0.999…

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1. 개요

0.999…는 십진법에서 0.9가 무한히 반복되는 무한소수를 의미하며, 이 값은 1과 같다는 수학적 명제이다. 대수적인 증명, 분수를 이용한 증명, 위치 기수법의 성질을 이용한 증명 등 다양한 방법으로 증명할 수 있으며, 실해석학적 방법과 급수를 통해서도 증명할 수 있다. 그러나 무한소수와 극한의 개념에 대한 오해로 인해 많은 사람들이 이 사실을 받아들이기 어려워한다. 0.999… = 1은 정수론, 프랙탈 이론 등 다양한 분야에서 응용되며, 실수의 구성, 초실수, 초현실수 등 다른 수 체계에서는 0.999…의 행동이 달라질 수 있다.

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0.999…

2. 대수적인 증명

0.999…라는 실수를 명확히 파악하려면, 소수점 이하 자리가 모두 9라는 점을 이용한다. 위치 기수법으로 표시된 유한 소수에서의 "자리별 사칙 연산"이 무한 소수에도 적용될 수 있다고 간주하면, 0.999… = 1을 초등적으로 유도할 수 있다.

2. 1. 분수를 통한 증명

을 소수로 표시하면 소수점 이하의 자리가 모두 3이 된다. 은 1 ÷ 3이 되는데 장제법을 취하면 순환소수 0.333…이 된다. 여기서 3은 무한히 계속된다. 에 3을 곱하면 1이 되는데, 0.333...에 3을 곱하면 0.999...이 되므로, 0.999… = 1이 된다.^[67] 이와는 별도로 = 0.111…이라는 등식의 양 쪽에 9를 곱해서 증명하기도 한다.

:

\begin{align}0.333\cdots &=\frac{1}{3} \\0.333\cdots \times 3 &=\frac{1}{3} \times 3 \\0.999\cdots &=1\end{align}

^[4]

2. 2. 위치 기수법의 성질을 이용한 증명

십진법으로 표시된 유한소수에 10을 곱하면 숫자는 변하지 않고 소수점이 오른쪽으로 한 자리 이동한다. 이것이 무한소수에도 성립된다고 가정하면 0.999… × 10 = 9.999…가 되는데, 이는 원래의 수보다 9만큼 크다.^[67] 뺄셈을 자리마다 처리할 수 있다는 것이 무한소수에도 성립된다고 가정하면 9.999… - 0.999… = 9.000…가 된다. 그런데 소수점 아래에 무수히 이어지는 0은 수를 변화시키지 않으므로, 이 차이는 바로 9와 같다. 문제의 소수 0.999…를 c라고 가정하면 10c - c = 9가 되는데, 이 방정식을 풀면 c = 1이라는 값을 얻을 수 있고 증명이 완료된다.^[67] 즉, 다음과 같은 등식이 성립한다.

:

\begin{align}c &=0.999\cdots \\10c &=9.999\cdots \\10c-c &=9.999\cdots -0.999\cdots \\9c &=9 \\c &=1\end{align}

이러한 위치 기수법의 성질을 이용한 증명은 다른 유한소수(0.25와 0.24999… 등)에도 적용할 수 있다.

2. 3. 무수한 자릿수 조작의 정당성

위의 증명에서 사용된 무한 소수에 대한 연산은 엄밀성이 부족할 수 있지만, 실해석학의 기법을 통해 정당화될 수 있다.^[67] 유한 소수에 대해서는 실수의 계산 법칙에만 의존하여 자리별 연산이 가능하다. 그러나 이 연산이 무한 소수에도 적용될 수 있음을 증명하기 위해서는 해석적인 증명 문단에서 설명하는 실해석학 기법이 필요하다.

3. 해석적인 증명

라는 소수점 이하의 자리에 무수한 를 더한다는 정의 자체가 해석적이다. 이것을 과 같다는 것을 엄밀하게 증명하기 위해서는 실해석학에 따른 방법을 필요로 한다. 라는 무한소수를 정확히 파악하기 위해서는 소수 부분의 자리가 무수히 나열되어 있는 것을 명확하게 다시 정의하는 것이 필요하다.

이라는 등식은 (유한) 소수의 비교와 덧셈이라는 수학적 도구만 사용하여 증명할 수 있으며, 급수와 극한과 같은 더 진보된 주제는 전혀 참조하지 않는다. 이 증명은 0.9, 0.99, 0.999 등을 수직선에 그리면 1과 이들 사이에 숫자를 놓을 공간이 없다는 직관적인 사실을 직접 형식화한 것이다. 0.999... 표기법의 의미는 수직선에서 0.9, 0.99, 0.999 등 모든 숫자의 오른쪽에 있는 가장 작은 점이다. 궁극적으로 1과 이러한 숫자들 사이에 공간이 없으므로 점 1이 이 가장 작은 점이어야 하며, 따라서 이다.

0. 9, 0.99, 0.999 등을 수직선에 표시한다면, 이 모든 점들이 1의 왼쪽에 있으며, 1에 점점 더 가까워진다는 것을 즉시 알 수 있다. 1보다 작은 수 $x$ 에 대해, 0.9, 0.99, 0.999 등의 수열은 결국 보다 큰 수에 도달할 것이다. 따라서 0.999...를 1보다 작은 수와 동일시하는 것은 말이 되지 않는다. 한편, 1보다 큰 모든 수는 0.999...9 형태의 소수보다 클 것이며, 9의 개수는 유한하다. 그러므로 0.999...는 1보다 큰 수와 동일시될 수도 없다. 0.999...는 1보다 크거나 1보다 작을 수 없으므로, 만약 실수라면 1과 같아야 한다.^[1]^[2]

0. (9)을 소수점 뒤에 $n$ 개의 9가 있는 숫자 0.999...9로 나타낸다. 따라서 , , 등이 있다. , 등이 있다. 즉, 모든 자연수 에 대해 이다.

$x$ 를 1보다 크지 않고 0.9, 0.99, 0.999 등보다 큰 숫자라고 하자. 즉, 모든 에 대해 이다. 이러한 부등식을 1에서 빼면 모든 에 대해 을 얻는다.

모든 에 대해 $\frac{1}{10^n}$ 보다 작은 양의 수가 없다는 것은 아르키메데스 성질의 한 버전이며, 실수에 대해 참이다.^[3]^[4] 이 성질은 모든 에 대해 이면 가 0과 같을 수밖에 없다는 것을 의미한다. 따라서 이고 1은 모든 0.9, 0.99, 0.999 등보다 큰 가장 작은 수이다. 즉, 이다.

이 증명은 유리수와 실수의 아르키메데스 성질에 의존한다. 실수는 초실수, 무한히 작은 수 (무한소) 및 무한히 큰 수 (무한대)와 같은 수 체계로 확장될 수 있다. 이러한 체계를 사용할 때는 0.999... 표기를 일반적으로 사용하지 않는데, 이는 모든 0.(9)보다 큰 숫자들 중에서 가장 작은 숫자가 없기 때문이다.

이 논증은 수열 0.9, 0.99, 0.999, ...의 최소 상계가 존재한다는 것을 보여준다. 실수 체계의 공리 중 하나는 모든 유계 수열은 최소 상계를 가진다는 완비성 공리이다.^[5]^[6] 이 최소 상계는 무한 소수 확장을 정의하는 한 가지 방법이다. 무한 소수로 표현되는 실수는 유한 절단의 최소 상계이다.^[7]

3. 1. 차이에 주목한 증명

이 증명에서는 마지막으로

:

\lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{10} \right)^n =0

임을 증명 없이 이용하고 있다.

이를 증명하기 위해서는 실제 해석에서의 실수의 완비성(아르키메데스 성질)이 필요하다.^[2]

아르키메데스 성질: 결승선 앞의 모든 점 는 점 중 두 점 사이에 놓인다 (양 끝점 포함).

3. 2. 무수한 자리에 대한 정의의 재고

0. 999…라는 무한 소수를 정확하게 이해하려면, 소수점 이하 자리가 무한히 이어지는 것을 명확하게 정의해야 한다. 일반적으로 무한 소수는 소수점 이하에 무한한 자릿수가 나열된 실수로 정의된다. 0.999…를 고려할 때, 정수 부분은 1의 자리만 생각하면 충분하고 음수는 고려할 필요가 없으므로, 다음과 같은 형태의 소수 표시를 생각할 수 있다.

:

a_0 .a_1 a_2 a_3 \cdots

여기서 소수 부분은 정수 부분과 달리 유한한 자릿수로 제한되지 않는다. 이는 십진법 위치 기수법에 따른 것이다. 예를 들어,

a_1

의 단위는

a_2

의 단위의 10배이고,

a_3

의 단위는

a_2

의 단위의 1/10배이다.

0. 999... = 1 이라는 등식은 (유한) 소수의 비교와 덧셈이라는 수학적 도구만으로 증명할 수 있다. 급수나 극한과 같은 더 복잡한 개념은 참조하지 않는다. 이 증명은 0.9, 0.99, 0.999 등을 수직선에 나타내면 1과 이 숫자들 사이에 다른 숫자를 넣을 공간이 없다는 직관적인 사실을 형식화한 것이다. 0.999... 표기법은 수직선에서 0.9, 0.99, 0.999 등 모든 숫자의 오른쪽에 있는 가장 작은 점을 의미한다. 1과 이 숫자들 사이에 공간이 없으므로, 점 1이 이 가장 작은 점이어야 하며, 따라서 0.999... = 1이다.

1보다 작은 수

x

에 대해, 0.9, 0.99, 0.999 등의 수열은 결국

x

보다 큰 수에 도달한다. 따라서 0.999...를 1보다 작은 수와 동일시하는 것은 이치에 맞지 않다. 한편, 1보다 큰 모든 수는 0.999...9 형태의 소수보다 크며, 9의 개수는 유한하다. 그러므로 0.999...는 1보다 큰 수와 동일시될 수도 없다. 0.999...는 1보다 크거나 작을 수 없으므로, 실수라면 1과 같아야 한다.^[1]^[2]

0. (9)을 소수점 뒤에

n

개의 9가 있는 숫자 0.999...9로 나타낸다. 따라서 0.(9)₁ = 0.9, 0.(9)₂ = 0.99, 0.(9)₃ = 0.999 등이다. 1 − 0.(9)₁ = 0.1 = , 1 − 0.(9)₂ = 0.01 = 등이다. 즉, 모든 자연수 에 대해 1 − 0.(9) =

\frac{1}{10^n}

이다.

x

를 1보다 크지 않고 0.9, 0.99, 0.999 등보다 큰 숫자라고 가정한다. 즉, 모든 에 대해 0.(9) <

x

≤ 1이다. 이 부등식을 1에서 빼면 모든 에 대해 0 ≤ 1 −

x

< 110ⁿ 을 얻는다.

아르키메데스 성질에 따르면, 모든

n

에 대해

\frac{1}{10^n}

보다 작은 양의 수는 없다. 이 성질은 모든

n

에 대해 1 −

x

< 110ⁿ 이면 1 −

x

가 0과 같을 수밖에 없다는 것을 의미한다. 따라서

x

= 1이고, 1은 모든 0.9, 0.99, 0.999 등보다 큰 가장 작은 수이다. 즉, 1 = 0.999...이다.

이 증명은 유리수와 실수의 아르키메데스 성질에 의존한다. 실수는 초실수와 같이 무한히 작은 수 (무한소) 및 무한히 큰 수 (무한대)를 포함하는 수 체계로 확장될 수 있다.^[3]^[4] 이러한 체계를 사용할 때는 0.999... 표기를 일반적으로 사용하지 않는데, 이는 모든 0.(9)보다 큰 숫자들 중에서 가장 작은 숫자가 없기 때문이다.

이 논증은 수열 0.9, 0.99, 0.999, ...의 최소 상계가 존재한다는 것을 보여준다. 실수 체계의 공리 중 하나는 모든 유계 수열은 최소 상계를 가진다는 완비성 공리이다.^[5]^[6] 이 최소 상계는 무한 소수 확장을 정의하는 한 가지 방법이다. 무한 소수로 표현되는 실수는 유한 절단의 최소 상계이다.^[7]

3. 2. 1. 급수의 계산

무한 소수를 급수로 정의하고, 등비급수의 공식을 이용하여 0.999… = 1을 증명한다.

소수 전개의 일반적인 정의는 급수(무한한 수열의 총합)로 정의하는 것이다. 즉,

:

a_0 .a_1 a_2 a_3 \cdots =a_0 +a_1 \left(\frac{1}{10} \right)+a_2 \left(\frac{1}{10} \right)^2 +a_3 \left(\frac{1}{10} \right)^3 +\cdots

로 나타낸다.

여기에서 0.999…의 소수 부분의 계산에는 다음 등비 급수의 공식을 적용할 수 있다.^[68]

:

|r| < 1

일 때

a+ar+ar^2 +\cdots =\frac{a}{1-r}

0.999…는 위에서 언급한 왼쪽 부분에서 첫 항을

a = \frac{9}{10}

, 공비를

r = \frac{1}{10}

이라고 정의했기 때문에 이 공식에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

0.999\cdots =9\left(\frac{1}{10} \right)+9\left(\frac{1}{10} \right)^2 +9\left(\frac{1}{10} \right)^3 +\cdots=\frac{9(\tfrac{1}{10} )}{1-\tfrac{1}{10}} =1

이 증명은 1770년경에 스위스의 수학자인 레온하르트 오일러가 집필한 《대수학 원론》(실제로는 9.999… = 10으로 증명했음)에서 나타난다.^[69]

극한: 1에 따른 사진법 표시의 수열 {0.3, 0.33, 0.333, …}을 포함한 단위 구간

등비급수의 공식 자체는 오일러 이전의 성과이지만, 18세기까지는 그 도출이 모두 항별 연산의 증명 없이 이루어졌다. 1811년이 되어서야 보니캐슬(Bonnycastle)의 교과서 《대수학 소개》(An Introduction to Algebra)에서 등비급수에 관한 논의가 시작되었는데, 이는 0.999…에 관한 항별 조작을 정당화하고 있다.^[70]

19세기에는 지금까지의 너무 자유로운 무한 합의 계산에 대한 반동으로서 "급수는 그 부분합의 극한으로서 정의된다"라는 현재의 수학에서도 이용되고 있는 정의가 만들어졌다. 현대의 증명에 근거한 미적분학이나 해석학 입문서에서는 이와 관련된 정리를 증명하고 있으며, 이러한 등비급수를 명확하게 계산하고 있다.^[71]

수열

\{x_n\}

에서 번호

n

을 끝없이 나아가게 하면 거리

|x_n - x|

가 0에 접근할 때 수열

\{x_n\}

의 극한은

x

라고 정의한다. 등식 0.999… = 1 자신은 다음과 같이 극한을 나타내면서 증명한다.

:

0.999\cdots = \lim_{n\to\infty} 0.\underbrace{99\cdots 9}_n= \lim_{n\to\infty} \textstyle\sum\limits_{k=1}^n \displaystyle\frac{9}{10^k} =\lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{1}{10^n} \right)=1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{10^n} =1

^[72]

마지막 등호 (

\lim_{n\to\infty} \tfrac{1}{10^n} =0

)는 실수의 완비성 가운데 하나인 아르키메데스 성질을 사용하여 증명된다.

3. 2. 2. 구간 축소법과 상한

구간 축소법이나 상한의 개념을 이용하여 0.999… = 1을 증명할 수 있다.^[74]

구간 축소법의 원리에 따르면, 닫힌 구간의 감소열이 주어지고 그 폭이 0으로 수렴할 때, 그러한 구간의 교집합은 단지 하나의 실수로 이루어진 1점 집합인 것이 실수의 완비성으로 증명된다. 따라서 0.999…는 [0, 1], [0.9, 1], [0.99, 1], …의 모든 것에 속하는 유일한 실수가 된다. 반면 실수 1은 이들 모든 구간에 속하기 때문에 0.999… = 1이 된다.^[75]

구간 축소법은 실수의 완비성 중에서 보다 직관적이라고 생각되는 상한의 존재에 근거하고 있다. 이 사실을 직접 사용하면 0.999…를 근사값의 집합 {0, 0.9, 0.99, …}의 상한으로서 정의할 수 있다.^[76] 증가열 상한의 존재 정리는 실수의 연속성으로서 구간 축소법과 같은 값임을 나타낼 수 있으므로 다시 0.999… = 1을 얻게 된다. 톰 어포스톨은 다음과 같은 결론을 내렸다.^[77]

4. 실수의 구성

공리적 집합론을 이용하여 실수의 집합을 유리수의 집합으로부터 구성하는 방법은 여러 가지가 있다. 먼저 '''자연수'''는 물건을 셀 때 사용하는 번호로, 0부터 시작하여 1, 2, … 와 같이 1씩 더하여 얻을 수 있다. 자연수를 확장하여 '''정수''' 전체를 얻으려면 각 자연수의 반수를 추가하면 된다. 여기에 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산이 가능하고, 임의의 두 수의 대소 관계를 비교할 수 있다.

유리수에서 '''실수'''로의 확장은 (자연수에서 정수나 유리수로의 확장과 비교하여) 큰 비약이다. 이러한 확장은 1872년에 발표된 데데킨트 절단과 코시 열을 이용하는 두 가지 방법이 잘 알려져 있다. 현대 수학에서는 해석학적으로 실수를 구성하고, 그것이 수의 공리를 만족하는지 확인한다. 공리에 의한 해석적 기법을 통해 을 증명한다. 그러나 실수의 구성을 보다 적절하게 논리적으로 실시함으로써 의 증명은 더 직접적으로 이루어진다고 주장하는 사람도 있다.^[78]

데데킨트 절단을 이용한 실수 구성과 코시 열을 이용한 실수 구성에 대한 더 자세한 내용은 하위 섹션을 참고한다.

4. 1. 데데킨트 절단에 따른 구성

데데킨트 절단의 접근 방식에서는, 임의의 실수 는 보다 작은 유리수 전체로 이루어진 무한 집합으로 정의된다.^[16] 이러한 관점에서 실수 1은 1보다 작은 모든 유리수의 집합이 된다.^[17]

양의 실수에서 데데킨트 절단은 그 소수 전개를 통해 얻을 수 있다. 소수 표기를 적당한 자리수까지 잘라서 얻은 유리수를 사용하고, 그것보다 작은 유리수 전체의 합집합을 만들면 된다. 이 방법으로 실수 0.999…가 무엇인지를 살펴보면, , , , … (즉, 어떤 자연수 에 대해 을 만족하는 모든 유리수 의 집합)로 정의된다.^[18] 0.999…보다 작은 모든 유리수는 1보다 작으므로, 이는 실수 1의 원소에 포함된다. 한편, 실수 1의 원소가 되는 임의의 유리수

:

\frac{a}{b} <1

()을 생각하면,

:

\frac{a}{b} =1-\frac{b-a}{b} \le 1-\frac{1}{b} <1-\left( \frac{1}{10} \right)^b

이 되므로, 는 0.999…의 원소가 된다. 따라서 0.999…와 1은 완전히 같은 유리수를 원소로 포함하므로, 이들은 집합으로서 같다. 즉, 이다.

데데킨트 절단에 의한 실수의 정의는 1872년 리하르트 데데킨트에 의해 처음 발표되었다.^[19] 위에서 실수를 각각의 소수 전개에 귀착시키는 방법은 프레드 리치먼(Fred Richman)이 ''Mathematics Magazine''에 기고한 "Is 0.999… = 1?"이라는 해설 논문에 기반한다. 이 논문은 대학교 수학 교사와 학생들을 대상으로 작성되었다.^[20] 리치먼은 유리수의 임의의 조밀 집합 부분 집합에서 절단을 고려해도 같은 결과를 얻는다고 지적했다. 특히, 분모가 10의 거듭제곱인 분수 전체로 이루어진 조밀 부분 집합을 사용하여 의 증명을 더 직접적으로 제시했다. 또한 인 는 절단을 갖지만, 인 는 절단을 갖지 않는다는 점도 지적하며, "이는 0.999…와 1이 달라지는 것을 배제한다. … 실수의 전통적인 정의에는 등식 이 처음부터 포함되어 있다"라고 설명했다.^[21] 리치먼은 이 절차를 수정하여 이 되는 다른 구조를 제시하기도 했다.

4. 2. 코시 열에 따른 구성

실수를 구성하는 방법 중 하나는 유리수의 순서를 이용하는 것이다. 두 유리수 x, y 사이의 거리 d(x, y)는 절댓값 |x - y|로 정의된다. 실수는 이 거리에 대한 유리수의 코시 열을 동치류로 나눈 것으로 정의할 수 있다.

유리 수열 {x_n}이 코시 열이라는 것은, 임의의 양수 ε에 대해 어떤 번호 N이 존재하여 N보다 큰 모든 m, n에 대해 |x_m - x_n| < ε 이 성립하는 것을 의미한다.^[85]

두 코시 열 {x_n}, {y_n}가 동치라는 것은 x_n - y_n이 0으로 수렴하는 것을 의미한다. 소수 a₀.a₁a₂a₃...에 대해 각 자리 이후를 잘라내어 얻는 수열은 유리수의 코시 열을 이루며, 이 코시 열이 해당 소수 전개가 나타내는 실수의 참값으로 정의된다.^[86]

0.999… = 1임을 보이려면, 유리수의 코시 열

{x_n} := {1, 1, 1, 1, ...}

{y_n} := {0, 0.9, 0.99, 0.999, ...}

이 동치임을 보이면 된다. 즉,

lim_n→∞ (x_n - y_n) = lim_n→∞ (1/10)ⁿ

이 0으로 수렴함을 보이면 된다.

이 극한은 수열의 극한의 정의에 의해 0이므로,^[87] 0.999… = 1이 성립한다.

코시 열을 이용한 실수의 정의는 1872년 에두아르트 하이네와 게오르크 칸토어가 독립적으로 발표했다.^[82] 소수 전개를 이용한 위 접근 방식은 1970년 그리피스와 힐턴의 교과서 ''고전 수학에 관한 종합 교과서: 현대적 해석''을 따른다.^[88]

5. 다른 수 체계에서의 행동

실수 체계가 아닌 다른 수 체계에서는 0.999…가 1과 다를 수 있다. 윌리엄 티머시 가워스는 그의 저서 《수학: 매우 짧은 소개》(Mathematics: A Very Short Introduction)에서 등식을 결론짓는 것 역시 "관습"이라고 설명하며 다음과 같이 말했다.

표준적인 수 체계인 실수체와는 다른 방법으로 수를 구성하고 표기가 의미를 가지는, 실수와는 다른 수 체계를 정의할 수 있다. 그러한 수 체계에서는 이 문서의 첫머리 부근에서 언급한 증명 등은 그 체계에서의 기술로서 다시 해석해야 한다. 또한 그러한 체계에서 (위에서 언급한 증명이 올바르다는 근거를 잃거나 잘못이라고 나타내거나 해서) 와 이 동일한 대상을 나타내는 것이 아닐 가능성이 발견되기도 한다. 그렇더라도 많은 수 체계는 (실수 체계를 대체하는 독립된 대상으로서가 아니라) 실수 체계가 확장되는 것이며, 따라서 거기서는 도 계속 성립한다.

그러나 그러한 체계에서조차 ""라고 표시되는 수가 의미를 가지는 경우에는) 가 어떻게 행동하는가뿐만 아니라 관련된 현상의 행동에 대해서 생각하기 위해 이를 대체하는 수 체계를 고찰하는 것은 의미가 있다. 즉 어떤 현상이 실수 체계에서의 경우와는 다른 행동을 한다면, 그 체계에 포함된 전제 조건은 실수 체계의 그것의 적어도 하나를 망가뜨린 것이 되어야 한다.

5. 1. 무한소를 포함한 체계

실수는 표준적인 수 체계이지만, 사람들은 ""라는 무한 자릿수의 표기가 있는 실수를 나타낼 것이라고 자연스럽게 생각한다. 윌리엄 티머시 가워스는 자신의 저서 《수학: 매우 짧은 소개》(Mathematics: A Very Short Introduction)에서 등식 결론짓는 것 역시 "관습"이라고 설명한다.

표준적인 수 체계인 실수체와는 다른 방법으로 수를 구성하고 표기가 의미를 가지는, 실수와는 다른 수 체계를 정의할 수 있다. 그러한 수 체계에서는 이 문서의 첫머리 부근에서 언급한 증명 등은 그 체계에서의 기술로서 다시 해석해야 한다. 또한 그러한 체계에서 (위에서 언급한 증명이 올바르다는 근거를 잃거나 잘못이라고 나타내거나 해서) 와 이 동일한 대상을 나타내는 것이 아닐 가능성이 발견되기도 한다. 그렇더라도 많은 수 체계는 (실수 체계를 대체하는 독립된 대상으로서가 아니라) 실수 체계가 확장되는 것이며, 따라서 거기서는 도 계속 성립한다.

그러나 그러한 체계에서조차 ""라고 표시되는 수가 의미를 가지는 경우에는) 가 어떻게 행동하는가뿐만 아니라 관련된 현상의 행동에 대해서 생각하기 위해 이를 대체하는 수 체계를 고찰하는 것은 의미가 있다. 즉 어떤 현상이 실수 체계에서의 경우와는 다른 행동을 한다면, 그 체계에 포함된 전제 조건은 실수 체계의 그것의 적어도 하나를 망가뜨린 것이 되어야 한다.

의 몇 가지 증명은 일반적인 실수가 아르키메데스 순서군이라는 것, 즉 "이 아닌 무한소는 존재하지 않는다"는 것에 의존한다. 특히 차이 는 임의의 바른 유리수보다도 작으므로 그것은 (이) 무한소여야 하지만 실수 체계에서는 이 아닌 무한소는 없기 때문에 차이는 , 즉 두 값은 동일한 것으로 결론이 난다. 그래도 실수의 비 아르키메데스적인 대체가 될 수 있는 여러 가지 체계를 포함한 수학적으로 일관된 순서 대수계가 존재한다.

5. 1. 1. 초실수

비표준 해석학에서는 무한소(및 그 역수)를 모두 포함하는 수 체계를 다룬다.^[90] A. H. 라이트스톤은 (0, 1)^∗ 구간에 속하는 초실수(hyperreal number)의 소수 전개를 연구했다.^[91] 그는 확장 실수에 초자연수를 첨자로 하는 다음 숫자열을 대응시켰다.

:

0.d_1d_2d_3 \cdots;\cdots d_{\infty-1} d_\infty d_{\infty+1} \cdots

여기서 세미콜론 왼쪽은 유한(표준) 자연수 자리를, 오른쪽은 무한대(비표준) 자연수 자리를 나타낸다. 세미콜론 바로 앞이나 뒤의 자리는 존재하지 않는다. 라이트스톤은 0.999…를 직접 다루지는 않았지만, 전달 원리에 따라 실수 1/3이 0.333…;…333…으로 표현됨을 보였다. 따라서 0.999…;…999… = 1이다. 다만, 이 소수 전개가 반드시 수를 나타내는 것은 아니다. "0.333...; 000..."이나 "0.999…; 000..."은 어떤 수에도 대응되지 않는다.

표준적인 정의에 따르면, 수 0.999…는 수열의 극한 0.9, 0.99, 0.999, …으로 정의된다. 테런스 타오는 이와 다른 정의로 수열 0.9, 0.99, 0.999, …의 초거듭제곱 구성에 관한 동치류 [0.9, 0.99, 0.999, …]를 '초극한'(ultralimit)이라 불렀는데, 이는 1보다 무한소만큼 작다. 더 일반적으로, 마지막 9가 계수 H의 무한대 초자연수 위치에 있는 초실수 u_H = 0.999…;…999000…는 u_H < 1을 만족한다. 이에 따라 "무한 개의 9 뒤에 0이 이어진다"는 것을 다음과 같이 해석할 수 있다.

:

0.\underbrace{999\cdots}_H = 1 - \frac{1}{10^H}

^[92]

이렇게 해석하면 "0.999…"는 1에 무한히 가깝다. 이언 스튜어트는 이러한 해석을 "0.999…는 1보다 아주 조금 작다"라는 직관을 엄밀하게 정당화하는 "완전히 합리적인" 방법이라고 평가했다.^[93]

5. 1. 2. 초현실수와 조합론적 게임 이론

조합론적 게임 이론에서 사용되는 초현실수 체계에서도 0.999…가 1과 다를 수 있다. 1974년에 엘윈 버렐캠프는 데이터 압축 아이디어에서 착안하여, 해큰부쉬 문자열과 실수의 이진법 전개 관계를 설명했다. 예를 들어 "해큰부쉬 문자열" LRRLRL…의 값은 이다. 그러나 문자열 LRLLL… (에 대응)의 값은 1보다 아주 약간 작다. 이 두 수(LRLLL…과 )의 차이는 초현실수 (는 최소 무한 서수)이다. 이와 관련된 게임은 LRRRR... 즉 이다.^[95]

5. 2. 뺄셈의 재고

실수는 표준적인 수 체계이지만, 사람들은 ""라는 표기가 있는 실수를 나타낼 것이라고 자연스럽게 생각한다. 윌리엄 티머시 가워스는 그의 저서에서 등식을 결론짓는 것 역시 "관습"이라고 설명하며, "그것을 받아들이지 않으면 색다른 새로운 대상을 발견하거나 또는 산술의 잘 알려진 규칙 몇 가지를 포기해야 한다"고 말한다.^[89]

표준적인 수 체계인 실수체와 다르게 수를 구성하고 라는 표기가 의미를 가지는, 실수와는 다른 수 체계를 정의할 수 있다. 그러한 수 체계에서는 와 이 동일하지 않을 가능성이 있다.

뺄셈을 할 수 없다고 판단하여 ""는 존재하지 않는다."고 여기는 수학적 구조에는 교환법칙 반군, 교환법칙 모노이드, 반환 등이 있다. 리치먼은 이 되도록 디자인된 두 가지 구조를 생각하였다.^[96]

먼저 리치먼은 음수가 아닌 "십진수"를 소수 전개가 되도록 정의하고, 사전식 순서라는 덧셈을 정의했다. 여기서는 이다. 그러나 어떤 "무한소수" 에 대해서도 이 된다. "십진수"에 대한 특징은 덧셈이 반드시 타결되지 않는다는 점과 에 대응하는 "십진수"가 존재하지 않는다는 점이다. 곱셈을 정의하면 "십진수"는 올바른 값에 대한 모든 순서 교환 반환을 이룬다.^[96]

리치먼은 "절단 ''D''"(cut ''D'')라고 부르는 다른 구조를 정의했는데, 이는 소수의 절단 집합이다. 실수 에 대하여 절단 과 "일반적인 절단" 양쪽을 허용했다. 그 결과 실수들은 소수와 불안정한 상태로 공존하게 된다. 따라서 다시 을 얻게 된다. "절단 ''D''"에는 올바른 무한소는 존재하지 않으나 "일종의 음수 무한소" 가 존재한다. 에는 소수 전개가 존재하지 않는다. 리치먼은 로 결론을 내렸으나 방정식 ""에 대한 해를 결정하지 않았다.^[97]

5. 3. 실수의 '이중십진' 표기

실수의 '이중십진' 표기에서는 소수점 양쪽 모두에서 무한한 숫자열을 허용한다. 이 표기법에서는 (p진수에서는 참이지만 실수의 십진법 표기에서는 거짓)과 (p진수에서는 거짓이지만 실수의 십진법 표기에서는 참)이 모두 참이다. 두 등식의 양변을 더하면 을 얻을 수 있다.^[101]

6. 일반화

0. 999… = 1의 결과는 다른 기수법이나 소수 표현에서도 유사하게 나타난다.

0. 999… = 1의 증명은 두 가지 방식으로 즉시 일반화할 수 있다. 첫째, 0이 아닌 모든 유한소수는 9가 뒤에서 계속 이어지는 다른 표현을 갖는다. 예를 들어 0.24999…는 0.25와 같다.^[102]

둘째, 0.999… = 1에 상응하는 결과를 다른 기수에도 적용할 수 있다. 예를 들어 이진법에서는 0.111… = 1이며 삼진법에서는 0.222… = 1이다. 일반적으로 기수를 b^영어로 할 때 소수점 이하에는 b-1^영어이 반복되어 늘어선다. 실수해석학 교과서에서는 0.999… = 1의 예를 건너뛰고 이러한 일반화 가운데 한 쪽 또는 양쪽을 처음부터 소개하는 경향이 있다.^[103]

1의 다른 표현은 비정수를 기수로 하는 경우에도 나타난다. 예를 들어 황금비를 기수로 하면 2개의 표준적 표시는 1.000…과 0.101010…이지만 그 밖에도 0.111, 0.10111, 0.1010111과 같이 인접한 "1"을 포함한 무수한 표현이 있다. 일반적으로 1과 2 사이에 있는 거의 모든 q^영어에 대해 "비가산 무한"인 "1의 q^영어진 표현"이 존재한다. 한편 (1보다 큰 자연수를 포함한) 또 다른 "비가산 무한"인 q^영어가 1의 q^영어진 표현(자명한 1.000…을 제외함)은 단 하나 밖에 없다. 이 결과는 1990년경에 에르되시 팔(Erdős Pál), 호르바트 미클로시(Horváth Miklos), 요 이슈트반(Joó István)이 최초로 언급했다. 1998년에는 코모르니크 빌모시(Komornik Vilmos)와 파올라 로레티(Paola Loreti)가 이러한 최소 기수로 q = 1.787231650…^영어를 결정했다. 이 기수에 있어서는 1 = 0.11010011001011010010110011010011…^영어인데 이 수는 순환되지 않는 투에-모스 수열을 부여한다.^[104]

더욱이 변칙적인 규칙에 근거한 기수법(the most general positional numeral systems)에 있어서도 0.999… = 1에 상응하는 결과를 얻을 수 있다. 예를 들면^[105]

평형삼진법(balanced ternary system)에서는 1/2 = 0.111… = 1.라고 표현한다.
계승진법(factoradic system)에서는 1 = 1.000… = 0.1234…^영어라고 표현한다.

마르코 페트코브셰크(Marko Petkovšek)는 이와 같이 하나의 수를 복수의 방법으로 나타낼 수 있다는 것은 위치 기수법을 이용하는 것의 필연적인 결과라고 말하면서 모든 실수를 취급하는 임의의 위치 기수법에서 복수의 표현을 갖는 실수의 집합이 항상 조밀함을 증명했다. 그는 이러한 증명을 "일반 위상 공간에 관한 초급 교육적인 연습 문제"라고 불렀다. 이는 위치 기수법에 따른 값의 집합을 스톤 공간으로 판단하고 이러한 실수 표현이 연속 함수에 의해 주어진다는 것을 증명하고 있기 때문이다.^[106]

7. 응용 사례

0. 999… = 1은 정수론과 프랙탈 이론 등에서 응용된다. 정수론에서는 미디의 정리를 통해 특정 소수를 분모로 하는 분수를 순환 소수로 표현했을 때 9가 나타나는 현상을 설명한다. 프랙탈 이론에서는 칸토어 집합을 설명하는 데 사용된다.

7. 1. 순환 소수 관련

E. 미디는 1836년에 특정 소수를 분모로 하는 분수를 순환 소수로 표현했을 때 9가 나타나는 현상에 대한 일반적인 결과를 증명했는데, 이를 미디의 정리라고 부른다. H. 굿윈이 1802년에 발표한 내용에서 그 예시를 찾아볼 수 있다.^[107]

이러한 연구는 최대공약수, 모듈러 산술, 페르마 소수, 군의 원래 위수, 이차 상호 법칙 등의 개념에 동기를 부여했다.^[108]

7. 2. 칸토어 집합

실해석학에서 삼진법과 유사한 표현인 0.222… = 1^영어은 가장 단순한 프랙탈 중 하나인 칸토어 집합(칸토어 삼진 집합)을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

단위 구간의 점은 삼진법으로 0과 2만 사용하여 표현되는 경우에 한하여 칸토어 집합에 속한다.

소수점 이하의 n번째 자릿수는 이 구성에서 n단계의 점 위치를 나타낸다. 예를 들어 점 ⅔는 일반적인 0.2 또는 0.2000…으로 표현된다. 왜냐하면 그것은 1번째 결손 부분의 오른쪽에 위치하고 그 이후의 모든 결손 부분의 왼쪽에 위치하기 때문이다. 또한 점 ⅓은 0.1이 아닌 0.0222…로 표현된다. 왜냐하면 그것은 1번째 결손 부분의 왼쪽에 위치하고 그 이후의 모든 결손 부분의 오른쪽에 위치하기 때문이다.^[109]

8. 전형적인 오해와 그 원인

수학을 처음 배우는 사람은 종종 0.999… = 1과 1 = 1이 같다는 것을 이해하지 못한다. 극한의 개념이나 무한소의 성질이 일상의 감각과 크게 다른 것이 그 이유로 여겨진다. 그러한 공통적인 요인으로는 다음과 같은 것들이 있다.

학생들은 "십진수로는 하나의 수는 단 하나의 소수로만 나타낼 수 있을 것이다"라고 믿는 경우가 많다. 표시가 다른 두 소수가 동일하다는 것을 알게 되면 그것이 역설처럼 보인다. 외관상 잘 알려진 수 1 = 1의 등장으로 그러한 느낌이 더욱 강해진다.^[112]
어떤 학생들은 "0.999…"를 많지만 유한한 개수의 "9" 수열(아마도 가변적이며 특정할 수 없는 길이)로 해석한다. 비록 학생이 "9"의 무한개의 수열인 것을 받아들였다고 해도 아직 마지막 "9"가 '무한의 저편'에 있다고 기대하고 있을지도 모른다.^[113]
직관이나 애매한 가르침으로 인해 학생들은 수열의 극한을 하나의 정해진 값이 아닌 일종의 무한한 과정으로 생각하게 된다. 이는 수열의 각 항이 그 극한에 이를 필요는 없기 때문이다. 학생이 수열과 그 극한의 차이를 받아들이더라도 그들은 "0.999…"를 극한이 아닌 수열을 의미하는 것으로 읽을 가능성이 있다.^[114]

이러한 생각은 일반적인 실수를 취급하는 문맥에서는 잘못된 것이다. 그러나 일반적인 경우와 다른 장면에서 적용하기 위해 발견되었거나 0.999…를 이해하는 데 유익한 반례로서 보다 정교한 수의 체계 구조에서는 이러한 생각들의 대부분이 부분적으로 옳다는 것이 나타난다.

이들 요인 가운데 상당수는 데이비드 톨(David Tall) 교수가 발견했다. 그는 자신이 맞닥뜨린 대학생들에 대한 오해 몇 가지가 학생들에게 심어지는 원인이 된 지도법과 인식의 특징을 연구했다. 수많은 학생들이 왜 처음에는 이 등식을 받아들이지 않는지 알아보기 위해 학생들을 면접하다가 다음과 같은 사실을 발견했다.^[115]

초등적인 증명 중에서 0.333… = 의 양변을 3배로 늘리는 방법은 0.999… = 1인 것을 용인할 수 없는 학생에게 받아들이도록 만들기 위한 가장 유효한 수단인 것처럼 보인다. 그러나 첫 번째 등식을 믿는 것과 두 번째 등식을 믿지 않는 것의 모순에 직면하면 이번에는 첫 번째 등식을 의심하기 시작하는 학생도 나타나고, 또는 단지 그러한 불만을 품는 학생도 있다.^[116] 이보다 간결하고 효과적인 설명 방법도 별로 없다. 엄밀한 정의를 충분히 적용할 능력이 있는 학생이 0.999…를 포함해 더 나아간 수학의 결과에 놀라더라도 더 직관적인 상상에 의존할 수 있다. 예를 들어 어떤 해석학을 배우는 학생은 0.333… = 임을 상한 정의를 통해 증명할 수 있으나, 그 후에도 옛 필산의 이해를 바탕으로 0.999… < 1이라고 주장했다.^[117] 또 다른 학생은 = 0.333…인 것을 증명할 수는 있지만 분수를 통한 증명에 직면해서 '논리'가 수학 계산을 정복하고 있다고 주장한다.

조지프 메이저(Joseph Mazur)는 재능이 풍부한 또 다른 미적분학 학생을 소개한다. 그 학생은 "제가 수업에서 말한 것에는 거의 모두 이의를 제기하지만 제가 사용하고 있는 계산기에는 결코 이의를 제기하지 않습니다. 게다가 23개의 제곱근을 계산하는 것도 포함해서 수학을 하는 데에 필요한 것은 9자리(정도)로 믿게 되었습니다."라고 말했다. 그 학생은 9.999… = 10이라는 극한에 대한 논의에 여전히 불쾌한 느낌이었지만 그것은 "무한 추측을 하는 무한 개념의 성장 과정"(wildly imagined infinite growing process)이다"라고 불렀다.^[118]

에드 듀빈스키(Ed Dubinsky)에 의한 수학 학습 이론(APOS theory)의 한 부분으로서 듀빈스키와 공동 연구자(2005년)는 0.999…를 "1에서 무한히 작은 거리만 떨어져 있는 수를 나타내는 유한하고 불확정한 문자열"이라고 생각하는 학생은 "무한소수 구성 과정의 완전한 개념이 아직 형성되지 않았다"고 말했다. 예를 들어 0.999…의 구성 과정의 완전한 개념을 습득한 학생이라도 아직 그 과정을 (이미 가지고 있는 "1"의 개념과 같은) 하나의 '대상'으로서 다시 파악하지 못하고 0.999…라는 하나의 과정과 1이라는 수의 존재를 모순되는 것으로 볼지도 모른다. 또한 듀빈스키는 "하나의 대상으로 간주한다"는 이러한 정신적 능력이 자체를 수로 간주하거나 자연수 집합 그 자체를 하나의 대상으로 취급한다는 점과 관련되어 있다고 본다.^[119]

9. 미디어에서의 논의

인터넷의 등장에 따라 에 관한 논쟁은 교육 현장 뿐만 아니라 뉴스그룹이나 전자 게시판 등 평소에는 수학과 관련이 없던 공간에서도 화제가 되기도 한다. 뉴스그룹 [news:sci.math sci.math]에서 에 관한 논의는 '유행 스포츠'이며 FAQ에서 응답된 문제 가운데 하나이기도 하다.^[120] 해당 FAQ는 를 이용하는 방법, 10배로 높이는 방법, 극한을 이용하는 방법을 간결하게 취급하고 있고 이와 마찬가지로 코시 열도 언급하고 있다.

미국의 신문 《시카고 리더》(Chicago Reader)의 칼럼 코너인 〈더 스트레이트 도프〉(The Straight Dope) 2003년판에서는 잘못된 개념을 언급하면서 이나 극한을 통한 에 대해 다음과 같이 논의하고 있다.

〈더 스트레이트 도프〉(The Straight Dope)는 "다른 게시판... 대부분 비디오 게임"에서 독립된 전용 게시판들을 통해 논쟁을 일으켰다. 이와 마찬가지로 문제는 미국의 비디오 게임 개발사인 블리자드 엔터테인먼트의 배틀넷(Battle.net) 포럼에서 초반 7년 동안에 걸쳐 매우 일반적인 화제가 되기도 했다. 마이크 모하임(Mike Morhaime) 블리자드 엔터테인먼트 사장은 2004년 4월 1일에 만우절을 맞아 열린 기자 회견 도중에 이라고 발표했다. 블리자드 엔터테인먼트는 나중에 공개된 보도자료에서 극한에 기반한 것과 을 곱한 것 2가지 증명을 제공했다.

위의 인용문에서 사용된 템플릿과, 본문에서 사용된 템플릿은 허용되지 않는 문법이므로 제거해야 한다.

다음은 수정된 최종 결과물이다.

인터넷의 등장에 따라 0.999… = 1에 관한 논쟁은 교육 현장뿐만 아니라 뉴스그룹이나 전자 게시판 등 평소에는 수학과 관련이 없던 공간에서도 화제가 되기도 한다. 뉴스그룹 [news:sci.math sci.math]에서 0.999…에 관한 논의는 '유행 스포츠'이며 FAQ에서 응답된 문제 가운데 하나이기도 하다.^[120] 해당 FAQ는 1/3을 이용하는 방법, 10배로 높이는 방법, 극한을 이용하는 방법을 간결하게 취급하고 있고 이와 마찬가지로 코시 열도 언급하고 있다.

미국의 신문 《시카고 리더》(Chicago Reader)의 칼럼 코너인 〈더 스트레이트 도프〉(The Straight Dope) 2003년판에서는 잘못된 개념을 언급하면서 1/3이나 극한을 통한 0.999… = 1에 대해 다음과 같이 논의하고 있다.

:"우리 안에 있는 유인원적인 요소가 "0.999…는 실제로 '수'를 나타내는 것이 아니라 '과정'을 나타내고 있습니다. 하나의 수를 찾기 위해 우리는 그러한 과정을 중간에서 끊어야 합니다. 그 시점에 있어서 0.999…=1이라는 개념은 붕괴됩니다."라고 말하면서 여전히 저항하고 있습니다. 이것은 넌센스입니다!"^[121]

〈더 스트레이트 도프〉(The Straight Dope)는 "다른 게시판... 대부분 비디오 게임"에서 독립된 전용 게시판들을 통해 논쟁을 일으켰다. 이와 마찬가지로 0.999… 문제는 미국의 비디오 게임 개발사인 블리자드 엔터테인먼트의 배틀넷(Battle.net) 포럼에서 초반 7년 동안에 걸쳐 매우 일반적인 화제가 되기도 했다. 마이크 모하임(Mike Morhaime) 블리자드 엔터테인먼트 사장은 2004년 4월 1일에 만우절을 맞아 열린 기자 회견 도중에 0.999… = 1이라고 발표했다. 블리자드 엔터테인먼트는 나중에 공개된 보도자료에서 극한에 기반한 것과 10을 곱한 것 2가지 증명을 제공했다.

:"우리는 이 문제에 대한 명확한 결론을 내린 것에 매우 흥분하고 있습니다. 우리는 0.999…가 1과 같은 것인지 같지 않은 것인지에 대한 가슴앓이와 걱정거리를 지켜보고 왔습니다. 여기에 다음 증명(극한에 기반한 것과 10을 곱한 것)을 제시하여 우리 고객들에 대해 최종적으로 단호하게 이 문제에 대처하게 된 것을 기쁘게 생각합니다."^[122]

10. 관련된 문제

제논의 역설은 겉보기에는 과 유사해 보이는 역설을 제시한다. 특히 아킬레우스와 거북이의 역설은 수학적으로 모델화되어 와 같이 등비수열을 사용하여 해결할 수 있다. 그러나 이 수학적 처리가 엘레아의 제논이 탐구했던 형이상학적 문제에 대처하는지는 불분명하다.^[123] 무한합의 값은 부분합의 극한으로 정의되므로, 이 방법으로는 역설을 해결했다고 보기 어렵다는 논의도 있다.^[123]
0으로 나누기는 에 대한 일반적인 논의에서 볼 수 있지만, 논쟁의 대상이 되기도 한다. 많은 저자들이 를 정의하는 한편, 현대적 실수 체계에서는 에 의한 나눗셈은 정의되지 않는다고 언급한다. 이는 실수의 범위에서 의미를 부여할 수 없기 때문이다. 그러나 복소해석학 등 다른 체계에서는 정의되어 있으며, 확장된 복소평면(리만 구)은 무한원점을 갖고, 을 무한대로 정의하는 것은 의미가 있다.^[125]
음의 0()은 장황한 수 표기와 비슷한 사례이다. 실수 체계에서 ""은 덧셈에 관한 항등원이며 양수도 음수도 아니다. 일반적으로 ""은 의 역원을 나타내므로 이어야 한다.^[127] 이는 부호화된 숫자 표현, 1의 보수 표현, IEEE 754 부동소수점 표시 등 몇몇 컴퓨터 수 체계에서도 마찬가지이다.^[128]

참조

_[1] 기타 Richman (1999), p. 398–399
_[2] 기타
_[3] 기타
_[4] 간행물 実数のN 進小数展開の具体的表示について http://id.nii.ac.jp/[...] 2019-01-31
_[5] 기타 Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
_[6] 기타 Euler p.170
_[7] 기타 Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177
_[8] 기타 例えば、J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31
_[9] 기타
_[10] 기타 Davies p.175; Smith and Harrington p.115
_[11] 기타 Beals p.22; I. Stewart p.34
_[12] 기타 Bartle and Sherbert pp.60-62; Pedrick p.29; Sohrab p.46
_[13] 기타 Apostol pp.9, 11-12; Beals p.22; Rosenlicht p.27
_[14] 기타 Apostol p.12
_[15] 기타
_[16] 기타
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_[18] 기타 Richman p.399
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_[20] 웹사이트 Mathematics Magazine:Guidelines for Authors http://www.maa.org/p[...] The Mathematical Association of America 2006-08-23
_[21] 기타 Richman pp.398-399
_[22] 기타 Griffiths & Hilton §24.2 "Sequences" p.386
_[23] 기타 Griffiths & Hilton pp.388, 393
_[24] 기타 Griffiths & Hilton p.395
_[25] 기타 Griffiths & Hilton pp.viii, 395
_[26] 기타 Gowers p.60
_[27] 기타
_[28] 기타 Lightstone pp.245-247
_[29] 기타 Katz & Katz 2010
_[30] 기타 Stewart 2009, p.175; the full discussion of 0.999… is spread through pp.172-175.
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_[32] 웹사이트 Hackenstrings and the 0.999⋯ =1 FAQ http://www.maths.not[...] 2006-06-29
_[33] 기타 Richman pp.397-399
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_[43] 문서 Petkovšek
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_[47] 문서 Protter と Morrey
_[47] 문서 Pedrick
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_[49] 문서 Pugh
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_[50] 문서 Burrell
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_[52] 문서 Tall 2000
_[53] 문서 Tall 2000
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