쌍대성

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1. 개요
2. 기하학에서의 쌍대성
3. 해석학에서의 쌍대성
- 3.1. 푸리에 변환
- 3.2. 기타 해석적 쌍대성 (추가)
4. 선형대수학에서의 쌍대성
- 4.1. 쌍대 벡터 공간
- 4.2. 내적 공간
5. 순서론에서의 쌍대성
6. 논리학 및 집합론에서의 쌍대성
- 6.1. 논리 연산의 쌍대성
- 6.2. 집합 연산의 쌍대성
7. 범주론에서의 쌍대성
8. 대수기하학에서의 쌍대성
- 8.1. 아핀 스킴 쌍대성
- 8.2. 세르 쌍대성, 베르디에 쌍대성 (추가)
9. 위상수학에서의 쌍대성
- 9.1. 푸앵카레 쌍대성
- 9.2. 알렉산더 쌍대성 (추가)
10. 갈루아 이론과 산술에서의 쌍대성
- 10.1. 갈루아 이론의 기본 정리
11. 폰트랴긴 쌍대성
- 11.1. 문자군
- 11.2. 폰트랴긴 쌍대성 정리
참조

1. 개요

쌍대성은 수학 전반에서 나타나는 중요한 개념으로, 두 대상 간의 관계를 역전시키는 변환을 의미한다. 기하학에서는 다면체의 꼭짓점과 면을 교환하는 쌍대 다면체, 원뿔의 쌍대 원뿔, 평면 그래프와 쌍대 그래프, 그리고 사영 기하학에서 점과 선의 역할을 바꾸는 변환 등이 있다. 해석학에서는 푸리에 변환과 역 푸리에 변환, 라플라스 변환, 르장드르 변환과 같이 함수와 연산자 사이의 쌍대성이 나타난다.

선형대수학에서는 벡터 공간과 쌍대 벡터 공간, 내적 공간의 쌍선형 형식 등이 쌍대성으로 연결되며, 순서론에서는 부분 순서 집합의 이중 포셋, 집합의 포함 관계, 격자 이론에서의 쌍대성이 존재한다. 논리학과 집합론에서는 양화사, 논리 연산, 집합 연산 간의 쌍대성이 나타나며, 범주론에서는 반대 범주, 수반 함자, 겔판트 쌍대성 등이 중요한 역할을 한다. 위상수학에서는 푸앵카레 쌍대성이 코호몰로지 간의 관계를 설명하며, 갈루아 이론에서는 갈루아 확대체와 갈루아 군 사이의 쌍대성이, 폰트랴긴 쌍대성은 국소 콤팩트 아벨 군의 쌍대성을 제공한다. 이러한 다양한 분야에서의 쌍대성은 수학적 구조와 관계를 이해하는 데 중요한 도구로 활용된다.

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쌍대성

2. 기하학에서의 쌍대성

마이클 아티야는 수학에서 쌍대성이 정리라기보다는 "원리"라고 말했다.^[5]

다음 예시들은 여러 쌍대성의 공통적인 특징을 보여주지만, 쌍대성의 정확한 의미는 경우에 따라 다를 수 있음을 나타낸다.

선형대수학에서 쌍대성의 중요한 예는 임의의 벡터 공간에 그 쌍대 벡터 공간을 연관시키는 것이다. 쌍대 벡터 공간의 원소는 $\varphi: V \to K$ 형태의 선형 범함수이며, 여기서 $K$ 는 $V$ 가 정의된 체이다.

쌍대 원뿔의 세 가지 속성은 $\mathbb R^2$ 의 부분 집합을 벡터 공간으로, 이러한 부분 집합의 포함 관계를 선형 사상으로 대체하여 이 유형의 쌍대성으로 이전된다. 즉:

쌍대 벡터 공간을 두 번 취하는 연산을 적용하면 다른 벡터 공간 $V^{$ }이 생성된다. 항상 사상 $V \to V^{$ }이 존재한다. 일부 $V$ , 즉 정확히 유한 차원 벡터 공간의 경우, 이 사상은 동형 사상이다.
선형 사상 $V \to W$ 는 반대 방향의 사상 $W^* \to V^*$ 로 이어진다.
두 개의 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 가 주어지면, $V$ 에서 $W^*$ 로의 사상은 $W$ 에서 $V^*$ 로의 사상에 해당한다.

이 쌍대성의 특징 중 하나는

V

와

V^*

가 특정 대상, 즉 유한 차원 벡터 공간의 경우 동형이라는 것이다. 그러나 이것은 어떤 의미에서는 우연의 일치인데, 이러한 동형 사상을 제공하려면 특정 선택, 예를 들어

V

의 기저 선택이 필요하기 때문이다. 이것은

V

가 힐베르트 공간인 경우, 리스 표현 정리를 통해서도 사실이다.

입방체와 그 쌍대 다면체인 팔면체의 특징은 차원이 반전되어 일대일로 대응된다.

기하학적 또는 위상수학적 대상이 동일한 유형의 다른 대상에 대응되지만 대상의 특징의 차원이 반전되는, 상호 관련된 많은 고유한 쌍대성이 존재한다. 이에 대한 고전적인 예는 정다면체의 쌍대성이다.

모든 3차원 다면체에서 꼭짓점과 모서리의 그래프인 평면 그래프를 형성할 수 있다. 쌍대 다면체는 쌍대 그래프를 가지는데, 이는 다면체의 각 면에 대해 하나의 꼭짓점을 가지고, 인접한 두 면마다 하나의 모서리를 갖는 그래프이다. 평면 그래프 쌍대성의 개념은 평면에 그려지지만 3차원 다면체에서 유래하지 않은 그래프, 또는 더 일반적으로 고차 종의 표면에 대한 그래프 임베딩으로 일반화될 수 있다. 임베딩에서 모서리의 주기에 의해 경계가 정해진 각 영역 내에 하나의 꼭짓점을 배치하고, 경계 모서리를 공유하는 두 영역을 연결하는 모서리를 그려 쌍대 그래프를 그릴 수 있다. 이러한 유형의 중요한 예는 계산 기하학에서 나온다. 즉, 평면의 유한 집합

S

에 대한

S

의 들로네 삼각 분할과

S

의 보로노이 다이어그램 사이의 쌍대성이다. 쌍대 다면체 및 쌍대 다포체와 마찬가지로, 표면의 그래프 쌍대성은 차원 반전 대합이다. 원본 임베딩 그래프의 각 꼭짓점은 쌍대 임베딩의 영역에 해당하고, 원본의 각 모서리는 쌍대의 모서리에 의해 교차되며, 원본의 각 영역은 쌍대의 꼭짓점에 해당한다. 쌍대 그래프는 원본 그래프가 어떻게 임베딩되는지에 따라 달라진다. 단일 그래프의 서로 다른 평면 임베딩은 서로 다른 쌍대 그래프로 이어질 수 있다. 매트로이드 쌍대성은 평면 그래프의 쌍대성을 대수적으로 확장한 것으로, 평면 그래프의 그래픽 매트로이드의 쌍대 매트로이드는 쌍대 그래프의 그래픽 매트로이드와 동형이다.

일종의 기하학적 쌍대성은 최적화 이론에서도 발생하지만, 차원을 반전시키는 것은 아니다. 선형 계획법은 실수 변수 시스템(유클리드 공간

\mathbb R^n

의 점의 좌표), 선형 제약 조건 시스템(점이 반공간에 놓이도록 지정, 이러한 반공간의 교차점은 프로그램의 실행 가능한 영역인 볼록 다포체), 그리고 선형 함수(최적화 대상)로 지정될 수 있다. 모든 선형 계획법은 동일한 최적 솔루션을 갖는 쌍대 문제를 가지지만, 쌍대 문제의 변수는 원본 문제의 제약 조건에 해당하고 그 반대도 마찬가지이다.

2. 1. 다면체 쌍대성

주어진 다면체의 쌍대다면체는 그 다면체의 꼭짓점을 면으로, 면을 꼭짓점으로 대응시킨 것이다.^[8]

2. 2. 쌍대 원뿔

기하학에서 쌍대성은 쌍대 원뿔 구성에 의해 제공된다. 평면

\mathbb R^2

(또는 더 일반적으로

\mathbb R^n

의 점들)의 점 집합

C

가 주어지면, 쌍대 원뿔은

C^* \subseteq \mathbb R^2

집합으로 정의되며, 다음을 만족하는 점

(x_1, x_2)

로 구성된다.

x_1 c_1 + x_2 c_2 \ge 0

그림에서 설명된 바와 같이,

C

의 모든 점

(c_1, c_2)

에 대해 성립한다.

쌍대 원뿔 구성을 두 번 적용하면 원래의 집합

C

가 반환되는 것은 일반적으로 사실이 아니다. 대신,

C^{**}

는

C

를 포함하는 가장 작은 원뿔^[8]이며,

C

보다 클 수 있다. 따라서 이 쌍대성은 다음에서 알 수 있듯이, 위의 쌍대성보다 약하다.

연산을 두 번 적용하면 아마도 더 큰 집합이 반환된다: 모든 $C$ 에 대해, $C$ 는 $C^{**}$ 에 포함된다. (일부 $C$ , 즉 원뿔의 경우, 둘은 실제로 같다.)
포함 관계 $C \subseteq D$ 가 반대 방향의 포함 관계 ( $D^* \subseteq C^*$ )로 변환된다.
평면의 두 부분 집합 $C$ 와 $D$ 가 주어지면, $C$ 가 $D^*$ 에 포함되는 것은 $D$ 가 $C^*$ 에 포함되는 경우와 같다.

2. 3. 사영 기하학에서의 쌍대성

완전 사변형(왼쪽)은 사영 평면 상에서 네 점과 여섯 개의 선으로 이루어진 도형이며, 그 쌍대 도형은 완전 사각형(오른쪽)으로 네 개의 선과 여섯 개의 점으로 이루어져 있다.

일부 사영 평면에서는 점과 선의 관계를 유지하면서, 각 점을 선으로, 각 선을 점으로 사상하는 기하학적 변환을 찾을 수 있다.^[11] 이러한 평면에서는 사영 기하학의 쌍대성 원리가 성립한다. 즉, 평면 사영 기하학에서 어떤 정리가 주어지면, "점"과 "선"이라는 용어를 서로 바꾸어도 똑같이 유효한 새로운 정리가 된다.^[12] 예를 들어 "두 점은 이 점들을 지나는 유일한 선을 결정한다"는 명제의 쌍대 명제는 "두 선은 두 선의 교차점인 유일한 점을 결정한다"가 된다. 더 많은 예시는 쌍대 정리에서 확인할 수 있다.

이러한 현상에 대한 개념적 설명은 쌍대 벡터 공간을 통해 일부 평면(특히 체 평면)에서 가능하다. 사영 평면

\mathbb{RP}^2

의 점은 1차원 부분 벡터 공간

V \subset \mathbb R^3

에 해당하고,^[13] 사영 평면의 선은 2차원 부분 벡터 공간

W

에 해당한다. 사영 기하학의 쌍대성은 1차원

V

에

(\mathbb R^3)^*

의 부분 공간을 할당함으로써 발생한다. 이 부분 공간은

f(V) = 0

을 만족하는 선형 사상

f: \mathbb R^3 \to \mathbb R

로 구성된다. 선형대수학의 차원 공식에 따라 이 공간은 2차원이 되므로,

(\mathbb R^3)^*

와 관련된 사영 평면의 선에 해당한다.

다음과 같은 (양의 정부호) 쌍선형 형식을 통해

\langle \cdot , \cdot \rangle : \R^3 \times \R^3 \to \R, \langle x , y \rangle = \sum_{i=1}^3 x_i y_i

이 사영 평면을

\mathbb{RP}^2

와 동일시할 수 있다. 구체적으로, 쌍대성은

V \subset \mathbb R^3

에 그 직교 여공간

\left\{w \in \R^3, \langle v, w \rangle = 0 \text{ for all } v \in V\right\}

을 할당하는 방식으로 이루어진다. 사영 기하학의 쌍대성의 명시적 공식은 이러한 동일시를 통해 얻을 수 있다.

3. 해석학에서의 쌍대성

해석학에서 나타나는 쌍대성의 대표적인 예시는 푸리에 변환이다. 푸리에 변환은 함수와 그 쌍대 공간 사이를 전환하며, 곱셈을 합성곱으로, 합성곱을 곱셈으로 바꾸는 성질을 가진다. 이 외에도 라플라스 변환은 다항식 곱셈과 상수 계수 선형 미분 연산자를 서로 바꾸고, 르장드르 변환은 라그랑주 역학의 속도와 해밀턴 역학의 운동량을 서로 전환한다.

3. 1. 푸리에 변환

푸리에 변환과 역푸리에 변환은 서로 쌍대 관계에 있다.

:

\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx,

:

f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i x \xi}\,d\xi.

또한

f(-x) = \hat{\hat{f}}(x)

가 성립한다. 그리고 푸리에 변환은 곱셈을 합성곱에, 합성곱을 곱셈에 대응시킨다.

해석학에서 문제는 함수와 연산자의 쌍대적 설명을 사용하여 자주 해결된다.

푸리에 변환은 벡터 공간의 함수와 그 쌍대 공간 사이를 전환한다. 푸리에 변환의 정의는 다음과 같다.

:

\widehat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi} \, dx,

그리고 역푸리에 변환은 다음과 같다.

:

f(x) = \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i x \xi} \, d\xi.

만약 ''f''가 '''R''' 또는 '''R'''^''N''의 ''L''²-함수라면,

\widehat{f}

도 그러하며

f(-x) = \widehat{\widehat{f}}(x)

이다. 또한, 변환은 해당 함수 공간에서 곱셈과 합성곱 연산을 서로 바꾼다. 푸리에 변환에 대한 개념적 설명은 앞서 언급한 폰트랴긴 쌍대성을 국소 콤팩트 군 '''R''' (또는 '''R'''^''N'' 등)에 적용하여 얻을 수 있다. '''R'''의 모든 지표는 ''ξ'' ↦ ''e''^{−2''πixξ''}에 의해 주어진다. 푸리에 변환의 이중화 특성은 양자역학 시스템을 좌표 및 운동량 표현으로 대체하는 것과 같은 다른 많은 방식으로 나타난다.

3. 2. 기타 해석적 쌍대성 (추가)

푸리에 변환은 함수와 그 쌍대 공간 사이를 전환하는 해석적 방법이다. 어떤 함수 ''f''에 대한 푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다.

:

\widehat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi} \, dx,

그리고 원래 함수 ''f''는 역변환을 통해 다음과 같이 복원할 수 있다.

:

f(x) = \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i x \xi} \, d\xi.

이 변환은 곱셈을 합성곱으로, 합성곱을 곱셈으로 바꾸는 성질을 가지며,

f(-x) = \widehat{\widehat{f}}(x)

가 성립한다.

이와 유사한 해석적 쌍대성의 예로는 다음이 있다.

라플라스 변환: 푸리에 변환과 유사하며, 다항식 곱셈을 상수 계수 선형 미분 연산자와 서로 바꾼다.
르장드르 변환: 라그랑주 역학의 속도와 해밀턴 역학의 운동량 사이를 전환한다.

4. 선형대수학에서의 쌍대성

선형대수학에서 쌍대성은 매우 중요한 개념으로, 임의의 벡터 공간에 그 쌍대 벡터 공간을 연관시키는 것에서 시작한다. 쌍대 벡터 공간의 원소는 $\varphi: V \to K$ 형태의 선형 범함수이며, 여기서 K는 V가 정의된 체이다.

쌍대 벡터 공간을 두 번 취하면 ( $V^{$ }) 원래 공간 V와 $V^{$ } 사이에는 항상 사상 $V \to V^{**}$ 이 존재하며, 유한 차원 벡터 공간에서는 이 사상이 동형 사상이 된다. 또한, 선형 사상 $V \to W$ 는 반대 방향의 사상 $W^* \to V^*$ 로 연결되며, 두 벡터 공간 V와 W에 대해 V에서 $W^*$ 로의 사상은 W에서 $V^*$ 로의 사상에 해당한다.

V가 힐베르트 공간인 경우, 리스 표현 정리를 통해 동형 사상이 존재한다.

위상 벡터 공간(노름 공간 포함)의 경우, 위상적 쌍대의 개념이 있으며, 대수적 쌍대 $V^*$ 와 구별하기 위해 $V'$ 로 표시된다. 쌍대 공간에 대한 서로 다른 가능한 위상이 있으며, 각 위상은 서로 다른 쌍대쌍대 공간 $V''$ 을 정의한다. 이러한 경우 표준 평가 사상 $V \to V''$ 은 일반적으로 동형 사상이 아니며, 만약 그렇다면 (강한 쌍대 공간 위상을 가진 특정 국소 볼록 벡터 공간의 경우) 이를 반사 공간이라고 한다.

예시:

각 힐베르트 공간 H에서 해당 내적 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 은 다음 사상을 정의한다. $H \to H^*, v \mapsto (w \mapsto \langle w,v \rangle).$ 이는 리즈 표현 정리에 의해 전단사 함수이다.
L^p-공간의 쌍대 노름 공간은 $1/p + 1/q = 1$ 인 경우 $L^q$ 이며, $1 \le p < \infty$ 이다. 그러나 $L^\infty$ 의 쌍대는 $L^1$ 보다 크다.
분포는 적절한 함수 공간에 대한 선형 범함수이며, 편미분 방정식 (PDE) 이론에서 중요한 기술적 수단이다.^[14] $\mathcal{D}'(U)$ , $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ , $\mathcal{C}^\infty(U)'$ 와 같은 모든 표준 분포 공간은 반사적 국소 볼록 공간이다.^[15]

4. 1. 쌍대 벡터 공간

선형대수학에서 쌍대성의 중요한 예는 임의의 벡터 공간에 그 쌍대 벡터 공간을 연관시키는 것이다. ''V''의 쌍대 벡터 공간의 원소는

\varphi: V \to K

형태의 선형 범함수이며, 여기서 ''K''는 ''V''가 정의된 체이다.

쌍대 벡터 공간을 두 번 취하는 연산을 적용하면 다른 벡터 공간

V^{

}이 생성된다. 항상 사상 $V \to V^{$ }이 존재한다. 유한 차원 벡터 공간의 경우, 이 사상은 동형 사상이다.

선형 사상

V \to W

는 반대 방향의 사상

W^* \to V^*

로 이어진다.

두 개의 벡터 공간 ''V''와 ''W''가 주어지면, ''V''에서

W^*

로의 사상은 ''W''에서

V^*

로의 사상에 해당한다.

''V''와

V^*

는 유한 차원 벡터 공간의 경우 동형이다. 그러나 이러한 동형 사상을 제공하려면 ''V''의 기저 선택과 같은 특정 선택이 필요하다. ''V''가 힐베르트 공간인 경우에도 리스 표현 정리를 통해 동형 사상이 존재한다.

쌍대 벡터 공간의 구성

V^* = \operatorname{Hom}(V, K)

는 선형 사상의 집합으로, 그 자체로 벡터 공간을 형성한다. 사상

V \to V^{**}

은 항상 단사 함수이다. 이는 ''V''의 하멜 차원이 유한일 경우에만 전사 함수이며, 따라서 동형 사상이다.

벡터 공간 ''V''는

V^*

와 ''V''가 유한 차원일 때 동형이다. 이 경우, 그러한 동형 사상은 비퇴화 쌍선형 형식과 동일하다.

\varphi: V \times V \to K

이 경우 ''V''를 내적 공간이라고 한다.

예를 들어, ''K''가 실수 또는 복소수의 체인 경우, 모든 양의 정부호 쌍선형 형식은 이러한 동형 사상을 발생시킨다.

4. 2. 내적 공간

선형대수학에서 벡터 공간와 그 쌍대 벡터 공간 사이의 쌍대성은 매우 중요하다. 특히, $V$가 내적 공간인 경우, 비퇴화 쌍선형 형식

\varphi: V \times V \to K

을 통해 $V$와 $V^*$ 사이의 동형 사상이 정의된다. 여기서 $K$는 $V$가 정의된 체로, 실수나 복소수가 될 수 있다. 이 경우, 모든 양의 정부호 쌍선형 형식은 이러한 동형 사상을 유도한다.

리만 기하학에서 $V$는 다양체의 접선 공간으로, 양의 쌍선형 형식은 리만 계량으로 사용되어 각도와 거리를 측정하는 데 쓰인다. 따라서 쌍대성은 이 분야의 기초가 된다.

내적 공간의 또 다른 응용은 호지 별 연산인데, 이는 외대수의 원소 간 대응 관계를 제공한다. $n$-차원 벡터 공간에서 호지 별 연산자는 $k$-형식을 $(n-k)$-형식으로 매핑한다. 이는 맥스웰 방정식 공식화에 사용될 수 있으며, 내적 공간의 쌍대성은 자기장과 전기장의 역할을 서로 바꾼다.

5. 순서론에서의 쌍대성

순서론에서 쌍대성은 주어진 포셋(부분 순서 집합)의 순서를 뒤집어 원래의 관계와 반대되는 관계를 가지는 새로운 포셋을 만들어내는 개념이다. 이때 원래 포셋과 순서가 뒤바뀐 포셋을 서로 쌍대(Dual) 관계에 있다고 한다.

고정된 집합 의 부분 집합을 예로 들어보자. 임의의 부분 집합 에 대해, 여집합 ^[6]는 에 포함되지 않은 의 모든 원소로 구성된다. 여집합을 취하는 연산은 다음과 같은 쌍대적 성질을 갖는다:

두 번 적용하면 원래 집합으로 돌아간다. 즉, 이다.
집합의 포함 관계 는 반대 방향의 포함 관계 로 바뀐다.
의 두 부분 집합 와 가 주어질 때, 는 에 포함될 때만 가 에 포함된다.

이러한 쌍대성은 위상 수학에서 고정된 위상 공간 의 열린 집합과 닫힌 부분 집합 사이에서도 나타난다. 의 부분 집합 는 에서 그 여집합이 열린 집합일 때만 닫힌 집합이다. 예를 들어, 열린 집합들의 임의의 합집합은 열린 집합이므로, 쌍대적으로 닫힌 집합들의 임의의 교집합은 닫힌 집합이다.^[7] 집합의 내부는 그 안에 포함된 가장 큰 열린 집합이고, 집합의 폐포는 그것을 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다. 쌍대성 때문에, 임의의 집합 의 내부의 여집합은 의 여집합의 폐포와 같다.

부분 순서 집합의 개념은 이중 포셋에서 ''이중 개념''에 해당하며, 최소 원소는 최대 원소가 되는 등 여러 개념들이 쌍대적인 관계를 가진다.

5. 1. 쌍대 포셋

의 멱집합은 ⊂에 의해 부분적으로 정렬된다. 이중 포셋, 즉 ⊃에 의한 정렬은 다이어그램을 거꾸로 뒤집어 얻는다. 녹색 노드는 원래 순서와 이중 순서에서 각각 상집합과 하집합을 형성한다.

주어진 포셋(부분 순서 집합; 즉, 정렬의 개념을 가지고 있지만 두 요소가 서로 상대적으로 정렬될 필요는 없는 집합)에서, 이중 포셋은 동일한 기본 집합을 포함하지만 역관계를 갖는다. 이중 부분 순서의 익숙한 예로는 다음이 있다.

고정된 집합의 부분 집합과 같이, 집합의 모든 모음에 대한 부분집합과 상위집합 관계 및 . 이것은 위에서 언급된 쌍대성의 첫 번째 예를 낳는다.
정수에 대한 ''나누기'' 및 ''배수'' 관계.
인간 집합에 대한 ''후손''과 ''조상'' 관계.

''쌍대성 변환''은 부분 순서 집합의 자명 반대 자기동형 사상이며, 즉, 순서를 반전시키는 대합이다.^[9]^[10] 몇 가지 중요한 경우 이러한 단순한 속성은 몇 가지 간단한 대칭까지 변환을 고유하게 결정한다. 예를 들어, , 가 두 개의 쌍대성 변환이면 그들의 합성은의 순서 자기동형 사상이다; 따라서 두 개의 쌍대성 변환은 순서 자기동형 사상에 의해서만 다릅니다. 예를 들어, 멱집합의 모든 순서 자기동형 사상은의 순열에 의해 유도된다.

부분 순서에 대해 정의된 개념은 이중 포셋에서 ''이중 개념''에 해당한다. 예를 들어,의 최소 원소는의 최대 원소가 된다. 최소성과 최대성은 순서 이론에서 이중 개념이다. 다른 쌍대 개념 쌍은 상계 및 하계, 하집합과 상집합, 아이디얼 및 필터이다.

위상수학에서 열린 집합과 닫힌 집합은 이중 개념이다. 열린 집합의 여집합은 닫혀 있고 그 반대도 마찬가지이다. 매트로이드 이론에서 주어진 매트로이드의 독립 집합의 여집합족은 자체적으로 이중 매트로이드라고 하는 또 다른 매트로이드를 형성한다.

5. 2. 집합의 포함 관계

고정된 집합 의 부분 집합을 생각해 보자. 임의의 부분 집합 에 대해, 여집합 ^[6]는 에 포함되지 않은 의 모든 원소로 구성된다. 이것은 다시 의 부분 집합이 된다. 여집합을 취하는 것은 다음과 같은 성질을 가진다.

두 번 적용하면 원래 집합으로 돌아간다. 즉, 이다.
집합의 포함 관계 는 ''반대'' 방향의 포함 관계 로 바뀐다.
의 두 부분 집합 와 가 주어질 때, 는 에 포함될 때만 가 에 포함된다.

집합의 모든 모임에 대한 부분 집합과 상위 집합 관계 및 는 이러한 쌍대성의 한 예시이다.^[6]

5. 3. 격자 이론에서의 쌍대성 (추가)

주어진 포셋(부분적으로 정렬된 집합) 에서, 이중 포셋 는 동일한 기본 집합을 포함하지만 역관계를 가진다. 이중 부분 순서의 익숙한 예는 다음과 같다.

고정된 집합 의 부분 집합과 같이, 집합의 모든 모음에 대한 부분 집합과 상위 집합 관계 및 .
정수에 대한 ''나누기'' 및 ''배수'' 관계.
인간 집합에 대한 ''후손''과 ''조상'' 관계.

''쌍대성 변환''은 부분 순서 집합 의 자명 반대 자기동형 사상 이며, 즉, 순서를 반전시키는 대합 이다.^[9]^[10] 몇 가지 중요한 경우 이러한 단순한 속성은 몇 가지 간단한 대칭까지 변환을 고유하게 결정한다. 예를 들어, , 가 두 개의 쌍대성 변환이면 그들의 합성은 의 순서 자기동형 사상이다. 따라서 두 개의 쌍대성 변환은 순서 자기동형 사상에 의해서만 다르다. 예를 들어, 멱집합 의 모든 순서 자기동형 사상은 의 순열에 의해 유도된다.

부분 순서 에 대해 정의된 개념은 이중 포셋 에서 ''이중 개념''에 해당한다. 예를 들어, 의 최소 원소는 의 최대 원소가 된다. 최소성과 최대성은 순서 이론에서 이중 개념이다. 다른 쌍대 개념 쌍은 상계 및 하계, 하집합과 상집합, 아이디얼 및 필터이다.

위상수학에서 열린 집합과 닫힌 집합은 이중 개념이다. 열린 집합의 여집합은 닫혀 있고 그 반대도 마찬가지이다. 매트로이드 이론에서 주어진 매트로이드의 독립 집합의 여집합족은 자체적으로 이중 매트로이드라고 하는 또 다른 매트로이드를 형성한다.

6. 논리학 및 집합론에서의 쌍대성

논리학에서 함수 또는 관계 A와 B는 ¬A(x) = ¬B(x) 일 경우 이중으로 간주되며, 여기서 ¬는 논리 부정을 나타낸다. 이러한 유형의 기본 이중성은 고전 논리학에서 ∃와 ∀ 양화사의 이중성이다.

공식은 참으로 만드는 자유 변수에 대한 할당이 있는 경우 특정 모델에서 ''충족 가능''하다고 하며, 자유 변수에 대한 ''모든'' 할당이 참이 되게 하는 경우 ''유효''하다고 한다. 충족 가능성과 유효성은 이중적인데, 무효한 공식은 정확히 그 부정이 충족 가능한 공식이고, 충족 불가능한 공식은 그 부정이 유효한 공식이기 때문이다. 이는 양화사가 해석을 대상으로 하는 이전 항목의 특수한 경우로 볼 수 있다.

양상 논리에서 □p는 명제 p가 "필연적으로" 참임을 의미하고, ◊p는 p가 "가능하게" 참임을 의미한다. 양상 논리의 대부분의 해석은 이 두 연산자에 이중적인 의미를 부여한다. 예를 들어 크립키 의미론에서 "p가 가능하게 참"이라는 것은 "p가 참인 세계 W가 존재한다"는 의미이고, "p가 필연적으로 참"이라는 것은 "모든 세계 W에 대해 p는 W에서 참이다"라는 의미이다. 그러면 □와 ◊의 이중성은 ∀와 ∃의 유사한 이중성으로부터 따른다. 다른 이중 양상 연산자도 유사하게 동작한다. 예를 들어 시간 논리에는 "미래의 어느 시점에 참이 될 것이다"와 "미래의 모든 시점에 참이 될 것이다"를 나타내는 연산자가 있는데, 이들은 유사하게 이중적이다.

6. 1. 논리 연산의 쌍대성

고전 논리에서 존재 양화사(∃)와 전체 양화사(∀)는 서로 쌍대 관계에 있다. 이는 ∃x.¬P(x)^영어 와 ¬∀x.P(x)^영어 가 동등하다는 것을 의미한다. 즉, 어떤 술어 P에 대해 "P가 성립하지 않는 x가 존재한다"는 것은 "P가 모든 x에 대해 성립한다"는 것이 거짓이라는 것과 같다.

마찬가지로, 논리곱(∧)과 논리합(∨) 연산자도 쌍대 관계를 가진다. ¬x ∧ ¬y^영어 와 ¬(x ∨ y)^영어 는 서로 동등하다. 드 모르간의 법칙은 이러한 쌍대성의 대표적인 예시이다. 더 일반적으로, ∧ (¬ x}} 가 성립한다.

6. 2. 집합 연산의 쌍대성

집합론에서 합집합(∪)과 교집합(∩)은 여집합 연산(^∁) 하에서 쌍대성을 갖는다. 즉, ''A''^∁ ∩ ''B''^∁ = (''A'' ∪ ''B'')^∁이고, 더 일반적으로는 ⋂ ''A''_''α''^∁ = (⋃ ''A''_''α'')^∁이다. 이는 논리 연산에서 ∀와 ∃의 쌍대성으로부터 유도된다.

원소 ''x''가 ⋂ ''A''_''α''^∁의 원소인 것은 모든 ''α''에 대해 ¬''x'' ∈ ''A''_''α''인 경우이고, (⋂ ''A''_''α'')^∁의 원소인 것은 ¬∃''α''. ''x'' ∈ ''A''_''α''인 경우이다.

7. 범주론에서의 쌍대성

범주론에서 쌍대성은 한 이론의 대상과 사상을 다른 이론의 대상과 사상으로 변환하되, 사상의 방향을 반대로 하는 것을 의미한다. 이는 두 범주 ''C''와 ''D'' 사이의 반변함자 ''F'': ''C'' → ''D''로 표현될 수 있다.^[17] 이 함자는 ''C''의 임의의 두 대상 ''X''와 ''Y''에 대해 Hom_''C''(''X'', ''Y'') → Hom_''D''(''F''(''Y''), ''F''(''X''))와 같은 사상을 제공한다.

이러한 함자는 범주의 동치일 수도 있고 아닐 수도 있지만, ''C''의 반대 범주 ''C''^op와 ''D'' 사이의 동치인 경우가 있다. 이러한 쌍대성을 통해 첫 번째 이론의 모든 명제를 화살표 방향이 반전된 두 번째 이론의 "쌍대" 명제로 변환할 수 있다.^[17] 많은 경우 반대 범주는 고유한 의미를 가지지 않기 때문에 쌍대성은 별도의 개념이 된다.^[18] 자신의 쌍대 범주와 동치인 범주는 '자기 쌍대'라고 하며, 힐베르트 공간의 범주가 그 예이다.^[19]

많은 범주론적 개념은 반대 범주를 고려할 때 서로 대응된다는 의미에서 쌍으로 나타난다. 예를 들어, 집합의 데카르트 곱과 분리합집합은 서로 쌍대이다. 이는 극한이 ''C''에서 ''C''^op의 쌍극한에 대응하는 일반적인 쌍대성 현상의 특수한 경우이다. 전사 사상 대 단사 사상, 몫 가군 대 부분 가군, 직접곱 대 직합 등이 그 예시이다.

두 함자 ''F'': ''C'' → ''D''와 ''G'': ''D'' → ''C''가 모든 대상 ''c'' ∈ ''C'' 및 ''d'' ∈ ''D''에 대해 Hom_''D''(''F''(''c''), ''d'') ≅ Hom_''C''(''c'', ''G''(''d''))를 자연스럽게 만족하면 수반 함자라고 한다. 극한과 쌍극한의 대응은 수반의 예시인데, 쌍극한 함자와 대각선 함자 사이에 수반 관계가 있기 때문이다.

겔판트 쌍대성은 가환 C*-대수와 콤팩트 하우스도르프 공간 사이의 쌍대성이다.^[22] 대수기하학에서는 가환환과 아핀 스킴 사이에 쌍대성이 존재한다.^[23] 비가환 기하학은 겔판트 쌍대성에서 영감을 얻었으며, 탄나카-크레인 쌍대성은 폰트랴긴 쌍대성의 비가환적 유사체이다.^[24]

부분 순서 집합에서 발생하는 쌍대성은 갈루아 연결이라고 하며, 갈루아 이론의 표준 쌍대성이 그 예이다.^[25] 스톤 이중성은 소버 공간과 공간 로컬을 연결한다.^[25] 비르코프의 표현 정리는 분배 격자와 부분 순서를 연결한다. 폰트랴긴 쌍대성은 국소 콤팩트 아벨 군 범주에 대한 쌍대성을 제공하며, 이산군은 콤팩트 아벨 군에, 유한군은 유한군에 대응된다.^[26]

7. 1. 반대 범주

범주론에서, 한 이론의 대상이 다른 이론의 대상으로 변환되고, 첫 번째 이론의 대상 간의 사상(morphism)은 두 번째 이론의 사상으로 변환되지만 방향이 반전되는 경우가 있다. 이는 두 범주 ''C''와 ''D'' 사이의 반변함자와 같다.^[17]

: ''F'': ''C'' → ''D''

이는 ''C''의 임의의 두 대상 ''X''와 ''Y''에 대해 다음 사상을 제공한다.

: Hom_''C''(''X'', ''Y'') → Hom_''D''(''F''(''Y''), ''F''(''X''))

이 함자는 범주의 동치일 수도 있고 아닐 수도 있다. 어떤 경우에는 이 함자가 ''C''의 반대 범주 ''C''^op와 ''D'' 사이의 동치가 되기도 한다. 이러한 유형의 쌍대성을 사용하면 첫 번째 이론의 모든 명제를 두 번째 이론의 "쌍대" 명제로 변환할 수 있으며, 여기서 모든 화살표의 방향이 반전된다.^[17] 따라서, 범주 ''C''와 ''D'' 사이의 임의의 쌍대성은 형식적으로 ''C''와 ''D''^op (''C''^op 및 ''D'') 사이의 동치와 동일하다. 그러나 많은 경우 반대 범주는 고유한 의미를 갖지 않으므로 쌍대성은 추가적이고 별도의 개념이 된다.^[18]

자신의 쌍대 범주와 동치인 범주를 ''자기 쌍대''라고 한다. 자기 쌍대 범주의 예는 힐베르트 공간의 범주이다.^[19]

7. 2. 수반 함자

범주론에서 수반 함자(adjoint functor)는 두 범주 사이의 관계를 설명하는 중요한 개념이다. 극한(limit)과 쌍극한(colimit)의 대응 관계는 수반 함자의 대표적인 예시이다.

극한과 쌍대극한의 수반 관계:

범주 ''C''와 어떤 범주 ''I''에 대해, 쌍대극한 함자 colim은 ''C''^''I''에서 ''C''로 가는 함자이며, 대각선 함자 Δ: ''C'' → ''C''^''I'' (''C''의 대상 ''c''를 모든 위치에서 ''c''를 갖는 상수 다이어그램에 매핑)와 다음과 같은 수반 관계를 갖는다.^[17]

: colim: ''C''^''I'' ↔ ''C'': Δ

쌍대적으로, 극한 함자 lim은 대각선 함자 Δ와 다음과 같은 수반 관계를 갖는다.^[18]

: Δ: ''C'' ↔ ''C''^''I'': lim

구체적인 예시:
전사 사상과 단사 사상
몫 가군 (또는 몫군)과 부분 가군
직접곱과 쌍대곱 (직합)
호몰로지 대수학의 사영 가군과 단사 가군^[20]
위상수학의 올공간과 코올공간^[21]

이러한 예시들은 모두 수반 함자의 일반적인 틀 안에서 설명될 수 있다. 예를 들어, 몫 가군은 부분 가군에 대응하는 쌍대극한으로, 직접곱은 쌍대곱에 대응하는 극한으로 이해할 수 있다.

7. 3. 겔판트 쌍대성, 스톤 쌍대성 (추가)

겔판트 쌍대성은 가환 C*-대수 ''A''와 콤팩트 하우스도르프 공간 ''X'' 사이의 쌍대성이다. 이는 ''X''에서 '''C''' (복소수)로의 연속 함수 공간 (무한대에서 사라짐)을 ''X''에 할당하는 것이다. 반대로, 공간 ''X''는 ''A''의 스펙트럼으로 ''A''로부터 재구성될 수 있다. 겔판트 쌍대성과 폰트랴긴 쌍대성은 대부분 형식적인 범주론적 방식으로 추론될 수 있다.^[22]

스톤 이중성으로 알려진 이중성은 소버 공간과 공간 로컬을 연결한다. 위상 공간 ''X''의 모든 열린 부분 집합의 모음은 완비 헤이팅 대수를 형성한다.^[25]

8. 대수기하학에서의 쌍대성

분리 가능한 닫힌 체 위의 매끄러운 사영 대수다양체에 '''Q'''_ℓ-계수를 사용하는 경우, 베르디에 쌍대성과 세르 쌍대성(또는 코히어런트 쌍대성)과 같은 쌍대성 패턴이 나타난다. 베르디에 쌍대성은 특이점이 있을 수 있는 특이 다양체에서 교차 코호몰로지를 사용하는 방식으로 일반화되며, 세르 쌍대성은 코히어런트 층의 코호몰로지에 적용된다.^[28]^[29]^[30]

이러한 쌍대성들은 유도 범주와 특정 층의 직접 및 역 이미지 함자(푸앵카레 쌍대성의 경우 다양체에 대한 고전적인 해석적 위상, 두 번째 경우 l-아디 층 및 에탈 위상, 코히어런트 쌍대성의 경우 코히어런트 층을 사용하여)를 사용하여 현대적으로 공식화할 수 있다. 이를 이해하기 위해서는 더 많은 기술적 배경지식이 필요하다.^[30]

산술에서는 유한체, 국소체, 전역체의 에탈 코호몰로지(또는 갈루아 군의 군 코호몰로지와 동등한 갈루아 코호몰로지)에서 유사한 쌍대성 명제들이 나타난다. 유한체의 절대 갈루아 군 ''G''('''F'''_''q'')은 정수의 프로유한 완비화인 $\widehat {\mathbf Z}$ 와 동형이며, 모든 ''G''-가군 ''M''에 대해 완벽한 페어링 H^''n''(''G'', ''M'') × H^1−''n'' (''G'', Hom (''M'', '''Q'''/'''Z''')) → '''Q'''/'''Z'''^[31]은 유한군의 폰트랴긴 쌍대성의 직접적인 결과이다. 국소체 및 전역체의 경우 국소 테이트 쌍대성 및 푸아투-테이트 쌍대성과 같은 유사한 명제가 존재한다.^[32]

8. 1. 아핀 스킴 쌍대성

가환환과 아핀 스킴 사이에는 쌍대성이 존재한다. 이는 환 준동형 사상과 아핀 스킴 사이의 사상에 대응하는 관계를 갖는다. 이러한 관계를 통해 가환대수학은 스킴의 국소 이론과 같다는 것을 알 수 있다.^[28]

8. 2. 세르 쌍대성, 베르디에 쌍대성 (추가)

분리 가능한 닫힌 체 위의 매끄러운 사영 대수다양체에 '''Q'''_ℓ-계수를 사용하면 동일한 쌍대성 패턴이 나타난다.^[28] 이는 특이점이 있을 수 있는 특이 다양체로 일반화되어 교차 코호몰로지를 사용하는데, 이를 베르디에 쌍대성이라고 한다.^[29] 세르 쌍대성 또는 코히어런트 쌍대성은 위의 명제와 유사하지만, 코히어런트 층의 코호몰로지에 적용된다.^[30]

이러한 정리들을 더 잘 이해하려면 더 많은 기술적 배경지식이 필요하다. 이러한 쌍대성의 현대적인 공식화는 유도 범주와 특정 층의 직접 및 역 이미지 함자(푸앵카레 쌍대성의 경우 다양체에 대한 고전적인 해석적 위상, 두 번째 경우 l-아디 층 및 에탈 위상, 코히어런트 쌍대성의 경우 코히어런트 층을 사용하여)를 통해 가능하다.

또 다른 유사한 쌍대성 명제들은 산술에서 나타난다. 유한체, 국소체 및 전역체의 에탈 코호몰로지(갈루아 군의 군 코호몰로지와 동등하기 때문에 갈루아 코호몰로지라고도 함)는 유사한 페어링을 허용한다. 예를 들어 유한체의 절대 갈루아 군 ''G''('''F'''_''q'')은 정수의 프로유한 완비화인

\widehat {\mathbf Z}

와 동형이다. 따라서 완벽한 페어링 (모든 ''G''-가군 ''M''에 대해)

: H^''n''(''G'', ''M'') × H^1−''n'' (''G'', Hom (''M'', '''Q'''/'''Z''')) → '''Q'''/'''Z'''^[31]

은 유한군의 폰트랴긴 쌍대성의 직접적인 결과이다. 국소체 및 전역체의 경우 유사한 명제가 존재한다 (국소 테이트 쌍대성 및 전역 또는 푸아투-테이트 쌍대성).^[32]

9. 위상수학에서의 쌍대성

위상수학, 특히 대수적 위상수학에서 관심 대상의 특정 객체가 다른 관심 대상의 쌍대 공간(선형 대수의 의미에서)임을 보여주는 정리를 종종 '쌍대성'이라고 부른다. 이러한 쌍대성 중 다수는 두 개의 ''K''-벡터 공간의 쌍선형 페어링으로 주어진다.

: ''A'' ⊗ ''B'' → ''K''.

완전 페어링의 경우, ''A''는 ''B''의 쌍대로의 동형이 존재한다. 푸앵카레 쌍대성과 알렉산더 쌍대성 등이 이러한 예시에 해당한다.

9. 1. 푸앵카레 쌍대성

매끄럽고 콤팩트한 복소다양체 ''X''의 푸앵카레 쌍대성은 특이 코호몰로지, 즉 '''C'''-계수(또는 동등하게, 상수층 '''C'''의 층 코호몰로지)의 페어링으로 주어지며,^[27] 다음과 같이 표현된다.

: H^''i''(''X'') ⊗ H^{2''n''−''i''}(''X'') → '''C'''

여기서 ''n''은 ''X''의 (복소) 차원이다. 푸앵카레 쌍대성은 또한 특이 호몰로지와 드람 코호몰로지의 관계로 표현될 수 있는데, 미분 ''k''-형식을 (2''n'' − ''k'')-(실수) 차원 사이클에 대해 적분하는 다음 사상에 의해 표현된다.

:

(\gamma, \omega) \mapsto \int_\gamma \omega

이는 완전한 페어링이다.

푸앵카레 쌍대성은 차원을 반전시킨다. 이는 위상 다양체가 세포 복합체로 표현되는 경우, 복합체의 쌍대(평면 그래프 쌍대의 고차원 일반화)가 동일한 다양체를 나타낸다는 사실과 일치한다. 푸앵카레 쌍대성에서 이러한 동형성은 ''k''번째 호몰로지 군과 (''n'' − ''k'')번째 코호몰로지 군의 동형성으로 나타난다.

9. 2. 알렉산더 쌍대성 (추가)

알렉산더 쌍대성( Alexander duality^영어 ) 등 위상수학의 다른 쌍대성 예시를 간략하게 소개한다. 관심 대상의 특정 객체가 다른 관심 대상의 쌍대 공간(선형 대수의 의미에서)임을 보여주는 정리는 종종 ''쌍대성''이라고 불린다. 이러한 쌍대성 중 다수는 두 개의 ''K''-벡터 공간의 쌍선형 페어링으로 주어지며, 다음과 같다.

: ''A'' ⊗ ''B'' → ''K''.

완전 페어링의 경우, ''A''는 ''B''의 쌍대로의 동형이 존재한다.

10. 갈루아 이론과 산술에서의 쌍대성

갈루아 이론에서의 쌍대성은 겉보기에 다른 종류의 대상 사이에 밀접한 관계가 있음을 보여준다. 이는 벡터 공간의 쌍대 공간이 다시 벡터 공간이 되는 것과는 다른 종류이다.

고정된 갈루아 확대체 K / F^영어에 대해, 임의의 중간체 E^영어 (즉, F ⊆ E ⊆ K^영어)에 갈루아 군 Gal(K/E)^영어을 연관시킬 수 있다. 이 군은 갈루아 군 G = Gal(K/F)^영어의 부분군이다. 반대로, 이러한 부분군 H ⊆ G^영어에 대해 H^영어의 원소에 의해 고정된 원소로 구성된 고정체 K^H^영어가 있다.

이 쌍대성은 다음과 같은 특징을 갖는다.

중간체의 확대 F ⊆ F′^영어는 반대 방향으로 갈루아 군의 포함 관계를 생성한다. 즉, Gal(K/F′) ⊆ Gal(K/F)^영어이다.
E^영어에 Gal(K/E)^영어를, H^영어에 K^H^영어를 연관시키는 것은 서로 역함수 관계이다.

10. 1. 갈루아 이론의 기본 정리

갈루아 이론에서 다루는 쌍대성은 겉으로 보기에 서로 다른 성질을 가진 대상들 사이의 밀접한 관계를 보여준다. 갈루아 확대체

K/F

가 주어졌을 때, 임의의 중간체

E

(즉,

F \subseteq E \subseteq K

인

E

)에 대해 갈루아 군

Gal(K/E)

를 대응시킬 수 있다. 이 군은 원래 갈루아 군

G = Gal(K/F)

의 부분군이다. 반대로,

G

의 부분군

H \subseteq G

가 주어졌을 때,

H

의 원소에 의해 고정되는 원소들로 구성된 고정체

K^H

를 생각할 수 있다.

이러한 쌍대성은 다음과 같은 특징을 가진다.

중간체 $E$ 가 더 큰 중간체 $F'$ 를 포함하면 ( $F \subseteq F'$ ), 갈루아 군의 포함 관계는 반대 방향으로 나타난다. 즉, $Gal(K/F') \subseteq Gal(K/F)$ 이다.
$E$ 에 $Gal(K/E)$ 를 대응시키고, $H$ 에 $K^H$ 를 대응시키는 것은 서로 역함수 관계이다. 다시 말해, 하나를 적용한 후 다른 하나를 적용하면 원래의 대상이 나온다. 이것이 갈루아 이론의 기본 정리의 핵심 내용이다.

11. 폰트랴긴 쌍대성

국소 콤팩트 아벨 군의 폰트랴긴 쌍대는 원(복소수 곱셈을 군 연산으로 사용)의 값을 갖는 연속적인 군 준동형사상이다.^[16]

11. 1. 문자군

국소 콤팩트 위상군 ''G''의 폰트랴긴 쌍대는 원(복소수 곱셈을 군 연산으로 사용)의 값을 갖는 연속적인 군 준동형사상이다.^[16]

11. 2. 폰트랴긴 쌍대성 정리

국소 콤팩트 위상군 ''G''의 폰트랴긴 쌍대는 원(복소수 곱셈을 군 연산으로 사용)의 값을 갖는 연속적인 군 준동형사상이다.^[16]

참조

_[1] 논문
_[2] 논문
_[3] 논문
_[4] 논문
_[5] 논문
_[6] 문서 The complement is also denoted as {{math|{{var|S}} \ {{var|A}}}}.
_[7] 논문
_[8] 문서 More precisely, $C^{**}$ is the smallest [[closed set|closed]] [[convex set|convex]] cone containing $C$ .
_[9] 논문
_[10] 논문
_[11] 논문
_[12] 논문
_[13] 문서 More generally, one can consider the projective planes over any field, such as the complex numbers or [[finite field]]s or even [[division ring]]s.
_[14] 문서 See [[elliptic regularity]].
_[15] 논문
_[16] 논문
_[17] 논문
_[18] 논문
_[19] 서적 Locally Presentable and Accessible Categories https://books.google[...] Cambridge University Press
_[20] 논문
_[21] 논문
_[22] 논문
_[23] 논문
_[24] 논문
_[25] 논문
_[26] 논문
_[27] 논문
_[28] 논문
_[29] 논문
_[30] 논문
_[31] 논문
_[32] 논문
_[32] 논문

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