합성수
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1. 개요
합성수는 2개 이상의 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 자연수를 의미한다. 모든 합성수는 소수들의 곱으로 표현할 수 있으며, 약수는 3개 이상이다. 합성수는 소인수의 개수, 약수의 개수, 소인수의 크기 등 다양한 기준으로 분류할 수 있으며, 100보다 작은 합성수 예시가 존재한다. 4 이상의 모든 짝수는 합성수이며, 6 이상의 합성수 n에 대해 (n-1)! ≡ 0 (mod n)이다. 끈 이론에서는 라그랑지언 계산에 합성수를 사용한다.
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소수는 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 1보다 큰 자연수이며, 무한히 많고 정수론의 기본 정리에서 중요한 역할을 하며 다양한 분야에 응용된다.
| 합성수 | |
|---|---|
| 정의 | |
| 수학 | 1과 자기 자신 이외의 양의 약수를 갖는 정수 |
| 조건 | 1은 아니다. 소수가 아니다. |
| 예시 | |
| 4부터 10까지의 합성수 | 4, 6, 8, 9, 10 |
| 개수 | |
| 1부터 n까지의 합성수 개수 | n - π(n) - 1 (단, π(n)은 n보다 작거나 같은 소수의 개수) |
| 성질 | |
| 홀수 합성수 | 두 개 이상의 소수의 곱으로 표현 가능 |
| 완전제곱수 | 대부분 합성수 (단, 1은 예외) |
| 소수 판별 | 합성수 판별에 사용 가능 (페르마의 소정리) |
2. 정의 및 기본 성질
합성수는 2개 이상의 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 자연수이다. 예를 들어, 15는 3 × 5로 표현되므로 합성수이다. 합성수는 최소 3개 이상의 약수를 가지며, 4는 가장 작은 합성수이고, 합성수는 무수히 많다.
100보다 작은 합성수는 다음과 같다.
: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, …
소수를 제곱한 수는 1개의 소인수만 가지지만, 9 = 3×3과 같이 2개의 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 합성수이다. 이러한 수는 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361... 순이다.
합성수는 "소수가 아닌 자연수"라고 생각할 수 있다. 단, 1은 합성수나 소수가 아니다. 자연수에 0을 포함하는 경우에는 0도 합성수나 소수가 아니다. 다시 말해, "1과 소수와 합성수로 자연수가 구성된다"라고도 볼 수 있다.
2. 1. 소인수분해
모든 합성수는 소수들만의 곱으로 나타낼 수 있으며, 이것을 ‘소인수분해’라고 한다. 그리고 같은 소인수가 여러 번 곱해졌을 경우에는 거듭제곱으로 나타낸다. 예를 들어, 6은 으로 소인수분해가 되기 때문에 6은 합성수가 된다. 합성수는 무수히 많이 있으며, 가장 작은 합성수는 4다.합성수를 소인수분해한 결과에서 소인수가 곱해진 지수가 모두 1이라면 그 수의 약수는 모두 유니타리 약수이다. 예를 들어 30은 2×3×5로 소인수분해 되는데, 각 소인수가 모두 한 번씩 곱해지므로 30의 약수 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30은 모두 30의 유니타리 약수이다.
2. 2. 약수
합성수는 1과 자기 자신 외에 적어도 하나의 약수를 더 가진다. 약수의 개수는 소인수분해를 통해 구할 수 있다. 각 소인수의 지수에 1을 더한 값들을 모두 곱하면 된다. 예를 들어 6은 으로 소인수분해가 되기 때문에 6은 합성수가 된다.n과 d가 서로 약수와 배수의 관계이고, n÷d의 결과가 d와 서로소인 경우는 유니타리 약수라고 하며, 개수는 소인수의 개수에 따라 2의 소인수의 개수 제곱이다. 그러므로 유니타리 약수가 2의 n제곱 개인 자연수는 소인수가 n개 있으면 되고, 유니타리 약수가 2의 n제곱 개인 최소의 자연수는 가장 작은 소수부터 차례대로 곱한 값이다. 또한 합성수를 소인수분해한 결과의 소인수가 곱해진 지수가 모두 1이라면 자연수 n의 약수는 모두 유니타리 약수다. 예를 들어 30의 경우 소인수 분해 형식이 2×3×5로, 각 소인수가 모두 한 번씩 곱해지므로 30의 약수 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30은 모두 30의 유니타리 약수다. 서로 곱해진 소인수의 지수가 중복되어 곱해지지 않아서 서로소가 가능하기 때문이다.
예를 들어, 15는 1과 15 자신 이외에 3과 5를 약수로 가지므로 합성수이다.
3. 합성수의 종류
합성수는 소인수의 개수, 약수의 개수, 소인수의 크기 등 다양한 기준으로 분류할 수 있다.
합성수를 분류하는 방법 중 하나는 약수의 개수를 세는 것이다. 모든 합성수는 최소 세 개의 약수를 가진다. 소수의 제곱의 경우, 그 약수는 이다.
합성수는 "직사각형 수"라고도 불리지만, 이 이름은 두 개의 연속된 정수의 곱인 프라닉 수를 가리키기도 한다.
또 다른 분류 방법은 모든 소인수가 고정된 (소수) 숫자보다 모두 작거나 모두 큰지 여부를 따지는 것이다. 이러한 숫자를 각각 매끄러운 수와 거친 수라고 한다.
3. 1. 소인수 개수에 따른 분류
세미 소수 또는 2-거의 소수는 두 개의 소인수를 가진 합성수이다. 이때 소인수는 서로 다를 필요가 없으므로 소수의 제곱도 포함된다. 세 개의 서로 다른 소인수를 가진 합성수는 쐐기수이다.일부 응용 분야에서는 서로 다른 소인수의 개수가 홀수인 합성수와 짝수인 합성수를 구별해야 한다. 뫼비우스 함수 μ(n)를 이용하면, 소인수의 개수가 짝수인 합성수의 경우 μ(n) = 1, 홀수인 경우 μ(n) = -1이다. 소수의 경우 μ(n) = -1이며, 1은 μ(n) = 1이다.
하나 이상의 반복되는 소인수를 가진 숫자 n의 경우, μ(n) = 0이다.
숫자의 소인수가 모두 반복되면 강력수라고 한다. (모든 완전 거듭제곱은 강력수이다.) 소인수 중 반복되는 것이 없으면 제곱 없는 정수라고 한다. (모든 소수와 1은 제곱 없는 정수이다.)
예를 들어, 72 = 23 × 32인데 모든 소인수가 반복되므로 72는 강력수이다. 42 = 2 × 3 × 7인데 소인수 중 반복되는 것이 없으므로 42는 제곱 없는 정수이다.
3. 2. 약수 개수에 따른 분류
합성수는 약수의 개수에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.
- '''과잉 합성수''': 자기 자신보다 작은 모든 자연수보다 더 많은 약수를 가지는 합성수이다. (하지만 처음 두 숫자는 1과 2이다).
- '''강력수''': 모든 소인수가 반복되는 합성수이다. 모든 완전 거듭제곱은 강력수이다. 예를 들어 72 = 23 × 32인데, 모든 소인수가 반복되므로 72는 강력수이다.
- '''제곱 없는 정수''': 소인수 중 반복되는 것이 없는 합성수이다. 모든 소수와 1은 제곱 없는 정수이다. 예를 들어 42 = 2 × 3 × 7인데, 소인수 중 반복되는 것이 없으므로 42는 제곱 없는 정수이다.
200보다 작은 합성수 중 소인수에 거듭제곱이 없는 수는 다음과 같다.
6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 30, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 66, 69, 70, 74, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 102, 105, 106, 110, 111, 114, 115, 118, 119, 122, 123, 129, 130, 133, 134, 138, 141, 142, 143, 145, 146, 154, 155, 158, 159, 161, 165, 166, 170, 174, 177, 178, 182, 183, 185, 186, 187, 190, 194, 195, …
모든 합성수는 최소 세 개의 약수를 가진다. 소수의 제곱의 경우, 이러한 약수는 이다.
3. 3. 소인수 크기에 따른 분류
합성수는 모든 소인수가 특정 소수보다 작은지 또는 큰지에 따라 분류할 수 있다. 소인수가 모두 특정 값보다 작은 합성수를 매끄러운 수라 하고, 소인수가 모두 특정 값보다 큰 합성수를 거친 수라고 한다.4. 합성수의 예시
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99 등은 합성수이다. 예를 들어 15는 1과 15 자신 이외에 3과 5를 약수로 가지므로 합성수이다. 가장 작은 합성수는 4이다. 소수를 제곱한 수는 소인수를 1개만 가지지만, 9 = 3×3과 같이 2개의 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 합성수이다.
4. 1. 제곱 인수가 없는 합성수
200보다 작은 합성수 중 소인수에 거듭제곱이 없는 수는 다음과 같다.6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 30, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 66, 69, 70, 74, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 102, 105, 106, 110, 111, 114, 115, 118, 119, 122, 123, 129, 130, 133, 134, 138, 141, 142, 143, 145, 146, 154, 155, 158, 159, 161, 165, 166, 170, 174, 177, 178, 182, 183, 185, 186, 187, 190, 194, 195, …
5. 수학적 성질
- 4 이상의 모든 짝수는 합성수이다. 6 이상의 모든 짝수는 최소 4개의 약수를 가진다.
- 6 이상의 수에서는 일의 자리가 0, 2, 4, 5, 6, 8이면 모두 합성수이다.
- 10 이상의 수에서 자릿수 합이 3의 배수가 되는 수 (21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69, 81, 87, 93, 99 등)는 모두 합성수이다.
- 6 ≦ ''n'' 인 합성수 ''n''은 식을 만족한다. (윌슨의 정리)
- 합성수는 적어도 3개의 약수를 가진다. 또한 소수의 제곱 이외의 합성수는 최소 4개의 약수를 가진다. 최소 개수의 약수를 갖는 합성수는 소수 ''p''를 제곱한 ''p''2이며, 1, ''p'', ''p''2의 3개가 그 약수이다.
- 세 번째 이후의 다각수는 합성수이다. 또한 완전수와 과잉수도 모두 합성수이다.
- 임의의 자연수 ''n''에 대해, 연속하는 ''n''개의 합성수를 자연수열에서 꺼낼 수 있다.
- * (''n'' + 1)! + 2, (''n'' + 1)! + 3, …, (''n'' + 1)! + (''n'' + 1)은 연속하는 ''n''개의 합성수이다.
- 10진법에서는 8 이상의 하샤드 수는 모두 합성수이다. 또한 8 이상이고 레피유닛 수가 아닌 주커만 수도 모두 합성수이다.
6. 끈 이론과의 관련성
끈 이론에서는 라그랑지언을 계산할 때 합성수를 사용한다.
주로 사용되는 합성수는 2의 거듭제곱인 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512이다. 이는 끈 이론에서 유니터리를 설명하고 10차원을 유도하는 데 사용된다.
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