수리철학

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1. 개요

수리철학은 수학의 기초, 개념, 방법론, 그리고 수학과 현실 세계의 관계를 탐구하는 철학의 한 분야이다. 피타고라스 학파에서 시작하여 플라톤, 아리스토텔레스 시대를 거쳐, 19세기 말과 20세기 초 수학의 기초에 대한 위기 의식 속에서 논리주의, 형식주의, 직관주의 등의 학파가 등장했다. 주요 주제로는 수학적 대상의 본질, 수학과 논리의 관계, 수학적 진리, 수학과 현실 세계의 관계 등이 있으며, 플라톤주의, 논리주의, 형식주의, 직관주의, 구성주의, 유한주의, 구조주의, 구체화된 마음 이론, 아리스토텔레스적 실재론, 심리주의, 경험주의, 허구주의, 사회 구성주의 등 다양한 학파가 존재한다. 콰인-퍼트남의 필수 불가결성 논증과 같은 수학적 실재론 논쟁, 그리고 수학이 과학의 언어인지에 대한 논의 등도 수리철학의 주요 논쟁거리이다.

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실재는 철학, 과학, 사회문화, 기술 등 다양한 관점에서 탐구되는 개념으로, 존재론, 양자역학, 개인의 경험, 동양 철학 등을 통해 현실을 이해하려는 시도가 이루어진다.
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수리철학
철학 분야
하위 분야	인식론, 존재론, 논리학
영향 받은 분야	수학
영향을 준 분야	수학, 물리학, 철학
주요 관심사
주요 질문	수학적 지식의 본성은 무엇인가? 수학적 대상은 무엇인가? 수학 문장의 의미는 무엇인가? 수학적 방법론의 본성은 무엇인가? 수학의 역할은 무엇인가?
주요 학파
주요 학파	피타고라스 학파 플라톤주의 논리주의 직관주의 형식주의 구성주의 구조주의 수리주의 집합론적 다원주의 경험주의 실재론 반실재론
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철학
철학 분야	분야

2. 역사적 배경

피타고라스는 유클리드와 유클리드 기하학의 기초를 세운 수학과 기하학의 아버지로 여겨진다. 피타고라스는 우주를 매핑하는 수학적, 철학적 모델인 피타고라스 학파의 창시자였다.

수학의 기원은 논쟁과 의견 불일치로 점철되어 있다. 수학의 탄생이 우연의 산물인지, 아니면 물리학과 같은 다른 분야의 발달 과정에서 필요에 의해 유도된 것인지에 대한 논쟁은 여전히 진행 중이다.^[26]^[27]

많은 사상가들이 수학의 본질에 대한 자신들의 아이디어를 기여했으며, 오늘날에도 수학 철학자들 사이에서는 이 주제에 대한 다양한 관점이 존재한다. 일부는 수학 철학의 탐구와 그 결과물을 있는 그대로 설명하려는 반면, 다른 이들은 단순한 해석을 넘어 비판적 분석을 수행하는 역할을 강조한다. 서양 철학과 동양 철학 모두에서 수학 철학의 전통을 찾아볼 수 있다.

고트프리트 빌헬름 라이프니츠를 시작으로, 수학과 논리의 관계에 초점이 맞춰졌다. 이러한 관점은 고틀로프 프레게와 버트런드 러셀 시대까지 수학 철학을 지배했지만, 19세기 말과 20세기 초의 발전에 의해 의문이 제기되었다. 수학 철학의 변함없는 과제 중 하나는 논리학과 수학의 기초와 관련된 상호 관계이며, 20세기의 철학자들은 형식 논리학, 집합론, 기초 수립 문제 등에 주목했다.

한편, 수학적 진리가 불가피하고 필연적인 것처럼 보이지만, 그 "진실성"의 근원이 파악하기 어려운 채로 남아 있는 것은 이해하기 어려운 수수께끼이며, 이 문제는 수학의 기초 수립 프로그램으로 연구되고 있다.

수학적 실재론은 실재론과 마찬가지로 수학적 실체가 인간의 마음과 독립적으로 존재한다고 본다. 즉, 인간은 수학을 발명한 것이 아니라 발견한 것이며, 우주의 다른 지적 생명체도 마찬가지로 수학을 발견할 것이라고 생각한다. 이 관점에서 발견될 수 있는 수학은 단 한 종류뿐이며, 예를 들어 삼각형은 인간 마음의 창조물이 아닌 진정한 실체이다. 에르되시 팔과 쿠르트 괴델 등 많은 현장 수학자들이 수학적 실재론자였으며, 그들은 자신들을 자연적으로 발생하는 대상의 발견자로 여겼다.

2. 1. 고대

^[1]

수학의 기원은 논쟁과 의견 불일치로 점철되어 있다. 수학의 탄생이 우연의 산물인지, 아니면 물리학과 같은 다른 분야의 발달 과정에서 필요에 의해 유도된 것인지에 대한 논쟁은 여전히 진행 중이다.^[26]^[27]

서양 수학 철학은 "모든 것은 수학이다"라는 이론(수학주의)을 설명한 피타고라스 학파의 피타고라스, 피타고라스를 해석하고 수학적 대상의 존재론적 지위를 연구한 플라톤, 그리고 논리와 무한과 관련된 문제(실제적 vs 잠재적)를 연구한 아리스토텔레스까지 거슬러 올라간다.

수학에 대한 그리스 철학은 기하학 연구에 큰 영향을 받았다. 예를 들어, 한때 그리스인들은 1(일)이 수가 아니라 임의의 길이의 단위라고 생각했다. 수는 다수성을 의미했다. 따라서, 예를 들어 3은 특정 다수의 단위를 나타내며, 따라서 "진정한" 수였다. 또 다른 시점에서는 2가 수가 아니라 쌍의 기본 개념이라는 유사한 주장이 제기되었다. 이러한 견해는 그리스인들의 기하학적 자와 컴퍼스 관점에서 비롯된 것이다. 기하학적 문제에서 그려진 선이 임의로 그려진 첫 번째 선에 비례하여 측정되는 것처럼, 수직선 위의 숫자도 임의의 첫 번째 "수" 또는 "1"에 비례하여 측정되었다.

이러한 초기 그리스의 수에 대한 생각은 2의 제곱근의 무리수 발견으로 인해 뒤집혔다. 피타고라스의 제자인 히파수스는 단위 정사각형의 대각선이 그 (단위 길이) 변과 공약수가 될 수 없다는 것을 보여주었다. 즉, 단위 정사각형의 대각선과 변의 비율을 정확하게 나타내는 기존의 (유리수)가 없다는 것을 증명했다. 이로 인해 그리스 수학 철학에 대한 상당한 재평가가 이루어졌다. 전설에 따르면, 동료 피타고라스 학파들은 이 발견에 너무나 큰 충격을 받아 그의 이단적인 생각을 퍼뜨리는 것을 막기 위해 히파수스를 살해했다.^[28]

2. 2. 중세 및 근대

고트프리트 빌헬름 라이프니츠를 시작으로, 수학과 논리의 관계에 초점이 맞춰졌다. 이러한 관점은 고틀로프 프레게와 버트런드 러셀 시대까지 수학 철학을 지배했지만, 19세기 말과 20세기 초의 발전에 의해 의문이 제기되었다.^[28]

2. 3. 현대

19세기 말과 20세기 초, 수학의 논리적 기초에 대한 여러 역설들이 발견되면서, 수학 전체의 타당성에 의문이 제기되었다. 이를 수학의 기초 위기라고 부른다.^[5] 이러한 위기의식 속에서 수학의 기초를 확립하려는 다양한 시도들이 나타났다.

구성적 수학 및 직관주의 논리와 같이 논리적 프레임워크를 변경하여 문제를 해결하기 위한 여러 방법이 제안되었다. 대략적으로 말해, 첫 번째 방법은 모든 존재 정리가 명시적인 예를 제공해야 하며, 두 번째 방법은 수학적 추론에서 배중률 및 이중 부정 제거를 제외하는 것으로 구성된다.

수학의 기초에 대한 문제는 수학의 새로운 영역으로서 수학적 논리의 등장으로 결국 해결되었다. 이 프레임워크에서 수학적 또는 논리적 이론은 잘 짜여진 공식의 형식 언어, 공리라고 하는 기본 명제의 집합, 그리고 하나 이상의 알려진 명제로부터 새로운 명제를 생성할 수 있게 해주는 추론 규칙의 집합으로 구성된다. 이러한 이론의 ''정리''는 공리이거나 이전에 알려진 정리에서 추론 규칙을 적용하여 얻을 수 있는 명제이다. 선택 공리를 가진 체르멜로-프렝켈 집합론은 일반적으로 ''ZFC''라고 불리며, 모든 수학이 다시 진술된 그러한 이론이다; 이는 어떤 기초를 기반으로 하는지 명시적으로 명시하지 않는 모든 수학 텍스트에서 암묵적으로 사용된다. 또한, 제안된 다른 기초도 ZFC 내에서 모델링하고 연구할 수 있다.

라이프니츠 이후 수학과 논리학의 관계가 중요해졌고, 이 관점은 프레게와 러셀 시대를 거치며 수학 철학을 지배했다. 그러나 19세기 말과 20세기 초의 여러 발견들은 이러한 관점에 의문을 제기하게 만들었다.

수학적 실재론은 실재론과 마찬가지로 수학적 실체가 인간의 마음과 독립적으로 존재한다고 본다. 따라서 인간은 수학을 발명한 것이 아니라 발견한 것이며, 우주의 다른 지적 생명체도 마찬가지로 수학을 발견할 것이라고 생각한다. 이 관점에서 발견될 수 있는 수학은 단 한 종류뿐이다. 예를 들어, 삼각형은 인간 마음의 창조물이 아닌, 진정한 실체이다.

많은 현장 수학자들이 수학적 실재론자였으며, 스스로를 자연적으로 발생하는 대상의 발견자로 여겼다. 에르되시 팔과 쿠르트 괴델 등이 대표적인 수학적 실재론자이다. 괴델은 감각적 지각과 유사하게 지각될 수 있는 객관적인 수학적 실재를 믿었다. 그들은 무매개적으로 참이라고 생각되는 확실한 원리들이 존재하지만, 연속체 가설과 같이 이러한 원리만으로는 증명할 수 없는 가설도 있다고 보았다. 괴델은 이러한 가설을 합리적으로 가정하기 위해 준경험적인 방법론을 사용할 수 있다고 주장했다.

실재론 내부에는 어떤 존재가 수학적 실체인지, 그리고 우리가 그것을 어떻게 알 수 있는지에 대한 다양한 입장이 존재한다.

3. 주요 주제

수리철학은 다음과 같은 주요 주제들을 다룬다.

수학에서 다루는 주제의 근원은 무엇인가?
수학적 실체의 존재론적 지위는 무엇인가?
수학적 대상을 지시한다는 것은 무엇을 의미하는가?
수학적 명제의 특징은 무엇인가?
논리학과 수학은 어떤 관계에 있는가?
수학에서 해석학은 어떤 역할을 하는가?
수학에서는 어떤 연구가 유용한가?
수학적 연구의 목적은 무엇인가?
어떻게 수학은 현실 세계와 연관되는가?
수학의 배후에는 어떤 인간적 특성이 있는가?
수학에서의 미(美)란 무엇인가?
수학적 진리의 근원은 무엇이며, 수학적 진리란 무엇인가?
수학이라는 추상적인 세계는 물질 세계와 어떤 관계를 맺는가?

20세기 초, 수리철학자들은 이러한 질문들에 대해 형식주의, 직관주의, 논리주의 등 다양한 학파로 나뉘어 논쟁을 벌였다. 각 학파는 수학적 인식론과 존재론에 대한 관점에 따라 다른 주장을 펼쳤다.^[29]

3. 1. 수학적 대상의 본질

피타고라스 시대부터 수학과 물질적 실재 사이의 연관성은 철학적 논쟁을 불러일으켰다. 플라톤은 물질적 실재를 반영하는 추상 개념들이 공간과 시간 밖에 존재하는 자체의 실재를 가진다고 주장했다. 이러한 관점은 플라톤주의라고 불리며, 현대 수학자들도 연구 대상을 실제적인 대상으로 여기는 경향이 있어 플라톤주의자로 여겨질 수 있다. (수학적 대상 참조)^[1]

아르망 보렐은 G. H. 하디, 샤를 에르미트, 앙리 푸앵카레, 알베르트 아인슈타인의 발언을 인용하며 수학적 실재에 대한 견해를 뒷받침했다.^[2]

서양 철학과 동양 철학 모두에서 수학 철학의 전통이 존재한다. 서양 수학 철학은 수학주의를 설명한 피타고라스, 피타고라스를 해석하고 수학적 대상의 존재론적 지위를 연구한 플라톤, 논리와 무한 관련 문제를 연구한 아리스토텔레스까지 거슬러 올라간다.

수학에 대한 그리스 철학은 기하학 연구에 큰 영향을 받았다. 예를 들어, 그리스인들은 1을 수가 아니라 임의의 길이의 단위로 생각했고, 수는 다수성을 의미했다. 2가 수가 아니라 쌍의 기본 개념이라는 주장도 있었다. 이러한 견해는 자와 컴퍼스 관점에서 비롯된 것이다.

히파수스는 2의 제곱근의 무리수를 발견하여 단위 정사각형의 대각선과 변의 비율을 정확하게 나타내는 기존의 (유리수)가 없다는 것을 증명했다. 이는 그리스 수학 철학에 대한 상당한 재평가를 가져왔다.^[28] 시몬 스테빈은 16세기에 그리스의 생각을 거부한 최초의 유럽인 중 한 명이었다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 이후, 수학과 논리의 관계에 초점이 맞춰졌고, 고틀로프 프레게와 버트런드 러셀 시대까지 이어졌으나, 19세기 말과 20세기 초의 발전에 의해 의문이 제기되었다.

수리철학의 영원한 쟁점은 수학의 기초에서 논리와 수학의 관계이다. 20세기 수리철학은 형식 논리, 집합론(순진 집합론과 공리적 집합론) 및 기초 문제에 대한 관심으로 특징지어졌다.

수학적 진리가 필연적인 것처럼 보이지만, 그 "진실성"의 근원이 파악하기 어렵다는 것은 심오한 수수께끼이다. 이 문제는 수학의 기초 프로그램으로 알려져 있다.

20세기 초, 수리철학자들은 수학적 인식론과 존재론에 대한 관점에 따라 형식주의, 직관주의, 논리주의의 세 학파로 나뉘었다. 각 학파는 당시 제기된 문제들을 해결하거나, 수학이 신뢰할 수 있는 지식으로서의 지위를 가질 자격이 없다고 주장했다.

20세기 초 형식 논리와 집합론의 발전은 ''수학의 기초''에 대한 새로운 질문으로 이어졌다. 공리, 명제, 증명의 개념, 명제가 수학적 대상에 대해 참이라는 개념(할당 참조)이 형식화되어 수학적으로 처리할 수 있게 되었다. 체르멜로-프렝켈 집합론은 많은 수학적 담론이 해석될 개념적 틀을 제공했다. 괴델 수를 통해 명제는 자신이나 다른 명제를 지칭하는 것으로 해석될 수 있었고, 수학 이론의 일관성에 대한 탐구를 가능하게 했다. 힐베르트는 이러한 연구를 ''메타수학'' 또는 ''증명론''이라고 불렀다.^[29]

20세기 중반, 새뮤얼 에일렌버그와 손더스 맥 레인에 의해 범주론이라는 새로운 수학 이론이 만들어졌으며, 이는 수학적 사고의 자연스러운 언어에 대한 새로운 경쟁자가 되었다.^[30] 그러나 20세기가 진행되면서 기초에 대한 질문이 얼마나 잘 정립되었는지에 대한 철학적 견해가 갈라졌다. 힐러리 퍼트넘은 20세기 후반 35년간의 상황에 대한 하나의 공통된 견해를 요약했다.

오늘날 수리철학은 수리철학자, 논리학자, 수학자들에 의해 여러 가지 다른 연구 방향으로 진행되며, 많은 학파가 있다.

'''수학적 플라톤주의'''는 수학적 실체들이 추상적이고, 시공간적 또는 인과적 속성이 없으며, 영원하고 변하지 않는다는 현실주의의 한 형태이다. 플라톤의 이데아론과 동굴의 비유에서 묘사된 "관념의 세계"(그리스어: ''eidos'' (εἶδος))와 유사하다고 여겨지기 때문에 ''플라톤주의''라는 용어가 사용된다.

수학적 플라톤주의에서 고려되는 주요 질문은 다음과 같다.

수학적 실체는 정확히 어디에, 그리고 어떻게 존재하는가?
우리는 그것들에 대해 어떻게 알 수 있는가?
우리의 물리적 세계와 완전히 분리된 세계가 수학적 실체에 의해 점유되어 있는가?
우리는 어떻게 이 분리된 세계에 접근하여 실체에 대한 진실을 발견할 수 있는가?

이러한 질문에 대한 한 가지 제안된 답변은 궁극적 앙상블인데, 이는 수학적으로 존재하는 모든 구조가 자체 우주에서 물리적으로도 존재한다고 가정하는 이론이다.

쿠르트 괴델의 플라톤주의^[34]는 수학적 대상을 직접 인식할 수 있게 해주는 특별한 종류의 수학적 직관을 가정한다. 데이비스와 허쉬는 ''수학적 경험''에서 대부분의 수학자들이 플라톤주의자인 것처럼 행동하지만, 입장을 신중하게 옹호하라고 압박하면 형식주의로 후퇴할 수 있다고 주장했다.

'''전면적 플라톤주의'''는 플라톤주의의 현대적 변형으로, 모든 수학적 실체가 존재한다고 주장한다.^[35]

'''집합론적 현실주의''' (또는 '''집합론적 플라톤주의''')^[36]는 페넬로페 매디가 옹호하는 입장으로, 집합론이 단일 집합의 우주에 관한 것이라는 견해이다.^[37] 이 입장은 폴 베나세라프의 인식론적 문제를 근거로 마크 발라거에 의해 비판받았다.^[38] 유사한 견해인 '''플라톤화된 자연주의'''는 스탠퍼드-에드먼턴 학파에 의해 옹호되었는데, 이 학파에 따르면, 더 전통적인 종류의 플라톤주의는 자연주의와 일치하며, 그들이 옹호하는 더 전통적인 종류의 플라톤주의는 추상 객체의 존재를 주장하는 일반적인 원칙에 의해 구별된다.^[39]

3. 2. 수학과 논리의 관계

수학적 추론에는 엄밀성이 요구된다. 수학에서의 엄밀성은 정의가 절대적으로 모호하지 않아야 하며, 증명은 경험적 증거와 직관을 사용하지 않고, 삼단논법 또는 추론 규칙의 일련의 적용으로 축소될 수 있어야 함을 의미한다.^[5]

엄밀한 추론 규칙은 고대 그리스 철학자들에 의해 '논리'라는 이름으로 확립되었다. 논리는 수학에 특정한 것이 아니지만, 수학에서 엄밀성의 기준은 다른 곳보다 훨씬 높다.

수세기 동안 논리는 수학적 증명에 사용되었지만 철학에 속했으며 수학자에 의해 특별히 연구되지 않았다. 19세기 말 무렵, 여러 역설은 수학의 논리적 기초, 결과적으로 전체 수학의 타당성에 의문을 제기했다. 이것은 수학의 기초 위기라고 불렸다.

구성적 수학 및 직관주의 논리와 같이 논리적 프레임워크를 변경하여 문제를 해결하기 위한 여러 방법이 제안되었다. 대략적으로 말해, 첫 번째 방법은 모든 존재 정리가 명시적인 예를 제공해야 하며, 두 번째 방법은 수학적 추론에서 배중률 및 이중 부정 제거를 제외하는 것으로 구성된다.

수학의 기초에 대한 문제는 수학의 새로운 영역으로서 수학적 논리의 등장으로 결국 해결되었다. 이 프레임워크에서 수학적 또는 논리적 이론은 잘 짜여진 공식의 형식 언어, 공리라고 하는 기본 명제의 집합, 그리고 하나 이상의 알려진 명제로부터 새로운 명제를 생성할 수 있게 해주는 추론 규칙의 집합으로 구성된다. 이러한 이론의 ''정리''는 공리이거나 이전에 알려진 정리에서 추론 규칙을 적용하여 얻을 수 있는 명제이다. 선택 공리를 가진 체르멜로-프렝켈 집합론은 일반적으로 ''ZFC''라고 불리며, 모든 수학이 다시 진술된 그러한 이론이다; 이는 어떤 기초를 기반으로 하는지 명시적으로 명시하지 않는 모든 수학 텍스트에서 암묵적으로 사용된다. 또한, 제안된 다른 기초도 ZFC 내에서 모델링하고 연구할 수 있다.

수리철학의 영원한 쟁점은 수학의 기초에서 논리와 수학의 관계에 관한 것이다. 20세기 철학자들은 이 문제에 대해 계속해서 질문을 제기했으며, 20세기 수리철학은 형식 논리, 집합론(순진 집합론과 공리적 집합론 모두) 및 기초 문제에 대한 주된 관심으로 특징지어졌다.

20세기 초, 수리철학자들은 수학적 인식론과 존재론에 대한 관점에 따라 다양한 학파로 나뉘기 시작했다. 이 시기에 형식주의, 직관주의, 논리주의의 세 학파가 등장했는데, 이는 부분적으로는 현재의 수학, 특히 수학적 분석이 확실성과 엄밀성의 기준을 충족하지 못한다는 널리 퍼진 우려에 대한 반응이었다. 각 학파는 당시 부각된 문제들을 해결하려고 시도하거나, 수학이 가장 신뢰할 수 있는 지식으로서의 지위를 가질 자격이 없다고 주장했다.

20세기 초 형식 논리와 집합론의 발전은 ''수학의 기초''에 대한 새로운 질문으로 이어졌다. 유클리드 시대부터 공리적 접근 방식은 수학의 자연스러운 기초로 여겨졌다. 공리, 명제, 증명의 개념, 그리고 명제가 수학적 대상에 대해 참이라는 개념(할당 참조)이 형식화되어 수학적으로 처리되었다. 체르멜로-프렝켈 집합론 공리가 공식화되어 많은 수학적 담론이 해석될 개념적 틀을 제공했다. 괴델 수를 통해 명제는 자신이나 다른 명제를 지칭하는 것으로 해석될 수 있었고, 수학 이론의 일관성에 대한 탐구를 가능하게 했다. 힐베르트는 이러한 연구를 ''메타수학'' 또는 ''증명론''이라고 불렀다.^[29]

새뮤얼 에일렌버그와 손더스 맥 레인에 의해 범주론이라는 새로운 수학 이론이 만들어졌으며, 이는 수학적 사고의 자연스러운 언어에 대한 새로운 경쟁자가 되었다.^[30] 20세기가 진행되면서 기초에 대한 질문이 얼마나 잘 정립되었는지에 대한 철학적 견해가 갈라졌다. 힐러리 퍼트넘은 다음과 같이 상황에 대한 일반적인 견해를 요약했다.

> 철학이 과학에 잘못된 점을 발견하면 때때로 과학을 바꿔야 한다. 러셀의 역설과 버클리의 실제 무한소에 대한 공격을 생각해 볼 수 있다. 그러나 더 흔하게는 철학을 바꿔야 한다. 나는 오늘날 철학이 고전 수학에서 발견하는 어려움이 진정한 어려움이라고 생각하지 않으며, 우리가 사방에서 제공받고 있는 수학의 철학적 해석이 잘못되었으며, "철학적 해석"이 바로 수학이 필요로 하지 않는 것이라고 생각한다.^[31]

3. 3. 수학적 진리

수학 철학에서는 수학적 명제의 특징, 수학적 진리의 근원, 수학적 진리의 의미 등이 반복적으로 탐구된다.^[7]

플라톤주의는 수학적 실체가 추상적이며, 공간, 시간, 인과적 성질을 갖지 않고 영원불변하다는 관점이다. 이는 많은 사람들이 수에 대해 가지는 견해이며, 플라톤의 "이데아계"와 유사하여 플라톤주의라고 불린다.^[7]

괴델은 수학적 대상을 직접적으로 지각하게 하는 특별한 종류의 수학적 직관을 전제로 하는 플라톤주의를 주장했다. 이는 후설의 생각과 유사하며, 칸트의 수학적 지식이 종합적이고 선험적이라는 주장을 지지한다.^[7]

형식주의는 수학적 명제를 기호 열 조작 규칙의 결과로 간주한다. 예를 들어, 유클리드 기하학에서 피타고라스 정리가 성립한다는 것은 증명 가능하다. 형식주의에 따르면, 수학적 진리는 수, 집합, 삼각형과 같은 것에 대한 진리가 아니다.^[7]

연역주의는 피타고라스 정리가 절대적인 진리가 아니라 상대적인 진리라고 본다. 게임의 규칙이 참이 되는 방식으로 문자열에 의미가 부여된다면, 정리를 참으로 인정해야 한다.^[7]

3. 4. 수학과 현실 세계

수학은 대부분의 과학에서 현상을 모델링하는 데 사용되며, 이를 통해 실험적 법칙으로부터 예측이 가능해진다.^[8] 수학적 진실이 어떤 실험과도 무관하다는 점은 이러한 예측의 정확성이 모델의 적절성에만 달려 있음을 의미한다.^[9] 부정확한 예측은 무효한 수학적 개념 때문에 발생하는 것이 아니라, 사용된 수학적 모델을 변경해야 할 필요성을 암시한다.^[10] 예를 들어, 수성 근일점 세차 운동은 뉴턴의 만유인력의 법칙을 더 나은 수학적 모델로 대체한 아인슈타인의 일반 상대성 이론이 등장한 후에야 설명될 수 있었다.^[11]

수학의 불합리한 효과는 물리학자 유진 위그너가 명명하고 처음 명확히 밝힌 현상이다.^[18] 이는 많은 수학 이론(심지어 가장 "순수한" 이론조차)이 최초의 대상 외부에 적용된다는 사실이다. 이러한 적용은 수학의 초기 영역 밖에 완전히 존재할 수 있으며, 수학 이론이 도입되었을 때 완전히 알려지지 않았던 물리적 현상과 관련될 수 있다.^[19] 수학 이론의 예상치 못한 적용 사례는 수학의 여러 분야에서 찾아볼 수 있다.

주목할 만한 예시는 안전한 인터넷 통신을 위해 RSA 암호화 시스템을 통해 일반적으로 사용되기 2,000년 전에 발견된 자연수의 소인수 분해이다.^[20] 두 번째 역사적 예시는 타원 이론이다. 이것들은 원뿔 곡선 (즉, 원뿔과 평면의 교차)으로서 고대 그리스 수학자들에 의해 연구되었다. 약 2,000년 후에 요하네스 케플러는 행성의 궤도가 타원이라는 것을 발견했다.^[21]

19세기에 기하학의 내부 발전(순수 수학)은 비유클리드 기하학, 3차원 이상의 공간, 그리고 다양체의 정의와 연구로 이어졌다. 이 당시에 이러한 개념들은 물리적 현실과 완전히 동떨어진 것처럼 보였지만, 20세기 초에 알베르트 아인슈타인은 근본적으로 이러한 개념들을 사용하는 상대성 이론을 개발했다. 특히, 특수 상대성 이론의 시공간은 4차원의 비유클리드 공간이며, 일반 상대성 이론의 시공간은 4차원의 (곡선) 다양체이다.^[22]^[23]

수학과 물리학의 상호 작용의 두드러진 측면은 수학이 물리학 연구를 이끌 때이다. 이것은 양전자와 중입자

\Omega^{-}

의 발견으로 설명된다. 두 경우 모두, 이론의 방정식은 설명되지 않은 해를 가지고 있었고, 이는 알려지지 않은 입자의 존재에 대한 추측으로 이어졌으며, 이러한 입자를 탐색하게 했다. 두 경우 모두, 이러한 입자는 몇 년 후에 특정 실험을 통해 발견되었다.^[2]^[24]^[25]

4. 현대의 주요 학파

20세기 초, 형식주의, 직관주의, 논리주의 세 학파가 등장했다. 이는 당시 수학, 특히 수학적 분석이 확실성과 엄밀성의 기준을 충족하지 못한다는 우려에 대한 반응이었다.^[29]

20세기 초 형식 논리와 집합론의 발전은 '수학의 기초'에 대한 새로운 질문으로 이어졌다. 공리, 명제, 증명 등의 개념이 형식화되어 수학적으로 처리될 수 있게 되었다. 체르멜로-프렝켈 집합론은 많은 수학적 담론이 해석될 개념적 틀을 제공했다.^[29] 괴델 수를 통해 명제는 자신이나 다른 명제를 지칭하는 것으로 해석될 수 있었고, 이는 메타수학 또는 증명론으로 불리는 수학 이론의 일관성에 대한 탐구를 가능하게 했다.^[29]

세기 중반에는 새뮤얼 에일렌버그와 손더스 맥 레인에 의해 범주론이라는 새로운 수학 이론이 만들어졌다.^[30] 그러나 20세기가 진행되면서 기초에 대한 질문이 얼마나 잘 정립되었는지에 대한 철학적 견해가 갈라졌다. 힐러리 퍼트넘은 "철학적 해석"이 바로 수학이 필요로 하지 않는 것이라고 주장했다.^[31]

오늘날 수리철학은 여러 연구 방향으로 진행되며, 다양한 학파가 존재한다.

4. 1. 플라톤주의 (Platonism)

'''수학적 플라톤주의'''는 수학적 실체들이 추상적이고, 시공간적 또는 인과적 속성이 없으며, 영원하고 변하지 않는다는 현실주의의 한 형태이다. 이는 종종 대부분의 사람들이 숫자에 대해 가지고 있다고 주장하는 견해이다.^[1] 이러한 견해가 플라톤의 이데아론과 플라톤의 동굴의 비유에서 묘사된 "관념의 세계"(그리스어: ''eidos'' (εἶδος))와 유사하다고 여겨지기 때문에 ''플라톤주의''라는 용어가 사용된다. 즉, 일상 세계는 변하지 않는 궁극적 실체에 불완전하게 근사할 수 있을 뿐이다. 플라톤의 동굴과 플라톤주의는 단순히 표면적인 관계를 넘어 의미 있는 연결을 가지고 있는데, 플라톤의 사상은 세계가 문자 그대로 수에 의해 생성되었다고 믿었던 고대 그리스의 매우 인기 있는 피타고라스 학파에 의해 선행되었고 아마도 영향을 받았기 때문이다.

수학적 플라톤주의에서 고려되는 주요 질문은 다음과 같다. 수학적 실체는 정확히 어디에, 그리고 어떻게 존재하며, 우리는 그것들에 대해 어떻게 알 수 있는가? 우리의 물리적 세계와 완전히 분리된 세계가 수학적 실체에 의해 점유되어 있는가? 우리는 어떻게 이 분리된 세계에 접근하여 실체에 대한 진실을 발견할 수 있는가? 한 가지 제안된 답변은 궁극적 앙상블인데, 이는 수학적으로 존재하는 모든 구조가 자체 우주에서 물리적으로도 존재한다고 가정하는 이론이다.

쿠르트 괴델의 플라톤주의^[34]는 수학적 대상을 직접 인식할 수 있게 해주는 특별한 종류의 수학적 직관을 가정한다. (이 견해는 후설이 수학에 대해 말한 많은 것들과 유사하며, 수학이 종합적 선험적이라는 칸트의 생각을 뒷받침한다.) 데이비스와 허쉬는 1999년 저서 ''수학적 경험''에서 대부분의 수학자들이 플라톤주의자인 것처럼 행동하지만, 입장을 신중하게 옹호하라고 압박하면 형식주의로 후퇴할 수 있다고 주장했다.

'''전면적 플라톤주의'''는 플라톤주의의 현대적 변형으로, 서로 다른 수학적 실체 집합이 사용된 공리 및 추론 규칙(예: 배중률 및 선택 공리)에 따라 존재한다고 증명될 수 있다는 사실에 대한 반작용이다. 이는 모든 수학적 실체가 존재한다고 주장한다. 모든 실체가 단일 일관된 공리 집합에서 파생될 수 없더라도 증명될 수 있다.^[35]

'''집합론적 현실주의''' (또는 '''집합론적 플라톤주의''')^[36]는 페넬로페 매디가 옹호하는 입장으로, 집합론이 단일 집합의 우주에 관한 것이라는 견해이다.^[37] 이 입장은 (수학적 플라톤주의의 자연주의적 버전이므로 '''자연화된 플라톤주의'''라고도 알려져 있다) 폴 베나세라프의 인식론적 문제를 근거로 마크 발라거에 의해 비판받았다.^[38] 유사한 견해인 '''플라톤화된 자연주의'''는 나중에 스탠퍼드-에드먼턴 학파에 의해 옹호되었는데, 이 견해에 따르면, 더 전통적인 종류의 플라톤주의는 자연주의와 일치하며, 그들이 옹호하는 더 전통적인 종류의 플라톤주의는 추상 객체의 존재를 주장하는 일반적인 원칙에 의해 구별된다.^[39]

4. 2. 논리주의 (Logicism)

로지시즘은 수학이 논리로 환원될 수 있으며, 따라서 논리의 일부라고 주장하는 이론이다.^[42] 논리주의자들은 수학이 선험적으로 알려질 수 있지만, 수학에 대한 지식은 일반적인 논리에 대한 지식의 일부일 뿐이라고 생각한다. 따라서 어떠한 특별한 수학적 직관 능력도 필요로 하지 않는 분석 명제라고 제안한다. 이러한 관점에서 논리는 수학의 적절한 기초이며, 모든 수학적 명제는 필연적인 논리적 진리이다.

루돌프 카르나프는 로지시스트 테제를 다음과 같이 두 부분으로 제시했다.^[42]

# 수학의 ''개념''은 명시적인 정의를 통해 논리적 개념으로부터 파생될 수 있다.

# 수학의 ''정리''는 순수한 논리적 연역을 통해 논리적 공리로부터 파생될 수 있다.

고틀로프 프레게는 로지시즘의 창시자였다. 그는 ''산술의 기본 법칙''(''Die Grundgesetze der Arithmetik'')에서 "기본 법칙 V"라고 불리는 포괄성의 일반 원리를 가진 논리 체계로부터 산술을 구축했다. 기본법칙 V는 개념 ''F''와 ''G''에 대해, ''F''의 외연은 ''G''의 외연과 같으며, 이는 모든 대상 ''a''에 대해 ''Fa''가 ''Ga''와 같은 경우에만 해당한다는 원리이다. 프레게는 이 원리를 논리의 일부로 받아들일 수 있다고 생각했다.

그러나 프레게의 구성에는 결함이 있었다. 버트런드 러셀은 기본 법칙 V가 모순된다는 것을 발견했는데, 이것이 바로 러셀의 역설이다. 프레게는 이 발견 직후 자신의 로지시스트 프로그램을 포기했지만, 러셀과 앨프레드 노스 화이트헤드가 이를 이어갔다. 그들은 역설의 원인을 "악순환"으로 보고, 이를 해결하기 위해 분지된 유형 이론을 구축했다. 이 시스템에서 그들은 결국 현대 수학의 상당 부분을 구축할 수 있었지만, 변경되고 지나치게 복잡한 형태였다. 예를 들어, 각 유형에 서로 다른 자연수가 있었고, 무한히 많은 유형이 있었다. 또한 수학의 많은 부분을 개발하기 위해 "환원 공리"와 같은 몇 가지 타협을 해야 했다. 러셀조차도 이 공리가 실제로 논리에 속하지 않는다고 말했다.

현대 로지시스트들은 프레게의 프로그램에 더 가까운 방향으로 돌아왔다. 밥 헤일, 크리스핀 라이트 등이 그 예시이다. 그들은 흄의 원리와 같은 추상화 원리를 선호하여 기본 법칙 V를 포기했다. 흄의 원리는 개념 ''F''에 속하는 대상의 수는 개념 ''G''에 속하는 대상의 수와 같으며, 이는 ''F''의 외연과 ''G''의 외연이 전단사로 대응될 수 있는 경우에만 해당한다는 원리이다. 프레게는 숫자에 대한 명시적인 정의를 제공하기 위해 기본 법칙 V를 필요로 했지만, 숫자의 모든 속성은 흄의 원리에서 파생될 수 있다. 프레게에게는 이것으로 충분하지 않았는데, 숫자 3이 실제로 율리우스 카이사르일 가능성을 배제하지 않기 때문이다. 또한 기본 법칙 V를 대체하기 위해 채택해야 했던 약화된 원리 중 많은 것이 더 이상 명백하게 분석적이지 않고, 따라서 순전히 논리적인 것으로 보이지 않는다.

4. 3. 형식주의 (Formalism)

형식주의는 수학적 명제가 일련의 문자 조작 규칙의 결과에 관한 명제로 간주될 수 있다고 주장한다. 예를 들어, "게임" 유클리드 기하학(일부 "공리"라고 불리는 문자열과 주어진 문자열로부터 새로운 문자열을 생성하기 위한 몇 가지 "추론 규칙"으로 구성된 것으로 간주됨)에서, 피타고라스 정리가 성립함을 증명할 수 있다(즉, 피타고라스 정리에 해당하는 문자열을 생성할 수 있다). 형식주의에 따르면, 수학적 진리는 숫자, 집합, 삼각형 등과 관련된 것이 아니며, 사실, 그 어떤 것과도 "관련"되지 않는다.^[43]

형식주의의 또 다른 버전은 연역주의라고 알려져 있다.^[43] 연역주의에서 피타고라스 정리는 절대적인 진리가 아니라, 적절한 공리로부터 연역적으로 도출되는 상대적인 진리이다. 이는 다른 모든 수학적 명제에 대해서도 마찬가지이다.

형식주의는 수학이 무의미한 기호 게임에 불과하다는 것을 의미할 필요는 없다. 일반적으로 게임의 규칙이 적용되는 어떤 해석이 존재할 것으로 기대된다. (이 입장을 구조주의와 비교해 보라.) 그러나 형식주의는 실무 수학자가 그의 작업을 계속하고 그러한 문제를 철학자나 과학자에게 맡길 수 있도록 한다. 많은 형식주의자들은 실제적으로, 연구할 공리 체계는 과학이나 다른 수학 분야의 요구에 의해 제안될 것이라고 말할 것이다.

형식주의의 주요 초기 지지자는 다비트 힐베르트였으며, 그의 프로그램은 모든 수학의 완전하고 일관적인 공리화를 의도했다.^[44] 힐베르트는 "유한 산술"(철학적으로 논쟁의 여지가 없는 것으로 선택된, 양의 정수의 일반적인 산술의 하위 시스템)이 일관적이라는 가정으로부터 수학 체계의 일관성을 보여주려고 했다. 완전하고 일관적인 수학 체계를 만들려는 힐베르트의 목표는 괴델의 불완전성 정리의 두 번째 정리로 심각하게 훼손되었는데, 이는 충분히 표현력이 있는 일관적인 공리 체계는 자신의 일관성을 증명할 수 없다는 것이다. 그러한 공리 체계는 유한 산술을 하위 시스템으로 포함할 것이기 때문에, 괴델의 정리는 그 체계의 일관성을 상대적으로 증명하는 것이 불가능하다는 것을 의미했다(그것은 자신의 일관성을 증명할 것이고, 괴델은 그것이 불가능하다는 것을 보여주었기 때문이다). 따라서, 어떤 수학의 공리적 체계가 실제로 일관적인지 보여주기 위해서는, 일관성을 증명하려는 체계보다 어떤 의미에서 더 강력한 수학 체계의 일관성을 먼저 가정해야 한다.

힐베르트는 처음에는 연역주의자였지만, 위에서 언급했듯이, 그는 특정 메타수학적 방법이 본질적으로 의미 있는 결과를 산출한다고 생각했고 유한 산술에 관해서는 실재론자였다. 나중에 그는 해석에 관계없이 다른 의미 있는 수학은 전혀 없다는 의견을 가졌다.

루돌프 카르납, 알프레드 타르스키, 하스켈 커리와 같은 다른 형식주의자들은 수학을 형식 공리 체계에 대한 연구로 간주했다. 수학적 논리 학자들은 형식 체계를 연구하지만, 형식주의자만큼이나 실재론자인 경우가 많다.

형식주의자들은 논리, 비표준 숫자 체계, 새로운 집합론 등에 대한 새로운 접근 방식에 상대적으로 관대하고 수용적이다. 우리가 더 많은 게임을 연구할수록 더 좋다. 그러나 이 세 가지 예시 모두에서 동기는 기존의 수학적 또는 철학적 관심사에서 도출된다. "게임"은 일반적으로 임의적이지 않다.

형식주의에 대한 주요 비판은 수학자들이 실제로 종사하는 수학적 아이디어가 위에서 언급한 문자 조작 게임과는 매우 동떨어져 있다는 것이다. 형식주의는 따라서 어떤 공리 체계를 연구해야 하는지에 대한 질문에 침묵하는데, 형식주의적 관점에서 볼 때 어느 것도 다른 것보다 더 의미가 없기 때문이다.

4. 4. 직관주의 (Intuitionism)

수학에서 직관주의는 "경험되지 않은 수학적 진리는 없다"라는 L. E. J. 브라우어의 좌우명을 가진 방법론적 개혁 프로그램이다. 이러한 관점에서 직관주의자들은 칸트의 존재, 생성, 직관, 지식 개념에 따라 수학의 수정 가능한 부분을 재구성하고자 한다. 이 운동의 창시자인 브라우어는 수학적 대상이 경험적 대상의 지각에 정보를 제공하는 의지의 ''선험적'' 형태에서 비롯된다고 주장했다.^[45]

직관주의의 주요 원동력은 L. E. J. 브라우어였는데, 그는 수학에 어떠한 형태의 형식화된 논리도 쓸모없다고 거부했다. 그의 제자인 아렌트 헤이팅은 고전적인 아리스토텔레스 논리와 다른 직관주의 논리를 가정했다. 이 논리는 배중률을 포함하지 않으므로 귀류법에 의한 증명을 좋게 보지 않는다. 또한, 대부분의 직관주의적 집합론에서 선택 공리는 거부되지만, 일부 버전에서는 받아들여진다.

직관주의에서 "명시적 구성"이라는 용어는 명확하게 정의되지 않아 비판을 받아왔다. 이러한 간극을 메우기 위해 튜링 머신 또는 계산 가능한 함수의 개념을 사용하려는 시도가 있었으며, 이는 유한한 알고리즘의 동작에 관한 질문만이 의미가 있고 수학에서 연구되어야 한다는 주장을 이끌었다. 이로 인해 앨런 튜링에 의해 처음 도입된 계산 가능한 수에 대한 연구가 이루어졌다. 따라서 이러한 수학 접근 방식은 때때로 이론적인 컴퓨터 과학과 연관된다.

4. 5. 구성주의 (Constructivism)

직관주의와 마찬가지로, 구성주의는 명시적으로 구성될 수 있는 수학적 대상만이 수학적 담론에 포함되어야 한다는 규제 원칙을 따른다.^[46] 이러한 관점에서 수학은 인간의 직관을 활용하는 활동이지, 의미 없는 기호 놀이가 아니다. 구성주의는 우리가 정신 활동을 통해 직접 창조할 수 있는 대상에 관한 학문이라고 본다. 또한, 이 학파의 일부 지지자들은 어떤 대상의 존재를 보이거나 명제의 참을 증명할 때 귀류법과 같은 비구성적 증명을 거부한다. 에렛 비숍은 1967년 저서 ''구성적 분석의 기초''에서 실해석학의 주요 정리들을 구성적 분석으로 증명했다.^[46]

4. 6. 유한주의 (Finitism)

레오폴트 크로네커는 유한주의의 가장 유명한 옹호자였다.^[47] 그는 "신은 자연수를 창조했고, 그 외의 모든 것은 인간의 작품이다."라고 말했다.

초유한주의는 유한주의의 훨씬 더 극단적인 형태로, 무한뿐만 아니라 사용 가능한 자원으로 실현 가능하게 구성될 수 없는 유한량까지 거부한다. 존 펜 메이베리는 그의 저서 ''집합론에서의 수학의 기초''에서 유클리드 산술이라는 유한주의의 또 다른 변형을 개발했다.^[48] 메이베리의 시스템은 아리스토텔레스에게서 영감을 받았으며, 수학의 기초에서 조작주의나 실현 가능성에 대한 역할을 강력하게 거부했음에도 불구하고 초지수화는 정당한 유한 함수가 아니라는 것과 같은 다소 유사한 결론에 도달한다.

4. 7. 구조주의 (Structuralism)

구조주의는 수학 이론이 '구조'를 묘사하며, 수학적 대상은 그 구조 내에서의 '위치'에 의해 완전히 정의된다고 보는 입장이다. 따라서 수학적 대상은 어떠한 내재적 속성도 갖지 않는다.^[49] 예를 들어, 숫자 1은 0 다음의 첫 번째 정수라는 위치로 설명된다. 다른 모든 정수도 수직선이라는 구조 내에서의 위치로 정의된다. 기하학에서의 선과 평면, 추상대수학에서의 원소와 연산 등도 수학적 대상의 예시이다.

구조주의는 수학적 명제가 객관적인 진리값을 갖는다는 점에서 인식론적 실재론적 관점이다.^[49] 그러나 수학적 대상이나 구조가 어떤 '존재'를 갖는지에 대해서는 구조주의의 여러 하위 유형에 따라 서로 다른 존재론적 주장을 한다.^[49]

'''사물 이전 구조주의''': 플라톤주의와 유사하게, 구조는 실제적이지만 추상적이고 비물질적인 존재를 갖는다고 주장한다. (베네세라프의 동일시 문제 참조)
'''사물 내 구조주의''': 아리스토텔레스적 실재론과 같이, 구조는 어떤 구체적인 시스템이 그 구조를 예시하는 한에서 존재한다고 주장한다.
'''사물 이후 구조주의''': 유명론과 유사하게, 구조에 대해 반실재론적이다. 관계적 구조 내에서의 위치 외에는 속성을 갖는 추상적 수학적 대상의 존재를 부정한다.

4. 8. 구체화된 마음 이론 (Embodied Mind Theories)

조지 레이코프와 Rafael E. Núñez|라파엘 누녜스^영어의 저서 ''수학은 어디에서 오는가''에서 이 관점에 대한 가장 유명하고 접근하기 쉬운 논의가 이루어졌다.^[41] 키스 데블린은 그의 저서 ''수학적 직관''에서, 신경 과학자 스타니슬라스 드헤안은 그의 저서 ''숫자 감각''에서 유사한 개념을 연구했다.^[41] 이 관점에 영감을 준 철학적 아이디어에 대한 더 자세한 내용은 수학의 인지 과학을 참조하면 된다.^[41]

구체화된 마음 이론은 수학적 사고가 인간의 인지 능력의 자연스러운 발현이라고 주장한다.^[40] 예를 들어, 수에 대한 추상적인 개념은 개별 객체를 세는 경험에서 비롯된다(객체를 감지하기 위한 시각, 촉각 및 뇌의 신호와 같은 인간의 감각이 필요함).^[40] 이 이론은 수학이 보편적인 것이 아니며 인간의 뇌 외에는 어떤 실질적인 의미로도 존재하지 않는다고 주장하며,^[40] 인간은 수학을 발견하는 것이 아니라 구성한다고 본다.^[40]

따라서 구체화된 마음 이론가들은 수학이 이 우주에서 효과적이기 위해 뇌에 의해 구성되었기 때문에 그 효과를 설명할 수 있다고 주장한다.^[41]

4. 9. 아리스토텔레스적 실재론 (Aristotelian Realism)

아리스토텔레스적 실재론은 수학이 물리적 세계(또는 존재할 수 있는 다른 어떤 세계)에서 문자 그대로 실현될 수 있는 대칭성, 연속성, 질서와 같은 속성을 연구한다고 본다. 이는 수학의 대상, 예를 들어 숫자가 "추상적인" 세계에 존재하지 않고 물리적으로 실현될 수 있다고 주장한다는 점에서 플라톤주의와 대조된다. 예를 들어, 숫자 4는 앵무새 무더기와 그 무더기를 여러 앵무새로 나누는 보편적인 "앵무새이기" 사이의 관계에서 실현된다.^[50]^[51]

제임스 프랭클린과 [http://web.maths.unsw.edu.au/~jim/structmath.html 시드니 학파]는 아리스토텔레스적 실재론을 옹호한다. 이는 달걀판을 열 때 세 개의 달걀 집합이 인식된다는 페넬로페 매디의 견해와 유사하다(즉, 물리적 세계에서 실현된 수학적 실체).^[52] 아리스토텔레스적 실재론에서 제기되는 문제는 물리적 세계에서 실현될 수 없는 고차 무한대에 대해 어떤 설명을 해야 하는가이다.

존 펜 메이베리가 저서 ''집합론에서의 수학의 기초''(The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets)^[48]에서 개발한 유클리드 산술 또한 아리스토텔레스적 실재론 전통에 속한다. 메이베리는 유클리드를 따라 숫자를 "런던 심포니 오케스트라의 단원" 또는 "버넘 숲의 나무"와 같이 자연에서 실현된 단순한 "단위의 명확한 다수"로 간주한다. 유클리드의 공통 개념 5(전체는 부분보다 크다)가 실패하고 결과적으로 무한으로 간주될 "단위의 명확한 다수"가 있는지 여부는 메이베리에게 본질적으로 자연에 대한 질문이며, 초월적인 가정을 수반하지 않는다.

4. 10. 심리주의 (Psychologism)

존 스튜어트 밀은 일종의 논리적 심리학주의를 옹호했으며, 지그바르트와 에르트만 같은 19세기 독일의 많은 논리학자들과 귀스타브 르 봉을 비롯한 과거와 현재의 많은 심리학자들도 마찬가지였다.^[44] 심리학주의는 고틀로프 프레게가 그의 저서 ''산술의 기초''와 에드문트 후설의 ''수학 철학''에 대한 비평을 포함한 그의 많은 저서와 에세이에서 비판을 받았다.^[44] 에드문트 후설은 그의 저서 ''논리 연구''의 첫 번째 권인 "순수 논리의 서문"에서 심리학주의를 철저히 비판하고, 그로부터 거리를 두려고 했다.^[44] "서문"은 프레게의 비판보다 더 간결하고, 공정하며, 철저한 심리학주의 반박으로 여겨지며, 오늘날 많은 사람들에게 심리학주의에 결정적인 타격을 가한 기억에 남는 반박으로 여겨진다.^[44] 심리학주의는 또한 찰스 샌더스 퍼스와 모리스 메를로-퐁티에 의해서도 비판받았다.^[44]

4. 11. 경험주의 (Empiricism)

수학적 경험주의는 수학이 ''선험적''으로 알려질 수 없다고 보는 실재론의 한 형태이다. 이는 다른 모든 과학의 사실들처럼 수학적 사실이 경험적 증거에 의해 발견된다고 주장한다. 20세기 초에 주로 옹호된 세 가지 고전적인 입장 중 하나는 아니지만, 20세기 중반에 주로 생겨났다. 이러한 관점을 일찍이 지지한 중요한 인물은 존 스튜어트 밀이었다. 밀의 견해는 널리 비판받았는데, A.J. 에이어와 같은 비평가들은 같은 명제가 불확실하고 우연적인 진실로 나타나며, 이는 두 쌍이 함께 모여 넷을 형성하는 사례를 관찰함으로써 알 수 있다고 주장했기 때문이라고 비판했다.^[53]

칼 포퍼는 수학의 경험적 측면을 지적한 또 다른 철학자였다. 그는 "대부분의 수학 이론은 물리학과 생물학의 이론처럼 가설 연역적이다. 따라서 순수 수학은 최근까지 보였던 것보다 가설이 추측인 자연 과학에 훨씬 더 가깝다"라고 관찰했다.^[54] 또한 포퍼는 "경험으로 테스트할 수 있는 경우에만 시스템을 경험적이거나 과학적인 것으로 인정하겠다"고 언급했다.^[55]

W. V. O. 콰인과 힐러리 퍼트남에 의해 공식화된 현대 수학적 경험주의는 주로 필수 불가결성 논증에 의해 지지된다. 수학은 모든 경험 과학에 필수적이며, 만약 우리가 과학이 설명하는 현상의 실재를 믿고 싶다면, 이 설명을 위해 필요한 실체의 실재 또한 믿어야 한다. 즉, 물리학이 전구의 작동 방식을 설명하기 위해 전자에 대해 이야기해야 한다면, 전자는 존재해야 한다. 마찬가지로 물리학이 어떤 설명을 제시하기 위해 숫자에 대해 이야기해야 한다면, 숫자도 존재해야 한다. 콰인과 퍼트남의 전반적인 철학에 따르면, 이것은 자연주의적 논증이다. 이는 경험에 대한 최선의 설명으로서 수학적 실체의 존재를 주장하며, 수학을 다른 과학과 구별되는 것으로 간주하는 것을 제거한다.

퍼트남은 "플라톤주의자"라는 용어가 과도하게 구체적인 존재론을 암시하며, 이는 실제적인 의미에서 수학적 실천에 필요하지 않다고 강력하게 거부했다. 그는 진리에 대한 신비로운 개념을 거부하고 많은 수학의 준경험주의를 받아들이는 일종의 "순수 실재론"을 옹호했다. 이는 20세기 후반에 점점 더 널리 퍼진, 어떠한 수학의 기초도 존재한다는 것이 증명될 수 없다는 주장에서 비롯되었다. 이것은 때때로 "수학의 포스트모더니즘"이라고도 불리지만, 이 용어는 일부에게는 과도하게 사용되고 다른 사람에게는 모욕적인 것으로 여겨진다. 준경험주의는 수학자들이 연구를 수행할 때 정리를 증명하는 것만큼이나 가설을 테스트한다고 주장한다. 수학적 논증은 결론에서 전제로 거짓을 전달할 수 있을 뿐만 아니라 전제에서 결론으로 진리를 전달할 수도 있다. 퍼트남은 수학적 실재론에 대한 어떤 이론이든 준경험적 방법을 포함할 것이라고 주장했다. 그는 수학을 하는 외계 종족은 준경험적 방법에 주로 의존하여 종종 엄격하고 공리적인 증명을 포기하면서도 수학을 할 수 있으며, 계산의 실패 위험이 다소 더 클 수 있다고 제안했다. 그는 그의 저서 ''새로운 방향''에서 이에 대한 자세한 주장을 제시했다.^[56] 준경험주의는 임레 라카토스에 의해서도 발전되었다.

수학의 경험적 견해에 대한 가장 중요한 비판은 밀에 대해 제기된 비판과 거의 같다. 만약 수학이 다른 과학만큼 경험적이라면, 이는 수학의 결과가 다른 과학의 결과만큼 오류 가능하고 우연적임을 시사한다. 밀의 경우 경험적 증거는 직접적으로 제시되는 반면, 콰인의 경우 전체 과학 이론의 일관성, 즉 E.O. 윌슨 이후의 합치성을 통해 간접적으로 제시된다. 콰인은 수학이 완전히 확실해 보이는 이유는 그것이 우리 신념 체계에서 하는 역할이 매우 중심적이며, 그것을 수정하는 것이 불가능하지는 않지만 극도로 어려울 것이기 때문이라고 제안한다.

콰인과 괴델의 접근 방식의 단점을 극복하기 위해 각 측면을 취하는 수학 철학에 대해서는 페넬로페 매디의 ''수학의 실재론''을 참조하라. 또 다른 실재론적 이론의 예로는 구체화된 마음 이론이 있다.

인간 유아가 기본적인 산수를 할 수 있다는 실험적 증거에 대해서는 브라이언 버터워스를 참조하라.

4. 12. 허구주의 (Fictionalism)

수학에서의 허구주의(Fictionalism^영어)는 1980년 하틀리 필드가 『수를 사용하지 않는 과학』(''Science Without Numbers'')을 출판하여, 그 속에서 콰인의 필수불가결성 논법을 물리치고 실제로 뒤집었을 때 유명해졌다.^[57] 콰인은 수학은 우리에게 가장 훌륭한 과학적 이론을 위해 필수불가결하며, 따라서 독립적으로 존재하는 사물에 대해 언급하는 진리의 주요 부분으로 받아들여야 한다고 주장했지만, 필드는 필수불가결하지 않으며, 따라서 실재적인 어떤 것에도 언급하지 않는 허위라고 지적했다. 그는 이를, 전혀 수와 함수를 사용하지 않는 뉴턴 역학의 완전한 공리계를 제공함으로써 수행했다. 힐베르트의 공리계(Hilbert's axioms)의 "사이에 있음"(betweenness^영어)이라는 개념을 사용하여 좌표를 부여하지 않고 공간을 특징짓는 것을 시작으로, 그 전까지는 벡터장에 의해 이루어지던 것을 하기 위해 점 사이의 추가적인 관계를 더했다. 힐베르트의 기하학은, 그것이 추상적인 점에 대해 언급하기 때문에, 수학적이다. 그러나, 필드의 이론에서는, 이 점들은 물리적 공간에 있는 구체적인 점이며, 따라서 특별한 수학적 대상은 전혀 필요하지 않다.

어떻게 수학을 사용하지 않고 과학을 할 수 있는지를 밝혀, 그는 수학을 유용한 허구라는 지위로 복귀시켰다. 그가 제시한 바에 따르면, 수학적 물리학은 그의 비수학적 물리학의 보수적인 확장(conservative extension^영어) 중 하나이며 (즉, 수학적 물리학에서 증명 가능한 모든 물리적 사실은, 그의 비수학적 물리학 체계에서 이미 증명 가능하며), 수학은 그 물리적 현상에의 응용이 모두 참인 신뢰할 수 있는 과정이긴 하지만, 그 자체의 명제는 거짓인 것이다. 따라서 우리가 수학을 할 때, 만약 수가 존재한다면 하고, 우리는 우리가 일종의 이야기를 하고 있을 뿐이다. 필드에게, 마치 "셜록 홈즈는 베이커 가 221B에 살고 있다"라는 명제가 거짓인 것과 마찬가지로, "2 + 2 = 4"와 같은 명제는 거짓인 것이다. — 비록, 이 두 명제 모두, 적절한 허구에 따르면 참이긴 하지만.

이 설명에 따르면, 수학에만 특유한 형이상학적 또는 인식론적인 문제는 존재하지 않는다. 남겨진 문제는, 비수학적 물리학에 대한 일반적인 문제와, 픽션 일반에 대한 문제뿐이다. 필드의 접근 방식은 매우 영향력이 있었지만, 오늘날에는 널리 거부되고 있다. 이것은, 하나는, 필드의 환원을 수행하기 위해 2차 논리의 강한 단편(strong fragments^영어)이 필요하기 때문이며, 또한 그의 보수적인 이론의 명제는 추상적인 모델이나 연역에 대해 양화를 필요로 하는 것처럼 보이기 때문이다. 다른 이의로는, 양자론이나 주기율표와 같은 몇몇 과학의 성과를, 수학 없이 어떻게 얻을 수 있는지는 분명하지 않다는 것이 있다. 만약, 어떤 원소를 다른 원소와 구별하는 것이 전자나 중성자, 양자의 수에 지나지 않는다면, 어떻게 수의 개념 없이 원소를 구별할 수 있을까?

4. 13. 사회 구성주의 (Social Constructivism)

사회 구성주의는 수학을 문화의 산물로서 수정 및 변화가 가능한, 주로 사회적 구성물로 본다. 다른 과학과 마찬가지로 수학은 그 결과가 끊임없이 평가되고 폐기될 수 있는 경험적 노력으로 간주된다. 그러나 경험주의적 관점에서 평가는 일종의 "현실"과의 비교인 반면, 사회 구성주의자들은 수학적 연구의 방향이 이를 수행하는 사회 집단의 유행이나 이를 지원하는 사회의 필요에 의해 결정된다고 강조한다. 그러나 이러한 외부적인 힘이 일부 수학 연구의 방향을 바꿀 수 있지만, 수학자들이 함양하는 수학적 전통, 방법, 문제, 의미 및 가치와 같은 강력한 내부적 제약이 역사적으로 정의된 학문을 보존하기 위해 작용한다.

이것은 수학이 어느 정도 순수하거나 객관적이라는, 실제로 활동하는 수학자들의 전통적인 믿음과 상반된다. 그러나 사회 구성주의자들은 수학이 실제로 많은 불확실성에 근거하고 있다고 주장한다. 수학적 실천이 진화함에 따라 이전 수학의 지위는 의심을 받게 되고 현재의 수학 커뮤니티가 필요하거나 원하는 정도에 따라 수정된다. 이는 라이프니츠와 뉴턴의 미적분학을 재검토하여 해석학이 발전한 것에서 볼 수 있다. 그들은 또한 완성된 수학이 과도한 지위를 부여받고, 통념 수학은 공리적 증명과 동료 심사에 대한 과도한 강조로 인해 충분한 지위를 얻지 못한다고 주장한다.

수학의 사회적 본성은 그 하위 문화에서 강조된다. 주요 발견은 수학의 한 분야에서 이루어져 다른 분야와 관련될 수 있지만, 수학자들 간의 사회적 접촉 부족으로 인해 그 관계가 발견되지 않는다. 사회 구성주의자들은 각 전문 분야가 고유한 인식 공동체를 형성하며, 서로 소통하거나 수학의 다양한 영역을 연결할 수 있는 통합 추측의 조사를 동기 부여하는 데 종종 큰 어려움을 겪는다고 주장한다. 사회 구성주의자들은 "수학을 하는" 과정이 실제로 의미를 창출하는 것으로 보는 반면, 사회 현실주의자들은 인간의 추상화 능력 부족, 인간의 인지 편향, 또는 수학자들의 집단 지성이 수학적 대상의 실제 우주를 이해하는 것을 막는다고 본다. 사회 구성주의자들은 때때로 수학의 기초를 찾는 것을 실패할 수 있고, 무의미하거나 심지어 무의미하다고 간주하여 거부한다.

임레 라카토스와 토마스 티모츠코는 이 학문에 기여했지만, 둘 다 이 명칭을 지지하는지는 분명하지 않다. 최근 폴 에르네스트는 수학의 사회 구성주의 철학을 명시적으로 공식화했다.^[59] 일부는 폴 에르되시의 전반적인 연구가, 비록 그가 개인적으로 이를 거부했지만, 그가 독특하게 광범위한 협력을 했기 때문에 이 견해를 발전시켰다고 본다. 이는 다른 사람들이 "사회적 활동으로서의 수학"을 보고 연구하도록 유도했다(예: 에르되시 수를 통해). 루벤 허쉬 역시 수학에 대한 사회적 관점을 옹호하며, 이를 앨빈 화이트와 관련된 것과 유사하지만 완전히 동일하지 않은 "인본주의적" 접근 방식이라고 칭했다.^[60] 허쉬의 공동 저자 중 한 명인 필립 J. 데이비스 역시 사회적 관점에 대한 공감을 표명했다.

5. 주요 논쟁

1960년대부터 1990년대에 들어서면서, 수학의 유용성에 대한 근본적인 해답을 찾으려는 기존 방식에 의문이 제기되었다. 이는 수학에서의 진리와 증명 같은 수학자 고유의 활동에 대한 논의로 이어졌다. 물리학자 유진 위그너는 1960년 논문 "자연과학에서의 수학의 불합리한 유효성"에서 수학과 물리학의 놀라운 일치가 설명하기 어렵다고 주장했다.

이러한 의문에 대해 선천적 이론과 인지 언어학 등의 학파가 답변을 제시했지만, 논의를 이 학파에만 국한하기는 어렵다. 수학적 기호법과 문화를 이해하고, 기존의 형이상학적 관념을 이 학파의 특수한 관념과 결합할 수 있는 철학자는 많지 않기 때문이다. 이는 수학자와 철학자 간의 단절을 낳았고, 일부 수학자들은 자신의 일을 활성화해 줄 세계관을 믿으며 신뢰할 수 없는 철학을 공언하기도 한다.

사회 이론, 준(準) 경험론, 생득 이론은 수학자의 활동이 포함하는 특유의 인식 방식에 주목하려 했지만, 이를 일상적인 인간의 지각이나 지식 습득과 관련짓지는 못했다.

5. 1. 수학적 실재론 논쟁

윌러드 콰인과 힐러리 퍼트넘의 필수 불가결성 논증은 수학적 실재론을 옹호하는 강력한 논거 중 하나로 여겨진다. 스티븐 야블로는 이 논증이 추상적인 수학적 실체(예: 수, 집합)의 존재를 뒷받침하는 가장 어려운 논증 중 하나라고 평가한다.^[65] 이 논증의 핵심은 다음과 같다.

1. 최선의 과학 이론에 필수적인 모든 실체와 오직 그러한 실체에 대해서만 존재론적 약속을 해야 한다. ("전부 그리고 오직 그것만")

2. 수학적 실체는 최선의 과학 이론에 필수불가결하다.

3. 따라서, 우리는 수학적 실체에 대해 존재론적 약속을 해야 한다.^[66]

첫 번째 전제는 가장 논쟁의 여지가 많다. 콰인과 퍼트넘은 자연주의를 통해 비과학적 실체를 배제하고, "전부 그리고 오직 그것만"에서 "오직" 부분을 옹호한다. 과학 이론에서 가정된 "모든" 실체(숫자 포함)를 현실로 받아들여야 한다는 주장은 확증 전체론으로 정당화된다. 이론은 부분적으로 확인되는 것이 아니라 전체적으로 확인되므로, 잘 확증된 이론에서 언급된 실체를 배제할 이유가 없다. 이는 집합과 비유클리드 기하학의 존재를 배제하고 쿼크처럼 물리학에서 탐지할 수 없는 실체의 존재를 포함하려는 명목론자에게 어려운 문제를 제기한다.^[66]

폴 베네세라프와 하트리 필드는 플라톤주의에 대한 "인식론적 논증"을 제시하며 반실재론적 입장을 취한다. 플라톤주의는 수학적 대상을 ''추상적인'' 실체로 간주한다. 일반적으로 추상적 실체는 구체적이고 물리적인 실체와 인과적으로 상호 작용할 수 없다. (베네세라프는 "우리 수학적 주장의 참/거짓은 시공간 밖 영역에 존재하는 플라톤적 실체와 관련된 사실에 달려있다."라고 하였다.^[67]) 구체적 대상에 대한 지식은 그것을 지각하고 인과적으로 상호 작용하는 능력에 기반하지만, 수학자들이 추상적 대상에 대한 지식을 어떻게 얻는지에 대한 설명은 부족하다.^[68]^[69]^[70] 플라톤적 세계가 사라져도 수학자들의 증명 능력에는 변화가 없을 것이며, 이는 뇌 속 물리적 과정으로 설명 가능하다.

필드는 자신의 견해를 허구주의로 발전시켰다. 베네세라프는 수학적 구조주의 철학을 발전시켜 수학적 대상이 존재하지 않는다고 주장했다. 그러나 구조주의의 일부는 실재론과 양립 가능하다.

이 논증은 사고 과정에 대한 자연주의적 설명이 수학적 추론을 포함하여 제시될 수 있다는 생각에 달려있다. 이를 방어하는 방법은 수학적 추론이 플라톤적 영역과의 접촉을 포함하는 특별한 직관을 사용한다고 주장하는 것이다. 로저 펜로즈는 이 논증의 현대적 형태를 제시했다.^[71]

다른 방법은 추상적 대상이 인과적이지 않고 지각과 유사하지 않은 방식으로 수학적 추론과 관련이 있다고 주장하는 것이다. 제럴드 카츠는 2000년 저서 ''현실주의적 합리주의''에서 이 논증을 발전시켰다.

더 급진적인 방어는 수학적 우주 가설처럼 물리적 현실을 부정하는 것이다. 이 경우 수학자에 의한 수학 지식은 한 수학적 대상이 다른 대상과 접촉하는 것이다.

5. 2. 기타 논쟁

칼 포퍼^[62]는 "사과 2개 + 사과 2개 = 사과 4개"와 같은 수에 대한 명제가 두 가지 의미로 해석될 수 있다고 주장했다. 하나는 반박할 수 없고 논리적으로 참인 의미이고, 다른 하나는 사실적으로 참이며 반증 가능한 의미이다. 이는 수에 대한 하나의 명제가 두 가지 명제를 표현할 수 있다는 것을 의미하며, 하나는 구성주의적 방식으로, 다른 하나는 실재론적 방식으로 설명될 수 있다.^[63]

20세기의 언어철학 혁신은 수학이 과학의 "언어"인지에 대한 문제에 대한 관심을 새롭게 했다. 수학자나 물리학자, 그리고 많은 철학자들은 "수학은 언어이다"라는 명제를 옳다고 인정하지만, 언어학자는 이 명제의 의미를 검토해야 한다고 생각한다. 예를 들어, 언어학이 사용하는 도구는 수학의 기호 체계 전반에는 적용되지 않는다. 즉, 수학은 다른 언어와는 현저하게 다른 방식으로 연구된다. 설령 수학이 언어라고 하더라도, 그것은 자연어와는 다른 타입의 언어이다. 수학이라는 언어는 명확하고 특정된 의미를 지녀야 하므로, 언어학자가 연구하는 자연어보다 훨씬 더 까다롭다. 그러나 프레게와 타르스키가 수학적 언어 연구를 위해 고안한 방법이, 타르스키의 학생이었던 리처드 몽태규나 형식 의미론 분야에서 연구하는 다른 언어학자들에 의해 대폭 발전되어, 수학적 언어와 자연어의 차이는 겉보기만큼 크지 않을 수 있다는 것을 밝히고 있다.

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