또한, 모든 리만 다양체(M,g)는 국소 좌표에서 \sqrt

    d^nx 형태를 가지는 고유한 측도 \mu_g를 가지는데, 여기서 d^nx는 일반적인 르베그 측도이다.

    위상군 위에는 '''하르 측도'''라는 측도가 존재한다. 이는 국소 컴팩트 위상군에 대한 측도로, 르베그 측도, 계수 측도, 원형 각도 측도 등을 일반화한 것이며 유사한 유일성 성질을 가진다.

    이 외에도 위상 공간과 관련하여 다양한 측도가 존재한다.

    • 확률 공간은 전체 공간에서 값 1을 갖는 측도를 정의하며, 이를 '''확률 측도''' 또는 분포라고 한다.
    • '''디랙 측도''' \delta_a는 특정 점 a를 포함하는 집합에 값 1을, 그렇지 않은 집합에 값 0을 부여하는 측도이다 (\delta_a(S) = \chi_S(a), 여기서 \chi_S는 집합 S의 지시 함수).
    • 다른 중요한 측도로는 보렐 측도, 요르단 측도, 에르고딕 측도, 가우스 측도, 베어 측도, 라돈 측도 등이 있다.


    물리학에서도 측도의 개념이 활용된다. 예를 들어, 질량의 공간 분포나 보존량 등을 측도로 다룰 수 있다. 리우빌 측도는 심플렉틱 다양체에서 자연스러운 부피 형식으로 고전 통계 및 해밀턴 역학에서 사용되며, 깁스 측도는 통계 역학에서 정준 앙상블이라는 이름으로 널리 쓰인다.

    최근에는 기계 학습 분야에서도 측도론이 응용되고 있다. 예를 들어 GFlowNet에서는 유도 확률 측도(Flow Induced Probability Measure)라는 개념을 사용한다.[3]

    7. 역사

    1898년 에밀 보렐은 저서[14]를 통해 구간의 길이 개념을 확장하여, 가산 가법성을 이용해 실수선의 보렐 집합에 대한 측도를 정의했다. 이는 현대적인 용어로 실수선의 보렐 집합에 대한 르베그 측도를 정의한 것으로 볼 수 있다.

    이후 1902년, 앙리 르베그는 박사 학위 논문[15]에서 보렐의 이론을 간결하게 만들고 일반화했다. 그는 고차원 유클리드 공간의 르베그 측도를 정의하고, 이를 바탕으로 함수의 적분 이론을 발전시켰다.

    참조

    [1] 웹사이트 Measuring the Circle https://web.archive.[...]
    [2] 서적 The Works Of Archimedes http://archive.org/d[...] Cambridge University Press. 1897
    [3] 논문 GFlowNet Foundations 2021
    [4] 간행물 Measure Theory
    [5] 문서
    [6] 간행물 Random and Vector Measures World Scientific
    [7] 서적 Theory of charges: a study of finitely additive measures https://www.worldcat[...] Academic Press 1983
    [8] 서적 An introduction to measure theory https://terrytao.fil[...] American Mathematical Society 2011
    [9] 서적 Set theory https://archive.org/[...] Springer-Verlag 2003
    [10] 서적 Boolean Algebras in Analysis http://www.math.nsc.[...] Springer Science+Business Media B.V. 2002
    [11] 서적 Measure theory. Volume 1 Springer-Verlag 2007
    [12] 서적 Measure theory. Volume 2 Springer-Verlag 2007
    [13] 저널 On homogeneous measure algebras 1942-03-15
    [14] 서적 Leçons sur la théorie des fonctions https://archive.org/[...] Gauthier-Villars et fils, imprimateurs-libraires 1898
    [15] 저널 Intégrale, longueur, aire https://archive.org/[...] 1902-06


    본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
    모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
    하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
    따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

    문의하기 : help@durumis.com