각 (수학)

3. 정의

기하학에서 각(角, angle)은 평면상의 두 직선이 서로 만나 교차할 때 그 두 직선들이 서로에 대해 벌어진 정도를 말하며, 이러한 각의 크기를 각도(角度)라고 부른다.^[51]

이러한 정의에 따르면 두 직선이 서로 한 직선상에서 일치하지 않는 한 교차되는 각은 항상 4개가 나타난다. 따라서 좌표평면상의 0점을 기준으로 끝점을 갖는 두 반직선을 가정하여 단 하나의 각을 갖는 경우를 생각할 수 있다.^[52]

'각(angle)'이라는 단어는 "모서리"를 의미하는 라틴어 angulus^la에서 유래했다. 어원 관련어로는 "구부러진, 굽은"을 의미하는 그리스어 ἀγκύλος|ankylοs^grc와 영어 단어 "발목"(ankle)이 있다. 이들은 모두 "구부리다" 또는 "활을 굽히다"를 의미하는 원시 인도 유럽어 어근 ''*ank-''와 관련이 있다.^[2]

유클리드는 평면 각을 서로 만나고 서로 직선상에 있지 않은 두 선이 평면에서 서로에 대해 기울어진 것으로 정의한다. 신플라톤 철학자 프로클로스에 따르면, 각은 품질, 양 또는 관계 중 하나여야 한다. 각을 품질로 보는 첫 번째 개념은 로도스의 에우데모스가 사용했는데, 그는 각을 직선에서 벗어난 것으로 간주했다. 각을 양으로 보는 것은 안티오키아의 카르푸스가 사용했는데, 그는 각을 교차하는 선 사이의 간격 또는 공간으로 간주했다. 유클리드는 세 번째, 즉 각을 관계로 채택했다.^[3]

수학적 수식에서, 각도의 크기를 나타내는 변수로 그리스 문자(α, β, γ, θ, φ 등)를 사용하는 것이 일반적이다. 소문자 로마자 (''a'', ''b'', ''c'' 등)도 사용된다.

세 개의 정의된 점은 기하학적 도형에서 각도를 식별할 수 있다. 예를 들어, 반직선 AB와 AC로 형성된 꼭짓점 A를 갖는 각도는 $\backslash widehat\{\backslash rm\; BAC\}$로 표시한다.

4. 각의 종류

• 빗각(-角, oblique angle|오블리크 앵글^영어): 직각이나 평각이 아닌 기울기가 있는 각으로, 예각 또는 둔각이 이에 해당한다.
• 바퀴(Turn (geometry)|턴^영어): 360도
• 주각(周角, round angle|라운드 앵글^영어): 다각형 둘레의 각

• 우각(優角, reflex angle|리플렉스 앵글^영어, major angle|메이저 앵글^영어): 한 점에서 나오는 두 반직선이 이루는 각 중 큰 쪽(바깥쪽) 각.^[53]
• 열각(劣角, minor angle|마이너 앵글^영어): 한 점에서 나오는 두 반직선이 이루는 각 중 작은 쪽(안쪽) 각.
• 여각(餘角, complementary angle|컴플리멘터리 앵글^영어): 예각과 더하여 직각이 되는 각.
• 보각(補角, supplementary angle|서플리멘터리 앵글^영어): 평각보다 작은 각과 더하여 평각이 되는 각.
• 공액각(共軛角, explementary angle|익스플리멘터리 앵글^영어): 서로 더하여 원둘레 360도를 이루는 각.
• 맞꼭지각(=대정각(對頂角)): 두 직선이 교차할 때 서로 마주 보는 각.
• -|]]
• 끼인각(--角, =협각(夾角), contained angle|컨테인드 앵글^영어)=사잇각: 두 변 사이에 끼어 있는 각. 예각삼각형, 내행성과 외행성의 공전궤도, 원뿔곡선 등에서 다루어진다.
• 교각(交角, =만난각, angle of intersection|앵글 오브 인터섹션^영어): 두 직선이 만나 서로의 선분을 양분하여 생기는 각.
• 동위각(同位角, corresponding angle|코레스폰딩 앵글^영어): 두 직선과 한 횡단선이 만날 때 같은 위치에 있는 각.
• 엇각(alternate angles, 얼터네이트 앵글^영어): 두 직선과 한 횡단선이 만날 때 엇갈린 위치에 있는 각.

4. 1. 크기에 따른 각

• 영각(零角, zero angle): 0° (0 rad)
• 예각(銳角, acute angle): 0°보다 크고 90°보다 작은 각 (0 < θ < rad)
• 직각(直角, right angle): 90° ( rad)
• 둔각(鈍角, obtuse angle): 90°보다 크고 180°보다 작은 각 ( < θ < π rad)
• 평각(平角, straight angle): 180° (π rad)
• 요각(凹角, reentering angle): 180°보다 크고 360°보다 작은 각 (π < θ < 2π rad)
• 철각(凸角, convex angle): 180°보다 작은 각
• 주각(周角, round angle/full angle/perigon): 360° (2π rad)
• 빗각(-角, oblique angle): 예각 또는 둔각처럼 직각이나 평각이 아닌 경사(기울기)가 있는 각

4. 2. 직선의 교차로 이루어지는 각

• -|]]

• 우각(優角, reflex angle|리플렉스 앵글^영어, major angle|메이저 앵글^영어): 두 반직선이 이루는 각 중 큰 쪽의 각 (180°보다 큼)^[53]
• 열각(劣角, minor angle|마이너 앵글^영어): 두 반직선이 이루는 각 중 작은 쪽의 각
• 여각(餘角, complementary angle|컴플리멘터리 앵글^영어): 합쳐서 직각이 되는 두 각^[6]
• 보각(補角, supplementary angle|서플리멘터리 앵글^영어): 합쳐서 평각이 되는 두 각^[8]
• 공액각(共軛角, explementary angle|익스플리멘터리 앵글^영어): 서로 더하여 원둘레 360도를 이루는 각^[9]
• 맞꼭지각(=대정각(對頂角)): 두 직선이 교차할 때 서로 마주 보는 각^[4]
• 끼인각(--角, =협각(夾角), contained angle|컨테인드 앵글^영어): 두 변 사이에 끼어 있는 각
• 교각(交角, =만난각, angle of intersection|앵글 오브 인터섹션^영어): 두 직선이 만나 서로의 선분을 양분함으로써 각도가 생기는 것
• 동위각(同位角, corresponding angle|코레스폰딩 앵글^영어): 두 직선과 한 횡단선이 만날 때 같은 위치에 있는 각
• 엇각(alternate angles, 얼터네이트 앵글^영어): 두 직선과 한 횡단선이 만날 때 엇갈린 위치에 있는 각

• 모든 평각은 같다.
• 같은 것에 같은 것을 더하면 같다.
• 같은 것에서 같은 것을 빼면 같다.

4. 3. 도형에서 이루어지는 각

• 내각(內角, =안각, interior angle): 다각형의 내부 각.^[54]
• 외각(外角, =밭각, exterior angle): 다각형의 한 변과 그 변에 이웃한 변의 연장선이 이루는 각.^[54]
• 대각(對角, opposite angle): 다각형 내에서 서로 마주보는 각.^[54]
• 내대각(內對角, =안맞각, interior opposite angle): 삼각형에서 한 외각에 대하여 이웃하지 않는 내각.
• 밑각(-角, base angle): 등변사다리꼴, 이등변삼각형에서 밑변의 양 끝에 있는 두 각.
• 이웃각(--角, adjacent angles, =인접각): 공통 변을 갖는 두 각.
• 평면각(平面角, =이면각, plane angle): 두 평면이 만나서 이루는 각.
• 다면각(多面角, polyhedral angle): 다면체에서 나타나는 각.
• 단순 다각형에서 다각형의 내부에 위치하면 ''내각''이라고 한다. 단순 오목 다각형은 적어도 하나의 내각(둔각)을 갖는다.
• 내각의 여각을 ''외각''이라고 한다. 즉, 내각과 외각은 각의 선형쌍을 이룬다. 다각형의 각 꼭짓점에는 두 개의 외각이 있으며, 각 꼭짓점에서 만나는 다각형의 두 변 중 하나를 연장하여 결정된다.
• 삼각형에서, 두 외각의 이등분선과 다른 내각의 이등분선은 공점선(한 점에서 만난다)이다.^[10]
• 삼각형에서, 각 외각 이등분선과 마주보는 연장 변 사이의 세 개의 교차점은 공선점이다.^[10]
• 삼각형에서, 내각 이등분선과 마주보는 변 사이의 두 점과 다른 외각 이등분선과 마주보는 변의 연장선 사이의 세 번째 점은 공선점이다.^[10]
• 두 평면(다면체의 두 인접한 면 등) 사이의 각을 ''이변각''이라고 한다.^[7]

4. 4. 원에서 성립하는 각

• 원주각(圓周角, angle of circumference^영어): 원의 원둘레 위의 한 점에서 그은 두 현이 만드는 각이다. 원주각의 크기는 같은 호에 대한 중심각의 절반이다.
• 중심각(中心角, central angle^영어): 원의 중심에서 원주 위의 두 점을 이은 두 반지름이 만드는 각이다. 부채꼴의 두 반지름이 이루는 각도 중심각이라고 한다.

5. 특수각과 일반각

특수각은 삼각함수에서 나타나는 0˚, 15˚, 30˚, 45˚, 60˚, 75˚, 90˚를 가리키며, 이로 인해 단위원상에서 정삼각형, 정사각형 등을 사용해 그 삼각비를 유도하여 얻을 수 있다. 이러한 특별한 각들인 특수각들은 삼각함수 등에서 매우 중요한 성질을 갖는다.

단위원 상에서 0˚, 30˚, 45˚, 60˚, 90˚을 내각으로 갖는 정삼각형, 이등변삼각형, 정사각형은 0˚, 30˚, 45˚, 60˚, 90˚와 그의 주기적인 각도 120˚, 135˚, 150˚, 180˚, .... 등에서 삼각함수를 얻게 해주기에 특별한 각으로 불린다. 그리고 15˚와 75˚는 삼각함수의 덧셈정리로 유도할 수 있다.

6. 각도의 단위

• 도(degree): 기호는 °이며 원주를 360등분한 호에 대한 중심각이다.
• 분(minute): 기호는 '이며 1도를 60등분한 각이다.
• 초(second): 기호는 "이며 1분을 60등분한 각이다.
• 라디안(radian, rad): 부채꼴의 호와 반지름의 비로 나타내는 각의 단위이다.
• 스테라디안(steradian, sr), 평방라디안(square radian, rad²): 구의 일부의 둥근 부분의 넓이와 반지름의 제곱의 비로 나타내는 입체각의 단위이다.
• 평방도(square degree, deg², (°)²): 입체각의 단위이다.
• 점(pt, point): 항해 또는 항공에 관한 각도의 단위로, 1점은 11.25°이다.

7. 각도의 측정 및 계산

수학에서 각의 크기를 나타내는 변수로는 그리스 문자(α, β, γ, θ, φ 등)를 사용하는 것이 일반적이다. π는 원주율을 나타내므로 혼동을 피하기 위해 사용하지 않는다. 소문자 로마자 (''a'', ''b'', ''c'' 등)도 사용되며, 혼동의 여지가 없는 경우 꼭짓점을 나타내는 대문자 로마자로 각도를 표시할 수 있다.

기하학적 각도의 크기는 일반적으로 한 반직선을 다른 반직선으로 매핑하는 최소 회전의 크기로 특징지어진다. 크기가 같은 각도는 '같다', '합동' 또는 '측정에서 같다'고 한다.

각도 θ를 측정하기 위해, 각도의 꼭짓점을 중심으로 하는 원호를 그린다. 원의 반지름 r에 대한 호의 길이 s의 비율은 각도 내의 라디안 수이다.^[12]

:$$\backslash theta\; =\; \backslash frac\{s\}\{r\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{rad\}.$$

다른 각도 단위로 표현된 각도는 각도에 $\backslash frac\{k\}\{2\backslash pi\}$ 형태의 적절한 변환 상수를 곱하여 얻을 수 있으며, 여기서 ''k''는 선택한 단위로 표현된 완전한 회전의 측정값이다 (예를 들어, 도의 경우 $k=360$°).

:$$\backslash theta\; =\; \backslash frac\{k\}\{2\backslash pi\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{s\}\{r\}.$$

두 변이 이루는 각도는 두 변을 기하 벡터로 간주하고 두 벡터의 '''점곱'''(내적, )을 사용하여 계산할 수 있다. 이 방법은 코사인 법칙을 이용하여 각도를 구하는 방법과 같다. 일반적인 각도를 계산하려면 삼각 함수의 값을 구하고, 그 값을 역삼각 함수에 대입하여 각도를 구한다.

각각의 벡터를 $\backslash vec\{u\}$, $\backslash vec\{v\}$라고 하면, 그 크기 $|\backslash vec\{u\}|$, $|\backslash vec\{v\}|$는 대응하는 변의 길이를 나타낸다. 벡터 $\backslash vec\{u\}$, $\backslash vec\{v\}$의 내적 $\backslash vec\{u\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{v\}$는,

:$\backslash vec\{u\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{v\}\; =\; |\backslash vec\{u\}|\; |\backslash vec\{v\}|\; \backslash cos\backslash theta$

로 나타낼 수 있으며, θ는 두 변이 이루는 열각의 크기로 간주할 수 있다. 내적 $\backslash vec\{u\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{v\}$ 및 각 벡터의 절댓값 $|\backslash vec\{u\}|$, $|\backslash vec\{v\}|$를 알고 있다면, $\backslash cos\backslash theta$를 구할 수 있으며, 이것을 이용하여 각도 θ를 얻을 수 있다.

:$\backslash cos\backslash theta\; =\; \backslash frac\{\backslash vec\{u\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{v\}\}$