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수학 기호

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목차

1. 개요

수학 기호는 수학적 개념, 연산, 관계 등을 표현하기 위해 사용되는 다양한 기호들을 의미한다. 여기에는 기초 연산 기호(+, -, ×, /, √, ||), 집합론 기호(∈, ⊆, ∪, ∩, ∅), 논리 및 관계 기호(¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔), 수 체계 기호(ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ), 미적분학 및 해석학 기호(lim, ∫, ∂, d/dx), 선형대수학 기호(행렬, 벡터, ⊗), 괄호 기호, 기타 기호(∞, |, ∥, ⊥, !, P, C) 등이 포함된다. 이러한 기호들은 수학적 표현의 간결성과 정확성을 높이는 데 기여하며, 수학의 다양한 분야에서 널리 활용된다.

2. 기초 연산 기호

기호의미설명예시
+더하기X+Y는 수 X와 Y를 더한 값이다.1+1=2
-빼기X-Y는 수 X에서 Y를 뺀 값이다.9-7=2
음의 부호-X는 수 X의 반수이다.5+(-5)=0
\pm플러스마이너스X\pm Y는 X+Y와 X-Y를 모두 의미한다.x^2=1의 근은 x=\pm1이다.
측정에서의 범위X\pm Y는 X-Y부터 X+Y까지의 범위를 의미한다.a=100\pm1 mm는 99mm\le a\le 101mm이다.
\times, \cdot곱하기X\times Y 또는 X\cdot Y는 X와 Y를 곱한 값이다. XY로 쓰기도 한다.7\times8=56, 5\cdot7=35
/, \div나누기X/Y 또는 X\div Y는 X를 0이 아닌 Y로 나눈 값이다.12/4=3, 2\div4=0.5
\frac{\Box}{\Box}분수\frac{X}{Y}는 X를 0이 아닌 Y로 나눈 값이다.\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\sqrt{\ }, \surd제곱근\sqrt{x}는 양수 x의 제곱근이다.\sqrt{9}=3
\sqrt[n]{\Box}거듭제곱근\sqrt[n]{x}는 x의 n제곱근이다.\sqrt[4]{16}=2
^, \Box^\Box거듭제곱x^y 또는 x^y는 x의 y 거듭제곱이다. y=2인 경우 x의 제곱이다.3^2=9, 2^3=8
>\Box|절댓값>x|는 수 x의 절댓값이다.>-3|=3


2. 1. 덧셈 기호 (+)

+ (덧셈 기호)는 두 수나 식을 더하는 덧셈 연산을 나타내며, '더하기'로 읽는다. 예를 들어, 3 + 2와 같이 사용된다.[1]

2. 2. 뺄셈 기호 (-)

뺄셈 기호(-)는 두 수나 식의 차이를 구하는 연산을 나타낸다.

  • 뺄셈: '빼기'로 읽으며, 뺄셈을 나타낸다. (예: )
  • 가법 역원: '빼기', '의 음수', 또는 '의 반대'로 읽으며, 가법 역원을 나타낸다. (예: )
  • 집합론적 여집합: 집합론에서 여집합을 나타내는 대신 사용되기도 한다.

2. 3. 곱셈 기호 (×, ⋅)

곱셈 기호(×, ⋅)는 두 수나 식을 곱하는 연산을 나타낸다.

  • × 기호
  • 초등 산술에서 곱셈을 나타내며, '곱하기'라고 읽는다. 예: 3 × 2.
  • 기하학 및 선형 대수학에서 외적을 나타낸다.
  • 집합론 및 범주론에서 카르테시안 곱과 직접곱을 나타낸다.

  • ⋅ 기호 (중간 점)
  • 곱셈을 나타내며, '곱하기'라고 읽는다. 예: 3 ⋅ 2.
  • 기하학 및 선형 대수학에서 내적을 나타낸다.
  • 미지의 원소를 대체하는 자리 표시자로 사용된다. 예를 들어 "절댓값은 | |로 표시된다" 와 같이 사용된다.

2. 4. 나눗셈 기호 (/, ÷)

어떤 수를 다른 수로 나누는 연산을 나타내며, '나누기' 또는 '분의'로 읽는다. '/' 기호는 가로 막대로 대체될 수 있다. 예를 들어, 3 / 2 또는 \frac 32와 같이 표현한다.

영어권 국가에서는 '÷' 기호(나누기 기호)가 나눗셈을 나타내는 데 널리 사용되었으나,[1] 수학에서는 더 이상 일반적으로 사용되지 않으며, 사용하지 않는 것이 권장된다.

2. 5. 제곱근 기호 (√)

어떤 수의 제곱근을 나타내며, '제곱근'으로 읽는다. 인수의 범위를 명확하게 나타내는 가로 막대 없이 현대 수학에서 사용되는 경우는 드물다. 예를 들어, 2는 2의 제곱근을 의미한다.[1]

2. 6. 절댓값 기호 (| |)

絕對值|절댓값중국어 기호는 수의 절댓값을 나타낸다. 절댓값은 해당 수가 0에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 값으로, 항상 양수 또는 0이다.

절댓값 기호의 사용 예시는 다음과 같다.

  • = 3
  • = 3
  • = 0
  • = = 3


절댓값은 또는 로 나타낼 수 있다.[2]

2. 7. 팩토리얼 기호 (!)

팩토리얼: 이 양의 정수라면, 은 처음 개의 양의 정수의 곱이며, "n 팩토리얼"로 읽는다.

3. 집합론 기호


\varnothing

\{\}공집합원소가 없는 공집합을 의미한다.\{1\}\cap\{2,3\}=\varnothing\{\Box\}한원소 집합\{x\}는 x 하나만을 원소로 갖는 집합을 의미한다.\{1\}\{\Box, \cdots, \Box\}원소나열법으로 표현한 집합중괄호 안에 원소를 나열하고 쉼표로 구분하여 집합을 표현한다.\{1,2,3\}\{\Box:\Box\}

\{\Box>\Box\}조건제시법으로 표현한 집합\{x:P(x)\} 또는 \{x>P(x)\}는 x에 대한 술어 P(x)에 대하여, P(x)가 참이 되도록 하는 원소 x들로 이루어진 집합을 의미한다.\{x:1\le x\le 3, x\in\N\}=\{1,2,3\}\subseteq

\subset

\supseteq

\supset부분집합A\subseteq B, A\subset B, B\supseteq A, B\supset A는 집합 A가 집합 B의 부분집합임을 의미한다.\{1,2\}\subseteq\{1,2,3\}
\varnothing\subseteq\{1,2,3\}\subsetneq

\supsetneq진부분집합A\subsetneq B, B\supsetneq A는 집합 A가 집합 B의 진부분집합임을 의미한다. 저자에 따라 \subset, \supset이 진부분집합을 의미하기도 한다.\{1,2\}\subsetneq\{1,2,3\}\nsubseteq

\varsubsetneq

\nsupseteq

\varsupsetneq부분집합이 아님A\nsubseteq B, A\varsubsetneq B, B\nsupseteq A, B\varsupsetneq A는 집합 A가 집합 B의 부분집합이 아님을 의미한다.\{1,2\}\nsubseteq\{2,3\}\sqcup

\bigsqcup

+

\uplus

\biguplus분리합집합A\sqcup B, A+B, A\uplus B는 집합 A와 B의 분리합집합을 의미한다.A=\{a,b\}, B=\{b,c,d\}에 대해 A\sqcup B=\{(a,0),(b,0),(b,1),(c,1),(d,1)\}\Box^c

\setminus여집합A^c 또는 U\setminus A는 전체집합 U의 원소 중 A가 아닌 것들의 집합을 의미한다.(A\cap B)^c = A^c \cup B^c\times

\prod곱집합A\times B는 집합 A와 B의 곱집합 \{(a,b)|a\in A,b\in B\}을 의미한다.\{1,2\}\times\{3,4,5\}=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}

3. 1. 집합과 원소 (∈, ∉)

∈, ∉영어 기호는 원소가 집합에 속하는지 여부를 나타내는 데 사용된다.

집합과 원소 기호
기호의미설명
∈집합에 대한 원소의 포함 관계x ∈ S는 x가 집합 S의 원소임을 의미한다.
∉집합에 대한 원소의 포함 관계 부정x ∉ S는 x가 집합 S의 원소가 아님을 의미한다.


3. 2. 부분집합 (⊆, ⊂)

S영어 ⊆ T영어는 S영어가 T영어의 부분집합임을 의미한다. 필요에 따라 T영어 ⊇ S영어라고 쓰기도 한다. ⊆는 S영어와 T영어가 같을 경우를 포함하며, 진부분집합에 대해서는 ⊊가 사용된다. ⊂는 진부분집합만을 가리키는 표기법과 일반적인 부분집합을 가리키는 표기법이 있다. ⊂가 일반적인 부분집합을 나타내는 경우 진부분집합은 ⊊로 나타내고, ⊂가 진부분집합을 나타내는 경우 일반적인 부분집합은 ⊆로 나타낸다.

∈과 마찬가지로, ⊄, ⊊ 등의 기호도 있다.

3. 3. 합집합 (∪)

\cup는 합집합 기호로, 집합 와 집합 의 합집합은 ""로 나타낸다. 또한, 집합족 의 합집합은 \textstyle\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda} S_\lambda로 나타낸다. \mathfrak{S}:=\{S_{\lambda}\ |\ \lambda \in \Lambda\}일 때, 이 집합족은 \textstyle\bigcup \mathfrak{S}로 표기하기도 한다.[1]

3. 4. 교집합 (∩)

"\cap"는 집합 와 집합 의 교집합을 나타낸다. 또한 \textstyle\bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda} S_\lambda는 집합족 의 교집합을 나타낸다. \mathfrak{S}:=\{S_{\lambda}\ |\ \lambda \in \Lambda\}일 때, 위 집합족을 \textstyle\bigcap \mathfrak{S}로 쓰는 경우가 있다.[1]

3. 5. 차집합 (\)

Set difference|셋 디퍼런스영어는 집합에서 집합를 제외한 차집합을 나타낸다. "" 또는 ""로 표기한다.

4. 논리 및 관계 기호

논리 및 관계 기호는 명제 사이의 논리적 관계 또는 수학적 대상 간의 관계를 나타내는 데 사용된다.

기호의미설명
\vDash논리적 귀결, 잉의주로 의미론적인 귀결 관계에 사용된다.
\vdash추론주로 형식적인 귀결 관계에 사용된다. "\Gamma \vdash \varphi"는 유한개의 논리식 \Gamma에서 형식적으로 논리식 \varphi를 추론할 수 있음을 나타낸다.
\forall전칭 한정 기호\forall x \in S (P(x))처럼 쓰이며, 집합 S의 임의의 원소 x에 대해 명제 P(x)가 성립함을 나타낸다.
\exists존재 한정 기호\exists x \in S (P(x))처럼 쓰이며, 집합 S에 조건 P(x)를 만족하는 원소 x가 적어도 하나 존재함을 나타낸다.
\exists_1,\ \exists1,\ \exists\,!유일하게 존재\exists_1 x \in S (P(x))처럼 쓰이며, 집합 S에 조건 P(x)를 만족하는 원소 x가 유일하게 존재함을 나타낸다. 다른 기호도 마찬가지이다.
\therefore결론문두에 기재되어 그 문장의 주장이 앞선 내용을 받아서 서술되고 있음을 나타낸다. 즉, "그러므로".
\because이유·근거문두에 기재되어 그 문장의 내용이 앞선 내용의 이유 설명임을 나타낸다. "왜냐하면".
:=,\ :\Leftrightarrow정의"A \coloneqq X"는 A라는 기호가 의미하는 바를 X로 정의하는 것이다. "A : \Leftrightarrow X"라고도 쓴다. "=" 위에 "\mathrm{def}" 또는 "\bigtriangleup"를 쓰는 경우도 있다(\stackrel{\mathrm{def}}{=}, \stackrel{\bigtriangleup}{=}). \ :\Leftrightarrow는 명제를 정의할 때 사용하고, :=는 어떤 양이나 대상을 정의할 때 사용한다.


4. 1. 논리 기호 (¬, ∧, ∨, →, ↔)

Logic symbols|논리 기호영어 (¬, ∧, ∨, →, ↔)는 명제의 부정, 논리곱, 논리합, 조건, 쌍조건 등을 나타낸다.

기호의미설명
\land논리곱, 연언 (AND)"P \land Q"는 "명제 P와 명제 Q가 모두 참"이라는 명제를 나타낸다.
\lor논리합, 선언 (OR)"P \lor Q"는 "명제 P와 명제 Q 중 적어도 하나가 참"이라는 명제를 나타낸다.
\neg부정 (NOT)"\neg P"는 "명제 P가 거짓"이라는 명제를 나타낸다.
\Rightarrow논리적 함의, 함의"P \Rightarrow Q"는 "명제 P가 참이면 반드시 명제 Q도 참"이라는 명제를 나타낸다. P가 거짓인 경우 P \Rightarrow Q는 참이다.
\rightarrow
\Leftrightarrow,\ \text{iff},\ \equiv동치"P \Leftrightarrow Q", "P \equiv Q"는 P와 Q의 참거짓이 반드시 일치함을 의미한다. iff는 if and only if의 약자이다.


5. 수 체계 기호

블랙보드 볼드체(서체)는 기본적인 수 체계를 나타내는 데 널리 사용된다. 이러한 체계는 해당 대문자 볼드체로도 표시되는 경우가 많다. 블랙보드 볼드체의 명확한 장점은 이러한 기호가 다른 것과 혼동될 수 없다는 것이다. 따라서 정의를 다시 상기시킬 필요 없이 수학의 어떤 영역에서도 이들을 사용할 수 있다. 예를 들어, 조합론에서 \mathbb R을 만나면, 조합론이 실수를 연구하지는 않지만(많은 증명에 사용하지만) 이것이 실수를 나타낸다는 것을 즉시 알 수 있다.[1]

기호내용정의
ℕ\mathbb N자연수 집합 \{1, 2,\ldots \}, 또는 때때로 \{0, 1, 2, \ldots \}. 구분이 중요하고 독자가 어느 정의를 가정할 수 있는 경우, 각각을 명확하게 나타내기 위해 \mathbb{N}_1과 \mathbb{N}_0가 사용된다. \mathbf N 표기법도 일반적으로 사용된다.[1]
ℤ\mathbb Z정수 집합 \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2,\ldots \}.를 나타낸다. \mathbf Z로도 종종 표시된다.[1]
ℤp\mathbb{Z}_p-adic 정수 집합을 나타낸다. 여기서 p는 소수이다.[1] 때로는 \mathbb Z_n이 n을 법으로 하는 정수를 나타낸다. 여기서 n은 0보다 큰 정수이다. \mathbb Z/n\mathbb Z 표기법도 사용되며, 모호성이 적다.[1]
ℚ\mathbb Q유리수(두 정수의 분수) 집합을 나타낸다. \mathbf Q로도 종종 표시된다.[1]
ℚp\mathbb{Q}_p-adic 수 집합을 나타낸다. 여기서 p는 소수이다.[1]
ℝ\mathbb R실수 집합을 나타낸다. \mathbf R로도 종종 표시된다.[1]
ℂ\mathbb C복소수 집합을 나타낸다. \mathbf C로도 종종 표시된다.[1]
ℍ\mathbb H사원수 집합을 나타낸다. \mathbf H로도 종종 표시된다.[1]
Fq\mathbb{F}_qq개의 원소를 가진 유한체를 나타낸다. 여기서 q는 소수를 포함한 소수의 거듭제곱이다. GF(q)로도 표시된다.[1]
O\mathbb O드물게 팔원수 집합을 나타내는 데 사용된다. \mathbf O로도 종종 표시된다.[1]


5. 1. 자연수 집합 (ℕ)

\mathbb{N}은 자연수 전체의 집합을 나타낸다. \mathbb{N}=\{1, 2, 3, \cdots\}이며, 경우에 따라 0을 포함하기도 한다. 구분이 중요하고 독자가 어느 정의를 가정할 수 있는지 명확하게 하기 위해 \mathbb{N}_1과 \mathbb{N}_0를 사용하기도 한다. \mathbf{N} 표기법도 일반적으로 사용된다.

5. 2. 정수 집합 (ℤ)

정수 전체의 집합은 \mathbb{Z}로 나타낸다. 블랙보드 볼드체 서체의 일종으로, 기본적인 수 체계를 나타내는 데 널리 사용되며, \mathbf{Z}로도 종종 표시된다. 정수 집합의 정의는 다음과 같다.

기호의미정의
\mathbb{Z}정수 집합\mathbb{Z}=\{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\}


5. 3. 유리수 집합 (ℚ)

\mathbb{Q}는 유리수 집합을 나타낸다. 유리수는 두 정수의 분수로 표현 가능한 수이며, 다음과 같이 정의된다.

:\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} : m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \right\}

여기서 m과 n은 정수이고, n은 0이 아니다. \mathbb{Q}는 종종 \mathbf{Q}로도 표시된다.

5. 4. 실수 집합 (ℝ)

실수 집합은 \mathbb R로 나타내며, 굵은 글씨로는 \mathbf{R}로도 종종 표시된다.

5. 5. 복소수 집합 (ℂ)

\mathbb{C}는 복소수 집합을 나타낸다. 복소수는 \mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in\mathbb{R}\}와 같이 정의된다. 여기서 i는 허수 단위이다. \mathbf{C}로도 종종 표시된다.

6. 미적분학 및 해석학 기호


\Box^{(\Box)}미분의 라그랑주 표기법f/math>은 함수 f의 도함수를 의미한다. f, f'''은 각각 함수 f의 이계 도함수와 삼계 도함수를 의미한다. f^{(n)}은 f의 n계 도함수를 의미한다.\dot\Box미분의 뉴턴 표기법\dot x는 일반적으로 시간 t에 의존하는 변수 x의 도함수를 의미한다.\frac{d\Box}{d\Box}미분의 라이프니츠 표기법\frac{dy}{dx}는 변수 x에 의존하는 변수 y의 도함수를 의미한다. \frac{df}{dx}는 단일 변수 x에 의존하는 함수 f의 도함수를 의미하고, \frac{df}{dx}(a)는 a에서의 도함수의 값을 의미한다.\partial편미분\frac{\partial f}{\partial x_i}는 변수 x_1,\cdots,x_n에 의존하는 함수 f(x_1,\cdots,x_n)의 x_i에 대한 편미분을 의미한다.\int부정적분\int f(x)dx는 도함수가 f인 함수를 의미한다.\int정적분\int_{a}^{b} f(x)dx는 구간 [a,b] 위에서 정의된 함수 f(x)의 정적분을 의미한다.\int선적분\int_C f\ ds는 곡선 C 위의 함수 f의 선적분을 의미한다.\oint폐곡선의 선적분, 경로적분\oint_C f\,ds는 폐곡선 C 위의 함수 f의 선적분을 의미한다.\iint이중적분, 면적분\iint_S f\mathrm\,dS는 곡면 S 위의 함수 f의 면적분을 의미한다.\nabla델 연산자스칼라 함수의 기울기, 또는 벡터 함수의 발산, 회전 등을 나타내는 데 사용하는 벡터 연산자이다.\Delta라플라시안\Delta f는 함수 f의 라플라시안을 의미한다.


6. 1. 극한 (lim)

\lim은 함수의 극한을 나타낸다. 수열 에 대해, \lim_{n\to\infty} a_n은 그 수열의 극한값을 나타낸다. 또한, 함수 에 대해, \lim_{x\to c} f(x)는 의 에서의 극한값을 나타낸다.

6. 2. 미분 (′, d/dx, ∂/∂x)

라그랑주 표기법에서 함수 f의 미분은 f'로 나타내며, "f 프라임"으로 읽는다.[3] 이계도함수는 f''로 표시한다.[3] 뉴턴 표기법에서는 시간에 대한 미분을 \dot x (x 도트)로, 이계도함수는 \ddot x (x 더블 도트)로 나타낸다.[3]

라이프니츠 표기법은 \frac{dy}{dx}와 같이 표현하며, "dy over dx" (일반적으로 "d y d x"로 줄임)로 읽는다. 변수 y가 x에 의존하는 경우, \frac{dy}{dx}는 x에 대한 y의 미분을 나타낸다.[3] 함수 f의 경우, \frac{df}{dx}는 f의 미분을, \frac{df}{dx}(a)는 a에서의 미분 값을 의미한다.[3]

편미분은 \frac{\partial f}{\partial x_i}로 나타내며, 여러 변수 함수 f에서 다른 변수를 상수로 두고 특정 변수 x_i에 대한 미분을 의미한다.[3]

6. 3. 적분 (∫)

주어진 원본 소스에는 적분 기호(∫)에 대한 정보가 포함되어 있지 않다. 따라서 '적분 (∫)' 섹션에 작성할 내용은 없다. 요약에서 언급된 "함수의 적분을 나타낸다"는 내용은 일반적인 적분 기호의 의미를 설명하는 것이며, 주어진 소스에는 이와 관련된 구체적인 내용이 없다.

7. 선형대수학 기호


\Box^*환의 가역원 곱셈군환 R의 가역원 집합을 나타낸다. (R이 체이면 R^\times=R \setminus\{0\}이다.)\ker핵, 영공간선형 변환, 군 준동형사상, 환 준동형사상 f에 대해 0으로 사상하는 정의역의 원소들의 집합을 나타낸다.\operatorname{nullity}퇴화차수선형 변환 T의 핵의 차원을 나타낸다. (벡터 공간 V 위의 선형 변환 T에 대해 \operatorname{rank}T+\operatorname{nullity}T=\dim V이다.)\dim차원체 F 위 벡터 공간 V의 기저 집합의 크기를 나타낸다.⊗텐서곱벡터 공간 V와 W의 텐서곱 V \otimes W을 나타낸다.


7. 1. 행렬 표현


\Box^\top

^\operatorname t\Box

\Box'

\Box^\operatorname{tr}전치 행렬\mathbf{A}^\operatorname T, \mathbf{A}^\top, ^\operatorname t\mathbf{A}, \mathbf{A}', \mathbf{A}^\operatorname{tr}는 행렬 \mathbf{A}의 전치 행렬을 의미한다.\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}^\operatorname T
\Box^H


\Box^*

\Box^\dagger

\Box'켤레 전치\mathbf{A}^H, \mathbf{A}^*,\mathbf{A}^\dagger, \mathbf{A}'는 복소 행렬 \mathbf{A}의 켤레 전치를 의미한다.\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -2 - i & 5 \\ 1 + i & i & 4-2i \end{pmatrix}에 대해 \mathbf{A}^\mathrm{H} = \begin{pmatrix} 1 & 1 - i \\ -2 + i & -i \\ 5 & 4+2i\end{pmatrix}\operatorname{adj}고전적 수반 행렬\operatorname{adj}\mathbf{A}는 행렬 \mathbf{A}의 여인자 행렬의 전치 행렬이다.\operatorname{adj}\begin{pmatrix}
\operatorname{det}


|\Box|행렬식\operatorname{det}\mathbf{A} 또는 >\mathbf{A}|는 행렬 A의 행렬식을 의미한다.\det \begin{pmatrix} a & b \\c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\c & d \end{vmatrix} = ad - bc.I_n

I단위 행렬I_n은 n\times n 단위 행렬을 의미한다.I_3 = \begin{pmatrix}
\operatorname{diag}대각 행렬\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)는 i번째 대각 성분이 d_i인 대각 행렬을 의미한다.\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)=
\operatorname{tr}대각합\operatorname{tr}(\mathbf{A})는 정사각 행렬 \mathbf{A}의 주대각선 성분들의 합을 의미한다.\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5
\operatorname{rank}


\operatorname{rk}계수\operatorname{rank}\mathbf{A} 또는 \operatorname{rk}\mathbf{A}는 행렬 \mathbf{A}의 행공간 또는 열공간의 차원을 의미한다.\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}일 때 \operatorname{rank}\mathbf{A}=1\sim행렬의 닮음\mathbf{A}\sim \mathbf{B}는 행렬 \mathbf{A}와 \mathbf{B}가 닮음임을 의미한다.


7. 2. 행렬 연산

행렬 연산 기호
기호의미설명
\mathbf{A}^{-1}역행렬행렬 \mathbf{A}의 역행렬[1]
\mathbf{A}^\operatorname T, \mathbf{A}^\top, ^\operatorname t\mathbf{A}, \mathbf{A}', \mathbf{A}^\operatorname{tr}전치 행렬행렬 \mathbf{A}의 전치 행렬[2]
\mathbf{A}^H, \mathbf{A}^*,\mathbf{A}^\dagger, \mathbf{A}'켤레 전치복소 행렬 \mathbf{A}의 켤레 전치[3]
\operatorname{adj}\mathbf{A}고전적 수반 행렬행렬 \mathbf{A}의 여인자 행렬의 전치 행렬[4]
\operatorname{det}\mathbf{A} 또는 >\mathbf{A}|행렬식행렬 A의 행렬식[5]
I_n 또는 I단위 행렬n\times n 단위 행렬 (행렬의 크기가 중요하지 않거나 생략해도 되는 경우 I로 표기)[6]
\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)대각 행렬i번째 대각 성분이 d_i인 대각 행렬[7]
\operatorname{tr}(\mathbf{A})대각합정사각 행렬 \mathbf{A}의 주대각선 성분들의 합[8]
\operatorname{rank}\mathbf{A} 또는 \operatorname{rk}\mathbf{A}계수행렬 \mathbf{A}의 행공간 또는 열공간의 차원[9]
\mathbf{A}\sim \mathbf{B}행렬의 닮음행렬 \mathbf{A}와 \mathbf{B}가 닮음


7. 3. 벡터 연산


:(1,2,5)\cdot(3,4,-1)=1\cdot3+2\cdot4+5\cdot(-1)=6
: 는 벡터 과 의 벡터곱을 의미한다.

:(1,2,5)\times(3,4,-1)=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k} \\1&2&5\\3&4&-1\end{vmatrix}=(-22,16,-2)

  • \langle\Box,\Box\rangle : 내적

: \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle는 내적 공간 V의 원소 \mathbf{u}, \mathbf{v}의 내적을 의미한다. 내적 공간 참조.

:: 실수에서 원소 x,y\in\R의 내적은 \langle x, y \rangle := xy
: \mathbf{u}\perp\mathbf{v}는 두 벡터 \mathbf{u}, \mathbf{v}의 내적이 0임을 의미한다.
: \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}는 벡터 \mathbf{u}와 \mathbf{v}의 외적을 의미한다.

:\mathbf{u} = \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3\\4\\-1\end{pmatrix}에 대해

:\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\cdot3&1\cdot4&1\cdot(-1)\\2\cdot3&2\cdot4&2\cdot(-1)\\5\cdot3&5\cdot4&5\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4&-1\\6&8&-2\\15&20&-5\end{pmatrix}

8. 추상대수학 기호

\prod직접곱X\times Y는 군, 가군, 위상 공간 등의 대수 구조 X,Y의 직접곱을 의미한다.
\prod_{i \in I} X_i은 군, 가군, 위상 공간 등의 대수 구조들의 모임 \{X_i\}_{i\in I}의 직접곱을 의미한다.Z_2\times Z_3\simeq Z_6\ltimes
\rtimes반직접곱N\rtimes H 또는 H\ltimes N은 군 N과 H의 반직접곱을 의미한다.D_{2n}\simeq Z_n\rtimes Z_2=Z_n\ltimes Z_2\oplus직합V \oplus W은 벡터 공간, 아벨 군, 가군 등의 대수 구조 V와 W의 직합을 의미한다.
\bigoplus_{i \in I} V_i은 벡터 공간, 아벨 군, 가군 등의 대수 구조들의 모임 \{V_i\}_{i\in I}의 직합을 의미한다. I가 유한 집합인 경우 직접곱과 같다.유한 차원 벡터 공간 V 위의 대각화 가능한 선형 변환 T의 고윳값 \lambda_1,\cdots,\lambda_n에 대해, V=\bigoplus_{1\le i\le n}\ker(T-\lambda_i I)이다.\coprod쌍대곱\coprod_{i\in I}X_i는 범주 \mathcal C의 대상의 집합 \{X_i\}_{i\in I}의 쌍대곱을 의미한다.\wr화환곱(G,A)\wr(H,B)은 반군 G,H가 각각 집합 A,B의 오른쪽에서 작용할 때 (G,A)와 (H,B)의 화환곱을 의미한다.\le
\ge부분군H \le G는 군 H가 군 G의 부분군임을 의미한다.5\mathrm{Z} \le \mathrm{Z}, \mathrm{A}_3 \le \mathrm{S}_3<
>진부분군H < G는 군 H가 군 G의 진부분군임을 의미한다.5\mathrm{Z} < \mathrm{Z}, \mathrm{A}_3 < \mathrm{S}_3\triangleleft
\triangleright정규 부분군N\triangleleft G 또는 G\triangleright N는 N이 G의 정규 부분군임을 의미한다.군 G에 대해 Z(G)\triangleleft G/몫공간몫집합, 몫군, 몫환 등 몫공간을 나타낼 때 사용한다.X/\sim, \mathbb{Z}[x]/(x^2+1)\simeq\mathbb{Z}[i], \operatorname{Im}(f)\cong G/\ker(f)체의 확대E/F는 체 E가 체 F의 확대임을 의미한다.\mathbb{C}/\mathbb{R}[\Box:\Box]체의 차수[E:F]는 체의 확대 E/F가 이루는 벡터 공간의 차원을 의미한다.[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2\operatorname{Aut}자기 동형 사상군\operatorname{Aut}(X)는 대상(특히, 군) X의 자기동형사상이 이루는 군을 의미한다.E/F가 >\operatorname{Aut}(E/F)|=[E:F]를 만족하면 이를 갈루아 확대라 한다.\text{ob}(\Box)대상의 모임\text{ob}(\mathcal{C})는 범주 \mathcal{C}의 대상들의 모임을 의미한다.\text{hom}(\Box)
\text{hom}_\Box(\Box)
\text{mor}(\Box)사상들의 모임\text{hom}(\mathcal{C})는 범주 \mathcal{C}의 사상들의 모임이다.
\text{hom}(X,Y) 또는 \text{hom}_\mathcal{C}(X,Y), \text{mor}(X,Y), \mathcal{C}(X,Y)는 범주 \mathcal{C}의 대상 X에서 Y로 가는 사상들의 모임이다.\Box^{\text{op}}반대 범주\mathcal{C}^{\text{op}}는 범주 \mathcal{C}의 모든 사상의 방향을 반대로 뒤집은 반대 범주를 의미한다.가환 그림범주론에서, 시작과 끝이 같은 모든 경로가 모두 동일한 결과로 이어지는 그림을 가환 그림이라 한다.


8. 1. 군 (Group)

\prod직접곱X\times Y는 군, 가군, 위상 공간 등의 대수 구조 X,Y의 직접곱을 의미한다.
\prod_{i \in I} X_i은 군, 가군, 위상 공간 등의 대수 구조들의 모임 \{X_i\}_{i\in I}의 직접곱을 의미한다.Z_2\times Z_3\simeq Z_6\ltimes
\rtimes반직접곱N\rtimes H 또는 H\ltimes N은 군 N과 H의 반직접곱을 의미한다.D_{2n}\simeq Z_n\rtimes Z_2=Z_n\ltimes Z_2\wr화환곱(G,A)\wr(H,B)은 반군 G,H가 각각 집합 A,B의 오른쪽에서 작용할 때 (G,A)와 (H,B)의 화환곱을 의미한다.\le
\ge부분군H \le G는 군 H가 군 G의 부분군임을 의미한다.5\mathrm{Z} \le \mathrm{Z}
\mathrm{A}_3 \le \mathrm{S}_3<
>진부분군H < G는 군 H가 군 G의 진부분군임을 의미한다.5\mathrm{Z} < \mathrm{Z}
\mathrm{A}_3 < \mathrm{S}_3\triangleleft
\triangleright정규 부분군N\triangleleft G 또는 G\triangleright N는 N이 G의 정규 부분군임을 의미한다.군 G에 대해 Z(G)\triangleleft G/몫공간몫집합, 몫군, 몫환 등 몫공간을 나타낼 때 사용한다. 예를 들어 군 G, N에 대해 G/N은 몫군을 의미한다.X/\sim
\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)\simeq\mathbb{Z}[i]
\operatorname{Im}(f)\cong G/\ker(f)


8. 2. 환 (Ring)


\prod직접곱X\times Y는 군, 가군, 위상 공간 등의 대수 구조 X,Y의 직접곱이다.\ltimes

\rtimes반직접곱N\rtimes H 또는 H\ltimes N은 군 N과 H의 반직접곱이다.D_{2n}\simeq Z_n\rtimes Z_2=Z_n\ltimes Z_2\oplus직합V \oplus W은 벡터 공간, 아벨 군, 가군 등의 대수 구조 V와 W의 직합이다.\coprod쌍대곱\coprod_{i\in I}X_i는 범주 \mathcal C의 대상의 집합 \{X_i\}_{i\in I}의 쌍대곱이다.\wr화환곱(G,A)\wr(H,B)은 반군 G,H가 각각 집합 A,B의 오른쪽에서 작용할 때 (G,A)와 (H,B)의 화환곱이다.\le

\ge부분군H \le G는 군 H가 군 G의 부분군임을 나타낸다.5\mathrm{Z} \le \mathrm{Z}, \mathrm{A}_3 \le \mathrm{S}_3<

>진부분군H < G는 군 H가 군 G의 진부분군임을 나타낸다.5\mathrm{Z} < \mathrm{Z}, \mathrm{A}_3 < \mathrm{S}_3\triangleleft

\triangleright정규 부분군N\triangleleft G 또는 G\triangleright N는 N이 G의 정규 부분군임을 나타낸다.군 G에 대해 Z(G)\triangleleft G/몫공간몫집합, 몫군, 몫환 등 몫공간을 나타낸다.X/\sim, \mathbb{Z}[x]/(x^2+1)\simeq\mathbb{Z}[i], \operatorname{Im}(f)\cong G/\ker(f)체의 확대E/F는 체 E가 체 F의 확대임을 나타낸다.\mathbb{C}/\mathbb{R}[\Box:\Box]체의 차수[E:F]는 체의 확대 E/F가 이루는 벡터 공간의 차원이다.[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2\operatorname{Aut}자기 동형 사상군\operatorname{Aut}(X)는 대상(특히, 군) X의 자기동형사상이 이루는 군이다.체의 확대 E/F가 |\operatorname{Aut}(E/F)|=[E:F]를 만족하면 이를 갈루아 확대라 한다.\text{ob}(\Box)대상의 모임\text{ob}(\mathcal{C})는 범주 \mathcal{C}의 대상들의 모임이다.\text{hom}(\Box)

\text{hom}_\Box(\Box)

\text{mor}(\Box)사상들의 모임\text{hom}(\mathcal{C})는 범주 \mathcal{C}의 사상들의 모임이다.\Box^{\text{op}}반대 범주\mathcal{C}^{\text{op}}는 범주 \mathcal{C}의 모든 사상의 방향을 반대로 뒤집은 반대 범주이다.가환 그림범주론에서, 시작과 끝이 같은 모든 경로가 모두 동일한 결과로 이어지는 그림을 가환 그림이라 한다.


8. 3. 체 (Field)

Field영어의 연산, 체의 확대 등을 나타내는 기호는 다음과 같다.

기호의미설명예시
/체의 확대E/F는 체 E가 체 F의 확대임을 의미한다.\mathbb{C}/\mathbb{R}
[\Box:\Box]체의 차수[E:F]는 체의 확대 E/F가 이루는 벡터 공간의 차원을 의미한다.[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2


9. 괄호 기호

( )는 연산 순서를 나타내는 데 사용되며, 괄호 안의 연산을 먼저 수행해야 함을 의미한다.

( , )는 순서쌍 및 2차원 좌표를 나타낸다. (a, b)는 두 대상 a, b의 순서쌍을 의미하며, 2차원 좌표계의 점을 순서쌍으로 나타낸다.

( ,…, )는 튜플 및 좌표를 나타낸다. (a1, …, an)은 대상 a1, …, an의 n-튜플을 의미하며, n차원 좌표계의 점을 튜플로 나타낸다.

( , ), [ , ], ( , ], [ , )는 구간을 나타낸다.


  • (a, b)는 a보다 크고 b보다 작은 원소들로 이루어진 열린구간이다.
  • [a, b]는 a보다 크거나 같고 b보다 작거나 같은 원소들로 이루어진 닫힌구간이다.
  • [a, b)는 a보다 크거나 같고 b보다 작은 원소들로 이루어진 반열린구간이다.
  • (a, b]는 a보다 크고 b보다 작거나 같은 원소들로 이루어진 반열린구간이다.


|| ||는 노름을 나타낸다. ||x||는 노름 공간의 원소 x의 노름을 의미한다.

⌊ · ⌋, [·]는 바닥함수를 나타낸다. ⌊x⌋ 또는 [x]는 실수 x보다 같거나 작은 가장 큰 정수를 의미한다. 예시: ⌊1.7⌋ = 1

⌈ · ⌉는 천장함수를 나타낸다. ⌈x⌉는 실수 x보다 같거나 큰 가장 작은 정수를 의미한다. 예시: ⌈1.7⌉ = 2

{·}는 부분 분수 함수를 나타낸다. {x}는 실수 x에 대해 {x} = x - ⌊x⌋을 의미한다. 예시: {1.7} = 0.7

⟨ | 는 브라 벡터를 나타낸다. ⟨φ|는 벡터 |φ⟩의 쌍대를 의미한다.

| ⟩는 켓 벡터를 나타낸다. |φ⟩는 φ 표시와 함께 표기되는 벡터를 의미하며, 힐베르트 공간 안에 있다.

10. 기타 기호


{}_\Box C_\Box이항 계수\binom nk 또는 {}_n C_k는 이항식을 이항 정리로 전개했을 때 각 항의 계수를 의미한다. \frac{n!}{k!(n-k)!}와 같은 값이며, C(n,k)로도 쓴다.\binom 52=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10P(\Box/\Box)

P(\Box\mid\Box)조건부 확률P(A/B) 또는 P(A\mid B)는 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 조건부 확률을 의미한다.\sim확률 분포확률 변수가 특정 확률 분포를 따름을 나타낼 때 사용한다.확률 변수 X가 표준 정규 분포를 따를 때, X\sim N(0,1)라 쓴다.\operatorname{argmax}

\operatorname{argmin}아그 맥스와 아그 민\operatorname{argmax}_S f는 집합 X의 부분집합 S와 전순서 집합 Y에 대해 주어진 함수 f:X\to Y에 대해 \{x \in S ~:~ f(s) \leq f(x)\ \forall s \in S \}을 의미한다.


10. 1. 무한대 (∞)

∞는 무한대를 나타낸다. 합산, 무한곱, 적분 등의 상한으로서 계산이 무제한임을 의미한다. 마찬가지로 하한에 있는 -\infty는 음수 방향으로 계산이 무제한임을 의미한다.

-\infty와 +\infty는 실수축에 더해져 확장된 실수축을 형성하는 일반화된 수이며, \infty는 실수축에 더해져 사영 확장 실수축을 형성하는 일반화된 수이다.

참조

[1] 문서 ISO 80000-2, Section 9 "Operations", 2-9.6
[2] 웹사이트 Statistics and Data Analysis: From Elementary to Intermediate https://www.pearson.[...]
[3] 문서 LaTeX and Unicode symbols ∘ and ○
[4] 서적 Vector Methods Oliver and Boyd Ltd., Edinburgh
[5] 문서 수학 기호의 의미와 해석
[6] 서적 解析入門I 一般財団法人　東京大学出版会 2019-05-13
[7] 웹사이트 初等整数論/合同式 - Wikibooks https://ja.wikibooks[...] 2022-06-01
[8] 문서 퍼센트 기호의 에스케이프
[9] 서적 Classic Set Theory Chapman and Hall


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