위상 양자장론
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1. 개요
위상 양자장론은 관측 가능량이 시공간의 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론으로, 시바르츠형과 코호몰로지형 두 종류로 분류된다. 시바르츠형은 계량 텐서를 포함하지 않는 작용을 가지며, 천-사이먼스 이론과 BF 모형이 대표적이다. 코호몰로지형은 계량 텐서를 포함하는 이론에 위상 뒤틂을 가하여 만들어지며, 도널드슨 불변량을 재현하는 위튼의 연구가 대표적이다. 아티야는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위한 공리계를 제안했으며, 끈 이론, 매듭 이론 등 다양한 분야에 응용된다.
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2. 정의
대부분의 양자장론은 그 관측가능량(상관 함수 등)이 시공간의 계량 텐서(중력장)에 의존한다. 관측가능량이 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론을 '''위상 양자장론'''(Topological Quantum Field Theory, TQFT)이라고 한다. 위상 양자장론에서 상관 함수는 시공간의 계량 텐서에 의존하지 않는 위상 불변량이다. 이는 시공간의 형태가 (위상을 바꾸지 않는 범위 내에서) 휘어지거나 수축하더라도 이론 자체가 변하지 않음을 의미한다.
오늘날 알려진 위상 양자장론은 크게 '''시바르츠형'''(Schwarz-type영어)과 '''코호몰로지형'''(cohomological영어, 또는 '''위튼형''' Witten-type영어) 두 종류로 나뉜다.
위상 양자장론은 소립자 물리학에서 주로 다루는 평평한 민코프스키 시공간에서는 그다지 유용하지 않다. 민코프스키 공간은 위상적으로 점과 같으므로, 이곳에 정의된 TQFT는 자명한 위상 불변량만을 계산하게 된다. 따라서 TQFT는 주로 리만 곡면과 같이 굽은 시공간 위에서 연구된다. 알려진 대부분의 위상 양자장론은 5차원 미만의 시공간에서 정의되며, 더 높은 차원의 이론도 존재할 수 있지만 아직 잘 이해되지 않고 있다.
양자 중력 이론은 배경 독립적이어야 할 것으로 여겨지는데, 위상 양자장론은 배경 독립적인 양자장론의 구체적인 예시를 제공한다. 이러한 점 때문에 위상 양자장론은 이론 물리학에서 중요한 연구 주제가 되고 있다.
흔히 위상 양자장론은 유한한 수의 자유도만을 가진다고 이야기되기도 하지만, 이것이 반드시 기본적인 속성은 아니다. 물리학자나 수학자들이 연구하는 대부분의 예시가 유한한 자유도를 가지는 것은 사실이지만, 예를 들어 무한 차원 사영 공간을 대상으로 하는 위상적 시그마 모델이 정의될 수 있다면, 이는 가산 무한히 많은 자유도를 가지는 위상 양자장론이 될 것이다.
2. 1. 시바르츠형 위상 양자장론
'''시바르츠형 위상 양자장론'''은 계량 텐서를 포함하지 않는 작용으로 정의되는 위상 양자장론의 한 종류이다.[4] 이러한 이론에서 시스템의 상관 함수나 분배 함수는 계량에 의존하지 않는 작용 범함수의 경로 적분을 통해 계산된다.차원의 시공간 에서 차 미분형식을 적분할 때는 계량 텐서가 필요하지 않다. 따라서 시바르츠형 이론은 미분형식을 장(field)으로 사용하여 구성할 수 있으며, 시공간의 계량에 의존하지 않으므로 명시적으로 위상 불변성을 가진다.
최초의 시바르츠형 위상 양자장론은 1977년 알베르트 시바르츠가 발표하였으며,[5] 그 작용 범함수는 다음과 같다.
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여기서 은 3차원 시공간이고, 는 1차 미분형식이다. 이 모형을 비아벨 게이지 대칭에 대하여 일반화하면 천-사이먼스 이론을 얻는다.
시바르츠형 위상 양자장론의 대표적인 예시는 다음과 같다.
- '''BF 모형''': 이 모형에서 시공간은 2차원 다양체 이며, 관측 가능량은 2-형식 , 보조 스칼라장 및 그 도함수로 구성된다. 작용은 다음과 같이 주어진다.
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이론에 시공간 계량이 전혀 나타나지 않으므로 명백히 위상적으로 불변이다.
일반적으로 양자장론의 분배 함수는 계량에 의존하지만, 시바르츠형 이론들은 계량과는 독립적이라는 중요한 특징을 가진다.
2. 2. 코호몰로지형 위상 양자장론
'''코호몰로지형 위상 양자장론''' 또는 '''위튼형 위상 양자장론'''은 일반적으로 계량 텐서를 포함하는 이론에 '''위상 뒤틂'''(topological twist)이라는 수학적 기법을 적용하여 만든다.[6] 이 과정을 거치면 이론이 시공간의 계량 텐서에 의존하지 않게 되어 위상적 성질을 갖게 된다.에드워드 위튼은 1988년에 이러한 유형의 위상 양자장론의 첫 번째 예시를 제시했다.[7] 위튼은 4차원 초대칭 게이지 이론에 위상 뒤틂을 적용하여, 이 이론이 도널드슨 불변량이라는 중요한 수학적 개념을 재현할 수 있음을 보였다. 이 연구는 위상 양자장론과 미분기하학 사이의 깊은 관계를 밝히는 데 중요한 역할을 했다.
시바르츠형 위상 양자장론이 주로 특성류를 기반으로 하여 일반적인 위상 다양체 위에서 정의될 수 있는 반면, 코호몰로지형 위상 양자장론은 대상이 되는 공간의 매끄러운 다양체 구조를 필요로 한다. 이는 서로 위상동형이지만 미분 구조가 다른 두 매끄러운 다양체를 코호몰로지형 위상 양자장론을 통해 구별할 수 있음을 의미한다.
''d''차원 '''코호몰로지형 위상 양자장론'''은 수학적으로 푸앵카레 대칭의 표현을 갖춘 힐베르트 공간 와, 다음과 같은 성질을 만족하는 두 연산자 로 구성된다.[8]
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여기서 는 시공간 병진(translation) 대칭의 생성원이다. 와 는 각각 스칼라와 벡터 형태의 "초대칭" 연산자로 볼 수 있다. (일반적인 초대칭 연산자는 스핀 ½의 스피너 형태를 가진다.) 또한, 이론의 진공 상태 가 연산에 대해 불변이라고 가정한다 (). 이는 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않음을 의미한다.
이러한 설정에서 는 BRST 연산자와 유사한 역할을 하며, 물리적으로 의미 있는 상태들의 공간인 '''물리적 힐베르트 공간''' 은 에 대한 코호몰로지로 정의된다.
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마찬가지로, 물리적으로 측정 가능한 양인 관측 가능량들의 공간은 위의 연산자들 중에서 연산에 대한 코호몰로지로 정의된다. 즉, 물리적인 관측 가능량 는 연산에 대해 닫혀 있어야 한다 ().
주어진 물리적 스칼라 연산자 (즉, )에 대해, 벡터 연산자 를 반복적으로 작용시켜 다음과 같은 연산자들을 정의할 수 있다.
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여기서 는 차 미분형식의 성질을 가지며, 다음과 같은 '''내림 방정식'''(descent equation)을 만족시킨다. 이 방정식은 연산자들의 야코비 항등식으로부터 유도될 수 있다.
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이 방정식에 따르면, 인 경우 는 일반적으로 에 대해 닫혀 있지 않으므로 (), 그 자체로는 관측 가능량이 아니다. 하지만 시공간 의 임의의 차 호몰로지 순환 에 대해 를 적분하면, 그 결과는 관측 가능량이 된다.
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이는 스토크스 정리 등을 이용하여 가 -닫혀 있음을 보일 수 있기 때문이다. 따라서 코호몰로지형 TQFT에서는 다음과 같은 형태의 상관 함수들을 계산하며, 이 값들은 시공간의 위상적 성질에만 의존한다.
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예를 들어, 도널드슨 불변량은 이러한 형태의 상관 함수로 표현될 수 있다.
일반적으로 위튼형 위상장론은 다음과 같은 조건들이 충족될 때 구성될 수 있다.
1. 이론의 작용 가 어떤 대칭 변환 (예: 리 미분)에 대해 불변이다 ().
2. 대칭 변환 는 멱영성을 가진다 ().
3. 모든 에 대해 을 만족하는 관측 가능량 들이 존재한다.
4. 이론의 에너지-운동량 텐서 (또는 유사한 물리량)가 어떤 텐서 에 대해 형태로 표현된다. 즉, 에너지-운동량 텐서가 -정확하다(-exact).
이 조건들이 만족되면 이론의 상관 함수가 시공간 계량 텐서의 변화에 대해 불변임을 보일 수 있어 위상적 성질을 갖게 된다. 예를 들어, 을 만족하는 미분 연산자 를 갖는 2-형식 장 를 생각해보자. 작용 는 조건 하에서 -대칭성을 가진다.
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또한, 작용을 에 대해 변분하면 (가 에 독립적이라고 가정),
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이므로, 작용의 변분은 형태 (여기서 )로 나타낼 수 있다. 이 경우, 인 관측 가능량 의 기댓값 (여기서 는 -불변인 하르 측도)은 의 변화에 대해 불변이다.
:.
마지막 등식은 가 단순한 숫자이므로 를 적용하면 0이 되기 때문에 성립한다. 이는 관측 가능량의 기댓값이 의 국소적 변화에 의존하지 않으므로 위상적임을 보여준다.
위튼의 1988년 논문에 제시된 4차원 위상적 양-밀스 이론은 이러한 구조의 대표적인 예시이다. 이 이론의 작용 범함수는 원래 시공간의 계량 를 포함하지만, 위상적 비틀림을 거치면 계량에 독립적인 이론이 된다. 계의 에너지-운동량 텐서 가 계량 변화에 대해 불변인 것은 BRST 연산자 가 닫혀있다는 사실()과 에너지-운동량 텐서가 -정확하다는 조건()에 해당한다. 위튼의 예시 이후 위상적 끈 이론 등 다양한 분야에서 코호몰로지형 위상 양자장론의 많은 예시들이 발견되었다.
3. 아티야 공리계
마이클 아티야는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위해 다음과 같은 공리계를 제안하였다.[9] 이 정의에 따르면, 차원 '''위상 양자장론'''은 다음 데이터로 구성된다.
- 모든 차원 콤팩트하고 경계가 없는 유향 다양체 에 대해, 복소벡터 공간[10]인 '''상태 공간''' 가 주어진다.
- 모든 차원 경계를 가진 유향 다양체 에 대해, '''경로 적분''' 가 주어진다. (만약 이면, 이므로 는 복소수 불변량이다.)
이 데이터들은 다음 공리들을 만족시킨다.
# '''함자성'''
## '''(공간 대칭의 작용)''' 임의의 방향을 보존하는 미분 동형 에 대해, 벡터 공간의 동형사상 가 존재한다.
## '''(시공간 대칭의 작용)''' 임의의 방향 및 경계를 보존하는 미분 동형 에 대해, 이다. (는 를 경계 에 제한한 사상이다.)
# '''대합성''' 에 반대 방향을 준 유향 다양체를 라고 하면, 상태 공간의 쌍대 공간과 표준적인 동형사상 가 존재한다.
# '''승법성'''
## '''(상태 공간의 승법성)''' 두 다양체의 분리합집합에 대해 이다.
## '''(sewing law|짜깁기 법칙영어)''' 두 차원 다양체 의 경계가 이고 일 때, 공통 경계 을 따라 이어붙여 새로운 다양체 를 만들면 그 경계는 가 된다. 이 경우, 경로 적분은 로 주어진다. 여기서 는 에서 로 가는, 와 사이의 자연스러운 쌍대성 페어링(내적)에 의해 유도된 사상이다.
# '''비자명성'''
## '''(상태 공간의 비자명성)''' 차원 빈 다양체 에 대해 이다.
## '''(경로 적분의 비자명성)''' 차원 빈 다양체 에 대해 이다.
## '''(시간 변화)''' 실린더 에 대해 경로 적분 은 의 항등 함수 에 해당한다. 여기서 은 닫힌 구간이다.
일반적인 양자역학과 달리, 위상 양자장론의 상태 공간 에는 내적이 기본적으로 주어져 있지 않다. 양자역학에서는 관측가능량 및 해밀토니언을 정의하기 위해 상태 공간이 힐베르트 공간이어야 하고 에르미트 연산자 개념이 필요하지만, 위상 양자장론에서는 해밀토니언이 항상 0이므로 이러한 구조가 반드시 필요하지는 않다.
아티야는 그레이엄 시걸이 제안한 등각장론 공리와 위튼의 초대칭성에 대한 기하학적 해석에서 영감을 받아 위상 양자장론 공리계를 제안했다. 아티야의 공리는 미분 가능한 (또는 위상적, 연속적) 사상을 이용해 경계를 붙이는 방식을 다루는 반면, 시걸의 공리는 등각 사상을 다룬다. 이 공리들은 주로 슈바르츠형 TQFT를 수학적으로 다루는 데 유용하며, 위튼형 TQFT의 모든 구조를 포착하는지는 명확하지 않다. 핵심 아이디어는 TQFT가 특정 코보디즘 범주에서 벡터 공간의 범주로 가는 함자라는 것이다.
실제로 아티야 공리라고 불리는 것에는 약간 다른 두 가지 접근 방식이 있다. 하나는 고정된 차원 시공간 에서 TQFT를 정의하는 것이고, 다른 하나는 모든 차원 시공간을 한 번에 고려하는 것이다.
또한, 위의 공리계는 상태 공간을 복소 벡터 공간으로 가정했지만, 더 일반적으로 단위원을 가진 가환환 (예: ) 위의 유한 생성 가군으로 상태 공간을 정의할 수도 있다. 이 경우 공리는 비슷하게 적용되며, 텐서곱 등은 -가군의 연산으로 대체된다. 특히 일 경우, 다음과 같은 추가적인 공리를 고려하기도 한다.
- '''에르미트성''': 이다. 여기서 는 의 방향을 반대로 한 다양체이고, 은 (만약 이 선형 변환으로 간주될 수 있다면) 그 에르미트 수반에 해당한다.
이 공리들은 다음과 같은 해석을 가능하게 한다.
- 만약 가 방향을 보존하는 미분 동형 사상이고, 의 양 끝을 로 이어붙여 만든 닫힌 다양체를 라 하면, 이다. 여기서 는 에 의해 유도된 자기 동형 사상이고 는 그 대각합이다.
- 경계 를 가진 다양체 에 대해, 과 그 방향을 뒤집은 를 경계 에서 이어붙인 닫힌 다양체 를 생각할 수 있다. 에르미트성 공리가 성립하고 인 경우, 이다. 여기서 우변은 에 정의된 (아마도 부정부호일 수 있는) 에르미트 계량에 대한 노름의 제곱이다.
4. 다양한 차원에서의 위상 뒤틂
초대칭 이론의 위상 뒤틂은 2차원부터 4차원까지 다양한 차원에서 가능하다.
위상 양자장론 중 위텐 유형 이론의 첫 번째 예시는 1988년 위튼의 논문에서 제시된 4차원 위상적 양-밀스 이론이다. 이 이론의 작용 범함수는 처음에는 시공간의 계량 에 의존하는 것처럼 보이지만, 위상적 비틀림이라는 과정을 거치면 계량에 무관하게 된다는 특징이 있다. 계의 에너지-운동량 텐서 가 계량에 독립적인지 여부는 BRST 연산자가 닫혀 있는지 여부에 달려 있다. 위튼이 제시한 이 예시 이후, 위상적 끈 이론 분야에서도 많은 위상장론의 예시들이 발견되었다.
일반적으로 위텐 유형의 위상장론은 다음 조건들을 만족할 때 성립한다.
# TQFT(위상 양자장론)의 작용 가 특정 대칭성()을 가져야 한다. 즉, 을 만족해야 한다. (예: 리 미분)
# 해당 대칭 변환은 완전해야 한다. 즉, 이어야 한다.
# 모든 에 대해 을 만족하는 관측 가능량 들이 존재해야 한다.
# 계의 에너지-운동량 텐서(또는 유사한 물리량) 가 어떤 텐서 에 대해 의 형태로 표현될 수 있어야 한다.
예를 들어, 을 만족하는 외미분 (리 미분)을 갖는 2-형식의 장 가 있다고 가정하자. 이 경우 작용 는 대칭성을 갖는다 (). 또한, 에너지-운동량 텐서와 유사한 역할을 하는 는 다른 2-형식 를 사용하여 형태로 표현될 수 있다.
이러한 조건들이 만족되면, 이론의 관측 가능량 들의 평균값 는 기하학적인 장 의 변화에 대해 불변이므로, 시공간의 기하학적 구조(계량)에 의존하지 않는 위상적인 성질을 가지게 된다.
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5. 수학적 정식화
마이클 아티야는 그레이엄 시걸이 제안한 등각장론 공리와 위튼의 초대칭성에 대한 기하학적 의미에 대한 연구에서 영감을 받아 위상 양자장론(TQFT)에 대한 공리계를 제안했다. 시걸의 아이디어는 2001년 논문에 요약되어 있다. 아티야의 공리는 미분 가능한 변환으로 경계를 붙여나가는 방식으로 구성되는 반면, 시걸의 공리는 등각 변환에 초점을 맞춘다. 이 공리들은 슈바르츠형 TQFT의 수학적 접근에 유용했지만, 위튼형 TQFT의 전체 구조를 포착하는지는 명확하지 않다. 핵심 아이디어는 TQFT가 특정 범주인 코보디즘 범주에서 벡터 공간 범주로 가는 함자라는 것이다.
아티야 공리에는 두 가지 다른 접근 방식이 있다. 하나는 고정된 ''d''차원 리만/로렌츠 시공간 ''M''에서 정의된 TQFT에 적용되고, 다른 하나는 모든 ''d''차원 시공간에 대해 한 번에 정의된 TQFT에 적용된다.
Λ를 1을 가진 가환환이라고 하자 (대부분의 경우 Λ는 '''Z''', '''R''' 또는 '''C'''이다). 아티야는 Λ 위에 정의된 ''d''차원 위상 양자장론의 공리를 다음과 같이 제안했다.
- 각 방향을 가진 닫힌 매끄러운 ''d''차원 다양체 Σ에 대해 유한 생성 Λ-가군 ''Z''(Σ)가 연관된다 (''호모토피'' 공리).
- 각 방향을 가진 매끄러운 (''d'' + 1)차원 다양체 ''M'' (경계를 가짐)에 대해 원소 ''Z''(''M'') ∈ ''Z''(∂''M'')가 연관된다 (''가산'' 공리).
이 데이터들은 다음 공리들을 만족한다 (4번과 5번은 아티야가 추가했다).
1. ''Z''는 Σ와 ''M''의 방향 보존 미분 동형 사상에 대해 함자적이다.
2. ''Z''는 환원적이다. 즉, Σ*가 반대 방향을 가진 Σ이고 ''Z''(Σ)*가 쌍대 가군을 나타낼 때, ''Z''(Σ*) = ''Z''(Σ)*이다.
3. ''Z''는 곱셈적이다. 즉, 분리합집합에 대해 ''Z''(Σ₁ ⊔ Σ₂) = ''Z''(Σ₁) ⊗ ''Z''(Σ₂)이다.
4. ''Z''() = Λ (d차원 빈 다양체)이고 ''Z''() = 1 ((''d'' + 1)차원 빈 다양체)이다.
5. ''Z''(''M*'') = (에르미트 공리). 만약 이라면, ''Z''(''M'')을 에르미트 벡터 공간 사이의 선형 변환으로 볼 때, 이 공리는 ''Z''(''M*'')이 ''Z''(''M'')의 수반임을 의미한다.
닫힌 다양체 ''M''에 대해 ''Z''(''M'')은 수치적 위상 불변량이다. 경계가 있는 다양체 ''M''에 대해 ''Z''(''M'') ∈ ''Z''(∂''M'')은 "상대적" 불변량으로 생각할 수 있다. 예를 들어, ''f'' : Σ → Σ가 방향 보존 미분 동형 사상이고, Σ × ''I''의 양 끝을 ''f''로 동일시하여 만든 다양체를 Σ''f''라 하면, 공리에 의해 가 성립한다. 여기서 Σ(''f'')는 ''Z''(Σ)에서 유도된 자기 동형 사상이다.
또한, 경계 Σ를 가진 다양체 ''M''에 대해 이중 다양체 는 닫힌 다양체이며, 다섯 번째 공리는 임을 보여준다. 여기서 우변은 에르미트 구조에서의 노름이다.
물리적으로 공리 (1)과 (4)는 상대론적 불변성과 관련되고, (2), (3), (5)는 이론의 양자적 성질을 나타낸다. Σ는 물리적 공간 (보통 ''d''=3)을, 추가 차원은 "허수 시간"을 나타낸다. ''Z''(Σ)는 양자 이론의 힐베르트 공간이다. 위상 양자장론의 특징은 해밀토니안 ''H''가 0이라는 점이다. 이는 원통 Σ × ''I''를 따라 실질적인 동역학이 없음을 의미한다. 그러나 경계가 인 다양체 ''M''을 통해 Σ0에서 Σ1으로의 비자명한 "전파" (터널링 진폭)가 존재할 수 있으며, 이는 ''M''의 위상을 반영한다. ∂''M'' = Σ인 경우, 벡터 ''Z''(''M'') ∈ ''Z''(Σ)는 ''M''에 의해 정의된 진공 상태로 간주된다. 닫힌 다양체 ''M''의 경우, 스칼라 값 ''Z''(''M'')은 진공 기댓값 또는 분배 함수라고 불린다.
해밀토니안이 0인 이론은 파인만 경로 적분 접근법을 통해 정식화될 수 있다. 이론은 적절한 라그랑지안으로 정의되며, 시간에 대한 1차 미분만 포함하는 라그랑지안은 형식적으로 0 해밀토니안을 유도하지만, 라그랑지안 자체는 ''M''의 위상과 관련된 비자명한 특징을 가질 수 있다.
TQFT를 정의하는 또 다른 방식은 코보디즘 범주를 이용하는 것이다. ''BordM''을 사상이 ''M''의 ''n''차원 부분다양체이고, 대상이 그러한 부분다양체 경계의 연결 성분인 범주라고 하자. 두 사상이 ''M''의 부분다양체를 통해 호모토피적이면 동치로 간주하여 몫 범주 ''hBordM''을 형성한다. ''M''에 대한 TQFT는 ''hBordM''에서 벡터 공간 범주로 가는 대칭 모노이드 함자이다. 코보디즘은 경계가 일치하면 서로 이어 붙여 새로운 코보디즘을 만들 수 있는데, 이는 범주에서의 사상 합성 규칙에 해당한다. 함자는 합성을 보존해야 하므로, 이어 붙인 코보디즘에 대응하는 선형 사상은 각 부분에 대한 선형 사상의 합성이 된다.
모든 시공간을 한 번에 고려하려면 더 큰 범주가 필요하다. ''Bordn''을 코보디즘 범주, 즉 사상이 경계를 가진 ''n''차원 다양체이고 대상이 (''n''−1)차원 다양체인 경계의 연결 성분인 범주라고 하자. 마찬가지로 호모토피 동치 관계를 통해 몫 범주 ''hBordn''을 얻는다. ''Bordn''은 다양체의 분리합집합 연산 하에 모노이드 범주이다. ''n''차원 TQFT는 ''hBordn''에서 벡터 공간 범주로 가는 함자이며, 분리합집합을 벡터 공간의 텐서 곱으로 보낸다.
특히 2차원 위상 양자장론의 범주는 가환 프로베니우스 대수의 범주와 범주의 동치 관계에 있다. 예를 들어, (1+1)차원 코보디즘 (1차원 다양체 사이의 2차원 코보디즘)에서, 바지 모양의 코보디즘에 대응하는 사상은 경계 성분을 어떻게 그룹화하는지에 따라 곱 또는 공곱을 정의하며, 이는 (공)가환적이다. 원판 모양의 코보디즘에 대응하는 사상은 코단위(대각합) 또는 단위(스칼라)를 정의한다. 이러한 연산 구조가 바로 프로베니우스 대수의 정의와 일치한다.
더욱 최근에는, 위의 코보디즘과 관련된 4차원, 3차원, 2차원 다양체를 동시에 고려함으로써 풍부하고 중요한 예시들이 연구되고 있다.
6. 주요 응용 분야
위상 양자장론(TQFT)은 수학과 물리학 양쪽 모두에서 매우 흥미로운 주제들을 생성하며 다양한 응용 분야를 가지고 있다.
주요 응용 분야 중 하나는 매듭 이론과의 연관성이다. 특히 위튼이 제시한 존스-위튼 이론은 3차원 다양체 위의 천-사이먼스 이론을 기반으로 하며, 매듭이나 얽힘의 위상 불변량인 존스 다항식을 계산하는 방법을 제공한다. 이는 양자론적 방법을 통해 양자 매듭 불변량을 연구하는 길을 열었다.[3]
또한 TQFT는 저차원 다양체 연구에 중요한 도구를 제공한다. 도널드슨이 도입한 도널드슨 불변량은 4차원 다양체의 미분 구조를 연구하는 데 사용되었으며, 이는 TQFT의 관점에서 재해석될 수 있다.[2] 이후 자이베르그-위튼 이론이 등장하여 도널드슨 이론을 더 다루기 쉬운 형태로 발전시켰다. 플로어가 개발한 플로어 호몰로지 역시 3차원 다양체와 심플렉틱 기하학 연구에 중요한 기여를 했으며, 이는 그로모프-위튼 불변량 이론으로 이어졌다.[2]
양자 중력 연구에서도 TQFT는 중요한 역할을 한다. 양자 중력 이론은 시공간의 계량에 의존하지 않는 배경 독립성을 가질 것으로 예상되는데, TQFT는 이러한 배경 독립적인 양자장론의 구체적인 예시를 제공함으로써 이론 연구에 기여한다.
이 외에도 TQFT는 위상 끈 이론과 같은 다른 물리학 분야와도 연관되며, 최근에는 TQFT에서의 비국소 연산자에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다. 이는 끈 이론을 근본 이론으로 간주할 때, 국소 끈 이론에 대한 계산 효율적인 근사 모델을 제공할 가능성을 가진다.[2]
참조
[1]
서적
河野 1998
[2]
서적
河野 1998
[3]
서적
河野 1998
[4]
논문
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2005
[5]
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The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants
1978-01
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Introduction to cohomological field theories
1991-07-10
[7]
논문
Topological quantum field theory
1988
[8]
논문
Les Houches lectures on fields, strings and duality
1997-03
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논문
Topological quantum field theories
http://www.numdam.or[...]
1988-01
[10]
문서
일부 경우, [[실수]] 및 [[유한체]]에 대한 [[벡터 공간]]도 사용 가능하다
[11]
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A-models in three and four dimensions
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Hyper-Kähler Geometry and Invariants of Three-Manifolds
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논문
Aspects of topological gauge theories and D-branes
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