수학기초론

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1. 개요

수학기초론은 수학의 엄밀한 논리 체계를 확립하기 위한 학문 분야이다. 19세기 말, 칸토어의 집합론에서 러셀의 역설이 발견되면서 수학의 기초에 대한 비판과 반성이 이루어졌고, 수학기초론이 생겨났다. 수학적 언어의 형식화, 공리, 논리적 방법 개발 등을 포함하며, 수, 도형, 집합 등의 기본 개념을 다룬다. 고대 그리스 시대부터 시작된 수학의 본질에 대한 탐구는 미적분학 시대를 거치며 19세기에 이르러 실해석, 비유클리드 기하학 등의 발전을 통해 수학적 진리의 개념에 도전하게 했다. 20세기 초, 러셀의 역설과 같은 문제로 수학의 기초론적 위기가 발생했으나, 형식주의, 직관주의 등의 철학적 관점과 ZFC 집합론의 등장으로 위기가 해결되었다. 현대 수학기초론은 모델 이론, 증명 이론, 집합론, 계산 가능성 이론 등 다양한 분야를 포괄하며, 컴퓨터 과학과의 연관성 속에서 발전하고 있다.

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수학기초론
수학 기초론
영어	foundations of mathematics
다른 이름	mathematical logic and foundations of mathematics 수리 논리학
개요
설명	수학의 기본적인 프레임워크
관련 분야	순수 수학 철학 대수학 기하학

2. 역사

수학은 고대부터 다른 학문에서 엄밀함을 확인하는 도구가 되었다. 19세기 중엽부터 수학 체계 자체 내에서 더욱 엄밀한 논리 체계가 요구되었고, 그 결과 리하르트 데데킨트의 실수론과 게오르크 칸토어의 집합론이 나왔다. 그러나 1901년 버트런드 러셀이 칸토어가 정의한 집합론에서 패러독스을 발견하였다. 이를 계기로 수학자들은 수학의 논리 체계를 반성하고 수학의 기초를 비판하였으며, 이로써 수학기초론이 생겨났다.

수학기초론은 유의미한 수학적 명제를 만들기 위한 정확한 수학적 언어의 형식화 및 분석 방법, 공리(증명 없이 참으로 인정되는 명제), 그리고 모든 수학 연구에서의 논리적인 방법 개발을 포함한다. 수학기초론의 기본 개념으로는 수, 도형, 집합, 함수, 알고리즘, 공리, 정의, 정리가 있다.

대부분의 문명은 상업, 측량, 산스크리트 운율학, 천문학, 점성술과 같은 실용적인 목적으로 수학을 발전시켰다. 고대 그리스 철학자들이 수학의 본질과 현실 세계와의 관계를 처음으로 연구한 것으로 보인다.

미적분학의 개발과 함께 무한소 개념이 도입되었으나, 조지 버클리는 무한소 개념의 모호성을 비판하기도 했다.^[3] 19세기 이전에는 실수, 연속 함수, 도함수 등이 엄밀하게 정의되지 않았다. 오귀스탱 루이 코시는 미적분학에 엄밀한 기초를 제공하려 했고, 극한의 (ε, δ)-정의를 도입했다.^[4] 베르나르트 볼차노는 연속 함수 개념을 개발했지만, 그의 연구는 널리 알려지지 않았다. 카를 바이어슈트라스는 극한의 (ε, δ)-정의를 공식화하고 대중화했으며, 연속적이지만 어디에도 미분 불가능한 함수를 발견했다.^[4]

리하르트 데데킨트와 게오르크 칸토어는 각각 데데킨트 절단과 코시 수열을 통해 실수를 정의했다.^[5] 19세기에는 평행선 공리의 증명 불가능성이 증명되면서 비유클리드 기하학이 등장하였고, 이는 수학적 진리의 개념에 대한 도전을 야기했다.

찰스 샌더스 피어스와 리하르트 데데킨트는 자연수를 유한 집합의 기수로 정의했고, 주세페 페아노는 페아노 공리계를 통해 자연수를 공리화했다. 게오르크 칸토어는 무한 집합을 체계적으로 연구하여 기수와 서수를 도입했다.

19세기 중엽부터 수학 체계 내에서 더욱 엄밀한 논리 체계가 요구되면서 수학기초론이 등장하였다. 오거스터스 드 모르간은 드 모르간의 법칙을 발표했고, 조지 불은 불 대수를 고안하여 명제 논리의 기초를 마련했다. 찰스 샌더스 피어스와 고틀로브 프레게는 독립적으로 양화사를 도입하여 술어 논리를 발전시켰다.

2. 1. 고대 그리스

엘레아의 제논(기원전 490년경~기원전 430년경)은 운동이 존재하지 않는다는 자신의 주장을 뒷받침하기 위해 여러 역설을 제기했다. 이러한 역설에는 수학적 무한대가 포함되는데, 이는 당시 수학적 기초 밖의 개념이었으며 19세기 말까지 잘 이해되지 않았다.

피타고라스 학파는 원래 유일한 숫자는 자연수와 자연수의 비율이라고 주장했다. 정사각형의 대각선과 변의 비율이 두 자연수의 비율이 아니라는 사실(기원전 5세기경 발견)은 그들에게 충격을 주었고, 그들은 이를 마지못해 받아들였다. 이를 증명하는 것이 바로 현대 용어인 무리수이다. "무리수"는 원래 "불합리한" 또는 "이성으로 접근할 수 없는"을 의미한다.

길이 비율이 유리수로 표현되지 않는다는 사실은 크니도스의 에우독소스(기원전 408~355년)에 의해 해결되었다. 플라톤의 제자였던 그는 두 무리수 비율의 비교를 관련된 크기의 정수 배의 비교로 환원시켰다. 그의 방법은 리하르트 데데킨트(1831~1916)에 의한 실수의 현대적 정의에서 데데킨트 절단을 예상하는 것이었다.^[2]

아리스토텔레스(기원전 384~322년)는 ''후대 분석론''에서 원시 개념, 공리, 가정, 정의 및 정리를 통해 지식 영역을 구성하는 논리를 제시했다. 아리스토텔레스는 이에 대한 대부분의 예를 산술과 기하학에서 가져왔으며, 그의 논리는 수세기 동안 수학의 기초 역할을 했다. 이 방법은 현대의 공리적 방법과 유사하지만 큰 철학적 차이가 있다. 공리와 가정은 자명하거나 실험의 결과이므로 참으로 간주되었지만, 공리적 방법에는 증명의 정확성 이외의 다른 진실은 포함되지 않는다. 따라서 아리스토텔레스에게 증명된 정리는 참이지만, 공리적 방법에서는 증명은 공리가 정리의 명제를 함축한다는 것만을 말한다.

아리스토텔레스의 논리는 유클리드의 ''원론'' (기원전 300년)에서 정점에 도달했다. 이 책은 매우 높은 수준의 엄밀성을 갖춘 수학 논문으로, 유클리드는 각 명제를 삼단논법 사슬 형태의 증명으로 정당화한다(항상 아리스토텔레스의 틀에 엄격하게 따르는 것은 아니지만). 아리스토텔레스의 삼단논법, 그리고 유클리드의 ''원론''에 의한 그 예시는 고대 그리스의 과학적 업적으로 인정받았으며, 수세기 동안 수학의 기초로 남았다.

2. 2. 미적분학 이전 시대

중세 시대에는 유클리드의 ''원론''이 수학의 견고한 기반으로 여겨졌고, 수학철학은 수학적 개념의 존재론적 지위에 초점을 맞추었다. 즉, 수학적 개념이 지각과 독립적으로 존재하는지(실재론), 아니면 오직 마음속에만 존재하는지(관념론), 또는 단순히 개별 대상들의 집합에 대한 명칭인지(명목론)와 같은 질문들이 제기되었다.

''원론''에서는 자연수와 길이의 비율만이 수로 고려되었다. 이러한 기하학적 비정수 표현 방식은 중세 말기까지 지배적이었지만, 대수학의 발전으로 기하학과 독립적으로 수를 고려하게 되었고, 이는 암묵적으로 수학의 기초적인 원리가 존재함을 의미한다. 예를 들어, 알콰리즈미가 도입한 방정식 변환과 16세기에 발견된 3차 및 4차 방정식 공식은 기하학적 대응이 없는 대수적 조작의 결과이다.

그럼에도 불구하고, 사용된 모든 수의 성질이 기하학적 정의에서 유도될 수 있었기 때문에 이는 고전적인 수학의 기초를 흔들지는 못했다.

1637년, 르네 데카르트는 ''기하학''을 출판하여 좌표라는 수를 이용하여 기하학을 대수학으로 환원할 수 있음을 보였다. 이는 그가 실수라고 부른 수에게 더욱 기초적인 역할을 부여했다 (그 이전에는 수가 두 길이의 비율로 정의되었다). 데카르트의 책은 1649년 이후 유명해졌고, 미적분학의 길을 열었다.

2. 3. 미적분학 시대

아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 미적분학을 개발하면서 무한소 개념을 도입했다. 조지 버클리는 무한소 개념의 모호성을 비판하며 "사라진 양의 유령"이라고 표현했다.^[3] 19세기 이전에는 실수, 연속 함수, 도함수, 유클리드 기하학 등이 엄밀하게 정의되지 않았다.

2. 4. 19세기

19세기 중엽부터 수학 체계 자체 내에서 더욱 엄밀한 논리 체계가 요구되었고, 그 결과 리하르트 데데킨트의 실수론과 게오르크 칸토어의 집합론이 나왔다. 그러나 1901년 버트런드 러셀이 칸토어가 정의한 집합론에서 패러독스을 발견하였다. 이를 계기로 수학자들은 수학의 논리 체계를 반성하고 수학의 기초를 비판하였으며, 이로써 수학기초론이 생겨났다.

수학기초론은 유의미한 수학적 명제를 만들기 위한 정확한 수학적 언어를 형식화하고 분석하는 방법, 공리(증명 없이 참으로 인정되는 명제), 그리고 모든 수학 연구에서의 논리적인 방법 개발을 포함한다. 수학기초론의 기본 개념으로는 수, 도형, 집합, 함수, 알고리즘, 공리, 정의, 정리가 있다.

평행선 공리의 증명 불가능성에 대한 증명은 여러 철학적 문제를 야기했는데, 이 발견 이전에는 평행선 공리와 그 모든 결과가 '참'으로 간주되었다는 점이 가장 중요했다. 따라서 비유클리드 기하학은 수학적 진리의 개념에 도전했다.

2. 4. 1. 실해석

오귀스탱 루이 코시는 미적분학에 엄밀한 기초를 제공하려 했고, 극한의 (ε, δ)-정의를 도입했다.^[4] 베르나르트 볼차노는 연속 함수 개념을 개발했지만, 그의 연구는 널리 알려지지 않았다. 카를 바이어슈트라스는 극한의 (ε, δ)-정의를 공식화하고 대중화했으며, 연속적이지만 어디에도 미분 불가능한 함수를 발견했다.^[4]

리하르트 데데킨트와 게오르크 칸토어는 각각 데데킨트 절단과 코시 수열을 통해 실수를 정의했다.^[5] 이는 수학의 기초론적 위기에 기여했는데, 두 정의 모두 유리수와 자연수를 엄밀하게 정의한다고 가정했기 때문이다. 페아노는 페아노 공리를 통해 자연수를 정의했다.

2. 4. 2. 비유클리드 기하학

19세기 이전에는 기하학의 다른 공리들로부터 평행선 공리를 유도하려는 많은 시도가 실패했다. 그 부정이 모순으로 이어짐을 증명하려는 시도에서, 요한 하인리히 람베르트(1728–1777)는 쌍곡 기하학을 구성하기 시작하여 쌍곡 함수를 도입하고 쌍곡 삼각형(각의 합이 180° 미만임)의 면적을 계산했다.

이 새로운 기하학의 구성을 계속하면서 여러 수학자들은 그것이 모순이라면 유클리드 기하학도 모순이며 따라서 평행선 공리를 증명할 수 없다는 것을 독립적으로 증명했다. 이것은 1826년 니콜라이 로바체프스키, 1832년 야노시 보요이(1802–1860), 그리고 카를 프리드리히 가우스(미발표)에 의해 증명되었다.

19세기 후반에 독일 수학자 베른하르트 리만은 타원 기하학을 개발했는데, 이것은 다른 비유클리드 기하학으로서 평행선이 존재하지 않고 삼각형의 각의 합이 180°보다 큰 기하학이다. 점을 구(혹은 초구) 위의 대척점의 쌍으로, 선을 구 위의 대원으로 정의함으로써 그 일관성이 증명되었다.

평행선 공리의 증명 불가능성에 대한 이러한 증명은 여러 철학적 문제를 야기했는데, 그 중 가장 중요한 것은 이 발견 이전에는 평행선 공리와 그 모든 결과가 '참'으로 간주되었다는 것이다. 따라서 비유클리드 기하학은 수학적 진리의 개념에 도전했다.

2. 4. 3. 종합기하학과 해석기하학

19세기 중반까지 종합기하학(기하학에서 공리적 방법에 의해 공리에서 시작하여 논증을 거듭하여 정리를 이끌어내는 방법)과 해석기하학(좌표와 방정식을 사용하여 기하학적 도형을 연구하는 방법) 지지자들 사이에 논쟁이 있었다. 칼 폰 슈타우트는 사영기하학에서 순수 기하학적 접근 방식을 개발했다. 에밀 아르틴은 《기하 대수》에서 두 접근 방식의 동등성 문제를 해결했다.

2. 4. 4. 자연수

찰스 샌더스 피어스와 리하르트 데데킨트는 자연수를 유한 집합의 기수로 정의했다. 주세페 페아노는 페아노 공리계를 통해 자연수를 공리화했다. 앙리 푸앵카레와 레오폴트 크로네커는 자연수의 정의에 무한이 등장하는 것에 대해 문제를 제기했다.

2. 4. 5. 무한 집합

게오르크 칸토어는 무한 집합을 체계적으로 연구한 최초의 수학자였다. 그는 무한 집합의 크기를 측정하는 기수와 무한에 도달한 후에도 계속 셀 수 있게 해주는 서수를 도입했다. 칸토어의 주요 결과 중 하나는 실수의 개수가 자연수의 개수보다 엄격하게 많다는 것이다(연속체의 기수는 자연수의 기수보다 크다).

이러한 칸토어의 결과는 많은 수학자와 철학자들에게 받아들여지지 않았고, 수학의 기초론 위기의 일부인 논쟁으로 이어졌다.

2. 4. 6. 수리논리학

19세기 중엽부터 수학 체계 내에서 더욱 엄밀한 논리 체계가 요구되면서 수학기초론이 등장하였다. 1847년, 오거스터스 드 모르간은 드 모르간의 법칙을 발표했고, 조지 불은 불 대수를 고안하여 명제 논리의 기초를 마련했다. 찰스 샌더스 피어스와 고틀로브 프레게는 독립적으로 양화사를 도입하여 술어 논리를 발전시켰다.

프레게는 논리 이론의 세 가지 바람직한 속성으로 무모순성, 완전성, 결정가능성을 제시했다. 20세기 초, 버트런드 러셀은 프레게의 업적을 대중화하고 러셀의 역설을 발견하여 수학의 기초 위기를 심화시켰다.

『岩波 수학입문사전』에 따르면, 수리논리학은 "논리를 다루는 수학의 한 분야"이며, 메타수학과 거의 동의어이다.^[1]
『岩波 수학사전』에 따르면, "수학기초론(mathematical logic and foundations of mathematics)은 형식체계 형식화의 구문론적 측면과 의미론적 측면 모두에서의 관점을 의식한 연구가 이루어지는 분야이다. … 최근에는 더욱 적절하게 수리논리학이라고 불리는 경우가 많아졌다".^[2]

3. 수학의 기초론적 위기

19세기 말과 20세기 초, 수학계는 여러 역설과 반직관적인 결과들이 발견되면서 기초론적 위기를 겪었다.

대표적인 사건으로는 유클리드 기하학의 평행선 공준이 증명될 수 없다는 것이 증명된 것이 있다. 이는 비유클리드 기하학을 유클리드 기하학 내부에 구성함으로써 얻어진 결과로, 비유클리드 기하학의 모순은 유클리드 기하학의 모순을 의미한다. 버트런드 러셀이 발견한 러셀의 역설은 "자기 자신을 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"이라는 개념이 자기 모순적임을 보여주면서 큰 충격을 주었다.^[17]

이 외에도 계산하거나 명시적으로 기술할 수 없는 수학적 대상의 존재 증명, 페아노 산술로는 증명할 수 없는 산술 정리가 존재한다는 증명 등도 수학의 기초에 대한 의문을 제기했다.

3. 1. 철학적 관점

19세기 중엽, 수학 체계 자체에서 더 엄밀한 논리 체계가 요구되면서 리하르트 데데킨트의 실수론과 게오르크 칸토어의 집합론이 등장했다. 그러나 1901년, 버트런드 러셀이 칸토어의 집합론에서 역설을 발견하면서 수학자들은 수학의 논리 체계를 반성하고 그 기초를 비판하게 되었고, 이로써 수학기초론이 생겨났다.

수학기초론은 언어 형식화 및 분석 방법, 공리(증명 없이 참으로 인정되는 명제), 수학 연구에서의 논리적인 방법 개발 등을 포함한다. 수학기초론의 기본 개념으로는 수, 도형, 집합, 함수, 알고리즘, 공리, 정의, 정리 등이 있다.

19세기 말과 20세기 초, 여러 역설과 반직관적인 결과들이 발견되면서 '수학의 기초론 위기'가 발생했다. 대표적인 역설로는 러셀의 역설이 있는데, 이는 "자기 자신을 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"이라는 구절이 자기 모순적임을 보여준다.

이러한 위기에 대응하여 20세기에는 여러 수학철학 학파들이 등장했다. 기초론적 위기 당시, 수학자들과 논리학자들 사이에서는 수학에 대한 신뢰 회복을 위한 방법에 대한 많은 논쟁이 있었다. 여기에는 수학적 진리, 수학과 현실의 관계, 수학적 대상의 실재성, 수학의 본질 등에 대한 철학적 질문이 포함되었다.

역설을 피하기 위한 주요한 두 가지 방법으로는 직관주의와 구성주의, 그리고 형식주의가 있었다. 직관주의와 구성주의는 직관에 더 가깝게 논리적 규칙을 제한하는 방식이었고, 형식주의는 공리에서 추론 규칙(형식적 증명)을 적용하여 연역될 수 있는 경우 정리가 참이며, 정리의 타당성을 위해 공리가 '참'일 필요는 없다고 보았다.

3. 1. 1. 형식주의

다비트 힐베르트는 수학을 형식 논리에 기반한 공리 체계로 간주하는 형식주의를 주장했다. 힐베르트는 수학이 임의적인 규칙을 가진 게임이 아니라, 사고 방식과 일치해야 한다고 강조했다.^[10]^[11] 그는 "공식 게임"이라는 용어를 사용하며, 이 공식 게임이 수학적 가치 외에도 중요한 철학적 의미를 지닌다고 설명했다. 이 공식 게임은 우리 사고의 기법을 표현하는 특정한 규칙에 따라 진행되며, 이러한 규칙은 발견하고 명확하게 진술할 수 있는 폐쇄된 시스템을 형성한다고 하였다.^[10]

힐베르트가 제시한 형식주의는 집합론의 역설에 대한 반응으로 제안되었으며, 공식 논리에 기반을 두고 있다. 이 관점에서 수학적 명제의 진실은 그 명제가 공식 논리의 규칙을 사용하여 집합론의 공리에서 도출될 수 있다는 사실로 나타난다.

그러나 형식주의만으로는 몇 가지 문제를 설명하기 어려웠다. 헤르만 바일은 힐베르트에게 왜 특정 공리와 논리적 규칙을 사용해야 하는지, 그리고 "참"인 수학적 명제가 실제로 참으로 보이는 이유 등에 대한 질문을 던졌다.^[12]

역수학 및 계산 복잡도 이론과 같은 분야의 형식 이론 연구를 통해 이러한 질문에 답할 수 있는 경우도 있지만, 공식 논리 체계는 불일치의 위험을 안고 있다. 괴델의 제2 불완전성 정리는 산술의 논리 체계가 자체 일관성에 대한 유효한 증명을 포함할 수 없음을 보여준다.

3. 1. 2. 직관주의

L. E. J. 브라우어와 같은 직관주의자들은 수학이 인간 정신의 창조물이라고 주장한다. 수는 마치 동화 속 인물처럼 단순한 정신적 실체일 뿐이며, 그것에 대해 생각하는 인간의 정신이 없었다면 존재하지 않았을 것이다.

브라우어와 스티븐 클린이 보여주는 ''직관주의'' 또는 ''구성주의''의 기초 철학은 증명이 본질적으로 "구성적"이어야 하며 어떤 대상의 존재는 그 존재하지 않음의 불가능성을 보이는 것으로부터 추론하는 것이 아니라 증명되어야 한다고 요구한다. 예를 들어, 이것의 결과로 귀류법으로 알려진 증명 형태는 의심스럽다.

수학 철학의 일부 현대 이론들은 원래 의미에서의 기초의 존재를 부정한다. 어떤 이론들은 수학적 실제에 초점을 맞추고 수학자들의 실제 활동을 사회 집단으로서 묘사하고 분석하려고 한다. 다른 이론들은 실세계에 적용될 때 수학의 신뢰성의 근원으로서 인간 인지에 초점을 맞춘 수학의 인지과학을 만들려고 한다. 이러한 이론들은 어떤 객관적인 외부 구성물이 아니라 인간 사고에서만 기초를 찾으려고 할 것이다. 이 문제는 여전히 논란의 여지가 있다.

3. 1. 3. 논리주의

논리주의는 수학이 논리의 확장이거나, 적절한 형식 체계에서 공리와 추론 규칙이 '논리적인' 성격을 갖는 일부 또는 모든 수학을 유도할 수 있다는 명제에 기반한 수학철학의 한 사조이자 연구 프로그램이다. 버트런드 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드는 고틀로프 프레게가 시작하고 리하르트 데데킨트의 영향을 받은 이 이론을 주창했다.

3. 1. 4. 집합론적 플라톤주의

쿠르트 괴델은 집합론적 플라톤주의를 지지했다. 공리적 집합론의 많은 연구자들이 이러한 입장을 따랐다.

몇몇 집합론자들은 연속체 가설을 결정할 수 있는 공리를 찾으려 노력했지만, 이 가설은 큰 기수 공리로부터 독립적인 것으로 밝혀져, 새로운 큰 기수 공리로 연속체 가설을 해결할 가능성은 낮게 평가된다. 다른 유형의 공리들도 고려되었지만, 아직 합의에 이르지 못했다. 햄킨스는 최근 연구에서 연속체 가설을 만족하는 집합론적 우주와 그렇지 않은 우주 사이를 자유롭게 이동하는 집합론적 다중우주라는 유연한 대안을 제시했다.

3. 1. 5. 퀸-퍼트넘 필수성 논증

윌러드 밴 오먼 콰인과 힐러리 퍼트넘은 수학적 실체에 대한 양화가 과학에 필수적이라고 주장했다. 따라서 그러한 양화를 받아들여야 하며, 이는 문제의 수학적 실체의 존재를 받아들이는 것으로 이어진다고 보았다.^[1] 그러나 퍼트넘은 플라톤주의자는 아니었다.^[1]

3. 1. 6. 실용주의적 관점

대부분의 수학자들은 논리주의, 형식주의 또는 다른 어떤 철학적 입장에 대해 일상적인 업무에서 매일 고민하지 않는다. 대신 그들의 주된 관심사는 수학이라는 학문 전체가 항상 생산적으로 유지되는 것이다. 일반적으로 그들은 이것이 열린 마음, 실용성, 그리고 부지런함을 유지함으로써 보장되고, 지나치게 이념적이거나 광적으로 환원주의적이거나 게으르게 됨으로써 위협받을 수 있다고 생각한다.

이러한 견해는 몇몇 저명한 물리학자들에 의해서도 표명되었다.

예를 들어, 노벨 물리학상 수상자인 리처드 파인만은 다음과 같이 말하였다.^[13]

"사람들은 저에게 "물리학의 궁극적인 법칙을 찾고 있습니까?"라고 묻습니다. 아니오, 그렇지 않습니다... 만약 모든 것을 설명하는 단순한 궁극적인 법칙이 있다면 그대로 받아들이겠습니다 – 그것은 매우 멋진 발견이 될 것입니다. 만약 그것이 수백만 층의 양파와 같다면... 그게 그런 겁니다. 하지만 어느 쪽이든 자연은 존재하고 자연은 자연대로 존재할 것입니다. 따라서 우리가 조사할 때 우리가 무엇을 찾고 있는지 미리 결정해서는 안 되고, 그것에 대해 더 많이 알아내야 합니다."

그리고 스티븐 와인버그는 다음과 같이 말하였다.^[14]

"철학자들의 통찰은 때때로 물리학자들에게 도움이 되었지만, 일반적으로 부정적인 방식으로 – 다른 철학자들의 선입견으로부터 그들을 보호함으로써. … 어떤 선입견의 안내 없이는 아무것도 할 수 없습니다. 단지 철학적 원리가 일반적으로 우리에게 올바른 선입견을 제공하지 못했을 뿐입니다."

와인버그는 연속체 가설과 같은 수학적 불가결정성은 불완전성 정리에도 불구하고 집합론에 적절한 공리들을 추가함으로써 잠재적으로 해결될 수 있다고 믿었다.

3. 1. 7. 괴델의 완전성 정리의 철학적 함의

괴델의 완전성 정리는 1차 논리에서 공식의 형식적 증명 가능성과 모든 가능한 모델에서의 참값이 서로 동치임을 확립한다.^[1] 정확히 말하면, 일관된 어떤 1차 이론에 대해서도 그 이론에 의해 기술되는 모델의 "명시적 구성"을 제공한다.^[1] 이론의 언어가 가산적이라면 이 모델은 가산적일 것이다.^[1] 그러나 이 "명시적 구성"은 알고리즘적이지 않다.^[1] 그것은 이론의 완성에 대한 반복적인 과정에 기반을 두는데, 각 반복 단계는 이론의 일관성을 유지하는 경우 공리에 공식을 추가하는 것으로 구성된다.^[1] 그러나 이 일관성 문제는 반결정적일 뿐이다(모순을 찾는 알고리즘은 있지만, 모순이 없다면 이 일관성 사실은 증명되지 않을 수 있다).^[1]

3. 2. 더 많은 역설들

1920년: 토랄프 스콜렘은 레오폴트 뢰벤하임의 증명을 수정하여 내림차순 뢰벤하임-스콜렘 정리를 이끌어냈고, 이는 스콜렘의 역설(1922)로 이어졌다. 스콜렘의 역설은 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)의 가산 모델이 존재한다는 사실이 무한 기수를 상대적인 성질로 만든다는 것을 보여준다.
1922년: 아브라함 프렝켈은 선택 공리가 우렐레멘트를 포함한 체르멜로 집합론의 공리로부터 증명될 수 없다는 것을 증명했다.
1931년: 괴델의 불완전성 정리가 발표되어 힐베르트 프로그램의 필수적인 측면을 달성할 수 없음을 보여주었다.
1936년: 알프레드 타르스키는 진리 정의 불가능성 정리를 증명했다.
1936년: 앨런 튜링은 모든 가능한 프로그램-입력 쌍에 대한 정지 문제를 해결하는 일반 알고리즘이 존재할 수 없음을 증명했다.
1936년-1937년: 앨런저 처치와 앨런 튜링은 각각 독립적인 논문을 발표하여 엔트샤이둥스프로블렘에 대한 일반적인 해결책이 불가능하다는 것을 보여주었다.
1938년: 쿠르트 괴델은 선택 공리와 일반화된 연속체 가설의 일관성을 증명했다.
1963년: 폴 코헨은 연속체 가설이 ZFC로부터 증명될 수 없다는 것을 보였다.
1964년: 그레고리 채이틴은 알고리즘 정보 이론에 대한 결과를 발표하기 시작한다.^[15]
1966년: 폴 코헨은 선택 공리가 우렐레멘트가 없어도 ZF에서 증명될 수 없다는 것을 보였다.

4. 위기 해결을 위한 노력

1935년부터 부르바키는 집합론을 기반으로 수학의 여러 분야를 공식화하는 작업을 시작했다.^[16]

직관주의 학파는 많은 지지를 얻지 못했지만, 비숍의 1967년 연구를 통해 구성주의 수학이 발전했다.^[16]

힐베르트의 프로그램은 부분적으로 완료되었다고 볼 수 있다.

ZFC 집합론은 현대 수학의 표준적인 기초가 되었으며, 대부분의 수학자들은 ZFC의 일관성을 의심하지 않는다.

20세기 중반에 범주론의 발전은 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론이나 타르스키-그로텐디크 집합론과 같이 ZFC보다 더 큰 클래스의 존재를 보장하는 집합론의 유용성을 보여주었다.

역수학 프로그램은 기초적인 문제가 다시 위기를 야기할 수 있는 분야를 확인하려 한다.

5. 현대의 수학기초론

현대의 수학기초론은 모델 이론, 증명 이론, 집합론, 계산 가능성 이론 등 다양한 세부 분야로 구성된다. 컴퓨터 과학과의 연관성이 높아지면서, 계산 복잡도 이론, 자동 정리 증명, 타입 이론 등의 분야도 발전하고 있다.^[1]

新井敏康^일본어의 『수학기초론 Mathematical Logic』(증보판)에서는 수학기초론을 기본적인 개념에 대해 충분히 만족할 만한 수학적 정의를 제시하며, 현재도 발전하고 있는 수학의 한 분야라고 설명한다.^[2] 『岩波 수학입문사전』에서는 수학기초론을 수리논리학 및 메타수학과 거의 동의어이며, "논리를 다루는 수학의 한 분야"라고 정의한다.^[3] 괴델의 불완전성 정리는 유한한 입장(형식주의)에서 수학의 무모순성을 증명할 수 없다는 것을 보였고, 겐첸(Gentzen)(en:Gentzen's consistency proof)는 유한한 입장보다 느슨한 제한 하에서 자연수론의 무모순성을 증명했다.^[4]

컴퓨터 과학과 수학기초론은 튜링 기계를 비롯한 여러 계산 모델, 계산 가능 함수 이론의 정밀화·계량화인 계산 복잡도 이론, 자동 증명에서의 추론 원리, 타입 이론 및 Curry-Howard의 동형 대응 등 여러 분야에서 밀접하게 연관되어 있다.^[5]

참조

_[1] 웹사이트 Foundations of mathematics https://www.britanni[...] 2007
_[2] 서적 The thirteen books of Euclid's Elements https://archive.org/[...] Dover Publications
_[3] 문서 The Analyst, A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician
_[4] 논문 Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus http://www.maa.org/e[...]
_[5] 웹사이트 The real numbers: Stevin to Hilbert 2005-10-00
_[6] 서적 Mathematics of the 19th Century: Geometry Birkhäuser
_[7] 서적 Science and Hypothesis 1905
_[8] 서적 Plato's Ghost: The modernist transformation of mathematics https://books.google[...] Princeton University Press
_[9] 간행물 Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
_[10] 서적 The Foundations of Mathematics
_[11] 서적 Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen Birkhauser
_[12] 논문 Comments on Hilbert's second lecture on the foundations of mathematics
_[13] 서적 The Pleasure of Finding Things Out
_[14] 서적 Dreams of a final theory http://libcom.org/li[...]
_[15] 논문 The Limits Of Reason https://www.cs.auckl[...] 2016-02-22
_[16] 논문 Five stages of accepting constructive mathematics
_[17] 웹사이트 foundations of mathematics https://www.britanni[...] Encyclopædia Britannica, Inc. 2022-09-25
_[18] 서적 数学基礎論共立出版

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