미분

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1. 개요

미분은 함수의 한 점에서의 변화율을 나타내는 개념으로, 함수의 접선의 기울기를 구하는 것과 같다. 미분은 극한을 사용하여 정의되며, 함수 f(x)의 점 a에서의 미분은 f'(a)로 표기한다. 미분은 접선 문제, 순간 속도 문제, 증분과 평균 변화율, 극값, 볼록성 등을 파악하는데 활용된다. 미분은 다양한 표기법과 법칙을 가지며, 다변수 벡터 함수, 바나흐 공간 사이의 함수 등으로 확장될 수 있다. 미분은 최적화, 미분 방정식, 테일러 급수 등 다양한 분야에 응용되며, 고대부터 연구되어 온 개념이다.

2. 정의

함수 $f$ 의 한 점 $a$ 에서의 미분(또는 미분계수)은 극한 개념을 사용하여 정의된다. 열린구간 $I$ 에서 정의된 함수 $f\colon I\to\mathbb R$ 의 점 $a\in I$ 에서의 미분 $f'(a)$ 는 다음과 같은 극한값이다.

: $\begin{align}f'(a)&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\end{align}$

이러한 극한값이 존재할 경우, 함수 $f$ 는 점 $a$ 에서 미분가능하다고 한다. 극한값이 존재하지 않으면 미분 불가능하다. 점 $a$ 에서의 미분계수는 $f'(a)$ , $Df(a)$ , $\frac{df}{dx}(a)$ 등 다양한 기호로 표기한다.^[11]

미분은 함수의 특정 지점에서의 순간 변화율이나 그래프의 접선의 기울기를 나타내는 중요한 개념이다. 이는 함수를 특정 지점 근처에서 선형 근사하는 데 사용된다. 예를 들어, 움직이는 물체의 위치를 시간에 대해 미분하면 그 물체의 속도를 알 수 있다.

도함수를 구하는 과정을 미분(differentiation^영어)이라고 하며, 그 역과정은 역미분 또는 적분과 관련된다. 미적분학의 기본 정리는 미분과 적분 사이의 관계를 설명한다. 미분의 개념은 여러 변수를 갖는 다변수 함수로도 확장될 수 있으며, 이 경우 도함수는 선형 사상으로 해석된다.

2. 1. 미분계수와 도함수

실수 변수 함수

f(x)

가 정의역 내의 한 점

a

에서 미분가능하다는 것은,

a

를 포함하는 열린구간이 정의역에 포함되고 다음 극한값이 존재한다는 의미이다.

L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h

이 극한값

L

이 존재할 때, 이 값을 점

a

에서의 함수

f

의 미분계수라고 하며,

f'(a)

또는

\frac{df}{dx}(a)

등으로 표기한다. 미분계수는 함수

f

의 그래프 위의 점

(a, f(a))

에서의 접선의 기울기와 같다. 또한, 이는 변수

x

가

a

근처에서 변할 때 함수값

f(x)

가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타내는 순간 변화율을 의미한다.

함수

f

가 정의역 내의 모든 점

x

에서 미분 가능할 때, 각 점

x

에 그 점에서의 미분계수

f'(x)

를 대응시키는 새로운 함수를 정의할 수 있다. 이 함수를

f

의 도함수라고 하며, 기호로는

f'

,

Df

,

\frac{df}{dx}

등을 사용한다. 즉, 도함수는 다음과 같이 정의된다.

f'\colon x\mapsto\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

어떤 함수는 정의역의 일부 점에서만 도함수를 가질 수도 있다.

예를 들어, 함수

f(x) = x^2

(제곱 함수)의 도함수를 구해보자. 정의에 따라 극한을 계산하면 다음과 같다.

\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h

여기서

h

가 0에 가까워질 때 (

h \to 0

) 극한값은

2a

이다. 따라서 임의의 점

x

에서의 미분계수는

2x

이므로, 제곱 함수의 도함수는

f'(x) = 2x

(두 배 함수)이다.

미분계수를 구하는 과정, 즉 도함수를 구하는 연산을 미분 또는 미분법이라고 한다. 미분은 함수의 변화를 이해하는 데 기본적인 도구이며, 예를 들어 물체의 위치를 시간에 대해 미분하면 그 물체의 속도를 알 수 있다.

미분계수

f'(a)

를 직관적으로 이해하는 몇 가지 방법이 있다.

# 함수

f

의 그래프 위의 점

(a, f(a))

에서 그은 접선의 기울기이다.

# 변수

x

가

a

일 때,

f(x)

의 순간적인 변화율이다.

# 함수

f

의 그래프에서 점

(a, f(a))

부근을 계속 확대하면 그래프가 직선처럼 보이게 되는데, 이 직선의 기울기가 바로

f'(a)

이다.

일차 함수

f(x) = Ax + B

의 그래프는 기울기가

A

인 직선이다. 이 경우 어떤 점

a

에서의 접선도 원래 직선과 같으므로, 미분계수

f'(a)

는 항상

A

이다. 도함수는

f'(x) = A

가 된다.

2. 2. 좌미분과 우미분

함수

f\colon(b,a]\to\mathbb R

의 점

a

에서의 '''좌미분'''(left derivative^영어)

f'_-(a)

은 다음과 같은 좌극한이다.

:

\begin{align}f'_-(a)&=\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\&=\lim_{\Delta x\to0^-}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\end{align}

마찬가지로, 함수

f\colon[a,c)\to\mathbb R

의 점

a

에서의 '''우미분'''(right derivative^영어)

f'_+(a)

은 다음과 같은 우극한이다.

:

\begin{align}f'_+(a)&=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\&=\lim_{\Delta x\to0^+}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\end{align}

미분과 좌미분, 우미분의 관계는 극한과 좌극한, 우극한의 관계와 유사하다. 좌미분과 우미분은 존재하지 않을 수도 있으며, 모두 존재하더라도 서로 같지 않을 수 있다. 함수

f(x)

가

x=a

에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은

x=a

에서의 좌미분계수와 우미분계수가 모두 존재하고 그 값이 서로 같은 것이다.

구체적으로,

h

가 양의 값을 가지면서

0

에 가까워질 때의 단측 극한

:

\lim_{h\searrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

이 존재할 때, 이 극한값을 '''우미분계수'''라고 하며, 이때

f(x)

는

x=a

에서 '''우미분가능'''하다고 한다. 마찬가지로,

h

가 음의 값을 가지면서

0

에 가까워질 때의 단측 극한

:

\lim_{h\nearrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

이 존재할 때, 이 극한값을 '''좌미분계수'''라고 하며, 이때

f(x)

는

x=a

에서 '''좌미분가능'''하다고 한다. 따라서 함수

f(x)

가

x=a

에서 미분가능하다는 것은 좌미분계수와 우미분계수가 모두 존재하고 그 값이 같다는 것과 동치이다.

2. 3. 미분가능 함수

열린구간

(a,b)

에 정의된 함수

f\colon(a,b)\to\mathbb R

가 다음 조건을 만족시키면,

f

를

(a,b)

에서의 '''미분가능 함수'''라고 한다.

$f$ 는 열린구간 속 임의의 점 $x\in(a,b)$ 에서 미분가능하다.

닫힌구간

[a,b]

에 정의된 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

가 다음 조건들을 만족시키면,

f

를

[a,b]

에서의 '''미분가능 함수'''라고 한다.

$f$ 는 열린구간 속 임의의 점 $x\in(a,b)$ 에서 미분가능하다.
$f$ 는 $a$ 에서 우미분이 존재한다.
$f$ 는 $b$ 에서 좌미분이 존재한다.

비슷하게, 임의의 유형의 구간에서의 미분가능 함수를 정의할 수 있다. 즉, 구간에서의 미분가능 함수는 내부점에서 미분가능하며, 구간에 속하는 왼쪽 끝점에서 우미분이 존재하며, 구간에 속하는 오른쪽 끝점에서 좌미분이 존재하는 함수이다.

함수

f(x)

가 열린 구간

I\subset\mathbb{R}

에서 정의된다고 하자. 이때,

a\in I

에 대해, 극한

:

\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

이 존재할 때 (극한값은 유한한 실수여야 하며, 양의 무한대나 음의 무한대는 허용하지 않는다),

f(x)

는

x=a

에서 '''미분가능'''하다고 한다. 또한, 이때 위의 극한값을

x=a

에서의

f(x)

의 '''미분계수'''라고 부르며,

f'(a)

로 나타낸다.

이와 관련하여,

f(x)

의 그래프 위의 점

(a, f(a))

를 지나고 기울기

f'(a)

를 갖는 직선을,

f(x)

의 그래프의

x=a

에서의 '''접선'''이라고 한다. 즉,

x=a

에서의 접선은

y = f'(a)(x - a) + f(a)

로 주어지는 직선을 말한다.

미분계수의 정의에 나타나는 분수

:

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

는 차분 상이라고 불린다. 이것은 함수

f(x)

의 그래프 위의 두 점

(a, f(a))

와

(a + h, f(a + h))

를 지나는 직선('''할선'''이라고 한다)의 기울기를 나타낸다. 또는, 변수

x

의 값이

a

에서

a + h

까지 변화하는 동안의, 함수의 값의 평균 변화율을 나타낸다고 볼 수도 있다. 이러한 관점에 따르면, 미분계수의 정의에 대해 다음과 같은 해석을 부여할 수 있다.

# 그래프 위의 두 점

(a, f(a))

,

(a + h, f(a + h))

를 지나는 할선이,

h

를

0

으로 가까이 했을 때 어떤 직선에 가까워진다면, 그것을 접선으로 간주하는 것이 타당할 것이다. 이 의미에서의 접선의 기울기가, 미분계수

f'(a)

이다.

# 「변수

x

의 값이

a

에서

a + h

까지 변화하는 동안의 함수값의 평균 변화율」이,

h

를

0

으로 가까이 했을 때 어떤 수에 가까워진다면, 그것을 순간 변화율로 간주하는 것이 타당할 것이다. 이 순간 변화율이, 미분계수

f'(a)

이다.

또한, 미분가능성의 정의에서는

h

가

0

에 어떻게 가까워져도 차분 상이 일정한 값에 수렴하는 것을 요구했지만, 가까워지는 방법을 한정하는 것도 생각할 수 있다.

h

가 양의 값을 취하면서

0

에 가까워졌을 때의 단측 극한

:

\lim_{h\searrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

이 존재할 때,

f(x)

는

x=a

에서 '''우미분가능'''하다고 하며, 이 단측 극한을 '''우미분계수'''라고 부른다. 마찬가지로,

h

가 음의 값을 취하면서

0

에 가까워졌을 때의 단측 극한

:

\lim_{h\nearrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

이 존재할 때,

f(x)

는

x=a

에서 '''좌미분가능'''하다고 하며, 이 단측 극한을 '''좌미분계수'''라고 부른다.

f(x)

가

x=a

에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은

f(x)

가

x=a

에서 우미분가능하고 좌미분가능하며, 우미분계수와 좌미분계수가 일치하는 것이다.

열린 구간

I\subset\mathbb{R}

에서 정의된 함수

f(x)

에 대해,

a\in I

일 때, 다음 조건은

f(x)

의

x=a

에서의 미분가능성과 동치이다.

어떤 상수 $A$ 가 존재하여, $h \to 0$ 일 때 $f(a + h) = f(a) + Ah + o(h)$ 이다.

여기서

o(h)

는 란다우 표기법이다. 이 조건이 성립할 때,

A

는 미분 계수

f'(a)

와 같다.

「

h \to 0

일 때

f(a + h) = f(a) + Ah + o(h)

」가 성립하는 것을 가리켜,

f(a) + Ah

는

f(a + h)

의

x=a

에서의 '''1차 근사'''라고 한다. 이 말을 사용하면, 한 점에서의 미분가능성이란 1차 근사 가능성이라고 할 수 있다.

함수

f(x)

가

x=a

에서 미분 가능하다면,

f(x)

는

x=a

에서 반드시 연속이다.

한편, 함수가 어떤 한 점에서 연속이라고 해도, 그 점에서 미분 가능하지 않을 수 있다.

절댓값 함수 $f(x) = |x|$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만, 이 점에서 미분 가능하지 않다. $h > 0$ 일 때는 $(0, 0)$ , $(h, f(h))$ 를 지나는 할선의 기울기는 $1$ 이지만, $h < 0$ 일 때는 $-1$ 이다. 이 경우, 그래프는 $x=0$ 에서 첨점(뾰족점)을 갖는다고 말한다.
함수 $f(x) = x^{1/3}$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만, 이 점에서 미분 가능하지 않다. $(0, 0)$ , $(h, f(h))$ 를 지나는 할선의 기울기는, $h \to 0$ 일 때 양의 무한대로 발산하기 때문이다. 이 예는 그래프가 부드럽게 연결되어 있다고 해서 미분 가능하다고 단정할 수 없음을 보여준다.

실용적으로 나타나는 함수의 대부분은 거의 어디에서나 미분 가능하다. 미적분학의 역사 초창기에는 많은 수학자들이 연속 함수는 거의 모든 곳에서 미분 가능하다고 생각했다. 이 가정은 단조 사상이나 립시츠 연속 등의 완만한 조건에서는 확실히 만족된다. 그러나 1872년에 카를 바이어슈트라스는 모든 곳에서 연속이지만, 모든 곳에서 미분 불가능한 함수의 예(바이어슈트라스 함수)를 제시했다. 1931년에 스테판 바나흐는 연속 함수 전체가 이루는 공간에서, 적어도 한 점에서 미분 가능한 함수 전체가 이루는 집합이 빈약함을 보였다. 쉽게 말하면, 거의 모든 연속 함수가 모든 점에서 미분 불가능하다.

2. 4. 고계 도함수

함수

f\colon I\to\mathbb R

(

I

는 구간)가 미분 가능하고, 그 도함수

f'

역시 미분 가능할 때,

f'

의 도함수를 구할 수 있다. 이 과정을 반복하여 얻는 함수들을 고계 도함수(高階導函數) 또는 고계 미분(高階微分)이라고 한다.

함수

f

의 $n$ 계 도함수(

n

階導函數) 또는 $n$ 계 미분(

n

階微分,

n

th derivative^영어)

f^{(n)}

은 도함수를 구하는 과정을

n

번 반복하여 얻는 함수를 의미한다. 즉, 다음과 같이 정의된다.

(영계 도함수/미분, 零階導函數/微分, zeroth derivative^영어) $f^{(0)} = f$ (원래 함수)
(일계 도함수/미분, 一階導函數/微分, first derivative^영어) $f^{(0)}$ 가 $I$ 에서 미분 가능하면, $f^{(1)} = {f^{(0)}}' = f'$ 이다. 그렇지 않으면 정의되지 않는다. 기호는 $f'$ , $Df$ , $\frac{df}{dx}$ 등을 사용한다.
(이계 도함수/미분, 二階導函數/微分, second derivative^영어) $f^{(1)}$ 가 정의되고 $I$ 에서 미분 가능하면, $f^{(2)} = {f^{(1)}}' = f''$ 이다. 그렇지 않으면 정의되지 않는다. 기호는 $f''$ , $D^2f$ , $\frac{d^2f}{dx^2}$ 등을 사용한다.^[12]
(삼계 도함수/미분, 三階導函數/微分, third derivative^영어) $f^{(2)}$ 가 정의되고 $I$ 에서 미분 가능하면, $f^{(3)} = {f^{(2)}}' = f'''$ 이다. 그렇지 않으면 정의되지 않는다. 기호는 $f'''$ , $D^3f$ , $\frac{d^3f}{dx^3}$ 등을 사용한다.
...
( $n$ 계 도함수/미분, $n$ 階導函數/微分, $n$ th derivative^영어) $f^{(n-1)}$ 가 정의되고 $I$ 에서 미분 가능하면, $f^{(n)} = {f^{(n-1)}}' = f^{\overbrace{''\cdots'}^n}$ 이다. 그렇지 않으면 정의되지 않는다. 기호는 $f^{(n)}$ , $D^nf$ , $\frac{d^nf}{dx^n}$ 등을 사용한다.
...

이러한

f^{(n)}

(

n\ge 3

)을 통틀어

f

의 고계 도함수 또는 고계 미분이라고 한다.

함수

f\colon I\to\mathbb R

(

I

는 구간)가 도함수

f'

를 가지며,

f'

가

I

에서의 연속 함수라면,

f

를

I

에서의 연속 미분 가능 함수 또는 $\mathcal C^1$ 함수라고 한다. 보다 일반적으로,

f

가 연속인

k

계 도함수

f^{(k)}

를 가진다면,

f

를 $\mathcal C^k$ 함수라고 한다. 만약

f

가 임의의 차수의 고계 도함수

f^{(1)}, f^{(2)}, f^{(3)}, \dots

를 모두 가진다면,

f

를 매끄러운 함수 또는 $\mathcal C^\infty$ 함수라고 한다. 이보다 더 강한 조건으로, 테일러 급수가 자기 자신으로 수렴하는 함수를 해석 함수 또는 $\mathcal C^\omega$ 함수라고 한다.

k

계 도함수의 존재는

\mathcal C^{k-1}

함수보다는 강하고

\mathcal C^k

함수보다는 약한 조건이다.

특정 점

a

에서의

n

계 미분 계수를 나타낼 때는 다음과 같은 표기법을 사용한다.

:

f^{(n)}(a)=\frac{d^nf}{dx^n}(a)=\left.\frac{d^nf}{dx^n}\right|_{x=a}=D^nf(a)=\left.D^nf\right|_{x=a}

3. 표기법

함수의 도함수를 나타내는 여러 표기법이 존재한다. 대표적으로 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 도입한 라이프니츠 표기법, 조제프루이 라그랑주가 도입한 라그랑주 표기법(프라임 표기법), 아이작 뉴턴이 사용한 뉴턴 표기법(점 표기법), 그리고 미분 연산자 $D$ 를 사용하는 아르보가스트의 표기법(D-표기법 또는 오일러 표기법으로도 불림) 등이 있다.

함수 $f(x)$ 의 도함수 및 고계 도함수를 나타내는 주요 표기법은 다음과 같다. 또한, $y = f(x)$ 로 놓고 아래 표기법에서의 $f$ 를 $y$ 로 대체한 표기법도 사용된다.

도함수 및 고계 도함수를 나타내는 표기법
	도함수	2계 도함수	3계 도함수	$n$ 계 도함수
라그랑주 표기법	$f'$	$f''$	$f'''$	$f^{(n)}$
라이프니츠 표기법	$\frac{df}{dx}$	$\frac{d^2f}{dx^2}$ 또는 $\frac{d^2}{dx^2}f$	$\frac{d^3f}{dx^3}$ 또는 $\frac{d^3}{dx^3}f$	$\frac{d^nf}{dx^n}$ 또는 $\frac{d^n}{dx^n}f$
뉴턴 표기법	$\dot{f}$	$\ddot{f}$	$\overset{...}{f}$	(통상 사용되지 않음)
아르보가스트 표기법	$Df$ 또는 $D_x f$	$D^2 f$ 또는 $D_x^2 f$	$D^3 f$ 또는 $D_x^3 f$	$D^n f$ 또는 $D_x^n f$

특정 점 $a$ 에서의 미분 계수 (및 고계 미분 계수)를 나타내기 위해서는 각 표기법 뒤에 $(a)$ 를 붙이거나, 라이프니츠 표기법의 경우 $\left.\right|_{x=a}$ 와 같이 표기한다. 예를 들어, $n$ 계 도함수의 $x=a$ 에서의 값은 다음과 같이 다양하게 표현될 수 있다.

$f^{(n)}(a)=\frac{d^nf}{dx^n}(a)=\left.\frac{d^nf}{dx^n}\right|_{x=a}=D^nf(a)=\left.D^nf\right|_{x=a}$

3. 1. 라이프니츠 표기법

고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 1675년에 도입한 표기법으로, 도함수를 두 미분의 비율 형태로 나타낸다.^[13] 예를 들어

y=f(x)

라는 함수 관계가 있을 때, 1차 도함수는 다음과 같이 표기한다.

:

\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac d{dx}f

이는 "x에 대한 y의 도함수"라고 읽으며, 함수에 미분 연산자

\frac{d}{dx}

를 적용한 것(

\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} f(x)

)으로 볼 수도 있다. 이 표기법은 종속 변수와 독립 변수 사이의 함수 관계를 다룰 때 여전히 널리 사용된다.

특정 점

x=a

에서의 미분값은 다음과 같이 나타낸다.

:

\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=a}= \frac{df}{dx}(a)= \frac d{dx}f(a)

고계 도함수, 즉 함수를 여러 번 미분한 결과는 다음과 같이 표기한다. 예를 들어

n

번 미분한 도함수(

n

계 도함수)는 다음과 같다.

:

\frac{d^ny}{dx^n}= \frac{d^nf}{dx^n}= \frac{d^n}{dx^n}f

이는 미분 연산자를 반복해서 적용한다는 의미이다. 예를 들어 2계 도함수는 다음과 같다.

:

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{d}{dx} f(x)\Bigr)

라이프니츠 표기법은 분모에 어떤 변수에 대해 미분하는지를 명확히 표시해주므로, 여러 변수가 얽힌 상황에서 혼동을 줄여준다는 장점이 있다. 또한, 연쇄 법칙과 같은 일부 미분 공식을 시각적으로 이해하고 기억하기 쉽게 만들어 준다.^[13] 예를 들어, 합성 함수의 미분은 다음과 같이 표현할 수 있다. 만약

y = f(u)

이고

u = g(x)

라면,

y = f(g(x))

의 도함수는 다음과 같다.

:

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

라이프니츠 표기법에서 사용되는

dy

나

dx

같은 기호의 정확한 의미는 문맥에 따라 달라질 수 있다. 미적분학에서는 변화량의 선형 주요 부분을 나타내는 데 쓰이고, 비표준 해석학에서는 일종의 무한소라는 개념으로 정의되기도 하며, 미분기하학에서는 외미분이라는 다른 의미로 사용된다.

3. 2. 라그랑주 표기법

조제프루이 라그랑주가 도입한 표기법으로, 함수 기호 오른쪽 위에 프라임 부호(')를 붙여 도함수를 간결하게 나타낸다. 함수

f(x)

의 도함수, 이계 도함수, 삼계 도함수는 각각 다음과 같이 표기한다.

1계 도함수: $f'(x)$ 또는 $f^{(1)}(x)$
2계 도함수: $f''(x)$ 또는 $f^{(2)}(x)$
3계 도함수: $f'''(x)$ 또는 $f^{(3)}(x)$

1계 도함수

f'(x)

는 "f 프라임 x"라고 읽으며, 만약

y=f(x)

관계가 성립하면 간단히

y'

("y 프라임")으로 쓰기도 한다.

3계를 넘어가는 고계 도함수의 경우, 프라임 부호를 계속 덧붙이는 대신 위첨자를 사용하여 표기하는 것이 일반적이다. 예를 들어,

n

계 도함수는

f^{(n)}(x)

와 같이 괄호 안에 숫자를 넣어 나타낸다. 일부 저자는 4계 도함수를

f^{\mathrm{iv}}(x)

처럼 로마 숫자를 위첨자로 사용하기도 한다.

3. 3. 뉴턴 표기법

아이작 뉴턴은 함수의 도함수를 나타내기 위해 함수 기호 위에 점을 찍는 방식을 사용했다. 이를 뉴턴 표기법 또는 점 표기법(dot notation|점 표기법^영어)이라고 부른다.

예를 들어, 함수

y

가 시간

t

에 대한 함수일 때, 그 도함수는 다음과 같이 표기한다.

1계 도함수: $\dot{y}$ (또는 $\overset{\overset1.}y$ )
2계 도함수: $\ddot{y}$ (또는 $\overset{\overset2.}y$ )
3계 도함수: $\overset{...}y$ (또는 $\overset{\overset3.}y$ , $\dot {\ddot y}$ )
4계 도함수: $\overset{....}y$ (또는 $\overset{\overset4.}y$ , $\ddot {\ddot y}$ )
$n$ 계 도함수: $\overset{\overset n.}y$

이 표기법은 주로 물리학 분야에서 시간(

t

)에 대한 미분을 나타낼 때 사용된다. 또한 미분 기하학 등에서 호의 길이에 대한 미분을 나타낼 때도 쓰인다. 시간에 대한 미분은 보통 2계 도함수까지만 다루는 경우가 많기 때문에 물리학 등에서 유용하게 사용된다.

하지만 뉴턴 표기법은 4계 이상의 고계 도함수를 나타내기에는 다소 번거롭고, 여러 개의 독립 변수를 갖는 함수에는 적용하기 어렵다는 단점이 있다.

3. 4. 오일러 표기법

레온하르트 오일러는 미분 연산자

D

를 사용하여 도함수를 나타냈다. 1계 도함수는

Df

로,

n

계 도함수는

D^nf

로 표기했다.

이와 유사하게 미분 연산자 기호

D

를 사용하는 표기법을 D-표기법이라고도 부른다. D-표기법에서는 1계 도함수를

D f(x)

로,

n

계 도함수를

D^n f(x)

로 나타낸다. 이 D-표기법은 때때로 '오일러 표기법'이라고 불리기도 하지만, 실제 레온하르트 오일러가 사용한 표기(

Df

,

D^nf

)와는 약간 다르며, D-표기법(

D f(x)

,

D^n f(x)

) 자체는 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트가 도입한 것으로 알려져 있다.

D-표기법은 편도함수를 나타낼 때도 사용된다. 예를 들어 함수

u = f(x, y)

가 주어졌을 때,

x

에 대한 편도함수는

D_x u

또는

D_x f(x,y)

로 표기할 수 있다. 고계 편도함수는 위첨자나 여러 개의 아래첨자를 사용하여 나타낸다. 예를 들어,

D_{xy} f(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} \Bigl(\frac{\partial}{\partial x} f(x,y) \Bigr)

이고

D_{x}^2 f(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \Bigl(\frac{\partial}{\partial x} f(x,y) \Bigr)

이다.

4. 성질

미분은 함수의 다양한 성질을 분석하는 데 중요한 도구로 사용된다. 함수의 특정 지점에서의 미분 가능성 여부는 그 지점에서 함수 그래프가 얼마나 '부드러운지'와 관련이 있다. 또한, 복잡한 함수의 도함수를 효율적으로 계산하기 위한 여러 가지 미분 법칙들이 존재한다.

더 나아가, 함수의 도함수는 함수의 증가와 감소(단조성), 극값(지역적 최댓값 또는 최솟값), 그리고 그래프의 모양(볼록성) 등 중요한 특징들을 파악하는 데 핵심적인 정보를 제공한다. 예를 들어, 도함수의 부호 변화를 통해 함수의 증가/감소 구간 및 극점을 찾을 수 있으며, 이계도함수를 이용하면 함수의 볼록한 방향과 변곡점을 알 수 있다. 이러한 분석은 함수의 전반적인 형태를 이해하고 그 변화를 예측하는 데 필수적이다.

4. 1. 미분 가능성

함수

f

가 어떤 점

a

에서 '''미분가능'''하다는 것은 그 점에서의 미분계수

f'(a)

, 즉 다음과 같은 극한값이 존재한다는 의미이다.^[11]

:

\begin{align}f'(a)&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\end{align}

이 극한값이 존재하지 않으면 함수

f

는 점

a

에서 미분 가능하지 않다.

함수가 어떤 점에서 미분 가능하다면, 그 함수는 반드시 그 점에서 연속이다. 만약 함수가 연속이 아니라면(즉, 그래프가 끊어져 있다면),

x

가

a

에 가까워질 때

f(x)

와

f(a)

의 차이가 0에 가까워지지 않으므로, 위의 극한값이 유한한 값으로 수렴할 수 없기 때문이다.

그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 함수가 어떤 점에서 연속이라고 해서 반드시 미분 가능한 것은 아니다. 대표적인 예시는 다음과 같다.

절댓값 함수 $f(x) = |x|$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만 미분 가능하지 않다. $x=0$ 에서의 좌미분계수는 $-1$ 이고 우미분계수는 $1$ 로 서로 다르기 때문이다. 그래프 상으로는 $x=0$ 에서 뾰족한 점(첨점)을 갖는다.
함수 $f(x) = x^{1/3}$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만 미분 가능하지 않다. $x=0$ 에서의 접선이 수직선( $y$ 축)이 되기 때문에, 극한값이 무한대로 발산한다.

어떤 함수

f

가 점

a

에서 미분 가능하기 위한 필요충분조건은

a

에서의 좌미분계수와 우미분계수가 모두 존재하고 그 값이 서로 같은 것이다.

우미분계수: $\lim_{h\searrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
좌미분계수: $\lim_{h\nearrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

함수가 한 점에서 미분 가능하다는 것은 그 점 근방에서 함수를 일차 함수(직선)로 근사할 수 있다는 의미와도 같다. 즉, 어떤 상수

A

가 존재하여

h \to 0

일 때

f(a + h) = f(a) + Ah + o(h)

(여기서

o(h)

는

h

보다 훨씬 빠르게 0으로 가는 무시할 수 있는 항)를 만족하며, 이때

A = f'(a)

이다.

실제로 다루는 대부분의 함수는 거의 모든 곳에서 미분 가능하다. 하지만 모든 점에서 연속이면서도 모든 점에서 미분 불가능한 함수도 존재한다. 1872년 카를 바이어슈트라스는 이러한 함수의 예시로 바이어슈트라스 함수를 제시했다. 더 나아가, 1931년 스테판 바나흐는 연속 함수 전체의 집합에서 볼 때, 적어도 한 점에서 미분 가능한 함수들의 집합은 메마른 집합이라는 것을 증명했다. 이는 임의로 연속 함수를 선택했을 때, 그 함수가 어느 한 점에서도 미분 가능하지 않을 가능성이 매우 높다는 것을 의미한다.

4. 2. 간단한 미분 법칙

미분 가능 함수에 대하여, 다음과 같은 미분 법칙들이 성립한다.

합 규칙: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
곱 규칙: $(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
몫의 법칙: $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$
연쇄 법칙: $(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$
역함수 정리: 만약 $f$ 가 $f'(x)\ne0$ 를 만족시킨다면, ${f^{-1}}'(x)=\frac1{f'(f^{-1}(x))}$
음함수 정리: 만약 음함수 $F(x,y)=0$ 가 $F$ 가 연속 미분 가능 함수이며 $F_y\ne0$ 임을 만족시킨다면, $y_x=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$
만약 매개 변수 함수 $x=x(t)$ , $y=y(t)$ 가 $x(t)$ 와 $y(t)$ 가 미분 가능 함수이며, $x'(t)\ne0$ 임을 만족시킨다면, $y_x=\frac{y'(t)}{x'(t)}$
만약 극좌표 함수 $r=r(\theta)$ 가 일정 조건을 만족시킨다면, $y_x=\frac{\tan\theta+r(\theta)/r'(\theta)}{1-r(\theta)\tan\theta/r'(\theta)}$

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

합 규칙: $\frac{d(f+g)}{dx}=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}$
곱 규칙: $\frac{d(fg)}{dx}=g\frac{df}{dx}+f\frac{dg}{dx}$
몫의 법칙: $\frac d{dx}\frac fg=\frac 1{g^2}\left(g\frac{df}{dx}-f\frac{dg}{dx}\right)$
연쇄 법칙: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$
역함수 정리: 만약 $f$ 가 $\frac{dy}{dx}\ne0$ 를 만족시킨다면, $\frac{dx}{dy}=1\bigg/\frac{dy}{dx}$
음함수 정리: 만약 음함수 $F(x,y)=0$ 가 $F$ 가 연속 미분 가능 함수이며 $F_y\ne0$ 임을 만족시킨다면, $\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial F}{\partial x}\bigg/\frac{\partial F}{\partial y}$
만약 매개 변수 함수 $x=x(t)$ , $y=y(t)$ 가 $x(t)$ 와 $y(t)$ 가 미분 가능 함수이며, $x'(t)\ne0$ 임을 만족시킨다면, $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\bigg/\frac{dx}{dt}$

4. 3. 단조성과의 관계

함수의 일부 성질은 도함수 또는 고계 도함수를 통해 판정할 수 있다. 예를 들어, 함수의 단조성과 도함수의 관계는 다음과 같다.

구간

I

에서 정의된 미분 가능한 함수

f\colon I\to\mathbb R

에 대해 다음이 성립한다.

$f$ 가 증가 함수일 필요충분조건은 구간 $I$ 안의 모든 $x$ 에 대해 $f'(x)\ge0$ 인 것이다.
$f$ 가 감소 함수일 필요충분조건은 구간 $I$ 안의 모든 $x$ 에 대해 $f'(x)\le0$ 인 것이다.
$f$ 가 엄격 증가 함수일 필요충분조건은 구간 $I$ 안의 모든 $x$ 에 대해 $f'(x)\ge0$ 이면서, $I$ 에 포함되는 어떤 부분 구간 $J$ 를 잡더라도 그 안에는 $f'(x)\ne0$ 인 $x$ 가 반드시 존재하는 것이다. 즉, 도함수가 0이 되는 구간이 없어야 한다.
$f$ 가 엄격 감소 함수일 필요충분조건은 구간 $I$ 안의 모든 $x$ 에 대해 $f'(x)\le0$ 이면서, $I$ 에 포함되는 어떤 부분 구간 $J$ 를 잡더라도 그 안에는 $f'(x)\ne0$ 인 $x$ 가 반드시 존재하는 것이다. 즉, 도함수가 0이 되는 구간이 없어야 한다.

따라서 미분 가능한 함수

f(x)

에 대해, 도함수

f'(x)

가 양의 값을 갖는 구간에서는

f(x)

의 값은 단조 증가하고 (더 자세히 말하면, 엄격 증가), 도함수

f'(x)

가 음의 값을 갖는 구간에서는

f(x)

의 값은 단조 감소한다 (더 자세히 말하면, 엄격 감소). 만약 어떤 구간에서 도함수

f'(x)

의 값이 항상 0이라면, 그 구간에서 함수

f(x)

의 값은 일정하다(상수 함수).

4. 4. 극값과의 관계

함수

f

가 구간

I

에서 연속이고, 점

a \in I

를 제외한 구간

I\setminus\{a\}

에서 미분 가능하다고 하자.

만약 $a$ 를 제외한 $a$ 주변의 어떤 구간 $J\setminus\{a\} \subseteq I$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f'(x)(x-a)<0$ 이면 (즉, $x 일 때 f'(x)>0 이고 x>a 일 때 f'(x)<0 이면), f(a) 는 엄격 극댓값이다. 이는 함수가 a 왼쪽에서는 증가하고 오른쪽에서는 감소함을 의미한다.$
만약 $a$ 를 제외한 $a$ 주변의 어떤 구간 $J\setminus\{a\} \subseteq I$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f'(x)(x-a)>0$ 이면 (즉, $x 일 때 f'(x)<0 이고 x>a 일 때 f'(x)>0 이면), f(a) 는 엄격 극솟값이다. 이는 함수가 a 왼쪽에서는 감소하고 오른쪽에서는 증가함을 의미한다.$

고계 도함수를 이용한 판정:

함수

f

가 구간

I

에서

n

번 미분 가능하고,

f^{(1)}(a)=f^{(2)}(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0

이라고 하자. 즉,

a

에서 1계부터

(n-1)

계까지의 도함수가 모두 0이라고 가정한다.

만약 $n$ 이 홀수이고 $f^{(n)}(a)\ne0$ 이라면, $f(a)$ 는 극값이 아니다. 이 경우 $a$ 는 변곡점이 될 수 있다.
만약 $n$ 이 짝수이고 $f^{(n)}(a)<0$ 이라면, $f(a)$ 는 엄격 극댓값이다. (예: 이계도함수 판정법에서 $f''(a)<0$ 인 경우)
만약 $n$ 이 짝수이고 $f^{(n)}(a)>0$ 이라면, $f(a)$ 는 엄격 극솟값이다. (예: 이계도함수 판정법에서 $f''(a)>0$ 인 경우)

4. 5. 볼록성과의 관계

함수

f

가 구간

I

에서 도함수

f'

을 갖고, 그것이 다시

I

에서 미분 가능할 때,

f'

의 도함수를

f

의 2계 도함수라고 부르며

f''

로 나타낸다.

2계 미분 가능한 함수

f(x)

에 대해, 2계 도함수

f''(x)

의 부호는 함수의 볼록성과 밀접한 관련이 있다.

2계 도함수 $f''(x)$ 가 양수( $f''(x) > 0$ )인 구간에서 함수 $f(x)$ 는 아래로 볼록(또는 볼록)하다.
2계 도함수 $f''(x)$ 가 음수( $f''(x) < 0$ )인 구간에서 함수 $f(x)$ 는 위로 볼록(또는 오목)하다.

함수

f(x)

의 그래프에서 볼록성이 바뀌는 지점, 즉 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 변하거나 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 변하는 지점을 변곡점이라고 한다. 만약 점

(a, f(a))

가 변곡점이라면,

x=a

를 기준으로 함수의 볼록성이 바뀐다. 2계 미분 가능한 함수의 경우, 변곡점은 일반적으로 2계 도함수

f''(x)

의 부호가 바뀌는 지점에서 나타난다.

5. 미분이 나오는 예

미분은 주변 세계의 변화를 수학적으로 정밀하게 분석하는 강력한 도구이다. 어떤 대상이 특정 순간에 어떻게 변하고 있는지를 알고 싶을 때 미분의 개념이 유용하게 사용된다.

예를 들어, 함수의 그래프가 주어졌을 때 특정 지점에서의 순간적인 기울기, 즉 접선의 기울기를 구하는 문제에서 미분이 사용된다. 아래 그림은 간단한 제곱 함수의 그래프를 보여준다. 미분을 통해 이 곡선 위의 각 점에서의 접선 기울기를 정확히 계산할 수 있다.

또한, 물리학에서는 시간에 따라 물체의 위치가 변할 때 특정 시점에서의 순간 속도나 가속도를 계산하는 데 미분이 핵심적인 역할을 한다. 자동차의 속도계가 보여주는 속도는 바로 위치를 시간에 대해 미분한 순간 속도의 한 예이다.

이처럼 미분은 기하학적인 문제 해결부터 자연 현상 분석, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 변화를 이해하고 예측하는 데 필수적으로 활용된다. 이어지는 내용에서는 미분이 구체적으로 어떻게 사용되는지 접선 문제, 변화율, 속도 등의 예를 통해 더 자세히 살펴본다.

5. 1. 접선 문제

할선(파란색)이 접선(빨간색)에 가까워지는 과정. 점 Q가 점 P로 이동함에 따라( $\Delta x\to0$ ) 할선의 기울기는 접선의 기울기로 수렴한다.

기하학적 관점에서 볼 때, 미분은 주어진 곡선의 접선을 찾는 문제와 같다. 접선은 기하학적으로 곡선과 한 점에서 스치듯이 만나는 직선을 의미한다. 좀 더 자세히 말하면, 접선에 아주 작은 변화를 주었을 때 곡선과의 교점 개수가 변하는 직선이다. 예를 들어, 직선

x=0

(y축)과 직선

y=0

(x축)은 모두 포물선

y=x^2

과 원점(0, 0)이라는 유일한 교점을 갖는다. 하지만

x=0

은 약간 평행 이동해도 여전히 포물선과 한 점에서 만나므로 접선이 아니다. 반면,

y=0

은 약간 위아래로 움직이면 포물선과 만나지 않거나 두 점에서 만나게 되므로, 원점에서의 접선이라고 할 수 있다.

평면 위의 곡선

y=f(x)

가 주어졌을 때, 곡선 위의 한 점

(a,f(a))

에서의 접선을 구하려면 그 점에서의 접선의 기울기를 알아야 한다. 먼저, 곡선 위의 또 다른 점

(x,f(x))

(

x\ne a

)을 생각하자. 이 두 점

(a,f(a))

와

(x,f(x))

를 지나는 직선을 할선이라고 하며, 이 할선의 기울기

\bar k

는 다음과 같이 두 점 사이의 y값 변화량(

\Delta y

)을 x값 변화량(

\Delta x

)으로 나눈 값이다.

:

\bar k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

이제 점

(x,f(x))

를 점

(a,f(a))

에 한없이 가깝게 이동시킨다고 생각해보자. 즉,

x

가

a

에 가까워지는 극한(

x \to a

또는

\Delta x \to 0

)을 생각하는 것이다. 이 과정에서 할선은 점

(a,f(a))

에서의 접선에 점점 더 가까워진다. 따라서 접선은 할선의 극한으로 정의할 수 있으며, 접선의 기울기

k

는 할선 기울기의 극한값이 된다.

:

k=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

이 극한값은 함수

f(x)

의

x=a

에서의 미분계수

f'(a)

의 정의와 정확히 일치한다. 즉, 점

(a,f(a))

에서의 접선의 기울기는

f'(a)

이다.

:

k=f'(a)=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a}

여기서

\alpha

가 접선이 x축의 양의 방향과 이루는 각도일 때, 접선의 기울기는

\tan\alpha

와 같으므로

k=\tan\alpha=f'(a)

이다.

5. 2. 증분과 평균 변화율과 순간 변화율

일반적인 함수

y=f(x)

에 대하여, '''증분'''(增分, increment^영어)은 독립 변숫값의 변화량

:

\Delta x

및 그에 따른 함숫값의 변화량

:

\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)

을 뜻하는 용어이다.

'''평균 변화율'''(平均變化率, average rate of change^영어)은 두 증분의 비율, 즉 독립 변수의 변화량에 대한 함숫값의 변화량의 비율을 의미한다.^[9]

:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

기하학적으로 평면 곡선

y=f(x)

위의 서로 다른 두 점

(a,f(a))

와

(x,f(x))

(단,

x\ne a

)을 지나는 할선의 기울기는 평균 변화율과 같다.

:

\bar k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

점

(x,f(x))

가 점

(a,f(a))

에 한없이 가까워질 때, 즉

\Delta x

가 0에 가까워질 때의 평균 변화율의 극한을 '''미분 계수'''(微分係數, differential coefficient^영어) 또는 '''순간 변화율'''(瞬間變化率, instantaneous rate of change^영어)이라고 한다.^[9] 이는 미분과 같은 의미로 사용된다.

:

\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

기하학적으로 이는 점

(a,f(a))

에서의 접선의 기울기와 같다. 할선은

\Delta x \to 0

일 때 접선에 가까워지므로, 접선의 기울기

k

는 할선 기울기의 극한으로 정의할 수 있다.

:

k=\tan\alpha=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

따라서 접선의 기울기는 함수의 미분 계수와 같다.

:

k=\tan\alpha=f'(a)=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a}

평균 변화율의 극한에서 좌극한을 사용하면 '''좌미분 계수'''(左微分係數)가 되고, 우극한을 사용하면 '''우미분 계수'''(右微分係數)가 된다. 함수

f(x)

가 어떤 점

a

에서 미분가능하다는 것은 그 점을 포함하는 열린구간에서 함수가 정의되고, 위의 극한값, 즉 미분 계수가 존재한다는 것을 의미한다.

5. 3. 순간 속도 문제

자유 낙하 과정을 스트로보스코프로 촬영하여 시간과 변위의 함수 관계를 구할 수 있으며, 여기에 미분을 취하면 (순간) 속도가 된다.

어떤 물체의 시간에 따른 변위

s=s(t)

가 주어졌을 때, 시간

t

부터

t+\Delta t

까지의 평균 속도

\bar v

는 이동한 거리

\Delta s

를 걸린 시간

\Delta t

로 나눈 값이다. 식으로 나타내면 다음과 같다.

:

\bar v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}

등속 운동에서는 어느 시점에서나 속도가 일정하므로 평균 속도가 곧 그 물체의 속도가 된다. 하지만 일반적인 물체의 운동은 속도가 변하는 변속 운동이다. 이 경우, 평균 속도는 특정 시점에서의 빠르기를 정확하게 나타내기 어렵기 때문에 순간 속도라는 개념이 필요하다.

평균 속도를 구할 때 시간 간격

\Delta t

를 매우 짧게 하면 그 값은 특정 시점

t

에서의 순간 속도에 가까워진다. 따라서 순간 속도는 평균 속도에서 시간 간격

\Delta t

를 0으로 보내는 극한으로 정의할 수 있다.

:

v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}

이 식은 변위

s(t)

를 시간

t

에 대해 미분한 도함수의 정의와 같다. 즉, 물체의 순간 속도

v(t)

는 변위

s(t)

를 시간에 대해 미분한 값이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

:

v(t)=s'(t)

또는 라이프니츠 표기법을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

v=\frac{ds}{dt}

예를 들어, 다리 위에서 농구공을 가만히 떨어뜨리는 경우를 생각해 보자. 공기 저항이나 바람의 영향을 무시하면 공의 운동은 자유 낙하 운동으로 볼 수 있다. 이때 시간

t

에 따른 낙하 거리(변위)

h

는 다음과 같이 주어진다. (단,

g

는 중력 가속도)

:

h=\frac12gt^2

이 물체의 순간 속도

v

는 변위

h

를 시간

t

에 대해 미분하여 구할 수 있다.^[10]

:

\begin{align}v&=\frac{dh}{dt}\\&=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\frac12g(t+\Delta t)^2-\frac12gt^2}{\Delta t}\\&=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\frac12g(t^2+2t\Delta t+(\Delta t)^2)-\frac12gt^2}{\Delta t}\\&=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\frac12g(2t\Delta t+(\Delta t)^2)}{\Delta t}\\&=\lim_{\Delta t\to0}(gt+\frac12g\Delta t)\\&=gt\end{align}

따라서 자유 낙하하는 물체의 시간

t

에서의 순간 속도는

v=gt

이다. 이는 시간이 지남에 따라 속도가 중력 가속도

g

에 비례하여 일정하게 증가함을 의미한다. 이처럼 미분은 물체의 시간에 따른 위치 변화율, 즉 속도를 구하는 데 유용하게 사용된다.

6. 예

미분 개념을 구체적으로 이해하는 데 도움이 되는 몇 가지 예시를 살펴본다. 함수의 정의를 직접 이용하여 도함수를 계산하는 기본적인 방법부터 시작하여, 자주 사용되는 초등 함수들의 미분 공식을 알아본다. 또한, 함수가 특정 점에서 미분 가능하기 위한 조건과, 연속적이면서도 미분 가능하지 않은 함수의 다양한 사례들을 통해 미분 가능성의 개념을 더 깊이 이해할 수 있다.

6. 1. 정의를 통한 계산

함수

f(x)=x^2

의 미분을 정의에 따라 계산하면 다음과 같다.

\begin{align}f'(x)&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}(2x+\Delta x)\\&=2x\end{align}

미분

\frac{df}{dx}(a)

을 생각하는 한 가지 방법은 함수

f

의 출력의 무한소 변화와 입력의 무한소 변화의 비율로 보는 것이다. 이러한 직관을 엄밀하게 만들기 위해서는 무한소 양을 다루는 규칙 체계가 필요하며, 초실수 체계를 이용한 비표준 해석학 등이 이를 다룬다.

6. 2. 초등 함수

몇 가지 기본적인 실수 초등 함수의 (자연 정의역에서의) 미분은 다음과 같다.

{| class="wikitable"

|+ 초등 함수의 미분

! 함수 !! 도함수 !! 조건

|-

| 상수 함수

C

||

0

||

|-

| 멱함수

x^\alpha

||

\alpha x^{\alpha-1}

||

\alpha \in \mathbb{R}

(정의역에 따라 다름)

|-

| 지수 함수

e^x

||

e^x

||

|-

| 지수 함수

a^x

||

a^x \ln a

||

a>0

|-

| 로그 함수

\ln x

||

\frac{1}{x}

||

x>0

|-

| 로그 함수

\log_a x

||

\frac{1}{x \ln a}

||

a>0, a \ne 1, x>0

|-

| 삼각 함수

\sin x

||

\cos x

||

|-

| 삼각 함수

\cos x

||

-\sin x

||

|-

| 삼각 함수

\tan x

||

\sec^2 x

||

x \ne \frac{\pi}{2} + n\pi

(

n

은 정수)

|-

| 삼각 함수

\cot x

||

-\csc^2 x

||

x \ne n\pi

(

n

은 정수)

|-

| 삼각 함수

\sec x

||

\sec x \tan x

||

x \ne \frac{\pi}{2} + n\pi

(

n

은 정수)

|-

| 삼각 함수

\csc x

||

-\csc x \cot x

||

x \ne n\pi

(

n

은 정수)

|-

| 역삼각 함수

\arcsin x

||

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

||

-1 < x < 1

|-

| 역삼각 함수

\arccos x

||

-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

||

-1 < x < 1

|-

| 역삼각 함수

\arctan x

||

\frac{1}{1+x^2}

||

|-

| 역삼각 함수

\arccot x

||

-\frac{1}{1+x^2}

||

|-

| 역삼각 함수

\arcsec x

||

\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}

||

|x|>1

|-

| 역삼각 함수

\arccsc x

||

-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}

||

|x|>1

|-

| 쌍곡선 함수

\sinh x

||

\cosh x

||

|-

| 쌍곡선 함수

\cosh x

||

\sinh x

||

|-

| 쌍곡선 함수

\tanh x

||

\operatorname{sech}^2 x

||

|-

| 쌍곡선 함수

\coth x

||

-\operatorname{csch}^2 x

||

x \ne 0

|-

| 쌍곡선 함수

\operatorname{sech} x

||

-\operatorname{sech} x \tanh x

||

|-

| 쌍곡선 함수

\operatorname{csch} x

||

-\operatorname{csch} x \coth x

||

x \ne 0

|-

| 역쌍곡선 함수

\operatorname{arsinh} x

||

\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}

||

|-

| 역쌍곡선 함수

\operatorname{arcosh} x

||

\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}

||

x>1

|-

| 역쌍곡선 함수

\operatorname{artanh} x

||

\frac{1}{1-x^2}

||

|x|<1

|-

| 역쌍곡선 함수

\operatorname{arcoth} x

||

\frac{1}{1-x^2}

||

|x|>1

|-

| 역쌍곡선 함수

\operatorname{arsech} x

||

-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}

||

0

|-

| 역쌍곡선 함수

\operatorname{arcsch} x

||

-\frac{1}

6. 3. 미분 가능성

바이어슈트라스 함수는 모든 점에서 연속이면서 모든 점에서 미분 불가능한 함수의 예이다.

함수

f(x)

가

x = a

에서 미분 가능하다면,

f(x)

는

x = a

에서 반드시 연속이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 함수가 어떤 점에서 연속이라고 해도, 그 점에서 미분 가능하지 않을 수 있다.

대표적인 예시는 다음과 같다.

절댓값 함수: 함수 $f(x) = |x|$ 는 $x = 0$ 에서 연속이지만, 미분 가능하지 않다. $x = 0$ 에서의 좌미분계수는 -1이고 우미분계수는 1로 서로 다르기 때문이다. 이처럼 좌미분계수와 우미분계수가 존재하지만 값이 다른 점을 첨점(뾰족점)이라고 한다.^[11]

:

(|x|)'=\sgn x\qquad(x\ne0)

:

(|x|)'_+|_{x=0}=1

:

(|x|)'_-|_{x=0}=-1

세제곱근 함수: 함수 $f(x) = \sqrt[3]x$ 는 $x = 0$ 에서 연속이지만, 미분 가능하지 않다. $x = 0$ 에서 함수 그래프의 접선이 수직선(기울기 무한대)이 되기 때문이다.

:

(\sqrt[3]x)'=\begin{cases}\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}&x\ne0\\\infty&x=0\end{cases}

$x \sin(1/x)$ 함수: 다음과 같이 정의된 함수는 $x = 0$ 에서 연속이지만, 미분 가능하지 않다.

:

f(x)=\begin{cases}x\sin\frac1x&x\ne0\\0&x=0\end{cases}

이 함수는

x = 0

에서의 미분계수를 구하는 극한

\lim_{x\to0}\sin\frac1x

가 존재하지 않기 때문이다.

x

가 0에 가까워질수록

\sin(1/x)

값은 -1과 1 사이에서 빠르게 진동한다.

바이어슈트라스 함수: 카를 바이어슈트라스가 제시한 이 함수는 모든 점에서 연속이지만, 모든 점에서 미분 불가능한 함수의 대표적인 예이다.

과거 미적분학의 역사 초기에는 많은 수학자들이 연속 함수는 대부분의 점에서 미분 가능할 것이라고 추측했다. 실제로 단조 함수나 립시츠 연속 함수와 같은 특정 조건을 만족하는 연속 함수는 거의 모든 점에서 미분 가능하다. 그러나 1872년 바이어슈트라스가 모든 점에서 연속이지만 어디에서도 미분 불가능한 바이어슈트라스 함수를 발표하면서 이 추측은 틀린 것으로 밝혀졌다. 더 나아가 1931년 스테판 바나흐는 연속 함수 전체의 공간에서, 적어도 한 점에서 미분 가능한 함수의 집합은 극히 일부에 불과하다는 것을 증명했다. 이는 직관과 달리, 대부분의 연속 함수는 모든 점에서 미분 불가능하다는 것을 의미한다.

7. 응용

미분은 최적화(변분법)·미분 방정식·테일러 급수에서 응용된다.

함수 f가 열린 구간 I에서 ''n'' − 1계 미분 가능하고, ''n'' − 1계 도함수 f^{(''n'' − 1)}가 x = a에서 미분 가능할 때, f^{(''n'' − 1)}의 x = a에서의 미분 계수를 f^(''n'')(a)라고 하면,

: $f(a+h) = \frac{f(a)}{0!} + \frac{f'(a)h}{1!} + \frac{f''(a)}{2!} h^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} h^n + O(h^n)$

이 성립한다 (테일러 정리의 페아노의 나머지항 형태). 이것은 앞서 언급한, 한 점에서의 미분 가능성에 대한 1차 근사에 의한 공식화의 일반화에 해당한다.

8. 일반화

미분 개념은 다른 많은 수학적 설정으로 확장될 수 있다. 이러한 일반화들의 공통점은 한 점에서의 함수 미분이 그 점에서 함수의 선형 근사 역할을 한다는 것이다.

8. 1. 다변수 벡터 함수의 경우

일변수 실숫값 함수의 미분 개념을 일반화하여 다변수 벡터 함수의 편미분, 전미분, 기울기, 헤세 행렬, 야코비 행렬 등의 개념을 얻을 수 있다.

실수 값을 입력받아 벡터 공간

\R^n

의 벡터를 출력하는 벡터값 함수

\mathbf{y}(t)

를 생각해보자. 이 함수는 각 좌표별로 함수

y_1(t), y_2(t), \dots, y_n(t)

로 나눌 수 있으며,

\mathbf{y}(t) = (y_1(t), y_2(t), \dots, y_n(t))

와 같이 표현된다. 예를 들어

\R^2

또는

\R^3

공간에서의 매개변수 곡선이 이에 해당한다. 각 좌표 함수

y_i(t)

는 실수 값을 가지므로 일반적인 미분 정의를 적용할 수 있다.

벡터값 함수

\mathbf{y}(t)

의 도함수는 각 좌표 함수의 도함수를 성분으로 가지는 벡터로 정의되며, 이는 곡선의 접선 벡터에 해당한다.

\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h}

이 극한값이 존재할 경우,

\mathbf{y}(t)

는

t

에서 미분 가능하다고 한다. 위 식에서 분자의 뺄셈은 벡터의 뺄셈이다. 만약 모든

t

값에 대해

\mathbf{y}(t)

의 도함수가 존재한다면,

\mathbf{y}'(t)

는 또 다른 벡터값 함수가 된다. 벡터값 함수

\mathbf{y}(t)

가 점의 위치 변화(곡선)를 나타낸다면, 그 도함수

\mathbf{y}'(t)

는 속도로, 이계도함수

\mathbf{y}''(t)

는 가속도로 해석될 수 있다.

=== 편미분 ===

둘 이상의 변수를 가지는 다변수 함수

f(x_1, \dots, x_n)

의 경우, 특정 변수 하나를 제외한 나머지 변수들을 상수처럼 취급하고 그 특정 변수에 대해서만 미분하는 것을 편미분이라고 한다. 편미분은 벡터 미적분학과 미분 기하학 등에서 중요하게 사용된다.

변수

x_j

에 대한 함수

f(x_1, \dots, x_n)

의 편미분은 여러 방식으로 표기된다.

f_{x_j}

,

\frac{\partial f}{\partial x_j}

,

\partial_{x_j}f

등이 사용된다. 여기서 ∂ 기호는 '라운드 디' 또는 '델'이라고 읽으며, 일반 미분 기호

d

와 구분하기 위해 사용된다. 편미분은 함수값이 특정 좌표축 방향으로 얼마나 빠르게 변하는지를 나타낸다.

점

(a_1, \dots, a_n)

에서 변수

x_i

에 대한 함수

f(x_1, \dots, x_n)

의 편미분계수는 다음과 같이 정의된다.

\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_n)}{h}

예를 들어, 함수

f(x,y) = x^2 + xy + y^2

의 편미분은 다음과 같다.

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y

만약 함수

f

가 어떤 영역의 모든 점에서 모든 변수에 대해 편미분 가능하다면, 각 점

\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_n)

에서 편미분 값들을 모아 벡터를 만들 수 있다.

\nabla f(\mathbf{a}) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{a}), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{a})\right)

이 벡터

\nabla f(\mathbf{a})

를 점

\mathbf{a}

에서의

f

의 기울기(gradient)라고 부른다. 기울기는 각 점에 벡터를 대응시키는 벡터장을 형성하며, 함수값이 가장 빠르게 증가하는 방향과 그 변화율을 나타낸다.

함수

f

가 영역

D

의 모든 점에서 모든 변수에 대해 편미분 가능하고, 모든 편도함수

\partial f/\partial x_j

가

D

에서 연속일 때, 함수

f

는

D

에서 '''연속 미분 가능'''(또는

C^1

'''급''')이라고 한다.

편미분을 반복하여 고계 편미분을 얻을 수 있다. 예를 들어, 2계 편도함수

\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}

는 편도함수

\frac{\partial f}{\partial x_i}

를 다시

x_j

에 대해 편미분한 것이다. 만약 2계 편도함수

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}

와

\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

가 모두 존재하고 연속이라면, 미분 순서를 바꿔도 결과는 같다. 즉,

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

가 성립한다.

=== 방향 미분 ===

편미분이 좌표축 방향으로의 함수 변화율을 측정한다면, 방향 미분은 임의의 벡터

\mathbf{v} = (v_1, \dots, v_n)

방향으로의 함수 변화율을 측정한다. 점

\mathbf{x}

에서

\mathbf{v}

방향으로의 함수

f

의 방향 미분은 다음과 같이 정의된다.

D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}

만약

f

의 모든 편미분이 점

\mathbf{x}

에서 존재하고 연속이라면, 방향 미분은 기울기와 벡터

\mathbf{v}

의 스칼라곱으로 계산할 수 있다.

D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{v} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(\mathbf{x}) v_j

이는 방향 미분이

\mathbf{v}

에 대해 선형임을 보여준다.

=== 전미분 ===

함수

f

가

\R^n

의 열린 부분 집합에서

\R^m

으로 사상하는 함수일 때 (

f: \R^n \to \R^m

), 점

\mathbf{a}

근방에서 함수

f

를 가장 잘 근사하는 선형 변환을 전미분이라고 한다. 이는 모든 방향으로의 변화를 동시에 고려하는 개념이다.

점

\mathbf{a}

에서의

f

의 전미분

f'(\mathbf{a})

(또는

Df(\mathbf{a})

)는 다음 조건을 만족하는 유일한 선형 변환

f'(\mathbf{a}): \R^n \to \R^m

이다.

\lim_{\mathbf{h}\to 0} \frac{\lVert f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) - (f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{h})\rVert_{\R^m}}{\lVert\mathbf{h}\rVert_{\R^n}} = 0

여기서

\lVert \cdot \rVert_{\R^n}

과

\lVert \cdot \rVert_{\R^m}

은 각각

\R^n

과

\R^m

에서의 벡터 크기(노름)를 의미한다. 이 정의는 점

\mathbf{a}

근처에서

f(\mathbf{a} + \mathbf{h})

와 선형 근사

f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{h}

사이의 오차가

\mathbf{h}

의 크기보다 더 빠르게 0으로 수렴한다는 것을 뜻한다. 즉, 다음과 같은 선형 근사식이 성립한다.

f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) \approx f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{h}

벡터

\mathbf{v}

에 대해

f'(\mathbf{a})\mathbf{v}

는

f

에 의한

\mathbf{v}

의 푸시포워드라고도 불린다.

만약 점

\mathbf{a}

에서 전미분

f'(\mathbf{a})

가 존재한다면,

f

의 모든 편미분과 방향 미분이

\mathbf{a}

에서 존재하며, 임의의 벡터

\mathbf{v}

에 대해

f

의

\mathbf{v}

방향 미분은

D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{a}) = f'(\mathbf{a})\mathbf{v}

로 주어진다.

함수

f

를 좌표 함수

f = (f_1, f_2, \dots, f_m)

로 나타낼 때, 전미분

f'(\mathbf{a})

는 편미분들을 성분으로 가지는

m \times n

행렬로 표현할 수 있다. 이 행렬을

f

의

\mathbf{a}

에서의 야코비 행렬이라고 부른다.

f'(\mathbf{a}) = \operatorname{Jac}_{\mathbf{a}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \end{pmatrix} = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\mathbf{a})\right)_{1 \le i \le m, 1 \le j \le n}

모든 편미분이 존재하고 연속이라면 전미분은 존재하며 야코비 행렬로 주어진다. 그러나 편미분이 모두 존재한다고 해서 전미분이 항상 존재하는 것은 아니다. 전미분 가능성이 더 강한 조건이다.

일변수 실수값 함수

f: \R \to \R

의 경우, 전미분 가능성은 일반적인 미분 가능성과 동치이며, 야코비 행렬은

1 \times 1

행렬

(f'(a))

가 된다.

=== 고계 미분 ===

다변수 함수의 고계 미분은 여러 방식으로 정의될 수 있다. 고계 편미분은 단순히 편미분을 반복하여 계산할 수 있다.

전미분의 개념을 고차원으로 확장하는 것은 단순하지 않다. 고계 전미분은 일반적으로 선형 변환이 아니며, 제트나 고계 프레셰 미분과 같은 더 복잡한 개념을 통해 다루어진다. 고계 프레셰 미분

D^k f

는 각 점

\mathbf{x}

에

k

-다중선형사상

D^k f(\mathbf{x}): \R^n \times \cdots \times \R^n \to \R^m

을 대응시키는 사상으로, 이는 다변수 테일러 급수의 항들과 관련된다. 예를 들어, 2계 프레셰 미분

D^2 f

는 헤세 행렬과 밀접한 관련이 있다.

8. 2. 바나흐 공간 사이의 함수의 경우

바나흐 공간

V,W

사이의 함수

f\colon U\to W

(

U\subseteq V

는 열린집합)가 주어졌을 때, 점

a\in U

에서의 미분은 '''프레셰 도함수'''라는 개념으로 일반화된다.

f

의

a

에서의 프레셰 도함수는 다음 극한 조건을 만족시키는 연속 선형 변환

D_af\colon V\to W

를 의미한다.^[14]

:

\lim_{x\to a}\frac{\Vert f(x)-f(a)-D_af(x-a)\Vert}{\Vert x-a\Vert}=0

이러한 연속 선형 변환

D_af

가 항상 존재하는 것은 아니며, 만약 존재한다면 함수

f

는 점

a

에서 '''프레셰 미분 가능'''하다고 말한다.

특히, 정의역

V

가 실수 전체의 집합

\mathbb R

이고 공역

W

가 실수 바나흐 공간인 경우, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[14]

$f$ 는 $a$ 에서 프레셰 미분 가능하다.
고전적인 의미의 도함수 $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\in W$ 가 존재한다.

이 경우,

f

의

a

에서의 프레셰 도함수

D_af\colon\mathbb R\to W

는 고전적인 도함수

f'(a)

를 사용하여 다음과 같이 표현된다.^[14]

:

D_af(\Delta x)=\Delta xf'(a)

이는 실수에서 실수 바나흐 공간으로 가는 함수의 프레셰 도함수가 일반적인 도함수의 자연스러운 확장임을 보여준다.

프레셰 미분은 게토 미분과 함께, 바나흐 공간과 같은 벡터 공간 사이의 함수(사상)에 대한 미분 개념을 일반화하는 방법 중 하나이다. 이는 함수의 국소적 거동을 선형 근사로 파악하려는 미분의 기본 아이디어를 더 넓은 함수 공간으로 확장한 것이다.

8. 3. 기타

그 밖의 미분의 일반화에는 미분 연산자, 미분 대수, 두 매끄러운 다양체 사이의 미분 가능 함수 등이 있다. 특히 볼록 함수에 대해서는 하방미분이라는 일반화 방법이 사용되기도 한다.

미분 개념은 여러 다른 상황으로 확장될 수 있는데, 공통적으로 한 점에서의 함수 미분은 그 점에서 함수의 선형 근사 역할을 한다는 특징을 가진다.

복소함수로의 확장: 미분 개념은 복소수 변수를 사용하는 함수, 즉 $\mathbb{C}$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 함수로 확장될 수 있다. 복소함수의 미분은 실함수 미분 정의에서 실수 변수를 복소 변수로 대체하여 얻는다. 복소수 $z = x + iy$ 를 통해 $\mathbb{C}$ 를 $\mathbb{R}^2$ 와 동일시하면, $\mathbb{C}$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 복소 미분 가능한 함수는 $\mathbb{R}^2$ 에서 $\mathbb{R}^2$ 로의 (편미분이 모두 존재하는) 실 미분 가능한 함수로 볼 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 복소 미분은 실수 미분이 "복소 선형"일 때만 존재하며, 이는 편미분들이 코시-리만 방정식이라는 관계를 만족해야 함을 의미한다. 이는 정칙 함수의 중요한 특징이다.
매끄러운 다양체 간의 함수로의 확장: 미분은 매끄러운 다양체 사이의 함수(사상)로도 일반화된다. 직관적으로 다양체 $M$ 은 각 점 $x$ 근처에서 접선 공간이라는 벡터 공간으로 근사할 수 있는 공간이다(예: $\mathbb{R}^3$ 안의 매끄러운 곡면). 다양체 간의 미분 가능한 사상 $f: M \to N$ 의 점 $x \in M$ 에서의 미분(differential)은 $x$ 에서의 $M$ 의 접선 공간에서 $f(x)$ 에서의 $N$ 의 접선 공간으로 가는 선형 사상이다. 이 도함수 함수는 $M$ 의 접선 다발에서 $N$ 의 접선 다발로 가는 사상이 된다. 이 정의는 미분 기하학의 기초가 된다. (사상의 미분, 당겨올리기 참조)
벡터 공간 간의 사상으로의 확장: 바나흐 공간과 같은 벡터 공간 사이의 사상에 대해서도 미분을 정의할 수 있다. 이러한 일반화에는 게토 미분과 프레셰 미분이 포함된다.
약한 미분: 고전적인 미분은 미분 불가능한 함수가 많다는 단점이 있다. 이를 극복하기 위해 연속 함수나 다른 많은 함수들을 미분할 수 있도록 미분 개념을 확장한 것이 약한 미분이다. 이는 함수를 분포라는 더 큰 공간에 포함시키고, 함수가 "평균적으로" 미분 가능하도록 요구하는 방식이다.
대수학적 확장: 미분의 속성은 대수학과 위상수학에서 유사한 객체들의 도입과 연구에 영감을 주었다. 예를 들어, 환, 아이디얼, 체 등 추상 대수학의 대상들에 대해 정의되는 미분 연산이나 미분환 등을 다루는 미분 대수가 있다.
이산적 대응물: 미분의 이산적인 형태는 유한 차분이다. 미분 계산과 유한 차분 계산은 시간 척도 미적분학에서 통합적으로 다루어진다.
산술 미분: 소인수분해를 기반으로 정수에 대해 정의되는 함수로, 곱 규칙과 유사한 성질을 가진다.

9. 역사

미분적분학의 개념은 고대까지 거슬러 올라간다. 고대 그리스의 크니도스의 에우독소스와 아르키메데스, 중국의 유휘 등은 대상을 잘게 나누어 더하는 과정을 극한으로 보내 무한대와 무한소를 다루며 원주율을 계산하거나 구와 원기둥의 부피를 구하는 등 미분적분학의 초기 아이디어를 활용했다.^[15] 14세기 인도 수학자 마다바(Mādhava of Sañgamāgrama)와 케랄라 학파(Kerala school of astronomy and mathematics)는 테일러 급수, 무한급수의 근사법, 수렴에 대한 적분판정법, 초기 형태의 미분, 비선형 방정식 풀이법, 곡선 아래 면적이 적분값과 같다는 이론 등 미적분학의 여러 중요 요소들을 발전시켰다.

17세기에는 유럽 수학자들이 미분 개념을 더욱 발전시켰다. 프랑스 수학자 피에르 드 페르마는 무한소를 다루는 개념을 도입하여 함수의 미분을 계산하고, 이를 통해 함수의 극대점과 극소점을 찾는 방법을 개발했다. 이탈리아의 수학자 에반젤리스타 토리첼리는 무한히 작은 양인 무한소 개념을 사용하여 포물선 일부 구간의 면적을 구하는 방법을 제시했으며, 거리와 속도의 관계, 넓이를 구하는 문제와 접선을 구하는 문제가 서로 역관계에 있다는 사실을 밝혀냈다.^[16]

미적분학의 기본정리는 아일랜드 수학자 제임스 그레고리가 처음 증명을 출판했고, 영국 수학자 아이작 배로가 더 일반적인 경우를 증명했다. 무한소 미적분과 유한차 미적분을 통합하는 두 번째 미적분학의 기본정리는 존 월리스, 아이작 배로, 제임스 그레고리 등에 의해 1670년경 완성됐다.

아이작 뉴턴은 변화량의 순간변화율이 곡선의 접선과 같다는 점을 발견하였다.

아이작 뉴턴과 라이프니츠는 각자 독자적인 방식으로 미분적분학을 체계화했다. 뉴턴은 물리학 연구를 바탕으로 기하학적 관점에서 순간적인 변화율을 구하는 방법을 '유율법'(fluxion^영어)이라 불렀고, 이를 곡선의 접선과 곡률 문제에 적용했다. 그는 함수 위에 점을 찍어 도함수를 표기하는 방식을 사용했는데, 예를 들어 1계 도함수는 점 하나(

\dot y

), 2계 도함수는 점 두 개(

\ddot y

)로 나타냈다. 이 표기법은 주로 물리학에서 시간에 대한 미분을 나타낼 때 쓰인다. 뉴턴은 자신의 연구 결과를 1687년 출판된 《자연철학의 수학적 원리》에서 발표했다.

한편, 라이프니츠는 함수

f(x)

에서 변수

x

가 무한히 작은 변화량, 즉 미분(differential^영어)만큼 변할 때 함수값

f(x)

가 얼마나 변하는지를 계산하는 방식으로 미분을 다루었다. 그는 1677년 무렵 미분 계산법과 오늘날 널리 사용되는

\frac{dy}{dx}

와 같은 표기법을 완성했다. 현대 수학에서는 계산과 표기가 더 편리한 라이프니츠의 방식이 주로 사용된다.^[13]

미분적분학의 발견 우선권을 두고 뉴턴과 라이프니츠는 오랫동안 격렬한 논쟁을 벌였다. 각자 상대방이 자신의 아이디어를 도용했다고 주장했으며, 이 논쟁은 유럽 수학계를 양분시키는 결과를 낳았다. 라이프니츠가 사망한 뒤에도 논쟁은 계속되었다. 오늘날 학계에서는 뉴턴과 라이프니츠가 서로 영향을 받지 않고 각자 독립적으로 미분적분학을 발견하고 발전시킨 것으로 평가한다.^[13]

9. 1. 어원

'미분(微分)'이란 말은 '작게 자른다'는 뜻이다. 이 용어가 근대에 처음 사용된 문헌은 1859년 중국에서 출판된 책으로 알려져 있다. 당시 중국의 수학자 이선란과 영국 선교사 Alexander Wylie|알렉산더 와일리^영어가 미국의 수학자 Elias Loomis|엘리어스 루미스^영어의 저서 ''Elements of Analytical Geometry and of Differential and Integral Calculus'' (1835년 원작)를 번역하여 《대미적습급(代微積拾級)》이라는 제목으로 출판하면서 '미분'과 '적분'이라는 용어를 만들었다. 이 용어는 '작은 것을 쌓아 큰 것을 이룬다'는 뜻의 고대 성어 '적미치저(積微致著)'에서 따온 것으로 추측된다.

한편, 영국의 중국학자 조지프 니덤은 그의 저서 《Science and Civilisation in China|중국의 과학과 문명^영어》에서 이미 11세기 중국에서 '미분'이라는 용어가 사용되었다고 주장하기도 했다.^[17]

참조

_[9] 서적 쉬운 미분·적분학 숭실대학교출판부 2008
_[10] 서적 수학을 다시 시작하는 책 자음과 모음 2001
_[11] 서적 현대토목수학 동화기술 2010
_[12] 서적 미분적분학 학문사 1998
_[13] 서적 오일러가 사랑한 수 e 경문사 2000
_[14] 서적 Differential Calculus Houghton Mifflin Co 1971
_[15] 서적 아르키메데스 경문사
_[16] 서적 수학자들의 전쟁 프로네시스 2007
_[17] 서적 근대 중국의 언어와 역사 소명출판 2005

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