원 (기하학)

3. 역사

20세기 초 추상 미술의 등장과 함께 기하학적 대상은 그 자체로 예술적 주제가 되었다. 특히 바실리 칸딘스키는 자신의 작품에서 원을 자주 사용했다.^[8][9]

3. 1. 고대

3. 2. 중세 및 근대

4. 해석적 성질

원의 해석적 성질에 대해 설명한다.

• '''원의 방정식'''
• * 데카르트 좌표계에서 중심이 $(a,b)$이고 반지름이 $r$인 원의 방정식은 다음과 같다.

• * 일반적인 형태는 다음과 같다.

• * 평면 위의 모든 원은 적절한 데카르트 좌표계를 설정하면 다음과 같은 표준 방정식으로 표현할 수 있다.

• * 매개변수 방정식은 다음과 같다.

• '''극좌표계에서의 원의 방정식'''

• '''복소평면에서의 원의 방정식'''

• * 일반적인 형태는 다음과 같다.

• '''접선의 방정식'''
• * 2차원 데카르트 좌표계 위에서, 다음 원의 $(x\_0,y\_0)$을 접점으로 하는 접선의 방정식은 다음과 같다.

• * 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 다음과 같다.

4. 1. 둘레와 넓이

• }

4. 2. 방정식

4. 2. 1. 데카르트 좌표계

4. 2. 2. 극좌표계

5. 기하적 성질

• 임의의 두 원은 서로 중심 닮음이며, 동심원이 아닐 경우 두 원의 중심을 잇는 선분의 반지름의 비에 따른 내분점 및 외분점을 닮음 중심으로 갖는다.^[29]
• 반지름의 길이가 같은 모든 원은 서로 합동이다.^[31]
• 공선점이 아닌 세 점을 지나는 원은 항상 유일하게 존재한다.^[31]
• 원은 주어진 둘레의 길이에서 가장 넓은 면적을 가진 도형이다. (등주 부등식 참조)
• 모든 원은 닮음이다.^[12]
• * 원의 둘레와 반지름은 비례한다.
• * 닫힌 면적과 반지름의 제곱은 비례한다.
• * 비례 상수 값은 각각 2π와 π이다.
• 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 단위 원이라고 한다.
• * 단위 구의 대원으로 생각하면, 리만 원이 된다.
• 동일 직선상에 있지 않은 임의의 세 점을 지나는 유일한 원이 존재한다. 데카르트 좌표계에서는 세 점의 좌표를 사용하여 원의 중심 좌표와 반지름에 대한 명시적인 공식을 제공할 수 있다. 외접원을 참조하라.
• 삼각형이나 원에 관한 사항을 다루는 기하학 (닮음이나 면적을 사용하지 않음)은 '''원론'''이라고 불리며, 예로부터 매우 깊이 연구되어 왔다. 가장 평면 기하학다운 기하학이라고도 불린다.

5. 1. 대칭

• 원은 지름에 대한 반사와 원의 중심에 대한 회전에 대하여 대칭이다.^[30] 즉, 원의 대칭군은 2차원 직교군 $\backslash operatorname\; O(2,\backslash mathbb\; R)$이다.
• 원은 매우 대칭적인 도형으로, 중심을 지나는 모든 선은 반사 대칭을 이루고, 모든 각도에 대해 중심을 기준으로 회전 대칭을 갖는다. 원의 대칭군은 직교군 O(2, ''R'')이다. 회전만의 군은 원군 '''T'''이다.

5. 2. 호와 현

• 현의 수직 이등분선은 원의 중심을 지난다.^[30]
• * 즉, 현에 수직인 지름은 현을 이등분한다.^[30]
• * 즉, 지름이 아닌 현을 이등분하는 지름은 현에 수직이다.^[30]
• 지름은 원의 가장 긴 현이다.^[31]
• (방멱 정리) 원 위에 있지 않은 점 $P$를 지나는 두 직선 가운데 하나는 원과 점 $A$와 $B$에서 만나고, 다른 하나는 원과 점 $C$와 $D$에서 만난다고 하면, $PA\backslash cdot\; PB=PC\backslash cdot\; PD$이다.^[31]
• 원 위의 점과 현 사이의 거리와 지름의 곱은 점과 현의 양 끝점 사이의 거리의 곱과 같다.^[29]
• 현의 길이는 원의 중심으로부터 같은 거리에 있을 때에만 서로 같다.
• 원의 중심에서 현에 수직인 선은 현을 이등분한다.
• 중심을 통과하고 현을 이등분하는 선분은 현에 수직이다.
• 원의 중심각과 원주각이 같은 현에 의해 만들어지고 현의 같은 쪽에 있으면, 중심각은 원주각의 두 배이다.
• 두 각이 같은 현과 같은 쪽에 내접하면, 그 각은 같다.
• 두 각이 같은 현과 현의 반대쪽에 내접하면, 그 각은 보충각이다.
• * 원내접사각형의 외각은 내대각과 같다.
• 지름에 의해 만들어진 원주각은 직각이다 (탈레스의 정리 참조).
• 공통 현 AB를 가진 모든 원 중에서, 반지름이 가장 작은 원은 지름이 AB인 원이다.
• 두 현의 교점이 한 현을 길이 ''a''와 ''b''로 나누고 다른 현을 길이 ''c''와 ''d''로 나누면, ''ab'' = ''cd'' 이다.
• 두 수직인 현의 교점이 한 현을 길이 ''a''와 ''b''로 나누고 다른 현을 길이 ''c''와 ''d''로 나누면, ''a''² + ''b''² + ''c''² + ''d''² 는 지름의 제곱과 같다.^[13]
• 주어진 점에서 직각으로 교차하는 두 현의 제곱 길이의 합은 동일한 점에서 교차하는 다른 두 수직 현의 제곱 길이의 합과 같으며, 8''r''² − 4''p''²로 주어진다. 여기서 ''r''은 원의 반지름이고, ''p''는 중심점과 교차점 사이의 거리이다.^[14]
• 원 위의 한 점에서 주어진 현까지의 거리에 원의 지름을 곱한 값은 점에서 현의 끝점까지의 거리의 곱과 같다.^[15]
• 현의 정리는 두 현 ''CD''와 ''EB''가 점 ''A''에서 교차하면 ''AC'' × ''AD'' = ''AB'' × ''AE'' 가 성립한다고 말한다.
• 현과 그 끝점에서의 접선 사이의 각은 현의 반대쪽에서 원의 중심에서 이루는 각의 절반과 같다(접선-현 각).
• 현이 중심에서 이루는 각이 90°이면 ''ℓ'' = ''r'' √2 가 성립하며, 여기서 ''ℓ''은 현의 길이이고, ''r''은 원의 반지름이다.
• 원과 두 점에서 만나는 직선을 '''할선'''이라고 한다. 이때의 교점을 두 점 A, B라고 할 때, 원주에 의해 할선에서 잘려나가는 선분 AB를 '''현'''이라고 하며, 현 AB라고 부른다.
• 원주는 할선에 의해 두 부분으로 나뉜다. 이 각각의 부분을 '''원호''' (arc) 또는 단순히 '''호'''라고 한다.
• * 두 호의 길이가 같지 않을 때, 긴 쪽의 호를 '''우호''' (major arc), 짧은 쪽의 호를 '''열호''' (minor arc)라고 한다.
• * 두 호의 길이가 같을 때, 이 호들을 '''반원'''이라고 한다. 이때, 할선은 원의 중심을 지나는 중심선이다.
• 원주상의 두 점 A, B를 양 끝으로 하는 호를 호 AB라고 부른다. 기호로는, A͡B로 표기한다 (기호 ⌒는 AB 위에 덮어 쓰는 것이 옳다). 이것으로는 우호와 열호 중 어느 것인지 지정할 수 없는 단점이 있어, 한 쪽을 특정하고 싶을 때는, 그 호 위의 점 P를 사용하여 호APB와 같이 표기한다.
• 현 AB와 호 AB로 둘러싸인 도형을 '''활꼴''' (segment)이라고 한다.

5. 3. 원과 직선의 위치 관계

• $d>r$라면, 원과 직선은 만나지 않는다.
• $d=r$라면, 원과 직선은 한 점에서 만난다. 이때 직선은 원의 접선이다.

• 원의 반지름의 끝점을 지나고 반지름에 수직으로 그려진 선은 원의 접선이다.
• 원과 접하는 접점을 지나 접선에 수직으로 그려진 선은 원의 중심을 지난다.
• 원 밖의 임의의 점에서 항상 두 개의 접선을 그릴 수 있으며, 이 접선들의 길이는 같다.
• 점 ''A''에서의 접선과 점 ''B''에서의 접선이 외부 점 ''P''에서 교차하는 경우, 중심을 ''O''라고 표시하면, 각 ∠''BOA''와 ∠''BPA''는 보각 관계이다.
• 만약 ''AD''가 원에 접선이고 점 ''A''에서 접하며 ''AQ''가 원의 현이라면, $\backslash angle\; DAQ\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; arc(AQ)$이다.

• 현의 정리는 두 현 ''CD''와 ''EB''가 점 ''A''에서 교차하면 $AC\; \backslash times\; AD\; =\; AB\; \backslash times\; AE$가 성립한다고 말한다.
• 두 할선 ''AE''와 ''AD''가 원과 각각 ''B''와 ''C''에서 교차하면 $AC\; \backslash times\; AD\; =\; AB\; \backslash times\; AE$가 성립한다 (현의 정리의 따름 정리).
• 접선은 끝점이 일치하는 할선의 극한 경우로 간주할 수 있다. 외부 점 ''A''에서 그은 접선이 원과 점 ''F''에서 만나고, 외부 점 ''A''에서 그은 할선이 원과 각각 점 ''C''와 ''D''에서 만나면 $AF^2\; =\; AC\; \backslash times\; AD$가 성립한다 (접선-할선 정리).
• 현과 그 끝점에서의 접선 사이의 각은 현의 반대쪽에서 원의 중심에서 이루는 각의 절반과 같다(접선-현 각).
• 현이 중심에서 이루는 각이 90°이면 $\ell \; =\; r\backslash sqrt\{2\}$가 성립하며, 여기서 ''ℓ''은 현의 길이이고, ''r''은 원의 반지름이다.
• 오른쪽 그림과 같이 두 할선이 원에 내접하면 각 ''A''의 크기는 갇힌 호($\backslash overset\{\backslash frown\}\{DE\}$와 $\backslash overset\{\backslash frown\}\{BC\}$)의 크기 차이의 절반과 같다. 즉, $2\backslash angle\{CAB\}\; =\; \backslash angle\{DOE\}\; -\; \backslash angle\{BOC\}$이며, 여기서 ''O''는 원의 중심이다(할선-할선 정리).

5. 4. 두 원의 위치 관계

• $d\; >\; R\; +\; r$ 이거나 이면, 두 원은 만나지 않는다.
• * $d\; >\; R\; +\; r$ 이면, 두 원은 서로의 외부에 있으며 교점을 가지지 않는다.
• * 이면, 작은 원은 큰 원의 내부에 있으며 교점을 가지지 않는다.
• $d\; =\; R\; +\; r$ 이거나 $d\; =\; |R\; -\; r|$ 이면, 두 원은 한 점에서 만난다. 즉, 두 원은 서로 접한다.
• * $d\; =\; R\; +\; r$ 이면, 두 원은 서로의 외부에서 접한다. 즉, 두 원은 외접한다.
• * $d\; =\; |R\; -\; r|$ 이면, 작은 원이 큰 원의 내부에서 큰 원에 접한다. 즉, 두 원은 내접한다.
• 이면, 두 원은 두 점에서 만난다.

5. 5. 중심각과 원주각

• 주어진 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 1/2이다.^[31]
• 같은 호에 대한 두 원주각의 크기는 서로 같다.^[31]
• 켤레호에 대한 두 중심각은 서로 보각이다.
• * 내접 사각형의 두 대각은 서로 보각이다.^[31]
• * 내접 사각형의 외각의 크기는 내대각과 같다.
• (탈레스 정리) 지름에 대한 원주각은 직각이다.
• * 삼각형의 외심이 변 위에 있을 필요충분조건은 직각 삼각형이다.^[31]
• 원의 두 현이 원 내부에서 이루는 각의 크기는 이 각과 맞꼭지각의 내부에 포함되는 두 호에 대한 중심각의 합의 1/2이다.^[31]
• 원의 두 할선이 원 외부에서 이루는 각의 크기는 이 각의 내부에 포함되는 두 호에 대한 중심각의 차의 1/2이다.^[31]

5. 6. 접선

• 원 위의 한 점을 지나는 원의 접선은 유일하게 존재하고, 이는 이 점을 지나는 반지름에 수직이다.^[30][31]
• * 즉, 반지름의 끝점에서의 수선은 원에 접한다.^[30]
• * 즉, 원의 접선의 접점에서의 수선은 원의 중심을 지난다.
• 원 외부의 한 점을 지나는 원의 접선은 정확히 2개이고, 이 점과 두 접점 사이의 거리는 같으며, 두 접선이 이루는 각과 두 접점을 지나는 반지름이 이루는 각은 서로 보각이다.
• 원의 접현각의 크기는 현을 기준으로 이와 같은 쪽에 있는 호에 대한 중심각의 1/2이다.^[31]
• 원의 접선과 할선이 원 외부에서 이루는 각은 각의 내부에 포함된 두 호의 중심각의 차의 1/2이다.^[31]
• 외접하는 두 원의 교점을 지나는 두 공통 할선 사이의 두 현은 서로 평행하다.^[31]
• (접선에 대한 방멱 정리) 원 외부의 점 $P$를 지나는 두 직선 가운데 하나는 원과 $A$와 $B$에서 만나고, 하나는 원에 점 $T$에서 접한다고 하면, $PA\backslash cdot\; PB=PT^2$이다.
• 원 위의 점 ''P''를 지나는 접선은 ''P''를 지나는 지름에 수직이다. 원의 중심이 원점에 있을 때, 접선의 방정식은 다음과 같다.

• 원의 반지름의 끝점을 지나고 반지름에 수직으로 그려진 선은 원의 접선이다.
• 원과 접하는 접점을 지나 접선에 수직으로 그려진 선은 원의 중심을 지난다.
• 원 밖의 임의의 점에서 항상 두 개의 접선을 그릴 수 있으며, 이 접선들의 길이는 같다.
• 점 ''A''에서의 접선과 점 ''B''에서의 접선이 외부 점 ''P''에서 교차하는 경우, 중심을 ''O''라고 표시하면, 각 ∠''BOA''와 ∠''BPA''는 보각 관계이다.
• 만약 ''AD''가 원에 접선이고 점 ''A''에서 접하며 ''AQ''가 원의 현이라면, 이다.
• 원주와 직선이 하나의 공통점을 가질 때, 그 직선을 원의 '''접선''' (tangent)이라고 하며, 공통점을 '''접점'''이라고 한다. 원의 중심과 접점을 잇는 반지름 ('''접점 반지름''')은 접선과 접점에서 직교한다.
• 원의 외부의 점 A에서 원 O에 두 개의 접선을 그릴 수 있다. 이 접점을 S, T라고 하면, 선분 AS, AT의 길이를 '''접선의 길이'''라고 한다. 접선의 길이는 같다. 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각은, 그 각 안에 있는 호에 대한 원주각과 같다 ('''접현 정리'''). 즉, 아래 그림에서 AT가 접선이라면, ∠BAT = ∠APB이다. 접현 정리는 역도 성립한다.

5. 7. 원의 직교

• 두 원의 반지름이 $r,r\text{'}$이고, 두 중심 사이의 거리가 $d$라고 할 때, 두 원이 서로 직교할 필요충분조건은 $r^2+\{r\text{'}\}^2=d^2$이다.^[29]
• 주어진 원에 직교하고 중심이 원 외부의 주어진 점인 원은 유일하게 존재한다.^[29]
• 주어진 원에 직교하고 원의 지름이 아닌 현의 두 끝점을 지나는 원은 유일하게 존재한다.^[29]

6. 작도

컴퍼스와 자를 사용하여 작도할 수 있는 방법은 다음과 같다.

• 공선점이 아닌 세 점 $A,B,C$를 지나는 원

• 주어진 원의 중심

• 지름의 중점을 작도한다.
• 중심이 지름의 한 끝점을 지나는 원을 작도한다(다른 끝점도 지난다).
• 점의 이름을 $P$, $Q$, $R$이라고 지정한다.
• 선분 $\backslash overline\{PQ\}$의 수직 이등분선을 작도한다.
• 선분 $\backslash overline\{PR\}$의 수직 이등분선을 작도한다.
• 이 두 수직 이등분선의 교점을 $M$이라고 표시한다. (점들이 공선점이 아니므로, 두 선분은 반드시 만난다).
• 점 $P$, $Q$, $R$ 중 하나를 지나고, 중심이 $M$인 원을 작도한다 (이 원은 나머지 두 점도 지나게 된다).

7. 기타 관련 주제

모든 삼각형은 유일한 내접원 및 외접원과 정확히 3개의 방접원을 갖는다. 그러나 일반적으로 다각형은 내접원이나 외접원을 가질 필요가 없다. 어떤 다각형이 모든 변에 접하는 원을 가질 경우, 이 다각형을 외접 다각형이라고 한다. 어떤 다각형이 모든 꼭짓점을 지나는 원을 가질 경우, 이 다각형을 내접 다각형이라고 한다. 동시에 외접 다각형이며 내접 다각형인 다각형을 이중중심 다각형이라고 한다. 예를 들어, 모든 삼각형과 모든 정다각형은 이중중심 다각형이다.^[31]

페르가의 아폴로니우스는 원이 평면 상의 한 점의 집합으로 정의될 수 있으며, 두 개의 고정된 초점 ''A''와 ''B''까지의 거리가 상수 ''비율'' (1이 아닌)을 가진다는 것을 보였다.^[16][17] (거리가 같은 점들의 집합은 선분 ''AB''의 수직 이등분선이다.)

만약 ''C''가 선분 ''AB''의 중점이라면, 아폴로니우스 조건을 만족하는 점 ''P''의 집합은 원이 아니라 직선이다. 따라서 ''A'', ''B'', ''C''가 평면 위의 서로 다른 점으로 주어지면, 위의 방정식을 만족하는 점 ''P''의 자취를 "일반화된 원"이라고 한다. 이것은 진정한 원이거나 직선일 수 있다. 이러한 의미에서 직선은 무한 반지름을 가진 일반화된 원이다.

모든 삼각형에는 세 변 각각에 접하도록 하는 고유한 원, 즉 내접원을 내접시킬 수 있다.^[19]

모든 삼각형에 대해, 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 유일한 원, 즉 외접원을 외접시킬 수 있다.^[20]

접선 다각형, 예를 들어 접선 사각형은 다각형의 각 변에 접하는 내접원을 내접시킬 수 있는 모든 볼록 다각형을 말한다.^[21] 모든 정다각형과 모든 삼각형은 접선 다각형이다.

원내 다각형은 각 꼭짓점을 지나는 외접원을 외접시킬 수 있는 모든 볼록 다각형이다. 잘 연구된 예는 원내 사각형이다. 모든 정다각형과 모든 삼각형은 원내 다각형이다. 원내 다각형이면서 접선 다각형인 다각형을 이중중심 다각형이라고 한다.

하이포사이클로이드는 주어진 원 안에 구르는 더 작은 원 위의 고정된 점의 자취를 추적하여 주어진 원에 내접하는 곡선이다.

원은 다양한 다른 도형의 극한으로 볼 수 있다.

• ''n''개의 변을 가진 일련의 정다각형은 ''n''이 무한대로 접근함에 따라 원을 극한으로 갖는다. 이 사실은 아르키메데스가 π 근사에 적용했다.
• 데카르트의 난형선은 임의의 점에서 두 개의 고정된 점(초점)까지의 거리의 가중 합이 상수인 점들의 집합이다. 타원은 가중치가 같은 경우이다. 원은 이심률이 0인 타원이며, 이는 두 초점이 원의 중심과 일치한다는 의미이다. 원은 또한 가중치 중 하나가 0인 데카르트의 난형선의 또 다른 특수한 경우이다.
• 초타원은 양수 ''a'', ''b'', ''n''에 대해 $\backslash left|\backslash frac\{x\}\{a\}\backslash right|^n\backslash !\; +\; \backslash left|\backslash frac\{y\}\{b\}\backslash right|^n\backslash !\; =\; 1$ 형태의 방정식을 갖는다. 초원(supercircle)은 $b\; =\; a$를 갖는다. 원은 $n\; =\; 2$인 초원의 특수한 경우이다.
• 카시니 타원은 임의의 점에서 두 개의 고정된 점까지의 거리의 곱이 상수인 점들의 집합이다. 두 고정점이 일치하면 원이 생성된다.
• 정폭 도형은 경계와 한 점에서 만나는 서로 다른 두 개의 평행선 사이의 수직 거리로 정의되는 폭이 두 평행선의 방향에 관계없이 동일한 도형이다. 원은 이러한 유형의 도형의 가장 간단한 예이다.

8. 같이 보기

• 아폴로니우스 원
• 아르키메데스 원
• 아르키메데스의 쌍둥이 원
• 뱅코프 원
• 카라일 원
• 색상환
• 반사상 원
• 포드 원
• 측지 원
• 존슨 원
• 쇼크 원
• 우 원

참조

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